6.Probabilidade

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19/07/2018 Estácio
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Disciplina: Análise Estatística
Aula 6: Probabilidade
Apresentação
Nesta aula, abordaremos a de�nição de probabilidade, faremos a exposição de seus principais
teoremas e mostraremos o signi�cado e aplicação dos eventos complementares (p + q = 1 → q = 1
– p) dos eventos independentes, também conhecido como regra do “e” (p = PA x PB); bem como
os eventos mutuamente exclusivos, também conhecidos como regra do “ou” (p = PA + PB).
De�niremos, ainda nesta aula, o conceito de experimento aleatório e do espaço amostral, sua
�nalidade, utilização e aplicação no campo da teoria da probabilidade em Estatística.
Quando falamos de probabilidade, a ideia é identi�car a possibilidade de ocorrência de um
determinado fato de interesse, em situações onde existem inúmeros casos possíveis e quando não
é possível determinar com precisão o real valor do evento. Assim, trabalhamos com chances ou
probabilidades.
Objetivos
Conhecer a de�nição de probabilidade e seus principais teoremas;
Aprender o signi�cado e aplicação dos eventos complementares, dos eventos independentes,
bem como dos eventos mutuamente exclusivos;
Entender a de�nição dos conceitos de experimento aleatório e de espaço amostral, assim
como suas �nalidades, utilizações e aplicações no campo da teoria da probabilidade em
Estatística.
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Estatística
A maioria dos assuntos de que trata a Estatística tem uma natureza aleatória ou
probabilística. É esta a importância do estudo dos conhecimentos fundamentais do
cálculo da probabilidade, além de ser fundamental no estudo da Estatística Inferencial ou
Indutiva.
Experimento Aleatório
É qualquer processo aleatório capaz de produzir observações e que possa se repetir
inde�nidamente no futuro sob as mesmas condições. Um experimento aleatório
apresenta variações nos resultados, o que faz com que seus resultados a priori não sejam
determinados antes que tenham sido realizados. É possível, entretanto, indicar todos os
seus resultados possíveis, ou seja, as suas probabilidades. É na verdade qualquer
processo capaz de gerar um resultado incerto ou casual.
O experimento aleatório apresenta três características, que possibilitam calcularmos uma
probabilidade, são elas:
Característica 1
Cada experimento pode ser repetido inde�nidamente sob as mesmas condições, n
vezes (n ∞).
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Característica 2
Embora não se possa prever a priori que resultados ocorrerão, pode-se descrever o
conjunto de resultados possíveis.
Característica 3
À medida que se aumenta o número de repetições, surgirá certa regularidade dos
resultados, isto é, haverá uma estabilidade na ocorrência da frequência relativa de
um particular resultado.

Comentário
Assim, observamos que todo experimento que apresentar resultados diferentes
quando repetido nas mesmas condições iniciais é considerado um experimento
aleatório, e a variabilidade dos seus resultados deve-se ao acaso. A tudo isto liga-se
a incerteza, que é a chance de ocorrência do resultado de interesse.
Temos como exemplo os operários que trabalham no setor de produção de
determinada empresa. Sabe-se que neste setor trabalham oito operários. Um
experimento ao acaso seria escolher de forma aleatória um dos operários. Pode-se
considerar como evento de interesse o sexo do operário escolhido.
Espaço Amostral
Cada experimento aleatório corresponde, normalmente, a inúmeros resultados possíveis.
Chamamos de espaço amostral ou conjunto universo o seu conjunto de possibilidades,
isto é, o conjunto formado por todos os possíveis resultados do experimento, geralmente
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denominado S ou Ω (letra grega que se lê: “ômega”). De�nimos por n(S) como sendo o
número de elementos do conjunto S, ou seja, o número de resultados possíveis do
experimento.
1
Finito
Número limitado de elementos. 
Ex.: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2
In�nito
Número ilimitado de elementos, e pode ser subdividido em: Finito e In�nito.
3
Enumerável
Quando os possíveis resultados puderem ser postos em concordância biunívoca com o
conjunto dos números naturais (N) (caso das variáveis aleatórias discretas).
4
Não Enumerável
Quando os possíveis resultados não puderem ser postos em concordância biunívoca com
o conjunto dos números naturais (caso das variáveis aleatórias contínuas).

Exemplo
Veja alguns exemplos <galeria/aula6/docs/pdf1.pdf> .
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Eventos
Seja um espaço amostral S de um experimento aleatório qualquer, consideramos evento
qualquer subconjunto desse espaço amostral S.
Logo, qualquer que seja E um conjunto de possíveis resultados do experimento, se E ⊂ S,
então E é um evento de S.
Se E = S, chamamos E de evento certo; se E é um conjunto unitário e E ⊂ S, chamamos E
de evento elementar; quando E = ∅ , chamamos de evento impossível.

Exemplo
Veja alguns exemplos <galeria/aula6/docs/pdf2.pdf> .
Probabilidade
Seja S o espaço amostral de um experimento aleatório, se todos os elementos de S
possuem a mesma chance de acontecer, então S é um conjunto equiprovável.
De�nimos como sendo a probabilidade de um evento A (A ⊂ S) o valor real P(A), tal que:
Onde:
n(A) = número de elementos de A;
n(S) = número de elementos de S.
A probabilidade de um evento certo é igual a 1: P(S) = 1;
P(A) =
n(A)
n(S)
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A probabilidade de um evento impossível é igual a 0: P(∅) = 0;
A probabilidade de um evento A qualquer (A ⊂ S) é o valor real P(A), tal que: 0 ≤ P(A) ≤ 1;
Seja n(S) = n e A um evento elementar qualquer, onde n(A) = 1, logo a probabilidade de A
será:
O valor de uma probabilidade está dentro do intervalo fechado de números reais que vai
de 0 a 1, incluindo as extremidades desse intervalo. A probabilidade pode ser da forma
decimal do tipo 0,70, ou representada na forma de percentagem onde o mesmo número é
multiplicado por 100. Ficando na forma 70%.

Saiba mais
Quanto mais a probabilidade se aproxima de 1, maior é sua possibilidade de ocorrer.
Quanto mais se aproxima de 0, o evento se torna mais improvável de ocorrer.
Há três maneiras de estimar ou calcular probabilidades, são elas:
Método Subjetivo
O método subjetivo, que se baseia em estimativas pessoais de probabilidade ou
algum tipo de crença.
P(A) =
1
n
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Método Empírico
O método empírico, que leva em consideração a frequência relativa de um
determinado evento em cima de um grande número de fatos repetidos.
Método Clássico
No método clássico, o espaço amostral tem resultados igualmente prováveis. Em
geral, utiliza-se este último método para o cálculo de probabilidades.
O que não pode acontecer é confundir “chance” com “probabilidade”, pois existe certa
diferença entre eles. A chance compara a quantidade de resultados possíveis de A com os
resultados possíveis de outro evento (B ou C),enquanto que a probabilidade faz relação
entre os resultados possíveis de A com a quantidade total dos resultados possíveis do
experimento aleatório.
Em uma caixa com 7 bolas brancas, 3 azuis e 4 pretas, a probabilidade de retirar uma
bola branca é:
P (branca) = 𝟕/𝟏𝟒 = 0,5 ou 50%
Enquanto que a chance de retirar uma bola branca é 7:7, ou seja, a chance de retirar uma
bola branca é a mesma de retirar uma bola de outra cor.

Exemplo
Veja alguns exemplos <galeria/aula6/docs/pdf3.pdf> .
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Eventos Complementares
Todo evento pode ocorrer ou não. Se um evento possui uma probabilidade p de sucesso e
uma probabilidade de insucesso q, então para esse mesmo evento existe a relação:
Se P(A) é a probabilidade do evento A, então 𝑃(𝐴 ̅) é a probabilidade do evento não A
(complemento de A), tal que:

Exemplo
Veja alguns exemplos <galeria/aula6/docs/pdf4.pdf> .
Eventos Independentes
p+ q = 1  →  q = 1 − P
P(A) + P( ) = 1  →  P( ) = 1 − P(A)A
¯¯¯
A
¯¯¯
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Dois eventos são independentes quando o sucesso ou o insucesso de um dos eventos
não afeta a probabilidade de sucesso do outro evento e vice-versa. O resultado obtido por
um evento independe do resultado obtido no outro evento. Neste caso de eventos
independentes, a probabilidade de que os dois eventos se realizem simultaneamente é
igual ao produto das probabilidades de sucesso de cada evento.
Sejam dois eventos A e B, onde P(A) = p e P(B) = p , logo um terceiro evento C, de�nido
pela ocorrência simultânea dos eventos A e B, terá probabilidade P(C) = p. E a
probabilidade do evento C será função das probabilidades individuais de A e B, dada por:
Outra forma de representar a ocorrência simultânea de dois eventos A e B é P(A ∩ B).

Exemplo
Veja alguns exemplos <galeria/aula6/docs/pdf5.pdf> .
Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando o
sucesso de um evento exclui a realização do(s) outro(s).
Desta forma, no experimento aleatório de lançamento de um dado, o evento tirar o
número 3 e o evento tirar o número 6 são mutuamente exclusivos, uma vez que, ao se
realizar um deles, o outro não se realiza.
1 2
p = ×p
1
p
2
P(A ∩B) = P(A) × P(B)
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Quando se deseja calcular a probabilidade de que um evento ou outro se realize, sendo
estes eventos mutuamente exclusivos, determinamos a soma das probabilidades de
sucesso de cada evento separadamente.
Ou seja:
No caso do dado a probabilidade do evento de tirar 3 ou 6 é:
p = +p
1
p
2
p = + = + = =p
1
p
2
1
6
1
6
2
6
1
3
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Notas
Referências
BRUNI, Adriano Leal; PAIXÃO, Roberto Brazileiro. Excel aplicado à gestão empresarial.
1.ed. São Paulo: Atlas, 2008. 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
KAZMIER, Leonard J. Estatística aplicada à Economia e Administração. 4.ed. Porto
Alegre: Artmed, 2007
Próximos Passos
Formas de Distribuição Binomial, bem como as condições a serem satisfeitas para
que ela seja aplicada;
Conceito de variável e suas espécies (qualitativas e quantitativas);
Conceito de variável aleatória e as espécies de distribuição de probabilidade.