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Trigonometria Esférica

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1 – Conceitos Básicos 
 1.1 – Importância 
 A Trigonometria Esférica é de fundamental 
importância no estudo da Astronomia e da 
Geodésia Elementar; no primeiro caso, 
resolvendo problemas sobre a “esfera celeste” na 
qual imaginamos engastados todos os astros; no 
segundo, solucionando problemas relativos à 
superfície terrestre, suposta, em primeira 
aproximação, como sendo esférica. 
1.2 – Unidades de Medida de Arcos e Ângulos: 
 – Grau (º): é o arco que mede 1/360 da 
circunferência. Os submúltiplos do grau são o minuto 
(´), que corresponde a 1/60 do grau; e o segundo de arco 
(´´), que corresponde a 1/60 do minuto; o segundo é 
divido em decimais. Exemplo: α = 28º36´45,6´´. 
 – Grado (gr): é o arco que mede 1/400 da 
circunferência. Seus submúltiplos são decimais. 
Exemplo: α = 31,791 851 85gr. 
 – Radiano (rad): é o arco cujo comprimento é igual ao 
raio da circunferência. Seu submúltiplos são decimais. 
Exemplo: α = 0,499 385 241rad. 
 
2 – Conceitos Fundamentais 
 
 2.1 – Superfície esférica 
 É o lugar geométrico dos pontos do 
espaço que equidistam de um ponto interior 
chamado centro. 
 
 
 2.2 – Círculo máximo e círculo menor 
 Três pontos sobre uma esfera definem 
um plano que a intercepta segundo um círculo. Tal 
círculo pode ou não conter o centro da esfera; no 
primeiro caso será chamado de circulo máximo; 
no segundo será chamado de círculo menor. 
– Circunferência máxima é a interseção de um 
plano que passa pelo centro de uma superfície 
esférica com esta superfície esférica. 
 – Circunferência menor é a interseção de um 
plano que não passa pelo centro de uma 
superfície esférica com esta superfície esférica. 
 
2.3 – Distância esférica 
 É o menor arco de circunferência máxima que 
liga dois pontos na superfície esférica. Ou ainda, 
dados dois pontos sobre uma esfera, não diametral- 
mente opostos, por eles passará apenas dois arcos 
de circunferência máxima, um maior 180º e o outro 
menor que 180º; o menor que 180º representa a 
distância esférica entre os dois pontos. Caso os dois 
pontos sejam diametralmente opostos existirá um 
número infinito de arcos de circunferência máxima 
(todos iguais a 180º) ligando os dois pontos e 
qualquer um deles representa distância esférica. 
Polar é o lugar geométrico 
dos pontos da superfície 
esférica que eqüidistam 
90º de pontos chamados 
pólos. 
2.4 – Polo e Polar 
 Pólos de um círculo sobre uma esfera são 
os extremos do diâmetro perpendicular ao círculo 
considerado. Se o círculo for um círculo máximo, 
ele será denominado de polar. 
ela. a
secante plano umpor dividida fica esférica superfície
a queempartesdasumacadaéesféricaCalota 
EsféricaCalotaUmadeÁrea-2.6
)constante(654592141324
 :por dada é
(R) raio de esférica erfíciesup uma de (S) áreaA 
EsféricaSuperfícieUmadeÁrea-2.5
,πsendo,RπS 
hRcSR
h
R
cS
h
cSC


2 
224
:escrever podemos altura de esférica
calota uma de área a de hamando

:escrever podemos amplitude de
 esférica zona uma de área a de Chamando ela. a
 secantes e paralelos planos dois entre dacompreendi
esférica superficiedaporção aéesféricana Zo
EsféricaZonaUmadeÁrea-2.7
h
zS
.
2 
224
hRzS
R
h
R
zS 


º90
2
24
nR
fS
RfS


 
:por dada é fuso do área Portanto,
360º. para está (n) fuso do ângulo o como assim
)( esfera da área a para está )( fuso do áreaA 
fuso. do (A) vértice o é polo cujo MN, arco pelo medido É
citados. máximos ossemicírcul dos planos pelos formado
diedro ângulo o é fuso do ângulo O comum. diâmetro
 um tem que máximos ossemicírcul dois por limitada
esférica superficiedaporção aéesféricoFuso 
EsféricoFuso UmdeÁrea-2.8
3 – Triângulo Esférico 
3.1 – Polígono Esférico 
 É a porção da superfície esférica limitada 
exclusivamente por arcos de circunferência 
máxima. Os planos de tais arcos formam um 
ângulo sólido, cujo vértice O é o centro da esfera. 
As faces do ângulo sólido são 
ângulos planos medidos pelos 
correspondentes lados do 
polígono (assim, o arco de 
circunferência máxima AB 
mede o ângulo  da face OAB). 
Os diedros do ângulo sólido são 
medidos pelos correspondentes 
ângulos do polígono (assim, o 
ângulo  do polígono mede o 
diedro formado pelas faces 
OAB e OAD). 
As propriedades de um polígono esférico são 
análogas às do ângulo poliédrico correspondente, 
cujo vértice coincide com o centro da esfera. 
3.2 – Triângulo Esférico 
 É a porção da superfície esférica limitada por 
três arcos de circunferências máximas menores que 
180º. A figura abaixo mostra um triângulo ABC. 
Em outras palavras, triângulo 
esférico é a figura que se obtém, 
ligando dois a dois, por meio de 
arcos de circunferências 
máximas (menores de 180º), três 
pontos de uma superfície 
esférica não situados sobre a 
mesma circunferência máxima. 
A todo triângulo corresponde um triedro com 
vértice no centro da esfera à qual pertence o 
triângulo. 
Por outro lado, todo triedro com vértice no centro 
de uma esfera determina sobre a mesma um 
triângulo esférico. 
Os ângulos planos das faces e os diedros do 
triedro medem os correspondentes lados e 
ângulos do triângulo esférico. 
Estas considerações põe de manifesto que o estudo 
trigonométrico dos triângulos esféricos não exige, 
em relação ao estudo dos triângulos planos a 
introdução de novas funções, mas apenas a 
consideração das funções trigonométricas dos 
lados do triângulo, aqui medidos em unidades 
angulares. 
Resolver um triângulo esférico é determinar três 
dos seus elementos quando se conhece os outros 
três; tais elementos são os mesmos dos triângulos 
planos: 
três ângulos – os ângulos esféricos definidos pelas 
tangentes aos lados, em cada vértice; 
três lados – arcos de circunferências máximas 
expressos em unidades angulares. 
Observação: o triângulo esférico tal como foi 
definido, com lados menores que 180º, é chamado 
de triângulo euleriano; somente deste trataremos 
no nosso curso. 
3.2.3 – Propriedades dos Triângulos Esféricos 
 
1) Em todo triângulo esférico um lado é menor que a 
soma dos outros dois e maior que o módulo de sua 
diferença. 
 a < b + c e a > | b – c | 
2) O maior lado de um triângulo esférico se opõe ao 
maior ângulo. 
3) A lados iguais se opõem ângulos iguais. 
4) A soma dos ângulos internos de um triângulo esférico 
é maior que 180º e menor que 540º. 
 180º < A + B + C < 540º 
5) O perímetro de um triângulo esférico é sempre menor 
que uma circunferência máxima. 
 a + b + c < 360º 
3.2.5 – Triângulos Polares 
 Dois triângulos esféricos são chamados de 
polares quando os vértices do primeiro são polos 
dos lados homônimos do segundo e vice-versa. 
   
   
    "75,42'14º61938695440782
2
1
2
1
"25,32'53º134020545440782
2
1
2
1
"25,37'55º203016405440782
2
1
2
1
5440782
2
"19'38º69"40'20º54"30'16º40
2
193869402054301640



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