Prova Final Séries e EDO Marivaldo Matos

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EXAME FINAL - GABARITO A
CALCULANDO LIMITES Selecione no menu o valor do limite lim
(n� 2n+ 5)pn sen (2=pn)
n2 + 1
:
01. a 0 (b) 1 (c) 2 (d) 1 (e) 3 (f) 4.
SOLUÇÃO
lim
�
(n� 2n+ 5)pn sen (2=pn)
n2 + 1
�
= lim
�
n� 2n+ 5
n2 + 1
�
� lim �pn sen �2=pn��
= 0� lim
�
2� sen (2=pn)
2=
p
n
�
= 0� 2 = 0
CALCULANDO SOMAS INFINITAS Selecione no menu o valor da soma
1X
n=2
"
(�1)n+1
2n
+
1
n2 + n
#
:
02. (a) 3 b 1/3 (c) 2 (d) 3/2 (e) 3 (f) 5/6.
SOLUÇÃO
1X
n=2
"
(�1)n+1
2n
+
1
n2 + n
#
=
1X
n=2
(�1)n+1
2n
+
1X
n=2
1
n2 + n
= �
1X
n=2
�
�1
2
�n
+
1X
n=2
�
1
n
� 1
n+ 1
�
(série geométrica + série de encaixe)
= �
"
�1� (�1=2) +
1X
n=0
�
�1
2
�n#
+
1
2
= �
�
�1=2 + 1
1� (�1=2)
�
+
1
2
= 1� 2=3 = 1=3
(note que as séries se iniciam em n = 2)
SÉRIES DE POTÊNCIAS Seja f a função de…nida pela série
1X
n=2
3 (x� 2)n
4n
: Selecione no
menu o valor da expressão
f 000 (2) +
Z 3
2
f (x) dx:
03. (a) 7/4 (b) 3/4 (c) 9/4 (d) 9/8 (e) 5/4 f 15/8.
SOLUÇÃO
f (x) =
1X
n=2
3 (x� 2)n
4n
)
Z 3
2
f (x) dx =
3
4
1X
n=2
Z 3
2
(x� 2)n
n
dx
=
3
4
1X
n=2
"
(x� 2)n+1
n (n+ 1)
#x=3
x=2
=
3
4
1X
n=2
1
n (n+ 1)
( série de encaixe)
=
3
4
� 1
2
=
3
8
:
Por outro lado, da teoria sobre a Série de Taylor sabemos que:
f 000 (2)
3!
= C3 =
3
4� 3 =
1
4
) f 000 (2) = 3
2
:
Assim,
f 000 (2) +
Z 3
2
f (x) dx =
3
2
+
3
8
= 15=8
(note que Cn = 3=4n)
EDO DE 1a ORDEM Se y (x) é a solução da EDO xy0+y = x3, que passa no ponto A (1; 2) ;
selecione no menu o valor de y (2) :
04. (a) 0 (b) 25/8 c 23/8 (d) 1 (e) 17/8 (f) 19/8.
SOLUÇÃO Na forma padrão, a EDO se escreve sob a forma y0 +
1
x
y = x2; cuja solução geral é:
y (x) = exp
��R (1=x) dx� �K + Z x2 exp �R (1=x) dx� dx�
=
1
x
�
K +
Z
x3dx
�
=
K
x
+
x3
4
:
Considerando que y (1) = 2, obtemos
2 = y (1) = K +
1
4
) K = 7
4
:
Logo, pelo ponto A (1; 2), a curva solução é y (x) =
7
4x
+
x3
4
e, portanto,
y (2) =
7
8
+
8
4
= 23=8
(para usar o dado inicial y(1) = 2, substituimos x por 1 e y por 2)
2
TESTANDO A CONVERGÊNCIA Considere as sequências
an =
n
2n3 + 2n
e bn =
(�1)np
n
+
1
n2
:
05. As séries
P
an e
P
bn são convergentes ou divergentes? Por quê?
SOLUÇÃO Temos que
an =
n
2n3 + 2n
� n
n3
=
1
n2
:
Como a série
P 1
n2
é uma p-série convergente, segue por comparação direta que a série
P
an também
conerge. Com relação à série
P
bn, observamos que:X
bn =
X (�1)np
n
+
X 1
n2
é a soma de duas séries convergentes: a primeira uma série de Leibniz e a segunda uma p-série.
Sendo
P
bn a soma de duas séries convergentes, ela é também convergente.
EDO DE 2a ORDEM Considere a EDO:
x2y00 + 5xy0 + 3y = [ln x]2 ; x > 0: (��)
06. Encontre a solução geral da EDO.
SOLUÇÃO Com a substituição x = et, a EDO (��) se reduz a
y + 4 _y + 3y = t2; (�)
cuja EDO homogênea associada tem raízes características �1 = �1 e �2 = �3 e solução geral
yH (t) = C1e
�t + C2e�3t:
Uma solução particular é suposta da forma yP (t) = At2 +Bt+ C que, levada à EDO (�) nos dá:���������
3A = 1 A = 1=3
8A+ 3B = 0 , B = �8=9
2A+ 4B + 3C = 0 C = 26=27:
3
Assim, a solução particular é yP (t) =
t2
3
� 8t
9
+
26
27
e a solução geral procurada é:
yG (t) = yH (t) + yP (t) = C1e
�t + C2e�3t +
t2
3
� 8t
9
+
26
27
:
Retornando à variável x, encontramos
yG (x) = yH (x) + yP (x) =
C1
x
+ C2
x3
+
(lnx)2
3
� 8 ln x
9
+
26
27
:
FIM
4