Superfícies Quádricas no Espaço

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MARTINS, E.M.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Eder Marinho Martins
UFOP
AULA 21: Algumas superfícies no espaço
MARTINS, E.M.
Observação importante:
Apresentamos apenas um esboço da aula com:
enunciado dos teoremas vistos;
enunciado dos exemplos discutidos;
Durante a aula é feita explanação e explicação detalhada do
conteúdo, assim como figuras e resolução dos exemplos.
MARTINS, E.M.
1 Superfícies Quádricas
2 Hiperboloide de uma folha
3 Hiperbolóide de duas folhas
4 Paraboloide Hiperbólico
5 Exemplos
6 Referências
MARTINS, E.M.
Hiperboloide de uma folha
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1, em que a,b, c > 0.
Plano Traço Curva
z = k
x2
a2
+
y2
b2
= 1 +
k2
c2
Elipse no plano z = k
x = 0
y2
b2
− z
2
c2
= 1 Hipérbole no plano yz
y = 0
x2
a2
− z
2
c2
= 1 Hipérbole no plano xz
MARTINS, E.M.
Hiperboloide de uma folha
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1, em que a,b, c > 0.
Plano Traço Curva
z = k
x2
a2
+
y2
b2
= 1 +
k2
c2
Elipse no plano z = k
x = 0
y2
b2
− z
2
c2
= 1 Hipérbole no plano yz
y = 0
x2
a2
− z
2
c2
= 1 Hipérbole no plano xz
MARTINS, E.M.
Figura: Hiperboloide de Uma Folha.
MARTINS, E.M.
Hiperbolóide de duas folhas
z2
c2
− x
2
a2
− y
2
b2
= 1, em que a,b, c > 0.
MARTINS, E.M.
Hiperboloide de duas folhas
Plano Traço Curva
z = k
x2
a2
+
y2
b2
=
k2
c2
− 1 Elipse no plano z = k se |k | > c
x = 0
z2
c2
− y
2
b2
= 1 Hipérbole no plano yz
y = 0
z2
c2
− x
2
a2
= 1 Hipérbole no plano xz
MARTINS, E.M.
Figura: Hiperboloide de duas folhas.
MARTINS, E.M.
Parabolóide Hiperbólico
z =
y2
b2
− x
2
a2
, em que a,b > 0.
MARTINS, E.M.
Paraboloide Hiperbólico
Plano Traço Curva
z = k
y2
b2
− x
2
a2
= k Hipérbole no plano z = k
x = 0 z =
y2
b2
Parábola no plano yz
y = 0 z = −x
2
a2
Parábola no plano xz
MARTINS, E.M.
Figura: Paraboloide Hiperbólico.
MARTINS, E.M.
Exemplos
Faça o esboço gráfico das quádricas abaixo:
1 z2 = x2 +
y2
4
;
2 y = x2 + z2.
MARTINS, E.M.
Exemplos
Faça o esboço gráfico das quádricas abaixo:
1 z2 = x2 +
y2
4
;
2 y = x2 + z2.
MARTINS, E.M.
Exemplos
Faça o esboço gráfico das quádricas abaixo:
1 z2 = x2 +
y2
4
;
2 y = x2 + z2.
MARTINS, E.M.
Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis. Cálculo Volume I.
(8a edição). Bookaman, Porto Alegre, 2007.
Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis. Cálculo Volume
II. (8a edição). Bookaman, Porto Alegre, 2007.
James Stewart. Cálculo Volume I. (6a edição). Thomson
Pioneira, 2010.
James Stewart. Cálculo Volume II. (6a edição). Thomson
Pioneira, 2010.
	Superfícies Quádricas
	Hiperboloide de uma folha
	Hiperbolóide de duas folhas
	Paraboloide Hiperbólico
	Exemplos
	Referências