Aula 08 Metodo dos Minimos Quadrados

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Cálculo Numérico
Aproximação de funções
Método dos mínimos quadrados
Kleber Jacinto
Eng Eletricista – Mestre em Ciência da computação
21/11/20181
Método dos mínimos quadrados
21/11/20182
Caso discreto de Aproximação Linear
Método dos mínimos quadrados
21/11/20183
Caso discreto de Aproximação Linear
Método dos mínimos quadrados
21/11/20184
Caso discreto de Aproximação Linear
Método dos mínimos quadrados
21/11/20185
Caso discreto de Aproximação Linear
Onde qtd é o número de valores da amostra, F(x) a função 
“desconhecida”, e a função de aproximação será
Método dos mínimos quadrados
21/11/20186
Caso discreto de Aproximação Linear
Exemplo 1: Num experimento foram feitas 5 amostras com os 
respectivos valores. Qual a função linear que melhor 
representa os dados?
x 0 1 2 3 5
F(x) 0,98 -3,01 -6,99 -11,01 -15
-20
-15
-10
-5
0
0 1 2 3 4 5 6
F(x) 
Método dos mínimos quadrados
21/11/20187
Caso discreto de Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
Qtd é igual a cinco pois temos cinco amostras. Devemos 
obter os valores dos somatórios.
Método dos mínimos quadrados
21/11/20188
Caso discreto de Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
xi F(xi) xi
2 F(xi). xi
0 0,98 0 0,00
1 -3,01 1 -3,01
2 -6,99 4 -13,98
3 -11,01 9 -33,03
5 -15,00 25 -60,00
Σ 11 -35,03 39 -125,02
39 11
11 5
��
��
=
−125,02
−35,03
Método dos mínimos quadrados
21/11/20189
Caso discreto de Aproximação Linear
Exemplo 1 – Resolução:
Solucionando o sistema:
a1=-3,24 e a2=0,12
Então:
g(x) =-3,24.x + 0,12
Se desejássemos prever o valor da décima amostra, 
teríamos:
g(10) = -3,24.10 + 0,12 = -32,28
Método dos mínimos quadrados
21/11/201810
Aproximação por polinômio de 2º Grau
Onde qtd é o número de valores da amostra, F(x) a função 
“desconhecida”, e a função de aproximação será
� � = ��. �
� + ��. � + ��
Método dos mínimos quadrados
21/11/201811
Aproximação por polinômio de 2º Grau
Exemplo 2: Num experimento foram feitas 6 amostras com os 
respectivos valores. Qual o polinômio de segundo grau que 
melhor representa os dados?
x -2 -1 0 1 2 3
F(x) 19,01 3,99 -1,00 4,01 18,99 45,00
-10
0
10
20
30
40
50
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
F(x) 
Método dos mínimos quadrados
21/11/201812
Aproximação por polinômio de 2º Grau
Exemplo 2 – Resolução:
Qtd é igual a 6 pois temos seis amostras. Devemos obter os 
valores dos somatórios.
Método dos mínimos quadrados
21/11/201813
Aproximação por polinômio de 2º Grau
Exemplo 1 – Resolução:
xi xi
2 xi
3 xi
4 F(xi) F(xi).xi F(xi).xi
2
-2 4 -8 16 19,01 -38,02 76,04
-1 1 -1 1 3,99 -3,99 3,99
0 0 0 0 -1,00 0,00 0,00
1 1 1 1 4,01 4,01 4,01
2 4 8 16 18,99 37,98 75,96
3 9 27 81 45,00 135,00 405,00
Σ 10 19 27 115 90,00 134,98 565,00
Método dos mínimos quadrados
21/11/201814
Aproximação por polinômio de 2º Grau
Exemplo 2 – Resolução:
Solucionando o sistema:
a1 = 5,0893 , a2 = 0,0515 e a3 = -1,1403
Então:
g(x) = 5,0893.x2 + 0,0515.x -1,1403
Método dos mínimos quadrados
21/11/201815
Aproximação por polinômio de Grau 3
Onde qtd é o número de valores da amostra, F(x) a função 
“desconhecida”, e a função de aproximação será
� ��
�
���
���
� ��
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� ��
�
���
���
� ��
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���
���
� �(��)
���
���
� � = ��. �
� + ��. �
� + ��. � + ��
Método dos mínimos quadrados
21/11/201816
Aproximação por polinômio de Grau m
Onde qtd é o número de valores da amostra, F(x) a função 
“desconhecida”, e a função de aproximação será
� ��
��
���
���
… � ��
���
���
���
� ��
�
���
���
⋮ ⋱ ⋮ ⋮
� ��
���
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…
…
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⋮
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