ESTUDO DE CASO – ESTIMADORES/OBSERVADORES DE ESTADOS - OBSERVADOR DE ORDEM PLENA

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ESTUDO DE CASO – ESTIMADORES/OBSERVADORES DE ESTADOS - OBSERVADOR DE ORDEM PLENA 
BRUNA WEGNER MESQUITA (RA: 1479075 ), FELIPE MOREIRA DO NASCIMENTO (RA: 1478540 ), VICTOR 
MURAOKA (RA: 1137972 ) 
*UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Campus Cornélio Procópio 
Avenida Alberto Carazzai, nº 1640, 86300-000, Cornélio Procópio, PR, Brasil 
Curso: Engenharia de Controle e Automação, 
Disciplina: ET68C-A81/A82 – Controle Multivariável 
E-mails: brunawegner@gmail.com, felipenascimento@alunos.utfpr.edu.br, 
victor.muraoka@gmail.com 
Abstract⎯ In this paper, simulations will be performed to design an observer of full order states to reconstruct the entire plant 
state vector, as well as to obtain the temporal response of the plants and the estimation error. 
Keywords⎯ Observer, Temporal Response. 
Resumo⎯ Neste trabalho serão realizadas simulações para projetar um observador de estados de ordem 
plena objetivando reconstruir todo o vetor de estado da planta, bem como obter a resposta temporal dos estados e 
do erro de estimação. 
Palavras-chave⎯ Observador, Resposta Temporal. 
1 Introdução 
Na abordagem de realimentação de estados, 
é suposto que todas as variáveis de estados estejam 
disponíveis para a realimentação. Na prática, contudo, 
nem todas as variáveis estão disponíveis para a reali-
mentação. Porém é preciso estimar as variáveis não 
disponíveis. A estimativa de variáveis de estado não 
mensuráveis é denominada observação. Desta forma 
um mecanismo que estima ou observa as variáveis de 
estado é denominado observador de estados. 
1.1 Observador de estados 
Um observador de estado estima as variáveis de 
estado baseado nas medidas das variáveis de saída e 
das variáveis de controle. Observadores de estado po-
dem ser projetados se, e somente se, a condição de ob-
servabilidade for satisfeita. 
1.1.1 Observador de estado: ordem plena 
Considere a representação no espaço de estados 
 
com A, B, C, x, y e u e de dimensões adequadas. O 
observador é um subsistema reconstrutor do vetor de 
estado da planta. O modelo matemático do observador 
é basicamente o mesmo que o da planta, exceto por 
um termo adicional que incorpora o erro de estimação 
para compensar as incertezas das matrizes e ausência 
do erro inicial. 
A planta do observador é dada por 
 
com A, B, C, �̃�, �̃� e u de dimensões adequadas. 
Subtraindo a planta do observador da representação do 
sistema, é obtido 
 
Assim, a dinâmica da diferença entre o estado real 
e o estado estimado está livre, e se a planta é estável, 
essa diferença, decorrente de diferenças iniciais nos 
vetores de estado, tende a zero. 
1.2 Observabilidade 
 
Um sistema édito ser observável se todos seus es-
tados são observáveis. Dizer que um sistema é obser-
vável equivale a dizer que o par (𝐴,𝐶) é observável. 
Para um sistema ser obersvável é necessário que 
se possa acessar todos seus estados de saída. 
O critério de observabilidade é dado por: 
 
 
Sendo que o tem rank 𝑛 (posto* completo de 
colunas) deve ser o número de estados. 
 
2 Materiais e Métodos 
2.1 Materiais 
Para realização deste relatório foi utilizado os softwa-
res Matlab e Simulink. 
2.2 Métodos 
 
2.2.1 Simulação 1 
 
Considerando o sistema multivariável a se-
guir: 
 
Serão respondidas uma série de perguntas propostas 
no guia do projeto. 
3 Resultados 
 
3.A 
Foram encontrados os seguintes polos e ze-
ros: 
 
Polos: -0.1000 + 0.2000i e -0.1000 - 0.2000i, 
0.1000 + 0.2000i e 0.1000 - 0.2000i. 
 
Zeros: -0.1000 e -0.3000 
 
3.B 
Não é estável, pois possui polos positivos 
 
3.C 
 
 
Figura 1 - Diagrama de blocos 
 
 
Figura 2 - Simulação dos estados reais 
 
 
Figura 3 -Simulação dos estados observados 
 
Figura 4 - Erro entre estados reais e observados 
 
3.D 
 Os estados �̃�1 e �̃�2 convergem para os esta-
dos da planta, com 4 e 8 segundos, respectivamente, e 
os estados �̃�3 e �̃�4 não convergem. 
 
 3.G 
Através dos testes utilizando as matrizes de 
controlabilidade e observabilidade, é possível afirmar 
que o sistema é controlável e observável. 
 
Através dos gráficos mostrados mostrados, pode-se 
observar que o sistema é controlável e observável. É 
possível projetar uma matriz de ganhos de realimenta-
ção de estados, pois o sistema é controlável. 
 
3.H 
Os polos em malha fechada serão alocados 
em S1,2 = -8,472±25,234j e S3,4 = -12,448±8,278j. 
 
3.I 
 𝐿 = 1.0e + 03 ∗ [
0.0207 0.0168 
1.5514 1.2030
−0.0171 0.0211
−1.2369 1.5918
] 
3.K 
 
 
Figura 5 - Diagrama de blocos 
 
Figura 5 - Simulação 
 
Figura 6 - Simulação 
3.L 
 
Todos os estados observados convergem para os esta-
dos reais em aproximadamente 0,8s. 
 
Os estados �̃�2 e �̃�4 apresentam oscilações. 
4 Conclusão 
A partir do desenvolvimento do trabalho 
pode-se projetar um observador de estados de ordem 
plena possibilitando a reconstrução do vetor de estado 
da planta. 
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