Modulo12 - Alocação de polos e observadores para sistemas discretos

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Mo´dulo 12
Alocac¸a˜o de po´los e observadores para sistemas discreto.
O projeto de controladores para sistemas dinaˆmicos visa estabilizar o sistema em ma-
lha fechada e em geral deve-se satisfazer restric¸o˜es adicionais como, por exemplo, resposta
transito´ria, rejeic¸a˜o de perturbac¸o˜es e limitac¸o˜es no sinal de controle. Podemos classificar
as estruturas de controle de acordo com o tipo de informac¸a˜o que e´ injetado no contro-
lador. Quando o sinal de controle e´ constru´ıdo com informac¸o˜es dos medidores de todas
as varia´veis de estado dizemos que o controle e´ de realimentac¸a˜o de estados. Quando
o sinal de controle e´ constru´ıdo com informac¸o˜es dos medidores de um subconjunto das
varia´veis de estado, que chamaremos de varia´veis de sa´ıda, dizemos que o controle e´ de
realimentac¸a˜o de sa´ıda. Como na grande maioria dos casos na˜o e´ poss´ıvel (ou econo-
micamente invia´vel) medir todas as varia´veis de estados, a realimentac¸a˜o de sa´ıda e´ a
soluc¸a˜o mais comum na pra´tica. No entanto a realimentac¸a˜o de estados possui proprie-
dades importantes e, ale´m disso, podemos construir um controlador de sa´ıda a partir da
realimentac¸a˜o de estados projetada simplesmente estimando as varia´veis de estado para
as quais na˜o temos medidores dispon´ıveis.
Neste mo´dulo estudaremos te´cnicas de projeto de realimentac¸a˜o de estados e em se-
guida veremos como projetar observadores para sistemas discretos e utiliza´-los no projeto
de sistemas de controle no caso de realimentac¸a˜o de sa´ıda.
Para precisar o problema que gostar´ıamos de resolver, considere o seguinte sistema
linear discreto:
x(kT + T ) = Ax(kT ) +Bu(kT ) (1)
onde x(kT ) ∈ Rn representa o vetor de estados, u(kT ) ∈ Rnu o sinal de controle, A,B
sa˜o matrizes constantes com dimenso˜es apropriadas.
Suponha que dispomos de medidores para todas as varia´veis de estado. Gostar´ıamos
de determinar uma lei de controle do tipo u(kT ) = Fx(kT ), onde F ∈ Rnu×n e´ a matriz de
ganhos de realimentac¸a˜o a ser determinada, de tal forma que o sistema em malha fechada
satisfac¸a os seguintes requisitos: (i) o regime permanente seja atingido, isto e´ o sistema
seja exponencialmente esta´vel e (ii) que a resposta transito´ria satisfac¸a certos crite´rios de
desempenho definidos pela localizac¸a˜o desejada dos po´los do sistema realimentado.
Observe que a todo instante de tempo o valor das varia´veis de estado x(kT ) esta´
dispon´ıvel na sa´ıda dos medidores e portanto o sinal de controle u(kT ) = Fx(kT ) pode
ser aplicado instantaneamente nos atuadores do sistema. Por exemplo, para um sistema
que possui dois atuadores com sinais de controle u1 e u2 e quatro estados com valores
medidos x1, x2, x3, x4, ter´ıamos
u1 = f11x1 + f12x2 + f13x3 + f14x4
u2 = f21x1 + f22x2 + f23x3 + f24x4
onde as constantes fij sa˜o os ganhos de realimentac¸a˜o a serem determinados. Na forma
1
matricial u(kT ) = Fx(kT ) as expresso˜es acima se tornam
[
u1(kT )
u2(kT )
]
=
[
f11 f12 f13 f14
f21 f22 f23 f24
]
x1(kT )
x2(kT )
x3(kT )
x4(kT )

Observe que o sinal da realimentac¸a˜o esta´ atrelado aos ganhos fij a serem determinados.
Observe ainda que o sistema (1) em malha fechada com a lei de controle u(kT ) =
Fx(kT ) e´ dado por
x(kT + T ) = (A+BF )x(kT ) (2)
e para que ele seja exponencialmente esta´vel todos os autovalores da matriz (A + BF )
devem estar no interior do c´ırculo unita´rio.
Nas sec¸o˜es seguintes apresentamos va´rios me´todos para determinac¸a˜o da matriz de
ganhos F que estabiliza o sistema em malha fechada e que atende a um conjunto de
crite´rios de desempenho que desejamos satisfazer.
1 Realimentac¸a˜o de estados com alocac¸a˜o de po´los
Queremos nesta sec¸a˜o desenvolver me´todos de projeto para a determinac¸a˜o da matriz
de ganhos F da realimentac¸a˜o de estados u(kT ) = Fx(kT ) de tal forma que os po´los do
sistema realimentado (2) estejam localizados em posic¸o˜es do c´ırculo unita´rio que podem
ser arbitrariamente escolhidas pelo projetista.
A motivac¸a˜o para resolver o problema acima, conhecido como alocac¸a˜o de po´los, vem
do fato de que a localizac¸a˜o dos po´los de malha fechada define a estabilidade e esta´ forte-
mente ligada ao comportamento transito´rio do sistema. Assim, basta o projetista escolher
adequadamente a localizac¸a˜o dos po´los de malha fechada que o sistema de controle ira´
funcionar adequadamente durante o transito´rio e atingindo o regime permanente (esta-
bilidade). Observe entretanto que o transito´rio depende tambe´m dos zeros do sistema e
na˜o apenas dos po´los. Para acomodar a influeˆncia dos zeros, o projeto de alocac¸a˜o de
po´los e´ feito tipicamente de forma iterativa ate´ que os requisitos de resposta durante o
transito´rio sejam atingidos nas simulac¸o˜es.
Para que possamos projetar os ganhos de realimentac¸a˜o de forma a atingir o desem-
penho desejado (a ser definido pelo projetista atrave´s da escolha dos po´los de malha
fechada) o sistema de malha aberta precisa ser controla´vel [1].
Quando o sistema de malha aberta e´ controla´vel podemos escolher a localizac¸a˜o dos
po´los de malha fechada de forma arbitra´ria que sempre podemos encontrar uma reali-
mentac¸a˜o de estados que modifica os po´los da forma desejada. O projeto dos ganhos
de realimentac¸a˜o e´ bastante simples no caso de sistemas com uma entrada e uma sa´ıda
(SISO) e refereˆncia nula que apresentamos a seguir. O caso de sistemas com mais de uma
entrada e sa´ıda (MIMO) e refereˆncia na˜o nula sera˜o tratados na sequeˆncia.
1.1 Refereˆncia nula: regulac¸a˜o
Perturbac¸o˜es esta˜o presentes em todo sistema de controle e ao ocorrer elas forc¸am o
sistema a sair do ponto de operac¸a˜o desejado. Um ponto de equil´ıbrio e´ assintoticamente
esta´vel se as varia´veis de estado retornam assintoticamente ao ponto de equil´ıbrio depois
de cessarem as perturbac¸o˜es. Para garantir a estabilidade de um certo ponto de equil´ıbrio,
2
tipicamente linearizamos o sistema em torno do ponto de equil´ıbrio desejado e projetamos
um controlador para estabilizar o sistema linearizado. E´ importante lembrar que se (x, u)
representam o estado e controle do sistema linearizado e (h, v) o estado e controle do
sistema na˜o linear enta˜o temos as relac¸o˜es x = h− h¯ e u = v − v¯, isto e´, o modelo linear
descreve na realidade as variac¸o˜es do estado (h) e do controle (v) do sistema f´ısico no
entorno do ponto de equil´ıbrio desejado (h¯, v¯). Assim um controlador projetado para
que o estado linear convirja para zero tambe´m faz com que o estado do sistema f´ısico
convirja para o ponto de equil´ıbrio desejado. O problema de determinar um controlador
para que o estado do sistema linear convirja para zero e´ chamado de regulac¸a˜o e pode ser
interpretado como um problema de controle onde a refereˆncia e´ nula. Este e´ o problema
que iremos estudar nesta sec¸a˜o. Comec¸aremos com o caso de sistema SISO e na sequeˆncia
veremos o caso MIMO.
Me´todo para sistemas SISO: u ∈ R
Para o sistema da equac¸a˜o (1) com u ∈ R, seja uma mudanc¸a de coordenadas
Tw(kT ) = x(kT ) tal que o sistema transformado se encontre na forma canoˆnica de
controlabilidade, ou seja:
w(kT + T ) = Acw(kT ) +Bcu(kT ) (3)
Ac = T
−1AT =

0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 1
−an −an−1 −an−2 · · · −a1

Bc = T
−1B =

0
...
0
1
 ,
Mcc =
[
Bc AcBc . . . A
n−1
c Bc
]
Mc =
[
B AB . . . An−1B
]
T =McM
−1
cc
onde det(zI − A) = zn + a1zn−1 + · · · + an = 0 e´ o polinoˆmio caracter´ıstico de malha
aberta do sistema SISO em questa˜o1.
Supondo que os medidores nos fornecem em tempo real o vetor de estados x(kT ), enta˜o
conseguimos tambe´m obter o vetor de estados transformados w(kT ). Logo, podemos
implementar a seguinte lei de controle:
u(kT ) = −Fcw(kT ), Fc =
[
fn fn−1 · · · f1
]
(4)
O problemaque devemos resolver agora e´ encontrar Fc de forma que o sistema em
malha fechada dado por:
w(kT + T ) = Acw(kT ) +Bcu(kT ) = (Ac −BcFc)w(kT ) (5)
seja esta´vel.
Ora, a matriz Ac −BcFc esta´ na forma companheira:
1Para obter a relac¸a˜o T = McM−1cc basta substituir Ac = T
−1AT e Bc = T−1B em Mcc que resulta
Mcc = T−1Mc.
3

0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 1
−an − fn −an−1 − fn−1 −an−2 − fn−2 · · · −a1 − f1
 (6)
det(zI − (Ac −BcFc)) = zn + (a1 + f1)zn−1 + · · ·+ an + fn = 0 (7)
Como desejamos que, em malha fechada, o sistema seja esta´vel e, ainda, atinja certas
especificac¸o˜es de desempenho associadas aos po´los desejados para a malha fechada, que-
remos que os autovalores de malha fechada satisfac¸am uma dada equac¸a˜o caracter´ıstica:
zn + α1z
n−1 + · · ·+ αn = 0 (8)
Assim, das equac¸o˜es (7) e (8), temos que:
ai + fi = αi, i = 1, . . . , n (9)
Ou seja, o vetor de ganhos para o sistema na forma canoˆnica controla´vel e´:
Fc =
[
αn − an · · · α1 − a1
]
Notemos, no entanto, que a lei de controle sera´ implementada para o sistema original,
e na˜o para o sistema transformado. Como u(kT ) = −Fcw(t) = −Fx(kT ), temos que:
F = FcT
−1 =
[
αn − an · · · α1 − a1
]
MccM
−1
c
E´ importante notar que para que possamos calcular a matriz de ganhos acima, que aloca
os po´los nas posic¸o˜es desejadas, e´ preciso que a matriz Mc seja invers´ıvel e isto ocorre se
e somente se o sistema for controla´vel. Apesar da fo´rmula acima ser va´lida apenas para
sistemas SISO, a controlabilidade ainda e´ requisito necessa´rio e suficiente para alocac¸a˜o
de po´los no caso MIMO tratado a seguir.
Me´todo para sistemas MIMO:
Consideremos agora o sistema em malha fechada:
x(kT + T ) = Ax(kT ) +Bu(kT ), u = −Fx
{
x ∈ Rn
u ∈ Rr (10)
ou seja, x(kT + T ) = (A−BF )x(kT ). Queremos encontrar a matriz de ganhos F de tal
forma que os autovalores de (A−BF ) sejam {λ1, . . . , λn}. Para isso, devemos ter:
(A−BF )vi = λivi (11)
sendo λi autovalores e vi seus respectivos autovetores. Podemos reescrever a condic¸a˜o
acima na forma:
(A− λiI)vi −BFvi =Migi = 0 , Mi =
[
A− λiI −B
]
, gi =
[
vi
Fvi
]
(12)
4
Observe que todos os elementos da matrizMi sa˜o conhecidos e desejamos encontrar (vi, F )
que satisfazem a relac¸a˜o acima. Lembrando que espac¸o nulo da matriz Mi e´ o conjunto
de todos os vetores gi 6= 0 que satisfazem Migi = 0, o problema a ser resolvido consiste
em encontrar (vi, F ) tal que o vetor gi =
[
vi
Fvi
]
pertenc¸a ao espac¸o nulo da matriz Mi
para todo i = 1, . . . , n.
Este problema pode ser facilmente resolvido pois uma base para o espac¸o nulo da
matriz Mi, que chamaremos de Qi, pode ser facilmente determinada
2. Assim, qualquer
vetor gi obtido atrave´s da relac¸a˜o
gi = Qihi (13)
e´ um elemento do espac¸o nulo de Mi. O vetor hi pode ser arbitrariamente escolhido e
representa uma combinac¸a˜o linear dos vetores da base, ou seja das colunas da matriz Qi.
Assim temos [
A− λiI −B
]
gi = 0
Fazendo esta operac¸a˜o para todo i = 1, . . . , n, obtemos a igualdade:
[
g1 · · · gn
]
=
[
v1 · · · vn
Fv1 · · · Fvn
]
∈ R(n+r)×n
Se particionarmos a matriz
[
g1 · · · gn
]
de acordo com os vetores vi e Fvi, obtemos:
[
g1 · · · gn
]
=
[
V
G
]
=
[
v1 · · · vn
Fv1 · · · Fvn
]
, V =
[
v1 · · · vn
] ∈ Rn×n
G =
[
Fv1 · · · Fvn
]
= F
[
v1 · · · vn
]
= FV ∈ Rr×n
Supondo V invers´ıvel podemos obter a matriz de ganhos atrave´s da relac¸a˜o F = GV −1.
Para que o me´todo acima funcione a matriz V deve ser invers´ıvel. Se o sistema
for controla´vel sempre podemos escolher vetores hi em (13) tais que V seja invers´ıvel.
Por exemplo podemos escolher hi de forma aleato´ria ou ainda um vetor onde todas as
componentes sa˜o unita´rias.
Note que nas expresso˜es acima fica impl´ıcito que os autovalores desejados λi devem ser
reais e distintos. Existem variac¸o˜es deste me´todo que permitem λi complexos ou ainda
reais repetidos. No Matlab podemos determinar a matriz de ganhos usando o comando
place que funciona para po´los reais ou complexos, repetidos ou na˜o, e utiliza uma escolha
dos vetores hi ja´ otimizada. Ver refereˆncias no manual do Matlab.
1.2 Seguimento de refereˆncia em degrau
A generalizac¸a˜o das te´cnicas de projeto aqui estudadas para o caso de seguimento de
refereˆncia em degrau se faz sem maiores dificuldades com os resultados do caso cont´ınuo
ja´ estudado em mo´dulos anteriores. No caso de ajuste do ganho esta´tico por pre´-filtro
o ganho do pre´-filtro sera´ G(1), onde G(z) e´ a matriz de transfereˆncia da refereˆncia
para a sa´ıda desejada. Ja´ no caso de ajuste por integrador e supondo que a func¸a˜o de
2O conjunto de todos os vetores gi tais que Migi = 0 pode ser representado por gi = Qihi onde Qi e´
uma base qualquer do espac¸o nulo de Mi e hi e´ qualquer vetor de dimensa˜o igual ao nu´mero de colunas
de Qi. Uma base ortonormal Qi pode ser obtida numericamente no matlab com o comando ”null”.
5
transfereˆncia do integrador discreto3 seja ξ(z)
E(z)
= T
z−1 teremos a seguinte equac¸a˜o recursiva
ξ(kT + T ) − ξ(kT ) = Te(kT ) = T (r − Cx(kT ). Esta equac¸a˜o junto com a equac¸a˜o de
dinaˆmica do sistema x(kT + T ) = Ax(kT ) + Bu(kT ) nos permite redefinir as matrizes
Aa, Ba, Ca, Ea do sistema aumentado de forma ana´loga ao do caso cont´ınuo.
2 Observador de ordem completa
Consideraremos agora o problema de estimar todas as varia´veis de estado de um
sistema a partir dos sinais conhecidos dispon´ıveis nesse sistema. Para isso admitiremos
que o sistema seja descrito por
x(kT + T ) = Ax(kT ) +Bu(kT ), x(0) = x0
y(kT ) = Cx(kT )
(14)
onde x ∈ Rn e´ o vetor de estados, u ∈ Rnu e´ a varia´vel de controle que suporemos
conhecida e y ∈ Rny e´ o sinal de sa´ıda do sistema proveniente dos medidores e suporemos
que na˜o existe redundaˆncia nas varia´veis medidas, isto e´ posto(C) = ny.
Observe que, se o nu´mero de sensores for igual ao nu´mero de varia´veis de estado (ny =
n), e as medidas efetuadas na˜o sa˜o redundantes (a matriz C e´ invers´ıvel) enta˜o podemos
determinar o estado atrave´s da relac¸a˜o alge´brica x(kT ) = C−1y(kT ). No entanto, na
grande maioria dos casos na˜o dispomos de sensores para todas as varia´veis de estado e
nesses casos temos ny < n implicando que a matriz C na˜o e´ mais invers´ıvel e portanto na˜o
mais podemos encontrar o estado atrave´s da relac¸a˜o alge´brica acima. A soluc¸a˜o nesses
casos e´ obter uma estimativa xf (kT ) do sinal x(kT ) atrave´s de um filtro dinaˆmico cujas
entradas sa˜o os sinais conhecidos do sistema y(kT ), u(kT ) e cuja sa´ıda e´ a estimativa
xf (kT ), como ilustra a figura 1.
A representac¸a˜o de estados desse filtro e´ indicada abaixo.
xf (kT + T ) = Afxf (kT ) +Bfu(kT ) + Lfy(kT ) (15)
onde as matrizes Af , Bf , Lf devem ser determinadas tais que as seguintes condic¸o˜es
xf (kT )
estimador
y(kT )
u(kT )
Figura 1: Diagrama de blocos de um estimador de estado.
sejam satisfeitas:
(i) A estimativa xf (kT ) deve convergir para x(kT ) em regime permanente, i.e.
lim
k→∞
(x(kT )− xf (kT )) = 0
(ii) A dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o e(kT ) = x(kT ) − xf (kT ) deve depender apenas
da condic¸a˜o inicial e(0) = x(0)− xf (0).
3Note que a func¸a˜o de transfereˆncia do integrador discreto depende do me´todo nume´rico que utilizamos
para aproximar o ca´lculo de a´rea. A aproximac¸a˜o aqui utilizada aproxima a´rea por retaˆngulos, isto e´, a
a´rea no instante seguinte e´ a soma da a´rea anterior mais o produto do per´ıodo de amostragem pelo sinal
de entrada do intergrador que exprime a a´rea atual.
6
Um filtro que satisfaz as condic¸o˜es acima e´ denominado de observador de Luenberger.
O observador e´ denominado de ordem completa quando o estado xf (kT ) do observador
possuidimensa˜o igual a do estado x(kT ) que se deseja estimar.
O requisito (i) indica que na˜o existe erro de estimac¸a˜o em regime permanente, en-
quanto (ii) indica que o erro de estimac¸a˜o na˜o depende dos sinais de entrada do filtro
y(kT ), u(kT ) e portanto o projeto do observador e da lei de controle ficam independentes.
Para determinar as matrizes do filtro que satisfazem as condic¸o˜es acima, basta calcular
a dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o e(kT ) = x(kT )− xf (kT ) que nos leva a:
e(kT + T ) = x(kT + T )− xf (kT + T )
= Ax(kT ) + Bu(kT )− [Afxf (kT ) +Bfu(kT ) + Lfy(kT )]
= (A− LfC)x(kT ) + (B −Bf )u(kT )− Afxf (kT )
= (A− LfC)(e(kT ) + xf (kT )) + (B −Bf )u(kT )− Afxf (kT )
= (A− LfC)e(kT ) + (B −Bf )u(kT ) + (A− LfC − Af )xf (kT ) (16)
Para que o requisito (i) seja atendido devemos escolher
Af = A− LfC , Bf = B (17)
que resulta na seguinte dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o
e(kT + T ) = (A− LfC)e(kT ) (18)
e num filtro, conhecido como observador de Luenberger de ordem completa, dado pela
equac¸a˜o abaixo e ilustrado na figura 2.
xf (KT + T ) = (A− LfC)xf (kT ) +Bu(kT ) + Lfy(kT ) (19)
Por outro lado para que o requisito (ii) seja atendido devemos escolher a matriz Lf ,
+
xf (kT )
u(kT )
y(kT )
xf (kT + T )
+
1
z
A− LfC
+
B
Lf
Figura 2: Observador de ordem completa para o sistema (20).
conhecida como ganho do observador, de tal forma que os autovalores da matriz A−LfC,
que define a dinaˆmica do erro de acordo com (18), tenham todos parte real negativa, pois
dessa forma teremos
e(kT ) = (A− LfC)ke(0) com lim
k→∞
e(kT ) = 0 ∀e(0)
Questa˜o 1: Refac¸a o projeto do observador para um sistema do tipo
x(kT + T ) = Ax(kT ) +Bu(kT ), x(0) = x0
y(kT ) = Cx(kT ) +Du(kT )
(20)
7
Te´cnicas para projeto do ganho do observador
O problema que queremos estudar consiste em projetar a matriz Lf de ganho do
observador de tal forma que os autovalores da matriz A−LfC estejam no c´ırculo unita´rio.
Observe que este problema e´ similar ao problema de projeto de realimentac¸a˜o de estados
estudado nas experieˆncias anteriores, onde apresentamos te´cnicas para determinar uma
matriz F tal que autovalores da matriz A − BF estejam no c´ırculo unita´rio. A u´nica
diferenc¸a e´ a posic¸a˜o das matrizes F e Lf , a serem determinadas, em relac¸a˜o a`s matrizes
constantes B e C e isto impede que as mesmas te´cnicas de posicionamento de po´los
sejam usadas diretamente. No entanto, essa dificuldade pode ser eliminada notando que
os autovalores de A−LfC sa˜o os mesmos da sua transposta A′−C ′L′f onde agora L′f e F
aparecem na mesma posic¸a˜o. Portanto podemos estabelecer a seguinte correspondeˆncia:
projeto de
controlador
↔ projeto de
observador
A ↔ A′
B ↔ C ′
F ↔ L′f
A tabela acima indica que se definirmos um sistema de controle auxiliar fict´ıcio, chamado
de sistema dual, na forma
ed(kT + T ) = A
′ed(kT ) + C ′ud(kT ) , ud(kT ) = −L′fed(kT ) (21)
onde ed(kT ), ud(kT ) sa˜o o estado dual e controle dual, respectivamente, podemos utilizar
as mesmas te´cnicas da sec¸a˜o anterior para encontrar a matrix de ganho Lf tal que o
sistema dual acima em malha fechada A′ − C ′L′f seja esta´vel.
Note que controlabilidade no sistema dual (21) significa observabilidade do par (A,C)
que indica observabilidade do sistema original. Isto decorre do fato de que a matriz de
controlabilidade do par (A′, C ′) e´ a transposta da matriz de observabilidade do par (A,C).
Projeto por alocac¸a˜o de po´los
Para determinac¸a˜o de Lf via alocac¸a˜o de po´los, sabemos que o par (A
′, C ′) precisa ser
controla´vel, ou de forma equivalente (A,C) observa´vel. Os resultados da sec¸a˜o anterior
se aplicam diretamente para a soluc¸a˜o do problema fict´ıcio de controle por realimentac¸a˜o
de estados do sistema dual (21).
3 Estabilidade segundo Lyapunov
As condic¸o˜es de establidade por Lyapunov no caso discreto sa˜o ligeiramente diferentes
das do caso cont´ınuo, pore´m a ide´ia da estabilidade de Lyapunov continua sendo a de
encontrar uma func¸a˜o que represente a energia total do sistema e mostrar que a medida
que o tempo passa essa func¸a˜o decresce. Quando o decrescimento e´ mais ra´pido que
uma func¸a˜o exponencial do tipo ak, para alguma constante a positiva inferior a` unidade,
dizemos que o sistema e´ exponencialmente esta´vel.
Para que a func¸a˜o escolhida represente a energia total do sistema ela deve ser positiva
8
definida e limitada. Por exemplo se ela satisfaz a condic¸a˜o4
φ1(‖xk‖) ≤ v(xk) ≤ φ2(‖xk‖) (22)
onde φ1(·), φ2(·) sa˜o func¸o˜es5 de classe K podemos afirmar que v(xk) e´ positiva e limitada.
Para que esta func¸a˜o decresc¸a mostrando que a energia do sistema
xk+1 = f(xk, k) (23)
decresce com o tempo, a variac¸a˜o da func¸a˜o v(xk), ou seja ∆v(xk) =: v(xk+1) − v(xk)
deve ser negativa definida e isto ocorre se
∆v(xk) = v(xk+1)− v(xk) ≤ −φ3(‖xk‖) (24)
onde φ3(·)e´ uma func¸a˜o de classe K.
O pro´ximo teorema apresenta condic¸o˜es para ana´lise de estabilidade da classe de
sistemas discretos lineares invariantes no tempo.
Teorema 1 O sistema discreto
xk+1 = Axk (25)
onde A ∈ Rn×n e´ uma matriz constante, e´ exponencialmente esta´vel se e somente se,
para qualquer matriz Q positiva definida dada, existe uma matriz P positiva definida
soluc¸a˜o da equac¸a˜o linear6
A′PA− P +Q = 0 (26)
Em caso afirmativo, v(xk) = x
′
kPxk e´ uma func¸a˜o de Lyapunov para o sistema.
2
Prova: Se ∃P > 0 soluc¸a˜o de A′PA−P +Q = 0 com Q > 0 dada, enta˜o v(xk) = x′kPxk
e´ func¸a˜o de Lyapunov para o sistema (25) pois para v(xk) = x
′
kPxk temos:
λminx
′
kxk ≤ x′kPxk ≤ λmaxx′kxk
o que indica que v(xk) = x
′
kPxk e´ positiva definida e limitada de acordo com (22). Ale´m
disso a variac¸a˜o de v(xk) = x
′
kPxk, para o sistema (25) e´ dada por
∆v(xk) = x
′
k+1Pxk+1 − x′kPxk (27)
= (Axk)
′P (Axk)− x′kPxk (28)
= x′k(A
′PA− P )xk (29)
= −x′kQxk < 0 (30)
e portanto se a equac¸a˜o (26) possui uma soluc¸a˜o positiva definida temos ∆v(xk) negativa
definida indicando que os sistema e´ esta´vel, isto e´ os autovalores de A esta˜o no interior
do c´ırculo unita´rio.
Por outro lado, se o sistema e´ exponencialmente esta´vel, enta˜o a matriz de transic¸a˜o de
estados Φk = A
k e´ limitada e converge para zero quando k →∞. Isto implica que, para
4Por convenieˆncia, nessa sec¸a˜o representaremos sinais na forma xk ao inve´s de x(kT ).
5Func¸o˜es de classe K sa˜o func¸o˜es que decrescem monotonicamente e sa˜o nulas na origem.
6A equac¸a˜o linear (26) e´ conhecida como equac¸a˜o de Lyapunov discreta e pode ser resolvida no matlab
com a func¸a˜o ”dlyap”. Ale´m disso a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ u´nica se o sistema for esta´vel.
9
qualquer matriz Q > 0, temos Φ′kQΦk = A
′kQAk > 0, tambe´m limitada e convergindo
para zero quando k →∞.
Logo, a matriz
P =
∞∑
k=0
A′kQAk (31)
e´ positiva definida, finita e satisfaz a equac¸a˜o A′PA−P +Q = 0. Para ver isso substitua
P acima na equac¸a˜o para obter
A′PA− P =
∞∑
k=0
A′k+1QAk+1 − A′kQAk = A′∞QA∞ − A′0QA0
Como limk→∞A′
kQAk = 0 pois o sistema e´ esta´vel, temos
A′PA− P = −A′0QA0 = −Q
2
Exemplo: Determine a estabilidade do seguinte sistema discreto invariante no tempo.
xk+1 =
 1.1 −0.35 0.0251 0 0
0 1 0
xk , x(k) =
 x1(k)x2(k)
x3(k)

2
O teorema de Lyapunov pode ser usado se escolhemos Q ≥ 0 ao inve´s de Q > 0. Para
esse fim, vamos decompor a matriz Q na forma Q = C ′C onde C e´ uma matriz qualquer.
Se C possuir posto completo, enta˜oQ = C ′C e´ positiva definida. Caso contra´rio, Q = C ′C
sera´ positiva semi-definida.
Teremos uma soluc¸a˜o P > 0 para A′PA − P + C ′C = 0 se, e somente se, o sistema
xk+1 = Axk for exponencialmente esta´vel, isto e´, |λ(A)| < 1, e o par (A,C) for observa´vel,
isto e´:
Posto

C
CA
...
CAn−1
 = n, A ∈ Rn×n, C ∈ Rm×n
Para entender esse fato note que a trajeto´riado sistema xk+1 = Axk para uma dada
condic¸a˜o inicial x0 e´ xk = A
kx0. Se o sistema e´ esta´vel, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o A
′PA −
P + C ′C = 0 e´ dada por (31) e assim temos
x′0Px0 =
∞∑
k=0
x′0A
′kC ′CAkx0 =
∞∑
k=0
y′kyk (32)
onde yk = Cxk = CA
kx0 e´ uma sa´ıda fict´ıcia. Se o par (A,C) e´ observa´vel enta˜o na˜o
existe nenhuma condic¸a˜o inicial que leva yk a ser nula o tempo todo. Logo temos P > 0
pela expressa˜o (32). Por outro lado, se o sistema e´ esta´vel pore´m existe uma condic¸a˜o
inicial x0 tal que yk = 0, ∀k ≥ 0 enta˜o o par (A,C) na˜o e´ observa´vel. Nessas condic¸o˜es
temos pela expressa˜o (32) que x′0Px0 = 0. Logo P possui algum autovalor nulo, isto e´,
P e´ positiva semi-definida.
Em resumo, o sistema sera´ exponencialmente esta´vel se P ≥ 0 e o par (A,C) for
detecta´vel. Aqui a matriz C e´ a decomposic¸a˜o de Q em Q = C ′C.
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Laborato´rio
1. Escolha um ponto de equil´ıbrio e linearize h˙ = f(h, v) em torno deste ponto.
2. Fac¸a um projeto de um controlador analo´gico de realimentac¸a˜o de estados, com
erro de regime nulo para degrau, para que a banda passante7 do sistema de malha
fechada seja duas vezes a de malha aberta.
3. Obtenha o modelo discretizado e comente a escolha do per´ıodo de amostragem.
Compare os sinais de controle analo´gico e discretizado e as varia´veis controladas
para um degrau no sinal de refereˆncia.
4. Repita os itens anteriores fazendo o projeto do controlador de realimentac¸a˜o de
estados a partir do modelo discretizado.
5. Repita o item anterior usando um controlador baseado nos estados estimados.
Refereˆncias
[1] K.Ogata, ”Discrete-time control systems”, Prentice Hall, 1995.
[2] G.F.Franklin, J.D.Powell, M.L.Workman, Digital control of Dinamic Systems, Addison-
Wesley, 1990.
[3] A.Trofino, ”Sistemas Lineares”, apostila do curso de sistemas lineares,
www.das.ufsc.br/ trofino/pub, UFSC,1995.
7Para encontrar a banda passante plote o diagrama de Bode do determinante da func¸a˜o de trans-
fereˆncia.
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