Lista1

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Álgebra Linear/Lista 1
1) Discuta e resolva os seguintes sistemas de equações lineares através do sistema de escalo-
namento:
a) S =
{
x+ y + z = 4
2x+ 5y − 2z = 3
b) S =

x+ y + z = 4
2x+ 5y − 2z = 3
x+ 7y − 7z = 5
c) S =
{
x+ 2y + 3z = 0
2x+ y + 3z = 0
2) Encontre x, y, z, w que satisfaçam a seguinte igualdade:(
x y
z w
)
·
(
2 3
3 4
)
=
(
1 0
0 1
)
.
3) Seja A =
(
2 x2
2x− 1 0
)
. Se At = A, quanto vale x?
4) Determine k para que o sistema admite solução. S =

−4x+ 3y = 2
5x− 4y = 0
2x− y = k
.
5) Seja V = {(x, y) | x, y ∈ R}. Verifique se V é um espaço vetorial sobre R em relação aos
seguintes pares de operações sobre V :
a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e a(x, y) = (x, ay);
b) (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1,−x1 + y1) e a(x, y) = (3ay,−ax);
c) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) e a(x, y) = (ax, ay);
Caso negativo, diga quais dos 8 axiomas não se verificam.
6) Mostre que todo espaço vetorial sobre C também é espaço vetorial sobre R.
7) No espaço vetorial M3×2(R), consideremos os vetores:
A =
 1 10 0
0 0
 B =
 0 12 1
1 1
 C =
 1 21 0
0 −1

a) Calcular X ∈M3×2(R) tal que A+X
2
− X −B
3
= C
b) Existem t1, t2 ∈ R de maneira que A = t1B + t2C ?
1
8) Seja u = (1 + i, i), v = (1− i, 2i) e w = (2, 3 + i) vetores no espaço vetorial C2.
a) Calcular (3 + i)u− iv − (2− i)w;
b) Existe z ∈ C tal que v = zu ?
9) No espaço vetorial P3(R) sejam dados os vetores f(t) = t3−1, g(t) = t2+t−1 e h(t) = t+2.
a) Calcular 2f(t) + 3g(t)− 4h(t);
b) Existe k ∈ R tal que f(t) + kg(t) = h(t) ?
c) Existem k1, k2 ∈ R tais que f(t) = k1g(t) + k2h(t) ?
10) Quais dos conjuntos abaixo são subespaços do espaço P (R)?
a) W = {f(t) ∈ P (R) | f(t) tem grau maior que 2};
b) W = {f(t) ∈ P (R) | f(0) = 2f(1)}.
11) Seja I = [0, 1] e consideremos o espaço vetorial C(I) das funções reais contínuas definidas
em I. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais em C(I).
a) U = {f(t) ∈ C(I) | f(0) = 0};
b) U = {f(t) ∈ C(I) | f(0) = f(1)};
12) Seja V um espaço vetorial. Se (Uj)j é uma família de subespaços vetoriais de V , mostre
que ∩∈JUj também é um subespaço vetorial de V
13) Sejam U, V e W os seguintes subespaços do R3:
U = {(x, y, z) | x = z},
V = {(x, y, z) | x = y = 0} e
W = {(x, y, z) | x+ y + z = 0}.
Verifique que U + V = R3, U +W = R3 e V +W = R3. Em algum dos casos a soma é direta?
14) Sejam u e v dois vetores não nulos do R2. Se não existir nenhum t ∈ R tal que u = tv,
mostre que R2 é a soma direta dos subespaços [u] e [v].
15) Determinar um suplementar:
a) do subespaço {(x, y, z) | x− y = 0} do R3;
b) do subespaço {(x, y, z, t) | x− y = z − t = 0} do R4.
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