Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 09/12/2017 Nome: Matr´ıcula: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno. • Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. Questa˜o 1 (2,0 pt) Um vendedor ganha, como parte fixa de seu sala´rio, o valor mensal de R$ 2.000,00. Ale´m desta parte fixa, se suas vendas ultrapassarem a meta de R$ 10.000,00 no meˆs, ele recebera´ 5% de comissa˜o sobre o volume de vendas que exceder a meta. Determine a expressa˜o da func¸a˜o S que representa o sala´rio do vendedor em func¸a˜o do volume de vendas v que ele fizer no meˆs e esboce seu gra´fico. Soluc¸a˜o: Vamos determinar S(v), isto e´, o sala´rio do vendedor em func¸a˜o do volume de vendas v no meˆs. Pelo enunciado, para v 6 10.000, temos S(v) = 2.000. Para v > 10.000 o sala´rio sera´ dado por 2.000 mais 5% do que exceder a meta, isto e´, v − 10000. Assim, para v > 10.000, S(v) = 2.000 + 5% · (v − 10.000) = 2.000 + 5100(v − 10.000) = 2.000 + 5v − 50.000 100 . Assim, S(v) = 2.000, se x 6 10.000 2.000 + 5v − 50.000100 , se x > 10.000. Esboc¸ando o gra´fico, temos: Note que esboc¸amos apenas para v > 0, pois na˜o faz sentido o volume de vendas ser negativo. Para trac¸ar a reta quando x > 10.000, note que, por exemplo, S(10.000) = 2.000 Me´todos Determin´ısticos I AP3 2 e S(20.000) = 2.000 + 20.000− 10.00010 = 2.000 + 10.000 10 = 3.000. Assim, temos os pontos (10.000, 2.000) e (20.000, 3.000). (Este texto e´ comum a`s questo˜es 2 a 6 a seguir.) Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti- vamente, por D(P ) = −P 2 4 + 2 e Q(P ) = 2 3P − 1 3 . onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em milho˜es de unidades. Questa˜o 2 (0,4 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$1,00? Soluc¸a˜o: Quando P = 1, temos D(1) = −1 2 4 + 2 = 2− 1 4 = 7 4 . Questa˜o 3 (0,7 pt) Qual o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 1 milha˜o de unidades? Soluc¸a˜o: Quando a demanda e´ de 1 milha˜o de unidades, temos D(P ) = 1, logo D(P ) = 1⇔ −P 2 4 + 2 = 1⇔ − P 2 4 = −1⇔ P 2 4 = 1⇔ P 2 = 4⇔ P = 2 ou P = −2. Como o prec¸o P na˜o pode ser negativo, temos D(P ) = 1⇔ P = 2. Questa˜o 4 (1,0 pt) Qual e´ o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo? Soluc¸a˜o: Temos Q(P ) = 0⇔ 23 P − 1 3 = 0⇔ 2 3 P = 1 32P = 1⇔ P = 1 2 . Assim, a demanda e´ zero quando P = 0, 50. Questa˜o 5 (1,0 pt) Qual e´, aproximadamente, o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda do mesmo? Soluc¸a˜o: Temos D(P ) = 0⇔ −P 2 4 + 2 = 0⇔ − P 2 4 = −2⇔ P 2 = 8⇔ P = √8 ou P = −√8. Como o prec¸o na˜o pode ser negativo, temos D(P ) = 0⇔ P = √8. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 3 Questa˜o 6 (1,0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio deste produto? Soluc¸a˜o: O prec¸o de equil´ıbrio e´ o valor de P tal que D(P ) = Q(P ). Mas D(P ) = Q(P )⇔ −P 2 4 + 2 = 2 3P − 1 3 ⇔ −3P 2 + 24 = 8P − 4⇔ −3P 2 − 8P + 28 = 0⇔ ⇔ P = −(−8)± √ (−8)2 − 4(−3)(20) 2(−3) = 8±√400 −6 = 8± 20 −6 ⇔ P = −12 −6 = 2 ou P = 28 −6 = − 14 3 . Como P > 0, D(P ) = Q(P )⇔ P = 2. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 7 e 8 a seguir.) Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (1) Se Pedro joga bola ou Mateus brinca de pique, enta˜o Bernardo pula corda. (2) Julieta desenha se e so´ se Ana sobe em uma a´rvore. (3) Se Mateus brinca de pique, enta˜o Ana sobe em uma a´rvore. (4) Para que Bernardo pule corda, basta que Mateus brinque de pique ou que Velentina coma um lanchinho. (5) Mas Julieta na˜o desenha e Pedro joga bola. Questa˜o 7 (0,6 pt) Considere as proposic¸o˜es elementares p: Pedro joga bola, m: Mateus brinca de pique, b: Bernardo pula corda, j: Julieta desenha, a: Ana sobe em uma a´rvore e v: Velentina come um lanchinho. Reescreva as afirmac¸o˜es (1) a (5) com as letras atribu´ıdas a`s proposic¸o˜es e com os s´ımbolos da Lo´gica (implicac¸a˜o, equivaleˆncia e conectivos). Soluc¸a˜o: Reescrevendo as afirmac¸o˜es, temos (i) p ou m ⇒ b (ii) j ⇔ a (iii) m ⇒ a (iv) m ou v ⇒ b (v) (∼ j) e p Questa˜o 8 (0,9 pt) Considerando que sejam verdadeiras as afirmac¸o˜es (1) a (5), decida se cada uma das proposic¸o˜es elementares abaixo e´ verdadeira ou falsa. E necessa´rio que voceˆ apresente o racioc´ınio que usou para deduzir sua conclusa˜o a partir dos dados. a: Ana sobe em uma a´rvore. b: Bernardo pula corda. m: Mateus brinca de pique. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 4 Soluc¸a˜o: Pela afirmac¸a˜o (5), sa˜o verdadeiras ∼j e p. Assim, como ∼j e´ verdadeiro, j e´ falso. Como j e´ falso, por (2) temos que a e´ falso. Por (5), p e´ verdadeiro. Logo “p ou m”sera´ verdadeiro, qualquer que seja o valor de m, logo, por (1), b e´ verdadeiro. Como a e´ falso, temos, ∼ a e´ verdadeiro. Pela contrapositiva da (3) (isto e´, ∼ a ⇒ ∼ m), temos que ∼ m e´ verdadeiro. Logo, m e´ falso. (As questo˜es 9 e 10 a seguir podem ser utilizadas para resolver a questa˜o 11.) Questa˜o 9 (0,6 pt) Diminuir um prec¸o em 20% significa multiplica´-lo por qual nu´mero racional? Justifique. Soluc¸a˜o: Diminuir um prec¸o P em 20%, significa torna´-lo igual a P − 20%P = P − 20100 P = P − 2 10 P = ( 1− 210 ) P = 810 P = 4 5 P. Assim, diminuir um prec¸o em 20% significa multiplica´-lo por 45 (ou 80 100 , ou 0.8, etc.) Questa˜o 10 (0,6 pt) Aumentar um prec¸o em 20% significa multiplica´-lo por qual nu´mero racional? Justifique. Soluc¸a˜o: Aumentar um prec¸o P em 20%, significa torna´-lo igual a P + 20%P = P + 20100 P = P + 2 10 P = ( 1 + 210 ) P = 1210 P = 6 5 P. Assim, aumentar um prec¸o em 20% significa multiplica´-lo por 65 (ou 120 100 , ou 1.2, etc.) Questa˜o 11 (1,2 pt) Uma loja adotara´ uma pol´ıtica de prec¸os inovadora. No primeiro dia, seus produtos estara˜o com prec¸o 20% inferior ao que tinham no dia anterior a esta nova pol´ıtica de prec¸os. No segundo dia, os prec¸os sera˜o aumentados de 20%, em relac¸a˜o ao prec¸o que tinham no primeiro dia. No terceiro dia, os prec¸os diminuira˜o em 20% em relac¸a˜o ao segundo dia. No quarto dia, au- mentara˜o em 20% em relac¸a˜o ao terceiro dia. Os prec¸os continuam desta forma nos dias seguintes; em um dia diminuem 20% em relac¸a˜o ao anterior e, no dia seguinte, sobem 20% sobre o novo prec¸o. Se um produto era vendido por P reais antes da nova pol´ıtica de prec¸os, por quanto sera´ vendido no de´cimo terceiro dia? Deˆ a resposta como uma expressa˜o envolvendo apenas a inco´gnita P e frac¸o˜es e/ou nu´meros decimais, suas poteˆncias ou produtos. Soluc¸a˜o: Nas questo˜es acima, vimos que diminuir um prec¸o em 20% significa multiplica´-lo por 45 , enquanto aumenta´-lo em 20% representa uma multiplicac¸a˜o por 65 . Com isso, no de´cimo terceiro dia, o prec¸o do produto passara´ por: • 7 reduc¸o˜es de 20%: nos dias 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13; • 6 aumentos de 20%: nos dias 2, 4, 6, 8, 10 e 12. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 5 O prec¸o do produto no de´cimo terceiro dia sera´, portanto, P · 45︸︷︷︸ dia 1 · 65︸︷︷︸ dia 2 · 45︸︷︷︸ dia 3 · 65︸︷︷︸ dia 4 · 45︸︷︷︸ dia 5 · 65︸︷︷︸ dia 6 · 45︸︷︷︸ dia 7 · 65︸︷︷︸ dia 8 · 45︸︷︷︸ dia 9 · 65︸︷︷︸ dia 10 · 45︸︷︷︸ dia 11 · 65︸︷︷︸ dia 12 · 45︸︷︷︸ dia 13 = P · (4 5 )7 · (6 5 )6 . Algumas respostas equivalentes sa˜o: P · ( 80 100 )7 · (120 100 )6 ;P · ( 8 10 )7 · (12 10 )6 ;P · (0.8)7 · (1.2)6 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar