Primeira lista de GA

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Primeira Lista de Geometria Anal´ıtica
Professora: Ana Carla Piantella
1. Achar a soma dos vetores indicados:
(a) (b) (c) (d)
2. Nas figuras abaixo, os hexa´gonos sa˜o regulares. Em cada caso, ache a soma dos
vetores indicados:
3. Dado ~u na˜o nulo, obtenha ~v de norma 6 tal que ~u e ~v sejam paralelos e de
mesmo sentido.
4. Os lados de um triaˆngulo equila´tero ABC tem medida 2. Calcule
−→
AB.
−−→
BC +−−→
BC.
−→
CA +
−→
CA.
−→
AB
5. Determine x de modo que ~u e ~v sejam ortogonais:
a)~u = (x, 0, 3) e ~v = (1, x, 3)
b) ~u = (x+ 1, 1, 2) e ~v = (x− 1,−1,−2)
6. a)Obtenha os vetores de norma
√
3 que sa˜o ortogonais a ~u = (1, 1, 0) e a` ~v =
(−1, 0, 1)
b) Qual dos vetores obtidos no item (a) que forma um a˜ngulo obtuso com
(0, 1, 0)
7. Calcule ~u× ~v e ~v × ~u nos seguintes casos:
a) ~u = (6,−2,−4) e ~v = (−1,−2, 1)
b) ~u = (1,−3, 1) e ~v = (1, 1, 4)
8. Ache o valor de m para que o vetor ~w = (1, 2,m) seja simultaneamente ortogonal
aos vetores ~u = (2,−1, 0) e ~v = (1,−3,−1)
9. Verifique a ”desigualdade triangular” ‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖
Sugesta˜o: Use que ‖~u+ ~v‖2 = (~u+ ~v).(~u+ ~v) e tambe´m a desigualdade
| ~u.~v | ≤ ‖~u‖‖~v‖ , conhecida como desigualdade de Cauchy-Schwarz e que
aparece em va´rias aplicac¸o˜es.
10. A medida em radianos do aˆngulo entre ~u e ~v e´
pi
6
. Sendo ‖~u‖ = 1; ‖~v‖ = 7
calcule ‖~u× ~v‖ e ‖ 1
3
~u× 3
4
~v ‖
11. Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC sendo
−→
AC = (−1, 1, 0) e −→AB = (0, 1, 3).
12. Achar o valor de x tal que A = (x, 1, 1) ; B = (1,−1, 0) e C = (2, 1,−1) sa˜o
ve´rtices de um triaˆngulo de a´rea
√
29
2
.
13. Calcular a a´rea do paralelogramo definido pelos vetores ~u = (3, 1, 2)
e ~v = (4,−1, 0).
14. Quais as equac¸o˜es parame´tricas das retas r; s e t paralelas aos eixos x, y e z,
respectivamente e que passam pelo ponto (1, 2, 3, ) ? Fac¸a um esboc¸o das retas.
15. Determinar o ponto da reta r :

x = 2− t
y = 5 + t
z = 2− 2t
que tem abscissa 5.
16. Achar os valores de m e n para que o ponto P = (3,m, n) pertenc¸a a` reta
s :

x = 1− 2t
y = −3− t
z = −4 + t
17. Determinar as equac¸o˜es reduzidas, com varia´vel independente x, da reta que
passa pelo ponto A(4, 0,−3) e tem a direc¸a˜o do vetor (2,4,5).
18. Qual deve ser o valor de m para que os pontos A = (3,m, 1) ; B = (1, 1,−1) e
C = (−2, 10,−4) pertenc¸am a` mesma reta ?
19. Achar as equac¸o˜es das seguintes retas:
a) reta que passa pelo ponto A = (3, 2, 1) e e´ perpendicular ao plano xOz;
b) reta que passa pelo ponto A = (2, 3, 4) e e´ ortogonal ao mesmo tempo aos
eixos dos x e dos y.
20. Sa˜o dados os pontos A = (2, 1, 2) ; B = (−1, 1,−1) e C = (−2,−5,−4).
a)Os pontos A ; B e C formam ve´rtices de um triaˆngulo ?
b) Escreva todas as formas poss´ıveis de equac¸o˜es para a reta que passa por B
e C. O ponto D = (1, 1, 2) pertence a essa reta ?
21. Achar o aˆngulo entre as retas:
a) r :

x = −2− 2t
y = 2t
z = 3− 4t
e s :

x = 4t
y = 2t− 6
z = 2t+ 1
b) r :
{
y = −2x− 1
z = x+ 2
e s :
y
3
=
z + 1
−3 ; e x = 2
22. Calcular o valor de n para que seja de 300 o aˆngulo entre as retas
r :
x− 2
4
=
y + 4
5
=
z
3
e s :
{
y = nx+ 5
z = 2x− 2
23. A reta r passa pelo ponto A = (1,−2, 1) e e´ paralela a` reta s :

x = 2 + t
y = −3t
z = −t
Se P (−3,m, n) ∈ r, determinar m e n.
24. A reta s :
{
y = mx+ 3
z = x− 1 e´ ortogonal a` reta determinada pelos pontos
A = (1, 0,m) ; B = (−2, 2m, 2m). Calcular o valor de m.
25. Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
r :
{
y = 2x+ 3
z = 3x− 1 e s :
x− 1
2
=
y
−1 =
z
m
26. Calcular o ponto de intersec¸a˜o das retas:
a) r :
{
y = 3x− 1
z = 2x+ 1
e s :
{
y = 4x− 2
z = 3x
b)r :
{
y = −5
z = 4x+ 1
e s :
x− 1
2
=
z − 5
−3 ; y = −5
27. Em que ponto a reta que passa por A = (1, 0, 1) ; B = (−2, 2, 3) intercepta o
plano yz ?
28. Dadas as retas r : X = (0, 0, 2) + λ(1, 1, 3); s :

x = 2
y = t
z = 2− t
e o ponto
A = (4, 5, 1); ache uma equac¸a˜o vetorial de uma reta t que passe por A e
seja perpendicular a` r e a` s .