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UNIFEI - INSTITUTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O EXAME DE MAT 022 - 2014/II - 9/12/2014 Instruc¸o˜es: 1. Preencha matrı´cula e turma na frente desta folha e o seu nome no verso. 2. Utilize um lado de cada folha de almac¸o para cada questa˜o. 3. Nas folhas de almac¸o, escreva APENAS a sua matrı´cula, sem o seu nome. 4. Justifique suas respostas e seja objetivo! Boa Prova! Tabela para correc¸a˜o (na˜o preencher): a) b) c) d) e) T 1) 2) 3) - Matrı´cula: Turma: ( ) T4 (manha˜) ( ) T1 (tarde) Questa˜o 1) (30 pontos) a) (20 pontos) Resolva seguinte PVI: y′′+2y′+5y= δ(t)−u1(t), y(0) = 0, y′(0) = 0. b) (10 pontos) Considere o oscilador harmoˆnico amortecido e forc¸ado mx′′+ γx′+ kx= f (t). Mostre que a resposta forc¸ada deste sistema, quando e´ aplicado um impulso unita´rio, e´ igual a` resposta natural do mesmo, quando ele parte da posic¸a˜o de equilı´brio x(0) = 0 com uma velocidade x′(0) = 1m . Questa˜o 2) (30 pontos) Considere o seguinte sistema na˜o-linear, que descreve a interac¸a˜o entre duas populac¸o˜es de ce´lulas num tecido do corpo humano, onde x(t) e y(t) representam, respectivamente, as quantidades de ce´lulas normais e ce´lulas cancerosas no tecido (medidas em bilho˜es de ce´lulas): dx dt = rN−µNx−α x y dy dt = rCy ( 1− y KC −β x ) , com rN = 2, µN = 1, α= 6, rC = 1, KC = 1, β= 1. a) (5 pontos) Encontre os pontos de equilı´brio do sistema. b) (10 pontos) Linearizando o sistema, determine a estabilidade de cada ponto de equilı´brio, c) (5 pontos) Interprete o significado biolo´gico da ana´lise de estabilidade de cada ponto. d) (5 pontos) Esboce o retrato de fase do sistema. e) (5 pontos) Suponha que estamos num contexto onde o tecido possui apenas ce´lulas normais, e esta´ em um estado de equilı´brio. O que acontece se surgir uma quantidade y0 de ce´lulas cancerosas no tecido? Se houver algum valor limiar para y0, indique-o no retrato de fase do item anterior. Questa˜o 3) (25 pontos) Considere uma corda ela´stica de comprimento L, com as duas extremidades presas, solta de uma posic¸a˜o f (x). Seja u(x, t) a func¸a˜o que descreve o deslocamento vertical da corda, em cada ponto x ∈ [0,L] da mesma, em cada instante de tempo t. a) (20 pontos) Escreva as equac¸o˜es apropriadas que descrevem este fenoˆmeno (EDP, condic¸o˜es de contorno e condic¸o˜es iniciais) e resolva este problema utilizando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis. Assuma que o PVC encontrado durante a resoluc¸a˜o so´ possui autovalores positivos. b) (10 pontos) A energia mecaˆnica total nesta corda vibrante e´ dada em func¸a˜o do tempo por E(t) = ∫ L 0 { 1 2 ρu2t (x, t)+ 1 2 Tu2x(x, t) } dx. O primeiro termo representa a energia cine´tica devida a` velocidade da corda, e o segundo termo repre- senta a energia potencial ela´stica criada pelo deslocamento da corda de sua posic¸a˜o de equilı´brio. As constantes ρ e T sa˜o propriedades do material da corda, e satisfazem a relac¸a˜o a2 = T/ρ. Sem utilizar a soluc¸a˜o do problema, mas apenas utilizando a EDP e as condic¸o˜es de contorno, mostre que E(t) e´ preservada ao longo do tempo. Questa˜o 4) (15 pontos) Considere a func¸a˜o f (t) definida por f (t) = { 1− t, 0≤ t < 1, t+1, −1≤ t < 0, , f (t+2) = f (t), t ∈ R, 1. (5 pontos) Esboce o gra´fico de f (t) e verifique que ela satisfaz todas as hipo´teses do Teorema de Convergeˆncia de Fourier. 2. (10 pontos) Calcule a se´rie de Fourier de f (t). Dica: para economizar tempo, calcule primeiro a integral ∫ 1 0 t coswt dt. 2
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