Respostas da Avaliação de Cálculo Diferencial e Integral I

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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I PERÍODO: 2013.1TURNO: MANHÃPROFESSOR: Diogo de Santana Germano DATA: 16/09/2013
Respostas da AVALIAÇÃO 3
1. Neste caso, sendo s a distância entre a partícula e a origem temos
s(t) =√x2(t) + y2(t).
e, derivando em relação a t, vem
dsdt = 12√x2 + y2
(2x dxdt + 2ydydt
) .
Sabemos que dxdt = −1 e dydt = −5. Então, quando a partícular passar por (5, 12) teremosdsdt = 12√52 + 122 (2 · 5 · (−1) + 2 · 12 · (−5)) = −5 m/s.
2. A área de um quadrado descrito no problema (veja figura) com base medindo x e altura y = −2x+100é
A(x) = x(−2x + 100) = −2x2 + 100x, 0 ≤ x ≤ 50.
Como A é uma função diferenciável em x , temos
A′(x) = −4x + 100
2
e, A′(x) = 0 implica −4x + 100 = 0, ou seja, x = 25 que é um valor crítico para A. Note queA(0) = A(50) = 0. Como a função é uma parábola com concavidade voltada para baixo, teremos ummáximo absoluto em x = 25, dado por
A(25) = 25(−2 · 25 + 100) = 25 · 50 = 1250
que é a área do maior retângulo possível satisfazendo as condições dadas.3. (a) A função f é diferenciável em todos os reais e f ′(x) = 4x3 − 8x2. De f ′(x) = 0, obtemos
4x3 − 8x2 = 0⇒ 4x2(x − 2) = 0⇒ x = 0 ou x = 2
ou seja, x = 0 e x = 2 são os pontos críticos de f . Sendo f ′′(x) = 12x2 − 16x , temos
f ′′(0) = 0 e f ′′(2) = 12 · 4− 16 · 2 = 16 > 0.
Neste caso, pelo teste da derivada segunda temos um mínimo relativo em x = 2; em x = 0 esteteste é inconclusivo. Mas, analisando o sinal de f ′(x) = 4x2(x − 2) concluimos
f ′(x) < 0 em (−∞, 0)
e f ′(x) < 0 em (0, 2)isto é, pelo teste da derivada primeira a função não possui extremo em x = 0.(b) Analisando o sinal de f ′(x) = 4x2(x − 2) obtemos• Para x < 0 , f ′(x) < 0, ou seja, f é decrescente em (−∞, 0);• Para 0 < x < 2 , f ′(x) < 0, ou seja, f é decrescente em (0, 2);• Para x > 2 , f ′(x) > 0, ou seja, f é crescente em (2,∞).(c) Para a concavidade, consideremos f ′′(x) = 0, ou seja,
12x2 − 16x = 0⇒ 4x(3x − 4) = 0⇒ x = 0 ou x = 4/3.
Neste caso, analisando o sinal de f ′′(x) = 12x2 − 16x = 12x (x − 43), obtemos• Para x < 0 , f ′′(x) > 0, ou seja, f possui concavidade para cima em (−∞, 0);• Para 0 < x < 4/3 , f ′′(x) < 0, ou seja, f possui concavidade para baixo em (0, 4/3);• Para x > 4/3 , f ′′(x) > 0, ou seja, f possui concavidade para cima em (4/3,∞).Logo, como houve mudança de concavidade em x = 0 e x = 4/3 nestes valores temos pontos deinflexão.(d) Da análise feita nos itens anteriores temos
f (2) = 24 − 8 · 233 = −163 ⇒
(2,−163
) mínimo local.
f (0) = 04 − 8 · 03 = 0⇒ (0, 0) ponto de inflexão.
f (43
) = (43
)− 8( 43 )33 = −25681 ⇒
(43 ,−25681
) ponto de inflexão.
Segue o gráfico:
4. (a) Fazendo u = x2 + 3 temos du = 2xdx , isto é, du2 = xdx . Logo,∫ xdxx2 + 3 = 12
∫ duu = 12 lnu+ C = 12 ln(x2 + 3) + CPortanto, ∫ 1
0
xdxx2 + 3 = 12 ln(x2 + 3)
∣∣∣∣10 = 12 [ln 4− ln 3]= ln 2− ln√3 = ln 2√3 .
3
(b) Fazendo u = x2 temos du = 2xdx , isto é, du2 = xdx . Logo,∫ x2x2dx = 12
∫ 2udu = 12 2uln 2 = 2x22 ln 2 .
Portanto, ∫ 1
0 x2x2dx = 2x
22 ln 2
∣∣∣∣∣
1
0 = 22 ln 2 − 12 ln 2= 12 ln 2 = 1ln 4 .(c) Fazendo u = sen x temos du = cos xdx . Logo,∫ cot xdx = ∫ cos xsen x dx =
∫ duu = ln |u|+ C = ln | sen x|+ C.
5. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, temos
ddx
∫ x4
2 3
√sen tdt = [ 3√sen x4] dx4dx = 4x3 3√sen x4.
4