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1 UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU DATA: CURSO: ENGENHARIA TURMA: Nº DE ORDEM: DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo MÁXIMOS E MÍNIMOS RESUMO 07 Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis Definição: Seja f uma função definida em uma região R contendo o ponto (a, b). Então, f tem um máximo relativo em (a, b) se f(x, y) ≤ f(a, b) para todos os pontos (x, y) que são suficientemente próximos a (a, b). O número f(a, b) é chamando de valor máximo relativo. Analogamente, f tem um mínimo relativo em (a, b), com valor mínimo relativo f(a, b), se f(x, y) ≥ f(a, b) para todos os pontos (x, y) que estão suficientemente próximos a (a, b). Exemplo ●no gráfico a seguir: A é um ponto de mínimo absoluto; B é um ponto de máximo relativo; C é um ponto de mínimo relativo e D é um ponto de máximo absoluto. ●no gráfico a seguir, E é um ponto de sela, pois existem pontos próximos de E que são mais altos e mais baixos. O próximo teorema nos ajuda a encontrar os pontos críticos da função e identificar se existe ou não um extremo relativo. Teorema: ●primeiro determine os pontos críticos de f(x, y) resolvendo o sistema de equações simultâneas fx = 0 e fy = 0. Vamos supor que o resultado desse sistema seja o par (a, b). Faça, agora, o teste da segunda derivada. Seja D(x, y) = | fxx fyx fxy fyy | então, 2 ●Se D(a, b) > 0 e fxx(a, b) < 0, então f(x, y) tem um máximo relativo no ponto (a, b). ●se D(a, b) > 0 e fxx(a, b) > 0, então f(x, y) tem um mínimo relativo no ponto (a, b). ●se D(a, b) < 0, então f(x, y) não tem um máximo relativo e nem um mínimo relativo no ponto (a, b). ●se D(a, b) = 0, então nada se pode afirmar. Observação: Esse determinante, D(x, y), muitas vezes é chamado de Hessiano. Exemplo Determine os extremos relativos da função f(x, y) = x2 + y2 Solução: ●𝑓𝑥 = 2𝑥; ●fy = 2y; ●fxx = 2; ●fyy = 2; ●fxy = fyx = 0; ●{ fx = 0 fy = 0 ⇒ { 2x = 0 2y = 0 ⇒ (x, y) = (0,0) Assim o ponto crítico é (0,0). Vamos, agora, analisar se esse ponto crítico gera ou não um extremo relativo na função. Como D(0,0) = | 2 0 0 2 | = 4 > 0 e fxx(0,0) = 2 > 0 segue que f tem um ponto de mínimo relativo em (0,0). Esse ponto é: Min (0,0) = f(0,0) = 0. Veja o gráfico: Exercícios de Sala Determine os valores extremos (ou pontos críticos) de: a) f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 6y + 14 x y 3 b) f(x, y) = y2 − x2 2-) Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa. Exercícios de Casa 1-) Determine os extremos relativos, se existir de cada função abaixo: a-) f(x, y) = 1 − 5x2 − y2 b-) f(x, y) = x2 − 4xy + y2 + 4 c-) f(x, y) = x2 − y2 − 3x + 2y + 6 d-) f(x, y) = x2 + y2 − 2x + 4y + 2 e-)f(x, y) = x2 + xy + y2 − 2x + 6y f-) f(x, y) = x2 + 2y2 − 2xy + 3y + 4x g-) f(x, y) = x3 + y2 − 4x2 − y + 10x h-) f(x, y) = x3 + y2 − xy + 3y + 3x i-) f(x, y) = x3 − 2xy + y3 − 5 2. A receita total semanal (em reais) da empresa Escrivaninhas Brasil, obtida pela manufatura e venda de escrivaninhas, é dada por R(x, y) = 2x2 + 5y2 − 2xy − 2000x + 1600y onde x denota o número mensal de unidades com acabamento e y denota o número de unidades sem acabamento manufaturadas e vendidas por semana. O custo total semanal atribuído à manufatura dessas escrivaninhas é de C(x, y) = 200x + 50y + 5000 reais. Determine quantas unidades com e sem acabamento a companhia deve manufaturar por semana, a fim de maximizar seu lucro. Qual é o maior lucro que pode ser obtido? Sugestão: o lucro(L) é dado por: L(x, y) = R(x, y)-C(x, y) 4 3. Uma caixa retangular aberta com um volume de 108 l deve ser construída usando uma chapa de aço. Encontre as dimensões dessa caixa que minimizam a quantidade de material utilizada. 4. Um prédio com o formato de uma caixa retangular deverá ter um volume de 12000 𝑚3. Estima-se que os custos anuais de aquecimento e refrigeração serão de R$2,00/m2 para o topo, R$4,00/𝑚2 para as paredes frontal e traseira e R$ 3,00/ 𝑚2 para as paredes laterais. Determine as dimensões do prédio que resultarão em um custo anual mínimo de aquecimento e refrigeração. Qual é esse custo mínimo?
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