Buscar

Resumo 7 - Máximos e Mínimos

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 4 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

1 
 
UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
 RESUMO 07 
 
Máximos e Mínimos de Funções de Várias 
Variáveis 
 
Definição: Seja f uma função definida em uma 
região R contendo o ponto (a, b). Então, f tem 
um máximo relativo em (a, b) se f(x, y) ≤ f(a, b) 
para todos os pontos (x, y) que são 
suficientemente próximos a (a, b). O número 
f(a, b) é chamando de valor máximo relativo. 
Analogamente, f tem um mínimo relativo em 
(a, b), com valor mínimo relativo f(a, b), se 
f(x, y) ≥ f(a, b) para todos os pontos (x, y) que 
estão suficientemente próximos a (a, b). 
 
Exemplo 
 
●no gráfico a seguir: A é um ponto de mínimo 
absoluto; B é um ponto de máximo relativo; C é 
um ponto de mínimo relativo e D é um ponto de 
máximo absoluto. 
 
 
●no gráfico a seguir, E é um ponto de sela, pois 
existem pontos próximos de E que são mais 
altos e mais baixos. 
 
 
O próximo teorema nos ajuda a encontrar os 
pontos críticos da função e identificar se existe 
ou não um extremo relativo. 
 
Teorema: 
 
●primeiro determine os pontos críticos de f(x, y) 
resolvendo o sistema de equações simultâneas 
fx = 0 e fy = 0. 
Vamos supor que o resultado desse sistema 
seja o par (a, b). 
Faça, agora, o teste da segunda derivada. 
Seja 
 
D(x, y) = |
fxx fyx
fxy fyy
| 
 
então, 
2 
 
 
●Se D(a, b) > 0 e fxx(a, b) < 0, então f(x, y) tem 
um máximo relativo no ponto (a, b). 
 
●se D(a, b) > 0 e fxx(a, b) > 0, então f(x, y) tem 
um mínimo relativo no ponto (a, b). 
 
●se D(a, b) < 0, então f(x, y) não tem um 
máximo relativo e nem um mínimo relativo no 
ponto (a, b). 
 
●se D(a, b) = 0, então nada se pode afirmar. 
 
Observação: Esse determinante, D(x, y), 
muitas vezes é chamado de Hessiano. 
 
Exemplo 
 
Determine os extremos relativos da função 
f(x, y) = x2 + y2 
 
Solução: 
 
●𝑓𝑥 = 2𝑥; 
 
●fy = 2y; 
 
●fxx = 2; 
 
●fyy = 2; 
 
●fxy = fyx = 0; 
 
●{
fx = 0
fy = 0
⇒ {
2x = 0
2y = 0
⇒ (x, y) = (0,0) 
 
Assim o ponto crítico é (0,0). 
 
Vamos, agora, analisar se esse ponto crítico 
gera ou não um extremo relativo na função. 
Como D(0,0) = |
2 0
0 2
| = 4 > 0 e fxx(0,0) = 2 > 0 
segue que f tem um ponto de mínimo relativo 
em (0,0). Esse ponto é: Min (0,0) = f(0,0) = 0. 
Veja o gráfico: 
 
Exercícios de Sala 
 
Determine os valores extremos (ou pontos 
críticos) de: 
a) f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 6y + 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
3 
 
b) f(x, y) = y2 − x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-) Uma caixa retangular sem tampa deve ser 
feita com 12 m2 de papelão. Determine o 
volume máximo dessa caixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Casa 
 
1-) Determine os extremos relativos, se existir 
de cada função abaixo: 
 
a-) f(x, y) = 1 − 5x2 − y2 
 
b-) f(x, y) = x2 − 4xy + y2 + 4 
 
c-) f(x, y) = x2 − y2 − 3x + 2y + 6 
 
d-) f(x, y) = x2 + y2 − 2x + 4y + 2 
 
e-)f(x, y) = x2 + xy + y2 − 2x + 6y 
 
f-) f(x, y) = x2 + 2y2 − 2xy + 3y + 4x 
 
g-) f(x, y) = x3 + y2 − 4x2 − y + 10x 
 
h-) f(x, y) = x3 + y2 − xy + 3y + 3x 
 
i-) f(x, y) = x3 − 2xy + y3 − 5 
 
2. A receita total semanal (em reais) da 
empresa Escrivaninhas Brasil, obtida pela 
manufatura e venda de escrivaninhas, é dada 
por R(x, y) = 2x2 + 5y2 − 2xy − 2000x + 1600y 
onde x denota o número mensal de unidades 
com acabamento e y denota o número de 
unidades sem acabamento manufaturadas e 
vendidas por semana. O custo total semanal 
atribuído à manufatura dessas escrivaninhas é 
de C(x, y) = 200x + 50y + 5000 reais. Determine 
quantas unidades com e sem acabamento a 
companhia deve manufaturar por semana, a fim 
de maximizar seu lucro. Qual é o maior lucro 
que pode ser obtido? 
Sugestão: o lucro(L) é dado por: 
L(x, y) = R(x, y)-C(x, y) 
4 
 
 
3. Uma caixa retangular aberta com um volume 
de 108 l deve ser construída usando uma chapa 
de aço. Encontre as dimensões dessa caixa que 
minimizam a quantidade de material utilizada. 
 
4. Um prédio com o formato de uma caixa 
retangular deverá ter um volume de 12000 𝑚3. 
Estima-se que os custos anuais de aquecimento 
e refrigeração serão de R$2,00/m2 para o topo, 
R$4,00/𝑚2 para as paredes frontal e traseira e 
R$ 3,00/ 𝑚2 para as paredes laterais. Determine 
as dimensões do prédio que resultarão em um 
custo anual mínimo de aquecimento e 
refrigeração. Qual é esse custo mínimo?

Outros materiais

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Materiais recentes

Perguntas Recentes