PÊNDULO SIMPLES

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PÊNDULO SIMPLES 
 1 INTRODUÇÃO 
 
Podemos considerar um pêndulo simples como sendo, segundo o site SÓ FÍSICA 
(entre 2008 e 2018), uma massa alocada em um barbante com alta flexibilidade e 
inextensibilidade por um de seus extremos e pelo outro, livre. 
Figura 1: Esquema de um pêndulo simples. 
 
 Fonte: Site Só Física. 
 
As forças que agem neste sistema são a tração do fio e a força gravitacional. Segundo 
Halliday (2013), a componente tangencial da força gravitacional produz um torque 
restaurador em relação ao ponto fixo do pêndulo, já que age sempre no sentido contrário ao 
movimento da massa e faz com que ela volte ao ponto central. 
O movimento que o pêndulo simples possui é um tipo de movimento bem comum, que 
é o chamado periódico ou oscilatório e é caracterizado por ser um movimento que se repete 
em um tempo de ciclo chamado período (𝑇). 
𝑇 =
1
𝑇
 (1) 
Num experimento, é interessante que se avalie quão próximo é o valor obtido pelos 
processos que o compõem daquele valor dado como o verdadeiro. Para isso, deve-se fazer o 
cálculo do erro relativo percentual, que segue a seguinte expressão. 
 
%𝑇𝑇𝑇𝑇 =
|𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇|
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇
× 100 (2) 
 
O objetivo geral do experimento foi compreender o movimento de um pêndulo 
simples. Os objetivos específicos foram: 
a) aprender a utilizar o cronômetro no experimento a ser realizado; 
b) efetuar operações matemáticas com algarismos significativos; 
c) estimar incertezas em medidas diretas e efetuar cálculos de propagação de incertezas das 
medidas indiretas; 
d) saber relacionar a velocidade tangencial com o período em um pêndulo simples. 
 
 2 MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Para a realização do experimento, os seguintes materiais foram utilizados: 
a) 01 trena graduada em milímetros; 
b) 01 cronômetro; 
c) 01 pêndulo simples. 
Dos instrumentos de medição citados acima, a trena é um equipamento analógico, 
sendo a incerteza a metade da precisão e o cronômetro é digital, sendo a sua incerteza igual a 
precisão. Suas precisões e incertezas estão descritas na tabela a seguir. 
 
Tabela 1 - Precisão e incertezas dos instrumentos de medição utilizados. 
Instrumento de medida Precisão Incerteza 
Trena 1 mm 0,5 mm 
Cronômetro 0,01 s 0,01s 
 Fonte: própria autoria. 
 
 O experimento consistiu em fazer 5 medições de 20 períodos de um pêndulo solto com 
uma angulação de aproximadamente 10°, que estava preso em uma haste colocada na bancada 
do laboratório e que consistia em uma esfera de aço presa por um barbante. Para isso, um dos 
alunos operou o cronômetro, outro o pêndulo e outro ficou responsável pela anotação dos 
valores obtidos. 
A distância da ponta do barbante amarrada à haste até ao centro da esfera foi 
denominada 𝑇e esse valor era composto por dois outros valores, 𝑇e 𝑇. A distância 
𝑇correspondia a ponta amarrada à haste até um nó dado no barbante próximo a esfera. Já a 
distância 𝑇, correspondia a distância deste nó até ao centro da esfera e não era conhecida, 
necessitando assim dos cálculos do experimento para determiná-la. 
Inicialmente, fez-se a medida dos 20 períodos para uma distância 𝑇 =60,0𝑇𝑇e depois 
a média deste tempo para achar o correspondente à um período apenas. Depois, foi feito o 
mesmo procedimento, porém aumentando, a cada vez, a distância 𝑇 em 10𝑇𝑇 até se chegar 
em 1 metro. 
Após a obtenção de todos os dados, foi utilizado o Teorema de Bridgman para obter a 
expressão do período (T) para um pêndulo simples e chegou-se a expressão 1: 
 
𝑇 = 𝑇√
𝑇
𝑇
 ou 𝑇 = 𝑇√
𝑇+𝑇
𝑇
 (3) 
 
Tendo obtido a expressão acima, foi necessário fazer sua linearização para obtê-la na 
forma 𝑇 = 𝑇 + 𝑇𝑇, chegando assim a expressão 2: 
 
𝑇2 =
𝑇²
𝑇
𝑇 +
𝑇²
𝑇
𝑇 (4) 
 
Com a linearização, conseguimos montar uma tabela com os valores de 𝑇e de 𝑇 e 
também obter mais algumas expressões para assim conseguir determinar os valores 
necessários, a constante 𝑇e a distância 𝑇. 
 
𝑇 = 𝑇² (5) 
 
𝑇 =
𝑇²
𝑇
𝑇, isolando o 𝑇: 𝑇 =
𝑇×𝑇
𝑇²
 (6) 
 
𝑇 =
𝑇²
𝑇
, isolando o K: 𝑇 = √𝑇 × 𝑇 (7) 
 
𝑇 = 𝑇 (8) 
 
 
 
 
Tabela 2 - Valores de 𝑇e 𝑇de acordo com a expressão linearizada do período (T). 
y x 
2,96 0,6 
3,42 0,7 
3,8 0,8 
4,21 0,9 
4,58 1,0 
Fonte: própria autoria. 
 
 Como era necessário obter os valores de 𝑇 e 𝑇 e já eram conhecidas expressões em 
que eles estão isolados, era preciso conhecer os valores de A e B para atingir esse objetivo. 
Para isso, foi utilizado o programa Origin-Pro. No programa, foi colocado os valores da tabela 
2 e montou-se um gráfico com seus pontos. Após isso, foi feito um ajuste linear (Linear Fit) 
desses pontos e assim foi encontrado os valores de A e B e depois obtido 𝑇 e 𝑇através das 
expressões 4 e 5. 
 
 3 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS 
 
 Os resultados dos experimentos foram separados em 3 partes. Os valores medidos e 
calculados para o pêndulo simples, o gráfico da velocidade tangencial e o planador que está 
em movimento retilíneo uniformemente variado, com aceleração constante e velocidade 
inicial igual a zero. Juntamente dos resultados, foi realizada a análise dos valores e gráficos. 
 
3.1 Pêndulo Simples 
 
 As medidas obtidas para o período (T) com 20 oscilações (20T), acrescidos pela 
incerteza do cronômetro utilizado 𝜎T=0,01s, para um comprimento (p) do barbante que 
sustenta a esfera, determinado para o experimento em p = 0,6, 0,7, 0,8, 0,9 e 1,0 m com a 
incerteza de 𝜎p = 0,5x10-3 para todos, estão na tabela abaixo. Foi calculado o período (T) para 
apenas uma oscilação, ao dividir o período das 20 oscilações por 20. 
 
 
Tabela 3 - Medições do período (T) do pêndulo simples para cada comprimento p. 
(p±𝜎p)m (20T±𝜎T)s (T±𝜎T)s 
0,6±0,5x10-3 34,47±0,01 1,72±0,01 
0,7±0,5x10-3 36,97±0,01 1,85±0,01 
0,8±0,5x10-3 39,00±0,01 1,95±0,01 
0,9±0,5x10-3 41,03±0,01 2,05±0,01 
1,0±0,5x10-3 42,84±0,01 2,14±0,01 
Fonte: própria autoria. 
 
 Com os valores de p e T, foram calculados os valores de y e x para fazer a 
linearização dos dados. As deduções das equações para encontrar y e x se encontram no 
apêndice A deste relatório, mas as fórmulas utilizadas foram: x=p e y=T². Os cálculos foram 
realizados e os valores obtidos estão na tabela a seguir. 
 
Tabela 4 - Valores calculados para as variáveis x e y. 
y x 
2,96 0,6 
3,42 0,7 
3,80 0,8 
4,21 0,9 
4,58 1,0 
Fonte: própria autoria. 
 
 Após encontrados os valores de y e x, foi utilizado o programa Origin para fazer uma 
linearização dos dados (conhecido também por Linear Fit ou ajuste linear), onde os valores de 
y e x foram as entradas no software e a saída foi o gráfico abaixo, onde é traçada uma reta 
entre os pontos obtidos e os valores dos coeficientes A e B extraídos, como apresenta a figura 
abaixo. 
 
 
 
 
Figura 2 - Ajuste linear (Linear Fit) dos pontos experimentais. 
 
Fonte: própria autoria. 
 
 Com os valores das constantes A e B, foram determinadas os valores k e c pelas 
equações: 𝑘 = √𝑘𝑘 e 𝑘 =
𝑘𝑘
𝑘2
 que estão deduzidas no apêndice A, sendo g, a aceleração da 
gravidade na cidade de Itabira, que é 9,78m/s². 
 Os valores obtidos foram: k=6,28±0,07 e c=0,14±0,02. 
 Por fim, calculamos o Erro Relativo Percentual (𝜂) e encontramos 𝜂= 0,05%. 
 
3.2 Velocidade Tangencial 
 
 A figura abaixo representa o gráfico da velocidade tangencial da massa pendular em 
função do tempo. O valor Vmáx é obtido no momento em que a esfera do pêndulo se encontrana perpendicular entre o barbante e a superfície e V=0, quando a esfera está em algum dos 
dois extremos. O tempo t equivale a um movimento completo do pêndulo, saindo de uma 
posição xi e retornando a essa mesma posição. 
 
 
 
Figura 3 - Gráfico da velocidade tangencial da massa pendular em função do tempo. 
 
Fonte: própria autora. 
 
 3.3 Planador em MRUV 
 
O segundo exercício do questionário do roteiro, propôs um planador deslocando-se 
com aceleração constante sobre um trilho retilíneo (movimento retilíneo uniformemente 
variado - M.R.U.V.) partindo da origem do referencial com velocidade inicial nula, cujos 
valores da posição (S) em função do tempo (t) do planador, são mostrados na tabela a seguir. 
 
Tabela 5 - Velocidade (S) do planador em função do tempo (t). 
S(m) 0,2±0,05 0,3±0,05 0,4±0,05 0,5±0,05 0,6±0,05 0,7±0,05 
t(s) 1,671±0,001 2,050±0,001 2,352±0,001 2,626±0,001 2,868±0,001 3,100±0,001 
Fonte: própria autoria. 
 
 Com os valores acima, foi feita a linearização da função S=f(t), com S=Ktn. As 
variáveis y e x foram calculadas e os cálculos se localizam no apêndice B. As equações 
obtidas foram; y=ln(S) e x=ln(t). Então, escrevemos os valores calculados na tabela a seguir. 
 
 
 
Tabela 6 - Valores calculados para as variáveis x e y. 
y x 
-1,6 0,513 
-1,2 0,718 
-0,9 0,855 
-0,7 0,965 
-0,5 1,054 
-0,4 1,131 
Fonte: própria autoria. 
 
 Os valores de y e x foram digitados no Origin e o ajuste linear realizado está na figura 
abaixo. 
 
Figura 4 - Ajuste linear (Linear Fit) dos pontos experimentais. 
 
Fonte: própria autoria. 
 
 Os valores de A e B foram: A= 1,31±0,01 e B=0,50±0,01. 
 Pode-se observar que os valores dos dados estão muito próximos, e que a linearização 
passa bem próxima deles e em alguns casos, até os toca. 
 Por fim, a aceleração escalar do planador foi de a=7,49m/s² (cálculo detalhado no 
apêndice B). 
 
 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 O objetivo geral da aula foi alcançado e os alunos compreenderam como ocorre o 
movimento de um pêndulo simples a partir de um pequeno deslocamento para cima da esfera 
em uma angulação não superior a 10º, mantendo o barbante esticado. Alguns fatores que 
podem alterar os valores obtidos foram percebidos, tal como os que independem da ação 
humana (vento, ruído, vibrações), os que podem ser gerados por erro do experimentador 
(tempo de reação e manipulação dos materiais) e por fim, as incertezas dos equipamentos 
utilizados. 
 
 REFERÊNCIAS 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da física: 
gravitação, ondas e termodinâmica. [Fundamentals of physics, 9th ed. (inglês)]. Tradução e 
revisão técnica de Ronaldo Sérgio de Biasi. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. 
 
SÓ FÍSICA. Pêndulo simples. [entre 2008 e 2018]. Disponível em: 
<https://www.sofisica.com.br/conteudos/ondulatoria/mhs/pendulo.php>. Acesso em: 04 set. 
2018.