3 Análise de circuitos CA

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Alexandre A. Kida, Msc.
professorkida@gmail.com
U3
Análise de circuitos CA
1
1. Geração de energia em corrente alternada (CA)
2. Transformadores
3. Defasagem
4. Valor médio
5. Valor eficaz
6. Fasores
7. Números complexos
8. Impedância
Plano de aula
2
• CA – corrente alternada
• Tensão alternada → tensão elétrica que varia sua polaridade
periodicamente
• A senoidal é a mais importante nos dias de hoje → consumo
de energia elétrica em CA
Geração de energia em CA
3
• Fontes de tensão CA
Geração de energia em CA
4
Simbologia
• Finalidade dos sistemas de energia elétrica → fornecimento de
energia elétrica aos usuários
• Três grandes blocos
• Geração: converte alguma forma de energia (hidráulica,
térmica, fotovoltaica, eólica etc.) em elétrica
• Transmissão: transporte da energia elétrica dos centros de
produção aos de consumo
• Distribuição: distribui a energia recebida do sistema de
transmissão aos grandes, médios e pequenos consumidores
Geração de energia em CA
5
Geração de energia em CA
6
• Final do século XIX → primeiras linhas de transmissão de
energia elétrica
• Destinavam-se exclusivamente ao suprimento do sistema de
iluminação, pequenos motores e sistema de tração
• Operavam em corrente contínua (DC) e baixa tensão (BT)
• A geração e transmissão usando os mesmos níveis de tensão
das diferentes cargas
• A tensão da geração em DC não podia ser facilmente aumentada
para a transmissão a grandes distâncias
• Diferentes de cargas exigem diferentes níveis de tensões →
geradores e circuitos específicos para cada conjunto de carga
Geração de energia em CA
7
8
Figura: Linhas elétricas da cidade de Nova York em 1890
9
Figura: Linhas elétricas da cidade de Washington, 1952
• Gerador elementar
• Modelo simplificado
• Base conceitual → lei de indução de Faraday
• O movimento relativo de um condutor e um campo
magnético induz uma tensão (força eletromotriz) no
condutor
• Regra da mão direita
Geração de energia em CA
10
• Gerador elementar
Geração de energia em CA
11
• Gerador elementar
Geração de energia em CA
12
| | ( )
* por cada seção a-b e 
c-d da espira
| |ind VBBV l sene   
• Regra da mão direita (geradores)
Geração de energia em CA
13
14
0º 90º
15
180º 270º
Geração de energia em CA
16
• Gerador real
• Também conhecido como alternador
• Rotor → parte móvel
• Estator → parte fixa
• Enrolamento de campo → produz o campo magnético
• Armadura → enrolamento induzido
• Nos geradores de grande porte
• Enrolamento de campo → rotor
• Armadura → estator
• Ao contrário do gerador elementar
Geração de energia em CA
17
Geração de energia em CA
18Rotor do gerador de Itaipu 
• Vantagens da armadura estacionária e campo rotativo
1. Carga ligada sem nenhum contato móvel (anéis coletores +
escova)
2. Maior facilidade em se isolar as bobinas do estator (↑ V)
Geração de energia em CA
19
Geração de energia em CA
20
( )
2 velocidad
(
e angular (rad s)
)
/
mE t E sen t
f

  
 
• T → período da forma de onda (s)
• Intervalo de tempo para que um ponto percorra um ciclo
completo
• f → frequência (𝑓 = 1/𝑇) (Hz – Hertz)
• Número de ciclos que ocorrem em 1s
• Tensão instantânea → valor de tensão em um tempo
especificado (𝑒1, 𝑒2)
• Em, Ep, Vm ou Vp → tensão máxima ou tensão de pico (V)
• Epp ou Vpp → tensão de pico a pico (V)
• Definições válidas também para a corrente
Geração de energia em CA
21
Geração de energia em CA
22
• Velocidade angular
Geração de energia em CA
23
R α
Em um ciclo completo:
, logo
1
c
2
2
sub
omo
stituindo na pr
 ,
2
imeira eq.
f
t
t T
T
f
T
t






 
 



 




Geração de energia em CA
24
Equivalentes
( )()E Ep sen 
*Degrees = graus
Geração de energia em CA
25
• 1 - Exercício de fixação
• Uma tensão senoidal é dada por 𝑉 𝑡 = 180 ∙
𝑠𝑒𝑛𝑜 60𝜋𝑡 𝑉. Faça o que se pede:
a) Valor da tensão de pico
b) Valor da tensão de pico a pico
c) Valor da tensão quando α = 30º,
90º, 120º, 180º 𝑒 240º
d) Esboce a forma de onda em graus e radianos
e) Qual valor de α quando V (t) = 100 V?
f) Para uma carga de 100 Ohms, esboce as formas de onda
da corrente e potência dissipada no resistor
Geração de energia em CA
26
• A tensão/corrente senoidal por não ter seu valor máximo em
90° → Pode haver um deslocamento (ϴ) horizontal do sinal
Defasagem
27
(( )) senV t V o tp    
• Adiantamento → deslocamento para a esquerda → defasagem
(ϴ) positiva
Defasagem
28
(( )) senV t V o tp    
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝐴𝑚 = 𝑉𝑝
Acontece antes
• Adiantamento
• Cosseno → adiantado em
𝜋
2
em relação ao seno
Defasagem
29
cos( )
2
t sen t
    
 
• Atraso → deslocamento para a direita → defasagem (ϴ)
negativa
Defasagem
30
(( )) senV t V o tp    
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝐴𝑚 = 𝑉𝑝
Acontece depois
• Atraso
• Seno → atrasado em
𝜋
2
em relação ao cosseno
Defasagem
31
( ) cos
2
sen t t
    
 
• Resumo
Defasagem
32
Adiantamento Atraso
ϴ + -
Deslocamento Esquerda Direita
• 3 - Indique quantos graus a tensão está adiantada e a corrente
atrasada dos sinais abaixo
Defasagem
33
• 3 – Solução da letra a
• Tensão atrasada de 40º
• Corrente adiantada de 40º
Defasagem
34
• Média aritmética dos valores instantâneos da forma de onda em
um dado período
• Relacionado com a componente contínua (DC) do sinal
• Valor mostrado no multímetro na escada DC
• Soma algébrica porque considera o sinal (+ ou -) das áreas
Valor médio
35
Soma algébrica das áreas
Valor médio =
Comprimento da curva
• Média aritmética dos valores instantâneos da forma de onda em
um dado período
• Relacionado com a componente contínua (DC) do sinal
• Valor mostrado no multímetro na escada DC
• Soma algébrica porque considera o sinal (+ ou -) das áreas
Valor médio
36
Soma algébrica das áreas
Valor médio =
Comprimento da curva
Área sob a curva, no período T
Valor médio =
período T
ou
• 4 – Determine o valor médio dos sinais abaixo
Valor médio
37
• Interesse → valor médio do sinal senoidal
Valor médio
38
• Aproximação por triângulos e retângulos
Valor médio
39
• Valor real → retângulos cujo comprimento da base tenda a zero
Valor médio
40
• 5 – Calcule o valor médio dos sinais abaixo
Valor médio
41
Am = 10V
• Conhecido como valor RMS (Root Mean quare)
• Obtida a partir do valor médio da potência dissipada em uma
resistência
• Como é possível que haja potência dissipada em um resistor
(chuveiro, por ex.) ligado a uma fonte CA, sendo que seu valor
médio é zero?
Valor eficaz
42
• Definição
• Sinal (tensão ou corrente) que dissipa a mesma potência
média que um sinal DC de mesma amplitude
Valor eficaz
43
2
2
²
' ²
'
rms
med rms
DC
med DC
med med
I
I
V
P R
R
V
P R
R
P P
 
 



• Sinal senoidal
Valor eficaz
44
0.707
2
RMS Vp
Vp
V   
2 1.41P RMS RMSV V V  
Á𝑟𝑒𝑎 = 2𝑉𝑚
Á𝑟𝑒𝑎 =
𝜋
2
𝑃𝑚
• Prova
Valor eficaz
45
 
( )
( )² ²( )
( )
1 cos(2 )
identidade: ²( )
2
1 cos(2 )
( )
2
( )
²
cos(2 )
²
(
2
²
)
2
v t Vm
Vm
Vm
sen t
v t sen t
P t
R R
se
Vp
nt
P t
R
t
P t
R R








 



 

 
2
² ²
²
2
²
Na média
0
2
²
2
2
2
med
RMS
med
RMS
RMS
Vp Vp
V Vp
R R
Vp
V
Vp
P
R R
P
V
 


  
• Passo a passo
1. Eleve o sinal v (t) ao quadrado e divida por R [ 𝑝(𝑡) =
𝑉² (𝑡)
𝑅
]
2. Tire a média do sinal resultante (cálculo da potência média)
3. Calcule o sinal DC resultante que dissipa a mesma potência
média (𝑃𝑚𝑒𝑑 =
𝑉𝐷𝐶
2
𝑅
)
Valor eficaz
46
• 6 – Calcule a tensão eficaz (RMS) do sinal abaixo
Valor eficaz
48
• Máquina elétrica estática
• Transferência de energia elétrica por meio de dois ou mais
indutores em torno de um núcleo
• Transformação acontece sem conexão física entre os indutores
→ circuitos eletricamente isolados
• “Única conexão” é realizada pelo fluxo magnético
concatenado presente no núcleo
• Principal aplicação → adequar (transformar) os níveis de tensão
Transformadores 
49
Energia CA
Freq.
Transformador
≠ Energia CA
= Freq.
Campo magnético
• Princípio de funcionamento
• Indução eletromagnética (Michael Faraday, 1831)
• Quando um circuito é submetido a um campo magnético
variável, é induzida uma tensão cuja intensidade é
proporcional às variações do fluxo magnético
Transformadores 
50
Transformadores 
51
Transformadores
52Transformador de alta potência
Transformador de baixa potência
Transformador de média potência
Transformadores
53
Primário → rede
Secundário → carga
Transformadores 
54
Transformador ideal
Circuito elétrico equivalente 
(transformador ideal)
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
1 2
2
1
 relação de 
transformação
/
E E
N N
I N I
a
a N N
E a
N
V
I
I
a






 

Transformadores 
55
2 2 1 1 2
11 1 1
2 2 2 2
2 1 2
1
1 2
2
1
2 1 2 2
1
1 1 2
2
2
1
1
2
 e ; Divindo E por E :
/ )
/ )
Como P
Como E , substituindo na eq. acima:
, divindo ambos lados por E
(
(
m m
m
m
E N E N
t t
N tE E N
E N t E N
P E E
E
N
E E
N
N
I I
N
N
I I
N
I
 


 
 
 
 
  
 
  



 


 
 2 1 1 2 2NI I I N 
• 2 – O circuito está ligada a uma fonte AC cujo valor de pico é de
100V. Esboce a corrente na carga (resistor R1)
Transformadores
56
• 1 – Da forma de onda abaixo, calcule:
• A) Frequência do sinal
• B) E) Valor de pico a pico do sinal
• C) Equação i (t) que origina esse sinal
• D) Valor eficaz e valor médio
• E) Qual o valor instantâneo quando t = 15ms?
Exercícios – Lista I
57
• 2 – O sinal abaixo é retirado de um osciloscópio onde cada
divisão na vertical equivale 50mV e na horizontal 10μs.
• A) Qual a frequência do sinal?
• B) Qual o valor eficaz deste sinal?
• C) Qual o valor de pico?
Exercícios – Lista I
58
• 3 – Para a frequência de 60 Hz, quanto tempo demorará para
uma onda senoidal passe pelo ângulo de 45°?
Exercícios – Lista I
59
• 4 – Desenhe as seguintes formas de onda:
• A)
• B)
• C)
Exercícios – Lista I
60
• 5 – Encontre expressões referentes aos sinais abaixo. Considere
que a frequência é de 60 Hz e não há defasagem.
Exercícios – Lista I
61
• 6 – Escreva as equações que dão origem as formas de onda
abaixo
Exercícios – Lista I
62
• 7 – Da forma de onda abaixo, encontre o valor de t1. Considere
que a frequência angular deste sinal é 2000𝜋 rad/s.
Exercícios – Lista I
63
• 8 – Calcule o valor médio dos sinais abaixo.
Exercícios – Lista I
64
• 9 – Calcule o valor eficaz do sinal abaixo.
Exercícios – Lista I
65
• 10 – Do circuito abaixo calcule:
• A) Corrente eficaz no primário
• B) Expressão da tensão no resistor R2
• C) Tensão de pico em R1
Exercícios – Lista I
66
• Como somar duas ou mais correntes/tensões que variam no
tempo?
• Uma solução seria somar ponto a ponto cada valor das formas
de onda
• Demanda muito tempo!
N° complexos
67
• Solução → outra representação do sinal senoidal
• Representação por números complexos
• Também conhecido como números imaginários
• Técnica simplificada para adição, subtração, multiplicação e
divisão de sinais senoidais
• Sendo possível utilizar as mesmas técnicas de análise de
circuitos DC!
N° complexos
68
• O número complexo representa um ponto em um plan 2D
• Eixos: real (Re) e imaginário (Im)
• Plano conhecido como Argand-Gauss ou Diagrama de Argand
• Duas formas de representação:
• Retangular
• Polar
• Componente imaginário
• j ou
• i
N° complexos
69
• Forma retangular
N° complexos
70
• Forma retangular
• 3 - Desenhe no plano complexo os seguintes números
complexos:
N° complexos
71
• Forma polar
N° complexos
72
• Forma polar
• Nota → sinal negativo indica deslocamento de fase de 180°
N° complexos
73
• Forma polar
• 4 – Esboce no plano complexo os seguintes números
complexos
N° complexos
74
• Conversão polar → retangular
N° complexos
75
• Conversão retangular → polar
N° complexos
76
• Conversão
• 5 – Faça as seguintes conversões e desenhe no plano
complexo
• a)
• b)
N° complexos
77
• Conversão
• Nota: deve-se atentar para que o resultado caia no
quadrante adequado
• Exemplo:
N° complexos
78
• Operações matemáticas
N° complexos
79
• Operações matemáticas
• Complexo conjugado
• Muda o sinal da parte imaginária
N° complexos
80
• Operações matemáticas
• Adição
• Soma as partes reais e as partes imaginárias de forma
separada
N° complexos
81
• Operações matemáticas
• Adição
• 6 – some C1 + C2 e desenhe o resultado no plano
complexo
N° complexos
82
• Operações matemáticas
• Subtração
N° complexos
83
• Operações matemáticas
• Subtração
• 7 – Subtraia de C2 e C1 e desenhe no plano complexo
N° complexos
84
• Operações matemáticas
• Multiplicação
• Retangular
• Deduzida vida distributiva
• Polar
• Mais fácil
N° complexos
85
• Operações matemáticas
• Multiplicação
• 8 – Faça as seguintes multiplicações
N° complexos
86
• Operações matemáticas
• Divisão (retangular)
• A divisão de dois números na forma retangular se dá ao
multiplicar o numerador e denominador pelo complexo
conjugado do denominador
N° complexos
87
• Operações matemáticas
• Divisão (polar)
• Divida a magnitude do numerador pela magnitude do
denominador e subtrais o ângulo do numerador pelo
denominador
• Mais fácil
N° complexos
88
• Operações matemáticas
• Divisão
• 9 – Realize as seguintes operações matemáticas
N° complexos
89
• Fasores utilizados na análise de circuitos
• Representação do sinal senoidal
• Relacionado com a notação polar
• Entretanto, a magnitude corresponde ao valor eficaz do sinal
• Devido a maior aplicação dos valores eficazes
•
• Note que operações matemáticas com fasores só podem ser
realizadas para sinais de mesma frequência
Fasores
90
• Exemplos
Fasores
91
Domínio do tempo Notação fasolrial
• 10 – Transforme o sinal abaixo no domínio do tempo para a
notação fasorial. Considere a frequência de 60 Hz.
Fasores
92
• 11 – Encontre a tensão de entrada se as tensões Va e Vb são:
Fasores
93
• 1 – Determineos valores dos fasores dos sinais de v (t) e i (t)
Lista
94
• 2 – Transforme os sinais abaixo em fasores e esboce-os no
diagrama complexo.
Lista
95
• 3 – Converta de retangular para polar
Lista
96
• 4 – Converta de polar para polar
Lista
97
• 5 – Determine a adição ou subtração dos sinais abaixo. Deixe os
resultados na forma retangular.
Lista
98
• 6 – Determine a multiplicação ou divisão dos sinais abaixo. Deixe
o resultado final na forma polar.
Lista
99
• 7 – Faça as seguintes operações. Dica: realize as operações de
soma/subtração na forma retangular e multiplicação/divisão na
forma polar.
Lista
100
• 8 – Determine a corrente i2 do circuito utilizando fasores.
Lista
101
• 9 – Determine o valor de X e Y se:
• A)
• B)
• C)
• D) Determine ϴ se
Lista
102
• 10 – Qual o valor da corrente de entrada (Is) se:
Lista
103