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Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares Introdução Muitas funções são utilizadas para descrever fenômenos físicos ou situações que acontecem no dia-a-dia. Essas funções são chamadas de modelos matemáticos porque servem para representar com bastante precisão o comportamento das grandezas que interferem numa dada situação. Existem vários tipos diferentes de funções, as quais podem ser usadas para modelar fenômenos observados no mundo real. Funções Lineares Uma função linear (ou função polinomial do 1º grau) tem a forma: baxxfy )( Seu gráfico é uma reta tal que: • a é a inclinação ou coeficiente angular da reta, ou taxa de variação de y em relação à x; • b é o intercepto y (ponto o gráfico intercepta o eixo y). Figura 1 – Gráfico de uma função linear O coeficiente angular a pode ser calculado com valores da função em dois pontos distintos A e B, usando a fórmula: 01 01 xx yy x y a Resumindo: O gráfico de uma função linear é uma reta no plano cartesiano (a equação baxy é denominada equação da reta na foram reduzida). A raiz da função linear (ou intercepto x: ponto onde o gráfico intercepta o eixo x) é dada por abx . A reta intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b). • )0,( a b • Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares Exemplo 1 Determinar a equação da reta ( baxy ) que passa pelo ponto A(2, 3) com inclinação 35a . Cálculo de b (intercepto y) Sendo 35a , a equação da reta é: bxy 3 5 Como o ponto A(2, 3) pertence a essa reta, temos, (substituindo, na equação da reta, x por 2 e y por 3) b 2 3 5 3 Dessa igualdade, concluímos que 31b . Equação da reta: 3 1 3 5 xy Para construir o gráfico da reta determinamos, a partir da equação acima, as coordenadas de um outro ponto qualquer da reta. Fazendo, por exemplo, 4x temos 7)4( f . Gráfico da reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(-4,-7) Estudo do sinal da função: Consiste em se determinar para quais valores de x a função é positiva, negativa ou nula. Observe que a função muda de sinal no ponto onde o gráfico intercepta o eixo x. Intercepto x: Fazendo 0y na função, tem-se 3 1 3 5 0 x . Efetuando os cálculos, obtém-se 5 1 x (observe que x = -b/a). Sinal da função: • 0)( xf no intervalo 51x ; • 0)( xf no intervalo 51x ; • 0)( xf para 51x ; x 1/5 + _ Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares Exemplo 2 Determinar a equação da reta ( baxy ) que passa pelos pontos A(-2, 7) e B(1, -4). Gráfico da reta que passa pelos pontos A(-2,7) e B(1,-4) Cálculo de m (inclinação) Conhecidos os pontos A e B pode-se calcular a: 3 11 )2(1 74 a Cálculo de b (intercepto y) Sendo 311a , a equação da reta é: bxy 3 11 Como o ponto B(1, -4) pertence a essa reta, temos: b 1 3 11 4 (obtida substituindo-se, na equação da reta, x por 1 e y por – 4) Dessa igualdade, concluímos que 31b . Equação da reta: 3 1 3 11 xy Obs.: Se ao invés do ponto B(1, -4), utilizarmos as coordenadas de A(-2,7) e 311a , chegaremos à equação b )2( 3 11 7 de onde 31b . A equação da reta obtida seria, evidentemente, 3 1 3 11 xy . Intercepto x: Fazendo 0y na função, temo 3 1 3 11 0 x . Efetuando os cálculos, obtemos 11 1 x (observe que x = -b/a). Sinal da função: • 0)( xf no intervalo 111x ; • 0)( xf no intervalo 111x ; • 0)( xf para 111x ; x -1/11 + _ Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares Exemplo 3 Funções lineares são usadas para descrever situações, nas quais o crescimento ou o decrescimento da variável dependente é proporcional ao crescimento da variável independente. Assim, dizemos que uma função é linear se qualquer variação na variável independente provoca uma variação proporcional na variável dependente. A tabela abaixo mostra a evolução da altura de certo adolescente dos 13 aos 18 anos. Evolução da altura de certo adolescente dos 13 aos 18 anos Idade Altura (cm) 13 131 14 140 15 149 16 158 17 167 18 176 Como, a cada ano, a altura aumentou 9 cm, podemos afirmar que a altura desse adolescente é uma função linear de sua idade, na fase dos 13 aos 18 anos Gráfico da evolução da altura em função da idade do adolescente Como achar uma fórmula para o crescimento do adolescente? Podemos estabelecer uma fórmula que nos dá a altura h, em centímetros, como função da idade t, em anos, no intervalo de 1813 t anos. bath Cálculo de m (inclinação): Considerando dois pontos quaisquer da tabela, por exemplo, A(14, 140) e B(15, 149) calculamos: 9 1415 140149 a Cálculo de b (intercepto h): Sendo 9a , a equação da reta é: bth 9 . Como o ponto A(14, 140) pertence a essa reta, temos: b 149140 . Dessa igualdade, concluímos que 14b . Equação da reta: 149 th (definida no intervalo 1813 t anos). Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares Exemplo 4 O custo de uma caixa de uvas frescas, numa vinicultura, é de R$15,00, mas o preço cai R$0,30 a cada dia, em virtude da perda de qualidade do produto. Obtenha o custo da caixa do produto que já foi colhido a t dias. Considerando o dia em que as uvas foram colhidas como t = 0, construímos a seguinte tabela do custo do produto ao longo do tempo. Depreciação das uvas t (dias) C (reais) 0 15,00 1 14,70 2 14,40 3 14,10 ... ... ? 0,30 ? 0 Essa é uma função linear porque o custo do produto diminui a uma taxa constante. Podemos estabelecer um modelo que nos dá o custo C, em reais, como função do tempo t, em dias. batC Cálculo de m (inclinação): Considerando dois pontos quaisquer da tabela, por exemplo, A(0, 15) e B(1; 14,7) calculamos: 30,0 01 157,14 a Cálculo de b (intercepto C): Sendo 30,0a , a equação da reta é: btC 30,0 . Como o ponto B(1, 14,7) pertence a essa reta, temos: b 130,07,14 . Dessa igualdade, concluímos que 15b . Equação da reta: 1530,0 tC . Gráfico da função Função Custo Um modelo simples que descreve o custo de um produto é formado por uma parcela fixa (custo fixo), onde são colocados os custos que não dependem da quantidade produzida, como aluguel de prédio, salários de administradores, etc. Outra parte é custo variável, obtido pela multiplicação do custounitário pela quantidade produzida; isto é podemos representar por: Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares xCVCFxC )( Onde: )(xC é a função custo CF o custo fixo CV o custo variável x a quantidade produzida. Exemplo 1: Um produto tem custo fixo de R$8.000,00 por mês e custo variável por unidade de R$12,00. a) Construa um modelo funcional do custo para este produto, a partir da quantidade produzida no mês; b) Se a capacidade de produção no mês é de 15.000 unidades, qual o custo mensal? c) Se o custo de produção em determinado mês foi de R$164.000,00, qual foi a quantidade produzida no mês? Função Receita A receita obtida com a venda de certa quantidade de um item é o produto do preço de venda unitário por essa quantidade vendida; isto é PVxxR )( Onde: )(xR é a função receita PV é o preço de venda x é a quantidade vendida Exemplo: Usando o exemplo anterior temos: d) Se o preço unitário de venda deste produto for R$20,00, construa um modelo funcional que descreva a receita obtida em função da quantidade vendida do produto. Função Lucro O lucro obtido com a venda de determinada quantidade de um produto pode ser determinado a partir da diferença entre a receita obtida pela venda dessa quantidade e o custo devido à sua produção. )()()( xCxRxL ou CFxCVPVxL )()( Exemplo: Usando ainda o mesmo exemplo temos e) Construa um modelo funcional que descreva o lucro no mês em função da quantidade produzida e vendida. f)Qual a quantidade, produzida e vendida, que faz com que a receita obtida cubra os custos de produção? g) Esboce o gráfico das funções, custo, receita e lucro em termos da quantidade produzida, num mesmo sistema coordenado. Solução: CF= 8.000 CV= 12 a) xxC 12000.8)( Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares b) 00,000.188$000.1512000.8)000.15( RC c) 000.16412000.8 x 000.15612 x 000.13x unidades d) 20PV xxR 20)( e) )12000.8(20)( xxxL 80008)( xxL f) Neste caso estamos procurando o lucro zero 0000.88 x 000.88 x 000.1x Função Demanda A análise da função oferta e da função demanda nos oferece uma ferramenta importante que pode ser aplicada a várias questões como compreensão e previsão de como variações nas condições econômicas mundiais podem afetar o preço no mercado e a produção. Chamamos de demanda a relação entre a variação na quantidade demandada (consumida) de um produto e a variação no preço deste produto. A demanda ou procura por um produto pelos consumidores geralmente aumenta quando o preço cai e diminui quando o preço aumenta. Desta forma a função demanda é geralmente decrescente. Veja o gráfico abaixo. 10 5000 Esta é a representação da função demanda 10002,0 xp Função Oferta Chamamos de oferta a relação entre a variação na quantidade ofertada (disponibilizada) de um produto e a variação no preço deste produto. A oferta de um produto pelos produtores geralmente aumenta quando o preço aumenta e diminui quando o preço diminui. Desta forma a função oferta é geralmente crescente. Veja o gráfico abaixo. 2 Esta é a representação da função oferta 25,0 xp Exercícios 1) Determinar a equação da reta que satisfaça as condições dadas. a) Passa pelo ponto (1, 7) e tem inclinação 2/3; b) Passa pelos pontos (2, 1) e (1, 6); c) Tem inclinação 3 e intercepto y igual a -2; d) Tem intercepto x igual a 1 e intercepto y igual a -3; Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares 2) Determinar a inclinação e o intercepto x e y das retas. Esboçar os gráficos. a) 03 yx b) 02 y c) 1243 yx d) )5(23 xy e) 05,1375,0 xy f) xy 225 3) Estude o sinal das seguintes funções: a) 62 xy b) 123 xy c) 25 xy d) xy 3 4) Obtenha o coeficiente angular da reta que passa por A e B nos seguintes casos: a) 7,2 e 2,1 BA b) 5,2 e 3,0 BA c) 5,3 e 4,1 BA 5) O custo fixo de fabricação de um produto é R$1.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é R$5,00. Se cada unidade for vendida por R$7,00: a) Qual o ponto de nivelamento? (Entende-se por ponto de nivelamento a igualdade entre a receita e o custo). b) Se o produtor conseguiu reduzir o custo variável por unidade em 20% , à custa do aumento do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de nivelamento? c) Qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de nivelamento ( em relação ao item a) quando o custo variável por unidade é reduzido em 30%? 6) O custo fixo mensal de uma empresa é R$30.000,00, o preço unitário de venda é R$8,00 e o custo por unidade R$6,00. a) Obtenha a função lucro mensal. b) Obtenha a função lucro liquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 30% do lucro. 7) A diferença entre o preço de venda e o custo por unidade é chamado de margem de contribuição. Sabendo-se que a margem de contribuição por unidade é R$3,00, o preço de venda é R$10,00 e o custo fixo é R$150,00 por dia, obtenha: a) A função receita. b) A função Custo total diário. c) O ponto de nivelamento. d) A função Lucro diário. e) A quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de R$180,00 por dia. 8) O preço de venda de um produto é R$25,00. O custo variável por unidade é formado por : R$6,00 referente à matéria prima e R$8,00 referente à mão de obra. Sabendo-se ainda que, o custo fixo mensal é R$2.500,00. Obtenha: a) Qual o ponto critico (ou ponto de nivelamento)? b) Qual a margem de contribuição por unidade? c) Qual o lucro se a empresa produzir e vender 1.000 unidades por mês? d) De quanto aumenta percentualmente o lucro, se a produção aumentar de 1.000 para 1.500 unidades por mês? 9) Para a produção de 100 unidades, o custo médio é R$4,00, e o custo fixo, R$150,00 por dia. Sabendo-se que o preço de venda é R$6,00 por unidade, obtenha: Obs. Entendemos por custo médio o quociente entre o custo total e a quantidade produzida. x xC xCme )( )( a) O lucro para 100 unidades vendidas. b) O ponto crítico (nivelamento) 10) Uma empresa de locação de veículos oferece automóveis a R$80,00 por dia e R$0,40 o quilômetro rodado. Os carros da concorrente estão sendo locados a R$90,00 a diária e R$0,30 Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares o quilômetro rodado. Para cada empresa, determine um modelo que forneça o custo de alugar um carro por um dia em função da distância percorrida. Esboce o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas. Qual empresa tem o aluguel mais barato? 11) – Um fabricante vende certo produto por R$60,00 a unidade. Seu custo fixo mensal é R$10.000,00 e o custo variável por unidade é R$40,00. Obtenha as funções custo, receita e lucro do fabricante. Esboce o gráfico das funções em um mesmo sistema coordenado. Determine o ponto de nivelamento. Se o fabricante desejar obter um lucro mensal de R$8.000,00, quantas unidades do produto deverá vender?12) Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida será 20.000 unidades por ano. Se o custo fixo de fabricação for de R$150.000,00 por ano e o custo variável por unidade produzida R$20,00, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não ter prejuízo? 13) Um industrial fabrica um produto ao custo de R$0,65 por unidade e vende-o a R$1,20 por unidade. O investimento inicial para fabricar o produto foi de R$10.000,00. Determine : a) A função receita, a função custo e a função lucro. b) Faça um esboço dos gráficos de receita, custo e lucro. c) Quantas unidades o industrial deve vender para atingir o ponto de equilíbrio 14) Em uma safra, a demanda e o preço de uma fruta estão relacionados de acordo com a tabela Demanda (x) 10 25 40 55 Preço (p) 5,10 4,95 4,80 4,65 a) Construa um modelo funcional que descreva a função demanda. b) Esboce o gráfico da função demanda. 15) Em uma safra, a oferta e o preço de uma fruta estão relacionados de acordo com a tabela Oferta (x) 10 25 40 55 Preço (p) 4,50 4,80 5,10 5,40 a) Construa um modelo funcional que descreva a função oferta. b) Esboce o gráfico da função oferta. 16) Podemos dizer que o “preço de equilíbrio de um produto corresponde ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala ao que é oferecido por parte dos fornecedores, ou seja, quando a demanda é igual à oferta.” Considerando as funções de oferta e demanda encontradas nos exercícios 1 e 2, determine: a) O preço de equilíbrio e a quantidade demandada/ofertada para esse preço. b) Faça um esboço dos gráficos no mesmo eixo cartesiano, marque o preço e a quantidade de equilíbrio. 17) Uma indústria produz sapatos, bolsas e cintos femininos. As funções de oferta e de demanda são apresentadas na tabela a seguir: PRODUTO OFERTA DEMANDA Sapatos 1x 14 1 xpsapatos 72 1 xpsapatos Bolsas 2x 37 2 xpbolsas 192 xpbolsas Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares Cintos 3x 25 3int xp osc 204 3int xp osc Onde ix é a quantidade do produto i ( i=1,2,3) Pede-se: a) O ponto de equilíbrio de mercado de cada produto. b) A função de oferta total da empresa. c) A função de demanda total da empresa. d) O esboço do gráfico das oferta e demanda num mesmo sistema de eixos cartesiano para cada um dos produtos e) A análise econômica de cada produto. 18) Uma indústria produz xampu, sabonete e desodorante. As funções de oferta e de demanda são apresentadas na tabela a seguir: PRODUTO OFERTA DEMANDA xampu 1x 23 1 xpxampu 51 xpxampu sabonete 2x 53 2 xpsabonete 152 2 xpsabonete desodorante 3x 43 xp edesodorant 72 3 xp edesodorant Onde ix é a quantidade do produto i ( i=1,2,3) Pede-se: a) O ponto de equilíbrio de mercado de cada produto. b) A função de oferta total da empresa. c) A função de demanda total da empresa. d) O esboço do gráfico das oferta e demanda num mesmo sistema de eixos cartesiano para cada um dos produtos e) A análise econômica de cada produto. 19) Suponhamos que a curva de demanda por um produto seja dada por Ipx 42300 onde I é a renda média medida em milhares de dólares. A curva de oferta é 503 px a) Se 50I , calcule o preço e a quantidade de equilíbrio de mercado para o produto. b) Se 30I , calcule o preço e a quantidade de equilíbrio de mercado para o produto. c) Desenhe um gráfico que ilustre suas respostas. RESPOSTAS: 1) a) 3 19 3 2 xy b) 115 xy c) 23 xy d) 33 xy 2) a) intercepto x e y 0,0 , 3 1 a b) intercepto x não existe, intercepto y 3,0 , 0 a Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas Matemática Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Funções : lineares c) intercepto x 0,4 e intercepto y 3,0 , 4 3 a d) intercepto x 0;213 e intercepto y 13,0 , 2a e) intercepto x 0,5 e intercepto y 20,0 , 4a f) intercepto x 0,3 e intercepto y 23,0 , 2 1 a 3) a) 3 Qdo 0)( 3 Qdo 0)( 3 Qdo 0)( xxf xxf xxf b) 4 Qdo 0)( 4 Qdo 0)( 4 Qdo 0)( xxf xxf xxf c) 3 2 Qdo 0)( 3 2 Qdo 0)( 3 2 Qdo 0)( xxf xxf xxf d) 0 Qdo 0)( 0 Qdo 0)( 0 Qdo 0)( xxf xxf xxf 4) a) 5a b) 1a c) 4 1 a 5) a) 500x b) 400x c) 750CF 6) a) 000.302)( xxL b) 000.214,1)( xxLliq 7) a) xxR 10)( b) xxC 7150)( c) 50x d) 1503)( xxL e) 110 8) a) 27,227x b) 11MC c) R$8500,00 d) 64,71% 9) a) R$200,00 b) 86,42x 10) xLocadora 40,0801 xLocadora 30,0902 11) xxR 60)( , xxC 4010000)( , 000.1020)( xxL , 500x , 900x 12) R$27,5 13) a) xxR 20,1)( , 000.1065,0)( xxC , 000.1055,0)( xxL c) 81,18181x 14) a) 20,501,0 xp 15) a) 30,402,0 xp 16) a) 30x e 90,4$Rp 17) a) Sapato 11 x e 5$1 p bolsa 22 x e 17$p cinto 23 x e 12$3 p 18) Xampu 75,01 x 25,4$1 p sabonete 22 x e 11$2 p desodorante 13 x e 5$3 p 19) a) 280x e 110$p b) 67,38x e 67,190$p
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