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aula 02 Funcao Linear

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Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas 
Matemática 
Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Funções : lineares 
 
 
 
 
Introdução 
Muitas funções são utilizadas para descrever fenômenos físicos ou situações que acontecem 
no dia-a-dia. Essas funções são chamadas de modelos matemáticos porque servem para 
representar com bastante precisão o comportamento das grandezas que interferem numa 
dada situação. Existem vários tipos diferentes de funções, as quais podem ser usadas para 
modelar fenômenos observados no mundo real. 
 
Funções Lineares 
 
Uma função linear (ou função polinomial do 1º grau) tem a forma: 
 
baxxfy  )(
 
 
Seu gráfico é uma reta tal que: 
 
• 
a
 é a inclinação ou coeficiente angular da reta, ou taxa de variação de y em relação à x; 
 
• 
b
 é o intercepto y (ponto o gráfico intercepta o eixo y). 
 
 
Figura 1 – Gráfico de uma função linear 
 
 
O coeficiente angular 
a
 pode ser calculado com valores da função em dois pontos distintos A 
e B, usando a fórmula: 
 
01
01
xx
yy
x
y
a






 
 
 
Resumindo: O gráfico de uma função linear é uma reta no plano cartesiano (a equação 
baxy 
 é denominada equação da reta na foram reduzida). A raiz da função linear (ou 
intercepto x: ponto onde o gráfico intercepta o eixo x) é dada por 
abx 
. A reta 
intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b). 
 
• 
)0,(
a
b
 
• 
 
 
Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas 
Matemática 
Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Funções : lineares 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Determinar a equação da reta (
baxy 
) que passa pelo ponto A(2, 3) com inclinação 
35a
. 
Cálculo de b (intercepto y) 
Sendo 
35a
, a equação da reta é: 
bxy 
3
5
 
Como o ponto A(2, 3) pertence a essa reta, temos, 
(substituindo, na equação da reta, x por 2 e y por 3) 
b 2
3
5
3
 
Dessa igualdade, concluímos que 
31b
. 
Equação da reta: 
3
1
3
5
 xy
 
Para construir o gráfico da reta determinamos, a 
partir da equação acima, as coordenadas de um outro 
ponto qualquer da reta. Fazendo, por exemplo, 
4x
 temos 
7)4( f
. 
Gráfico da reta que passa 
pelos pontos A(2,3) e B(-4,-7) 
 
 
 
Estudo do sinal da função: 
Consiste em se determinar para quais valores de x a função é positiva, negativa ou nula. Observe 
que a função muda de sinal no ponto onde o gráfico intercepta o eixo x. 
 
Intercepto x: 
Fazendo 
0y
 na função, tem-se 
3
1
3
5
0  x
. Efetuando os cálculos, obtém-se 
5
1
x
 
(observe que x = -b/a). 
 
 
Sinal da função: 
 
•
0)( xf
 no intervalo 
51x
; 
•
0)( xf
 no intervalo 
51x
; 
•
0)( xf
 para 
51x
; 
 
 
 
 
 
 
x 
1/5 
+ 
_ 
 
Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas 
Matemática 
Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Funções : lineares 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Determinar a equação da reta (
baxy 
) que passa pelos pontos A(-2, 7) e B(1, -4). 
 
Gráfico da reta que passa 
pelos pontos A(-2,7) e B(1,-4) 
 
 
 
 
Cálculo de m (inclinação) 
Conhecidos os pontos A e B pode-se calcular a: 
3
11
)2(1
74 



a
 
Cálculo de b (intercepto y) 
Sendo 
311a
, a equação da reta é: 
bxy 
3
11
 
Como o ponto B(1, -4) pertence a essa reta, temos: 
b 1
3
11
4
 
(obtida substituindo-se, na equação da reta, x por 
1 e y por – 4) 
 
Dessa igualdade, concluímos que 
31b
. 
 Equação da reta: 
3
1
3
11
 xy
 
Obs.: Se ao invés do ponto B(1, -4), utilizarmos as coordenadas de A(-2,7) e 
311a
, 
chegaremos à equação 
b )2(
3
11
7
 de onde 
31b
. A equação da reta obtida seria, 
evidentemente, 
3
1
3
11
 xy
. 
 
Intercepto x: 
Fazendo 
0y
 na função, temo 
3
1
3
11
0  x
. Efetuando os cálculos, obtemos 
11
1
x
 
(observe que x = -b/a). 
 
Sinal da função: 
 
•
0)( xf
 no intervalo 
111x
; 
•
0)( xf
 no intervalo 
111x
; 
•
0)( xf
 para 
111x
; 
 
 
x 
-1/11 
+ 
_ 
 
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Matemática 
Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Funções : lineares 
 
 
 
 
Exemplo 3 
 
Funções lineares são usadas para descrever situações, nas quais o crescimento ou o 
decrescimento da variável dependente é proporcional ao crescimento da variável 
independente. Assim, dizemos que uma função é linear se qualquer variação na variável 
independente provoca uma variação proporcional na variável dependente. 
 
A tabela abaixo mostra a evolução da altura de certo adolescente dos 13 aos 18 anos. 
 
Evolução da altura de certo 
adolescente dos 13 aos 18 anos 
 
Idade 
 
Altura 
(cm) 
13 131 
14 140 
15 149 
16 158 
17 167 
18 176 
 
Como, a cada ano, a altura 
aumentou 9 cm, podemos afirmar 
que a altura desse adolescente é 
uma função linear de sua idade, na 
fase dos 13 aos 18 anos 
Gráfico da evolução da altura em função da 
idade do adolescente 
 
 
Como achar uma fórmula para o crescimento do adolescente? 
 
Podemos estabelecer uma fórmula que nos dá a altura h, em centímetros, como função da 
idade t, em anos, no intervalo de 
1813  t
anos. 
 
bath 
 
 
Cálculo de m (inclinação): Considerando dois pontos quaisquer da tabela, por exemplo, 
A(14, 140) e B(15, 149) calculamos: 
9
1415
140149



a
 
 
Cálculo de b (intercepto h): Sendo 
9a
, a equação da reta é: 
bth  9
. 
Como o ponto A(14, 140) pertence a essa reta, temos: 
b 149140
. 
Dessa igualdade, concluímos que 
14b
. 
 
Equação da reta: 
149  th
(definida no intervalo 
1813  t
anos). 
 
 
 
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Matemática 
Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Funções : lineares 
 
 
 
 
Exemplo 4 
 
O custo de uma caixa de uvas frescas, numa vinicultura, é de R$15,00, mas o preço cai R$0,30 
a cada dia, em virtude da perda de qualidade do produto. Obtenha o custo da caixa do 
produto que já foi colhido a t dias. 
 
Considerando o dia em que 
as uvas foram colhidas como 
t = 0, construímos a seguinte 
tabela do custo do produto 
ao longo do tempo. 
 
 
Depreciação das uvas 
t 
(dias) 
C 
(reais) 
0 15,00 
1 14,70 
2 14,40 
3 14,10 
... ... 
? 0,30 
? 0 
 
 
 
Essa é uma função linear 
porque o custo do produto 
diminui a uma taxa 
constante. 
Podemos estabelecer um modelo que nos dá o custo C, 
em reais, como função do tempo t, em dias. 
 
batC 
 
 
Cálculo de m (inclinação): Considerando dois pontos 
quaisquer da tabela, por exemplo, A(0, 15) e B(1; 14,7) 
calculamos: 
30,0
01
157,14



a
 
Cálculo de b (intercepto C): Sendo 
30,0a
, a 
equação da reta é: 
btC  30,0
. 
 
Como o ponto B(1, 14,7) pertence a essa reta, temos: 
 
b 130,07,14
. 
 
Dessa igualdade, concluímos que 
15b
. 
 
Equação da reta: 
1530,0  tC
. 
 
Gráfico da função 
 
 
 
Função Custo 
 
Um modelo simples que descreve o custo de um produto é formado por uma parcela fixa 
(custo fixo), onde são colocados os custos que não dependem da quantidade produzida, como 
aluguel de prédio, salários de administradores, etc. Outra parte é custo variável, obtido pela 
multiplicação do custounitário pela quantidade produzida; isto é podemos representar por: 
 
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Matemática 
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Funções : lineares 
 
 
 
 
xCVCFxC )(
 
Onde: 
)(xC
 é a função custo 
CF
 o custo fixo 
CV
 o custo variável 
x a quantidade produzida. 
 
Exemplo 1: 
Um produto tem custo fixo de R$8.000,00 por mês e custo variável por unidade de R$12,00. 
 
a) Construa um modelo funcional do custo para este produto, a partir da quantidade 
produzida no mês; 
 
b) Se a capacidade de produção no mês é de 15.000 unidades, qual o custo mensal? 
 
c) Se o custo de produção em determinado mês foi de R$164.000,00, qual foi a 
quantidade produzida no mês? 
 
Função Receita 
 
A receita obtida com a venda de certa quantidade de um item é o produto do preço de venda 
unitário por essa quantidade vendida; isto é 
PVxxR )(
 
Onde: 
)(xR
 é a função receita 
 
PV
 é o preço de venda 
 
x
 é a quantidade vendida 
 
Exemplo: 
Usando o exemplo anterior temos: 
d) Se o preço unitário de venda deste produto for R$20,00, construa um modelo funcional que 
descreva a receita obtida em função da quantidade vendida do produto. 
 
Função Lucro 
 
 O lucro obtido com a venda de determinada quantidade de um produto pode ser 
determinado a partir da diferença entre a receita obtida pela venda dessa quantidade e o 
custo devido à sua produção. 
)()()( xCxRxL 
 ou 
CFxCVPVxL  )()(
 
Exemplo: 
Usando ainda o mesmo exemplo temos 
e) Construa um modelo funcional que descreva o lucro no mês em função da quantidade 
produzida e vendida. 
f)Qual a quantidade, produzida e vendida, que faz com que a receita obtida cubra os custos 
de produção? 
 
g) Esboce o gráfico das funções, custo, receita e lucro em termos da quantidade produzida, 
num mesmo sistema coordenado. 
 
Solução: 
CF= 8.000 
CV= 12 
a) 
xxC 12000.8)( 
 
 
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Funções : lineares 
 
 
 
 
b) 
00,000.188$000.1512000.8)000.15( RC 
 
c)
000.16412000.8  x
 

 
000.15612 x
 

 
000.13x
 unidades 
d) 
20PV
 
xxR 20)( 
 
e) 
)12000.8(20)( xxxL 
 

 
80008)(  xxL
 
f) Neste caso estamos procurando o lucro zero 
0000.88 x
 

 
000.88 x
 

 
000.1x
 
 
Função Demanda 
 
A análise da função oferta e da função demanda nos oferece uma ferramenta importante que 
pode ser aplicada a várias questões como compreensão e previsão de como variações nas 
condições econômicas mundiais podem afetar o preço no mercado e a produção. 
 
Chamamos de demanda a relação entre a variação na quantidade demandada (consumida) de 
um produto e a variação no preço deste produto. A demanda ou procura por um produto pelos 
consumidores geralmente aumenta quando o preço cai e diminui quando o preço aumenta. 
Desta forma a função demanda é geralmente decrescente. Veja o gráfico abaixo. 
 
 10 
 
 
 
 5000 
Esta é a representação da função demanda 
10002,0  xp 
Função Oferta 
Chamamos de oferta a relação entre a variação na quantidade ofertada (disponibilizada) de 
um produto e a variação no preço deste produto. A oferta de um produto pelos produtores 
geralmente aumenta quando o preço aumenta e diminui quando o preço diminui. Desta forma 
a função oferta é geralmente crescente. Veja o gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 2 
 
 
Esta é a representação da função oferta 
25,0  xp 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Determinar a equação da reta que satisfaça as condições dadas. 
 
a) Passa pelo ponto (1, 7) e tem inclinação 2/3; 
b) Passa pelos pontos (2, 1) e (1, 6); 
c) Tem inclinação 3 e intercepto y igual a -2; 
d) Tem intercepto x igual a 1 e intercepto y igual a -3; 
 
 
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Matemática 
Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Funções : lineares 
 
 
 
 
2) Determinar a inclinação e o intercepto x e y das retas. Esboçar os gráficos. 
a)
03  yx
 b) 
02 y
 c) 
1243  yx
 
d) 
)5(23  xy
 e) 
05,1375,0  xy
 f) 
xy  225
 
 
3) Estude o sinal das seguintes funções: 
a) 
62  xy
 b) 
123  xy
 c) 
25  xy
 d) 
xy 3
 
 
4) Obtenha o coeficiente angular da reta que passa por A e B nos seguintes casos: 
a) 
   7,2 e 2,1 BA
 b) 
   5,2 e 3,0 BA
 c) 
   5,3 e 4,1 BA 
 
 
5) O custo fixo de fabricação de um produto é R$1.000,00 por mês, e o custo variável por 
unidade é R$5,00. Se cada unidade for vendida por R$7,00: 
a) Qual o ponto de nivelamento? (Entende-se por ponto de nivelamento a igualdade entre a 
receita e o custo). 
b) Se o produtor conseguiu reduzir o custo variável por unidade em 20% , à custa do aumento 
do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de nivelamento? 
c) Qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de nivelamento ( 
em relação ao item a) quando o custo variável por unidade é reduzido em 30%? 
 
6) O custo fixo mensal de uma empresa é R$30.000,00, o preço unitário de venda é R$8,00 e o 
custo por unidade R$6,00. 
a) Obtenha a função lucro mensal. 
b) Obtenha a função lucro liquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 30% do lucro. 
 
7) A diferença entre o preço de venda e o custo por unidade é chamado de margem de 
contribuição. Sabendo-se que a margem de contribuição por unidade é R$3,00, o preço de 
venda é R$10,00 e o custo fixo é R$150,00 por dia, obtenha: 
a) A função receita. 
b) A função Custo total diário. 
c) O ponto de nivelamento. 
d) A função Lucro diário. 
e) A quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de R$180,00 por dia. 
 
8) O preço de venda de um produto é R$25,00. O custo variável por unidade é formado por : 
R$6,00 referente à matéria prima e R$8,00 referente à mão de obra. Sabendo-se ainda que, o 
custo fixo mensal é R$2.500,00. Obtenha: 
a) Qual o ponto critico (ou ponto de nivelamento)? 
b) Qual a margem de contribuição por unidade? 
c) Qual o lucro se a empresa produzir e vender 1.000 unidades por mês? 
d) De quanto aumenta percentualmente o lucro, se a produção aumentar de 1.000 para 
1.500 unidades por mês? 
 
9) Para a produção de 100 unidades, o custo médio é R$4,00, e o custo fixo, R$150,00 por dia. 
Sabendo-se que o preço de venda é R$6,00 por unidade, obtenha: 
Obs. Entendemos por custo médio o quociente entre o custo total e a quantidade 
produzida. 
x
xC
xCme
)(
)( 
 
a) O lucro para 100 unidades vendidas. 
b) O ponto crítico (nivelamento) 
 
10) Uma empresa de locação de veículos oferece automóveis a R$80,00 por dia e R$0,40 o 
quilômetro rodado. Os carros da concorrente estão sendo locados a R$90,00 a diária e R$0,30 
 
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Matemática 
Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Funções : lineares 
 
 
 
 
o quilômetro rodado. Para cada empresa, determine um modelo que forneça o custo de 
alugar um carro por um dia em função da distância percorrida. Esboce o gráfico das duas 
funções em um mesmo sistema de coordenadas. Qual empresa tem o aluguel mais barato? 
 
11) – Um fabricante vende certo produto por R$60,00 a unidade. Seu custo fixo mensal é 
R$10.000,00 e o custo variável por unidade é R$40,00. Obtenha as funções custo, receita e 
lucro do fabricante. Esboce o gráfico das funções em um mesmo sistema coordenado. 
Determine o ponto de nivelamento. Se o fabricante desejar obter um lucro mensal de 
R$8.000,00, quantas unidades do produto deverá vender?12) Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida será 20.000 
unidades por ano. Se o custo fixo de fabricação for de R$150.000,00 por ano e o custo variável 
por unidade produzida R$20,00, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não 
ter prejuízo? 
13) Um industrial fabrica um produto ao custo de R$0,65 por unidade e vende-o a R$1,20 por 
unidade. O investimento inicial para fabricar o produto foi de R$10.000,00. Determine : 
a) A função receita, a função custo e a função lucro. 
b) Faça um esboço dos gráficos de receita, custo e lucro. 
c) Quantas unidades o industrial deve vender para atingir o ponto de equilíbrio 
14) Em uma safra, a demanda e o preço de uma fruta estão relacionados de acordo com a 
tabela 
Demanda (x) 10 25 40 55 
Preço (p) 5,10 4,95 4,80 4,65 
 
a) Construa um modelo funcional que descreva a função demanda. 
b) Esboce o gráfico da função demanda. 
15) Em uma safra, a oferta e o preço de uma fruta estão relacionados de acordo com a tabela 
Oferta (x) 10 25 40 55 
Preço (p) 4,50 4,80 5,10 5,40 
 
a) Construa um modelo funcional que descreva a função oferta. 
b) Esboce o gráfico da função oferta. 
16) Podemos dizer que o “preço de equilíbrio de um produto corresponde ao valor em que a 
procura por parte dos consumidores se iguala ao que é oferecido por parte dos 
fornecedores, ou seja, quando a demanda é igual à oferta.” 
Considerando as funções de oferta e demanda encontradas nos exercícios 1 e 2, 
determine: 
a) O preço de equilíbrio e a quantidade demandada/ofertada para esse preço. 
b) Faça um esboço dos gráficos no mesmo eixo cartesiano, marque o preço e a 
quantidade de equilíbrio. 
17) Uma indústria produz sapatos, bolsas e cintos femininos. As funções de oferta e de 
demanda são apresentadas na tabela a seguir: 
PRODUTO OFERTA DEMANDA 
Sapatos  1x 14 1  xpsapatos 72 1  xpsapatos 
Bolsas  2x 37 2  xpbolsas 192  xpbolsas 
 
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Matemática 
Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Funções : lineares 
 
 
 
 
Cintos  3x 25 3int  xp osc 204 3int  xp osc 
Onde  ix é a quantidade do produto i ( i=1,2,3) 
Pede-se: 
a) O ponto de equilíbrio de mercado de cada produto. 
b) A função de oferta total da empresa. 
c) A função de demanda total da empresa. 
d) O esboço do gráfico das oferta e demanda num mesmo sistema de eixos cartesiano 
para cada um dos produtos 
e) A análise econômica de cada produto. 
 
18) Uma indústria produz xampu, sabonete e desodorante. As funções de oferta e de 
demanda são apresentadas na tabela a seguir: 
PRODUTO OFERTA DEMANDA 
xampu  1x 23 1  xpxampu 51  xpxampu 
sabonete  2x 53 2  xpsabonete 152 2  xpsabonete 
desodorante  3x 43  xp edesodorant 72 3  xp edesodorant 
Onde  ix é a quantidade do produto i ( i=1,2,3) 
Pede-se: 
a) O ponto de equilíbrio de mercado de cada produto. 
b) A função de oferta total da empresa. 
c) A função de demanda total da empresa. 
d) O esboço do gráfico das oferta e demanda num mesmo sistema de eixos cartesiano 
para cada um dos produtos 
e) A análise econômica de cada produto. 
 
19) Suponhamos que a curva de demanda por um produto seja dada por Ipx 42300  
onde I é a renda média medida em milhares de dólares. A curva de oferta é 
503  px 
a) Se 50I , calcule o preço e a quantidade de equilíbrio de mercado para o produto. 
b) Se 30I , calcule o preço e a quantidade de equilíbrio de mercado para o produto. 
c) Desenhe um gráfico que ilustre suas respostas. 
 
 
RESPOSTAS: 
1) a) 
3
19
3
2
 xy
 b) 
115  xy
 c) 
23  xy
 d) 
33  xy
 
2) a) intercepto x e y 
 0,0
,
3
1
a
 
b) intercepto x não existe, intercepto y 
 3,0
, 
0 a
 
 
Centro Universitário UNA – Instituto de Ciencias Sociais e Humanas 
Matemática 
Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Funções : lineares 
 
 
 
 
c) intercepto x 
 0,4
 e intercepto y 
 3,0 
,
4
3
a
 
d) intercepto x 
 0;213
 e intercepto y 
 13,0 
, 
2a
 
e) intercepto x 
 0,5
 e intercepto y 
 20,0
, 
4a
 
f) intercepto x 
 0,3
 e intercepto y 
 23,0
, 
2
1
a
 
3) a) 








3 Qdo 0)(
3 Qdo 0)(
3 Qdo 0)(
xxf
xxf
xxf
 b) 








4 Qdo 0)(
4 Qdo 0)(
4 Qdo 0)(
xxf
xxf
xxf
 
c) 












3
2
 Qdo 0)(
3
2
 Qdo 0)(
3
2
 Qdo 0)(
xxf
xxf
xxf
 d) 








0 Qdo 0)(
0 Qdo 0)(
0 Qdo 0)(
xxf
xxf
xxf
 
4) a) 
5a
 b) 
1a
 c) 
4
1
a
 
5) a) 
500x
 b) 
400x
 c) 
750CF
 
6) a) 
000.302)(  xxL
 b) 
000.214,1)(  xxLliq
 
7) a) 
xxR 10)( 
 b) 
xxC 7150)( 
 c) 
50x
 d) 
1503)(  xxL
 e) 110 
8) a) 
27,227x
 b) 
11MC
 c) R$8500,00 d) 64,71% 
9) a) R$200,00 b) 
86,42x
 
10) 
xLocadora 40,0801 
 
xLocadora 30,0902 
 
11) 
xxR 60)( 
, 
xxC 4010000)( 
, 
000.1020)(  xxL
, 
500x
, 
900x
 
12) R$27,5 
13) a) 
xxR 20,1)( 
, 
000.1065,0)(  xxC
, 
000.1055,0)(  xxL
 c) 
81,18181x
 
14) a) 20,501,0  xp 
15) a) 30,402,0  xp 
16) a) 30x e 90,4$Rp  
17) a) Sapato 11 x e 5$1 p bolsa 22 x e 17$p cinto 23 x e 12$3 p 
18) Xampu 75,01 x 25,4$1 p sabonete 22 x e 11$2 p desodorante 13 x e 
5$3 p 
19) a) 280x e 110$p b) 67,38x e 67,190$p

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