Capítulo 8

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Notas de Aula de Cálculo Numérico – Capítulo 8 
Prof. João Guilherme de C. Costa 
149
CAPÍTULO 8 
 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
 
8.1 – Introdução 
 
 
Do cálculo integral, tem-se que 
 
)a(F)b(F)x(Fdx)x(f b
a
b
a
−== 
 
onde F(x) é a primitiva de f(x), i.e. 
 
dx
)x(dF)x(f = . 
 
Contudo, esta forma de cálculo não pode ser utilizada quando: 
 
a) For impossível expressar F(x) através de uma combinação finita de fun-
ções elementares. Este é o caso de funções como 
 
2xe)x(f −= , )xcos()x(f 2= e muitas outras. 
 
b) A função f(x) for conhecida apenas em um número finito de pontos, orga-
nizados em uma tabela de valores do tipo: 
 
 x x0 x1 x2 ... xn 
f(x) f0 f1 f2 ... fn 
 
Em tais situações, pode-se recorrer a métodos numéricos de solução baseados 
na interpretação de integral (definida) como “área sob a curva de f(x)”. 
 
8.2 – Regra dos Trapézios 
 
A – Descrição 
 
Este método permite calcular a integral aproximada de uma função f(x) atra-
vés da soma das áreas de trapézios definidos pela representação de pontos ta-
belados de f(x) em um plano cartesiano. A figura a seguir ilustra essa ideia. 
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x a = x0 x1 x2 b = x3 
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) 
 
 
T1 T2 T3
a = x0 x1 x2 b = x3 x
f(x)
f(x0)
f(x3)
h
 
 
Note que 
 
h
2
)x(f)x(fT 101 ×
+
= h
2
)x(f)x(fT 212 ×
+
= h
2
)x(f)x(fT 323 ×
+
= . 
 
Assim, se forem usados, por exemplo, três trapézios, tem-se a seguinte apro-
ximação: 
 ++=≅=
b
a 321 TTTTdx)x(fI . 
Onde: 
h
2
)x(f)x(f)x(f)x(f)x(f)x(fT 322110 ×+++++= 
h
2
)x(f)x(f2)x(f2)x(fT 3210 ×+++= . 
 
Generalizando para n trapézios, tem-se a fórmula geral do método: 
 
2
h)x(f)x(f2)x(fT n
1n
1i
i0 ×








++= 
−
=
. 
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B – Exemplo 
Calcule dx )x(senI 1
0
2
= pela regra dos trapézios com n = 10. 
 
Solução 
 
Neste caso, tem-se: 
 
x0 = a = 0 
x10 = b = 1 
n = 10. 
 
Logo 
 
1,0
10
01
n
abh =−=−= . 
 
Para conhecer o valor da integral, deve-se primeiramente tabelar a função f(x) 
no intervalo de interesse, de acordo com o passo calculado acima. Assim: 
 
 
i x f(x) 
0 0 0 
1 0,1 0,0100 
2 0,2 0,0400 
3 0,3 0,0899 
4 0,4 0,1593 
5 0,5 0,2474 
6 0,6 0,3523 
7 0,7 0,4706 
8 0,8 0,5972 
9 0,9 0,7243 
10 1,0 0,8415 
 
Logo: 
 
3112,0
2
1,0)x(f)x(f2)x(fT 10
9
1i
i0 =×





++= 
=
. 
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C – Algoritmo 
 
1. Ler f(x), a, b, n; 
2. Calcular o passo 
n
abh −= ; 
3. Calcule f(xi) para i variando entre 0 e n; 
4. Calcule 
2
h)x(f)x(f2)x(fT n
1n
1i
i0 ×





++= 
−
=
. 
Observação: 
 
Se em vez da expressão analítica de f(x) for fornecida diretamente a tabela de 
valores, deve-se executar apenas o Passo 4. Neste caso, o passo h já foi esco-
lhido quando da montagem da tabela. 
 
D – Teorema: Estimativa do Erro de Truncamento 
 
Considere =
b
a
dx )x(fI e suponha que a segunda derivada de f(x) seja co-
nhecida e contínua em [a, b]. Nestas condições, pode-se afirmar que: 
 
2
2 hM12
abE ××−≤ 
 
onde 
 
 (x)f MaxM ''
]b ,a[x2 ∈
= . 
 
Note que o erro é proporcional ao quadrado do passo utilizado na integração. 
 
 
E – Exemplo 
 
Determine uma cota superior para o erro de truncamento do exemplo anterior. 
 
Solução 
 
Inicialmente, deve-se calcular a segunda derivada de f(x). Assim: 
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 )x(sen)x(f 2= 
2x)xcos()x(f 2' ×= 
)x(senx4)xcos(2)x(f 222'' −= . 
 
No intervalo de interesse, i.e. [0, 1], pode-se determinar graficamente que: 
 
2853,2 )x(senx4)xcos(2 MaxM 222
]1 ,0[x2
=−=
∈
. 
Logo 0019,01,02853,2
12
01hM
12
abE 222 =××
−
=××
−≤ . 
 
 
F – Exercício 
 
Seja =
1
0
x dx eI 
 
Pede-se: 
 
a) Calcule I pela regra dos trapézios com 10 subintervalos e estime o erro. 
b) Qual o número mínimo de subintervalos para que o erro estimado da apro-
ximação anterior seja inferior a 10-3? 
 
Solução 
 
a) O algoritmo anterior foi implementado em um programa em Matlab. Con-
siderando a = 0, b = 1 e n = 10 têm-se: 
 
f(x) = e^x 
 
a: 0.0000 
b: 1.0000 
n: 10 
 
 x f(x) 
-------------------------- 
 0.0000 1.00000000 
 0.1000 1.10517092 
 0.2000 1.22140276 
 0.3000 1.34985881 
 0.4000 1.49182470 
 0.5000 1.64872127 
 0.6000 1.82211880 
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 0.7000 2.01375271 
 0.8000 2.22554093 
 0.9000 2.45960311 
 1.0000 2.71828183 
 
Integral: 1.71971349 
 
 
O erro da estimativa acima pode ser calculado por 
 
2
2 hM12
abE ××−≤ . 
 
Neste exemplo, x" e)x(f)x(f == . Logo, o máximo valor ocorre em x = 1, i.e. 
 
71828183,2ee MaxM 1x
]1 ,0[x2
===
∈
. 
 
Assim: 
 
21,071828183,2
12
01E ××−≤  00226523,0E ≤ . 
 
Observe que neste caso particular, a integral é a própria f(x) e, portanto: 
 
71828183,1eeedx eI 01
1
0
x1
0
x
=−===  . 
 
Logo 
 
00143166,0 71828183,11,71971349 TI E =−=−= 
 
que é, de fato, menor que 0,00226523. 
 
 
b) Para obter o erro menor que 10–3: 
 
Do teorema, 
 
2
2 hM12
abE ××−≤ . 
 
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Assim, deve-se garantir que: 
 
32
2 10hM12
ab
−≤××− . 
 
Desenvolvendo, tem-se: 
 
2
3
M)ab(
0112h
×−
×≤
−
. 
 
Como a = 0, b = 1 e M2 = 2,71828183, vem para E = 10–3: 
 
0664,0
71828183,2)01(
1012h
3
=
×−
×≤
−
. 
 
Assim, para h = 0,0664: 
 
05,15
0664,0
01
h
ab
n =
−
=
−
=  n = 16. 
 
Logo, devem ser utilizados n = 16 subintervalos para ter E < 10–3. 
 
 
G – Observação 
 
Se a segunda derivada de f(x) não for contínua no intervalo de integração, o 
erro de truncamento não poderá ser estimado a partir do teorema. Em tais si-
tuações, o método dos trapézios pode ser aplicado repetidamente, dobrando-se 
o número de subintervalos a cada repetição (i.e., n, 2n, 4n, 8n, etc.), até que a 
diferença entre duas aproximações sucessivas seja menor que uma determina-
da tolerância ε especificada. 
 
Considere como exemplo, o cálculo da integral: 
 
=
1
0
x dx e xI . 
 
Neste caso, tem-se: 
 
x5,0x e xe x)x(f == 
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x5,05,05,0xx5,0' e )x5,0x( x5,0 ee x)x(f −− +=+= 
 
)x25,0x5,0( ee)x5,0x()x(f 5,15,0xx5,05,0'' −−− −++= . 
 
Simplificando, 
 
x5,15,05,0'' e )x25,0xx()x(f −− −+= , ou ainda: 
 
x
3
'' e )
x4
1
x
1
x()x(f −+= . 
 
Observe que esta função apresenta descontinuidade em t = 0 (que faz parte do 
intervalo de integração), impedindo que se calcule uma estimativa do erro de 
truncamento. 
 
Contudo, estabelecendo-se uma tolerância ε = 0,5×10–3, por exemplo, tem-se 
pelo programa: 
 
 
n T(n) Variação 
5 1,25017462 – 
10 1,25237397 0,00219935 
20 1,25414113 0,00176716 
40 1,25501819 0,00087706 
80 1,25539220 0,00037401 
 
 
Observe que a diferença (em módulo) entre as duas últimas aproximações,i.e., T(80) e T(40), obtidas com 80 e 40 trapézios, respectivamente, é menor 
que 0,5×10–3, mostrando que as 3 primeiras casas decimais da integral deseja-
da já se tornaram fixas. Assim, pode-se admitir, em termos práticos, que o 
valor estimado possui pelo menos 3 casas decimais corretas. 
 
 
 
 
 
 
 
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8.3 – Regra de Simpson 
 
A – Descrição 
 
No cálculo de integrais, é possível, com a mesma tabela de valores, obter re-
sultados mais precisos que os fornecidos pela regra dos trapézios, se, em vez 
de segmentos de retas, forem utilizados arcos de parábolas ajustados a cada 
conjunto de três pontos igualmente espaçados, como ilustra a figura a seguir. 
 
 
a = x0 x1 x2 x3
f(x)
h
x4 b = x6x5
Arcos de parábola
Função f(x)







 
 
 
Cada parábola delimita uma área denominada “trapézio parabólico”. A figura 
abaixo mostra que 1 trapézio parabólico é composto de 2 subintervalos de lar-
gura h. Assim, para n subintervalos haverá n/2 trapézios parabólicos. 
 
 
xi xi+h
f(x)
xi−h x
Arco de Parábola
Área do trapézio = Si
Trapézio parabólico i
y(x) = αx2+βx+γ



 
 
 
Observe que para a aplicação deste método, n deve ser obrigatoriamente par. 
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A área de um trapézio parabólico é dada pela seguinte integral: 
 
hx
hx
23hx
hx
2
i
i
i
i
i
xx
2
x
3
dx)xx(S
+
−
+
−



 γ+β+α=γ+β+α=  . 
 
Os valores dos parâmetros α, β e γ devem ser tais que o arco de parábola in-
terpole os três pontos considerados, i.e. 
 
• )hx(f)hx()hx( ii2i −=γ+−β+−α 
• )x(fxx ii2i =γ+β+α 
• )hx(f)hx()hx( ii2i +=γ++β++α . 
 
Este conjunto de equações representa um sistema linear, que permite calcular 
os valores de α, β e γ. Pode-se mostrar, após alguns desenvolvimentos, que: 
 
[ ])x(f)x(f4)x(f
3
hS 1ii1ii +− ++×= 
 
para i = 1, 3, 5, 7, ... 
 
Assim, somando as áreas dos n/2 trapézios parabólicos, tem-se 
...SSSSSdx)x(fI 7531
b
a
++++=≅=  
onde 
 
[ ]
[ ]












++++×
++++×
+
×=
−
−
)x(f
)x(f...)x(f)x(f2
)x(f...)x(f)x(f4
)x(f
3
hS
n
2n42
1n31
0
. 
 
B – Exemplo 
 
Calcule o valor aproximado de 

−
=
1
0
x dxeI
2
 
usando a fórmula de Simpson com n = 10 subintervalos. 
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Solução 
 
Inicialmente, deve-se fazer o tabelamento de f(x). Para isto, observe que: 
 
a = 0 
b = 1 
n = 10 (i.e., 5 trapézios) 
 
Assim: 1,0
10
01
n
abh =−=−= 
 
A tabela de valores de f(x) é então calculada a seguir. 
 
 
i xi f(xi) 
0 0,0 1,0000 
1 0,1 0,9900 
2 0,2 0,9608 
3 0,3 0,9139 
4 0,4 0,8521 
5 0,5 0,7788 
6 0,6 0,6977 
7 0,7 0,6126 
8 0,8 0,5273 
9 0,9 0,4449 
10 1,0 0,3679 
 
 
Logo, pela fórmula de Simpson: 
 
[ ]
[ ]












++++×
+++++×
+
×=
)x(f
)x(f)x(f)x(f)x(f2
)x(f)x(f)x(f)x(f)x(f4
)x(f
3
hS
10
8642
97531
0
 
 
7468,0)3679,00379,327402,341(
3
1,0S =+×+×+×= . 
 
 
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C – Algoritmo 
 
1. Ler f(x), a, b, n (que deve ser obrigatoriamente par); 
2. Calcular o passo 
n
abh −= ; 
3. Calcule f(xi), para i variando entre 0 e n; 
4. Calcule 










+++×= 
−
Ω∈
=
−
Ω∈
=
)x(f)x(f2)x(f4)x(f
3
hS n
2n
k
2k
k
1n
j
1j
j0
PI
. 
onde ΩI é o conjunto dos índices ímpares e ΩP é o conjunto dos índices pa-
res (excluindo-se 0 e n). 
 
Observação: 
 
Se a função f(x) for dada diretamente sob forma de tabela de valores, deve-se 
executar apenas o Passo 4. Neste caso, o passo h já foi escolhido quando da 
montagem da tabela. Deve-se lembrar de que n deve ser par. 
 
D – Teorema: Estimativa do Erro de Truncamento 
 
Considere =
b
a
dx )x(fI e suponha que a quarta derivada de f(x) seja conheci-
da e contínua em [a, b]. Nestas condições, tem-se que: 
 
4
4 hM180
abE ××−≤ 
 
onde 
 
 (x)f MaxM (4)
]b ,a[x4 ∈
= . 
 
Note que o erro é proporcional à quarta potência do passo de integração. 
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E – Exemplo 
 
Determine uma cota superior para o erro de truncamento do exemplo anterior. 
 
Solução 
 
Do exemplo anterior: 
 
a = 0 
b = 1 
h = 0,1 
 
A função integrando é: 
 
2
xe)x(f −= . 
 
Assim: 
 
• )x2(e)x(f 2x' −= − 
• )x42(e)x(f 2x'' 2 +−= − 
• )x8x12(e)x(f 3x''' 2 −= − 
• )x16x4812(e)x(f 42x)4( 2 +−= − 
 
Graficamente, obtém-se que o máximo valor que |)x(f| )4( assume no interva-
lo [0, 1] é 12, ocorrendo em x = 0. Assim: 
 
41,012
180
01E ××−≤ 
 
61067,6E −×≤ 
 
 
F – Exercício 
 
Calcule =
1
0
2 dx )en(xsI pela regra de Simpson com n = 10, e estime o erro 
de truncamento cometido. 
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Solução 
 
O algoritmo anterior foi implementado em um programa em Matlab, que 
apresentou os seguintes resultados: 
 
 
f(x) = sen(x^2) 
 
a: 0.0000 
b: 1.0000 
n: 10 
 
 x f(x) 
-------------------------- 
 0.0000 0.00000000 
 0.1000 0.00999983 
 0.2000 0.03998933 
 0.3000 0.08987855 
 0.4000 0.15931821 
 0.5000 0.24740396 
 0.6000 0.35227423 
 0.7000 0.47062589 
 0.8000 0.59719544 
 0.9000 0.72428717 
 1.0000 0.84147098 
 
Integral: 0.30126023 
 
 
Antes de estimar o erro de truncamento, deve-se determinar a quarta derivada 
de f(x). Neste caso, tem-se: 
 
)xcos(x48)x(senx16)x(sen12)x(f 22242)4( −+−= . 
 
Graficamente, pode-se mostrar que esta função atinge o máximo valor absolu-
to de 28,4285 para x = 0,8521. Assim: 
 
41,04285,28
180
01E ××−≤ → 51058,1E −×≤ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8.3 – Exercícios Propostos 
 
1) Calcule a integral 
 
 +=
1
0 dx x)Ln(1 xI 
 
usando a regra dos trapézios com n = 10. Estime o erro de truncamento 
cometido. Qual deve ser o número de subintervalos para que o erro come-
tido seja inferior a 10–5? 
 
2) Utilize a regra de Simpson para calcular a integral abaixo com n = 8 e es-
time o erro de truncamento cometido. 
 
=
2
0
x dx eI 
 
 
Respostas 
 
1) T = 0,2510; E < 0,0017; n = 130. 
2) S = 6,3892; E < 0,0003.