Geometria Analitica (produto escalar)
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Geometria Analitica (produto escalar)


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Produto por escalar e Depende\u2c6ncia linear
Prof: Rafael Santos
UFPE
02/03/2018
Prof: Rafael Santos Geometria Anal´\u131tica
Informac¸o\u2dces
Link da pasta onde coloco os arquivos:
https://drive.google.com/drive/u/0/folders/1XqArWVoZ5arqzi5ivlArIxKjdQ5GvXIc
Link do mural digital:
https://drive.google.com/drive/u/0/folders/0Bz6vOaKzI4JlQU9pT3ZLRENLRzg
Nome da pa´gina do facebook:Geometria Anal´\u131tica: Professor Rafael
E-mail e celular: rafaelparadoxo2@gmail.com, 9 9771-9550
Cap´\u131tulos da prova: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 11, 12 e 13.
Dia da prova: 02/04
Prof: Rafael Santos Geometria Anal´\u131tica
Multiplicac¸a\u2dco de nu´mero real por vetor
Seja \u3b1 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e \u2192v um vetor na\u2dco-nulo.
Enta\u2dco o vetor \u3b1
\u2192
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
\u2192
v multiplicado por |\u3b1|.
Direc¸a\u2dco: \u3b1
\u2192
v e´ paralelo a`
\u2192
v .
Sentido: Mesmo sentido de
\u2192
v se \u3b1 > 0 e sentido contra´rio se
\u3b1 < 0.
Se \u3b1 = 0 ou
\u2192
v =
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1
\u2192
v =
\u2192
0 .
Prof: Rafael Santos Geometria Anal´\u131tica
Multiplicac¸a\u2dco de nu´mero real por vetor
Seja \u3b1 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e \u2192v um vetor na\u2dco-nulo.
Enta\u2dco o vetor \u3b1
\u2192
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
\u2192
v multiplicado por |\u3b1|.
Direc¸a\u2dco: \u3b1
\u2192
v e´ paralelo a`
\u2192
v .
Sentido: Mesmo sentido de
\u2192
v se \u3b1 > 0 e sentido contra´rio se
\u3b1 < 0.
Se \u3b1 = 0 ou
\u2192
v =
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1
\u2192
v =
\u2192
0 .
Prof: Rafael Santos Geometria Anal´\u131tica
Multiplicac¸a\u2dco de nu´mero real por vetor
Seja \u3b1 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e \u2192v um vetor na\u2dco-nulo.
Enta\u2dco o vetor \u3b1
\u2192
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
\u2192
v multiplicado por |\u3b1|.
Direc¸a\u2dco: \u3b1
\u2192
v e´ paralelo a`
\u2192
v .
Sentido: Mesmo sentido de
\u2192
v se \u3b1 > 0 e sentido contra´rio se
\u3b1 < 0.
Se \u3b1 = 0 ou
\u2192
v =
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1
\u2192
v =
\u2192
0 .
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Multiplicac¸a\u2dco de nu´mero real por vetor
Seja \u3b1 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e \u2192v um vetor na\u2dco-nulo.
Enta\u2dco o vetor \u3b1
\u2192
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
\u2192
v multiplicado por |\u3b1|.
Direc¸a\u2dco: \u3b1
\u2192
v e´ paralelo a`
\u2192
v .
Sentido: Mesmo sentido de
\u2192
v se \u3b1 > 0 e sentido contra´rio se
\u3b1 < 0.
Se \u3b1 = 0 ou
\u2192
v =
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1
\u2192
v =
\u2192
0 .
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Multiplicac¸a\u2dco de nu´mero real por vetor
Seja \u3b1 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e \u2192v um vetor na\u2dco-nulo.
Enta\u2dco o vetor \u3b1
\u2192
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
\u2192
v multiplicado por |\u3b1|.
Direc¸a\u2dco: \u3b1
\u2192
v e´ paralelo a`
\u2192
v .
Sentido: Mesmo sentido de
\u2192
v se \u3b1 > 0 e sentido contra´rio se
\u3b1 < 0.
Se \u3b1 = 0 ou
\u2192
v =
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1
\u2192
v =
\u2192
0 .
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Multiplicac¸a\u2dco de nu´mero real por vetor
Seja \u3b1 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e \u2192v um vetor na\u2dco-nulo.
Enta\u2dco o vetor \u3b1
\u2192
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
\u2192
v multiplicado por |\u3b1|.
Direc¸a\u2dco: \u3b1
\u2192
v e´ paralelo a`
\u2192
v .
Sentido: Mesmo sentido de
\u2192
v se \u3b1 > 0 e sentido contra´rio se
\u3b1 < 0.
Se \u3b1 = 0 ou
\u2192
v =
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1
\u2192
v =
\u2192
0 .
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Considerando
\u2192
v na\u2dco-nulo e O origem de
\u2192
v e de todos os vetores
paralelos a
\u2192
v , enta\u2dco variando os valores de \u3b1 em \u3b1
\u2192
v , vamos ter
representados numa so´ reta todos os vetores paralelos a
\u2192
v .
Conve´m notar que se
\u2192
u e´ paralelo a
\u2192
v , enta\u2dco existe um escalar \u3b2
tal que
\u2192
u= \u3b2
\u2192
v .
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Considerando
\u2192
v na\u2dco-nulo e O origem de
\u2192
v e de todos os vetores
paralelos a
\u2192
v , enta\u2dco variando os valores de \u3b1 em \u3b1
\u2192
v , vamos ter
representados numa so´ reta todos os vetores paralelos a
\u2192
v .
Conve´m notar que se
\u2192
u e´ paralelo a
\u2192
v , enta\u2dco existe um escalar \u3b2
tal que
\u2192
u= \u3b2
\u2192
v .
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Considerando
\u2192
v na\u2dco-nulo e O origem de
\u2192
v e de todos os vetores
paralelos a
\u2192
v , enta\u2dco variando os valores de \u3b1 em \u3b1
\u2192
v , vamos ter
representados numa so´ reta todos os vetores paralelos a
\u2192
v .
Conve´m notar que se
\u2192
u e´ paralelo a
\u2192
v , enta\u2dco existe um escalar \u3b2
tal que
\u2192
u= \u3b2
\u2192
v .
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Exerc´\u131cio
Sendo
\u2192
u ,
\u2192
v e
\u2192
w representados na figura abaixo, represente o vetor
\u2192
x = 2
\u2192
u \u2212 \u2192v +5
4
\u2192
w por uma flecha de origem O.
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Propriedades
Sejam \u3b1, \u3b2 escalares e
\u2192
u ,
\u2192
v vetores de V3. Enta\u2dco:
1 \u3b1(
\u2192
u +
\u2192
v ) = \u3b1
\u2192
u +\u3b1
\u2192
v
2 (\u3b1 + \u3b2)
\u2192
u= \u3b1
\u2192
u +\u3b2
\u2192
u
3 1
\u2192
u=
\u2192
u
4 \u3b1(\u3b2
\u2192
u ) = (\u3b1\u3b2)
\u2192
u
5 Se \u3b1
\u2192
u=
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1 = 0 ou
\u2192
u=
\u2192
0
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Propriedades
Sejam \u3b1, \u3b2 escalares e
\u2192
u ,
\u2192
v vetores de V3. Enta\u2dco:
1 \u3b1(
\u2192
u +
\u2192
v ) = \u3b1
\u2192
u +\u3b1
\u2192
v
2 (\u3b1 + \u3b2)
\u2192
u= \u3b1
\u2192
u +\u3b2
\u2192
u
3 1
\u2192
u=
\u2192
u
4 \u3b1(\u3b2
\u2192
u ) = (\u3b1\u3b2)
\u2192
u
5 Se \u3b1
\u2192
u=
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1 = 0 ou
\u2192
u=
\u2192
0
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Propriedades
Sejam \u3b1, \u3b2 escalares e
\u2192
u ,
\u2192
v vetores de V3. Enta\u2dco:
1 \u3b1(
\u2192
u +
\u2192
v ) = \u3b1
\u2192
u +\u3b1
\u2192
v
2 (\u3b1 + \u3b2)
\u2192
u= \u3b1
\u2192
u +\u3b2
\u2192
u
3 1
\u2192
u=
\u2192
u
4 \u3b1(\u3b2
\u2192
u ) = (\u3b1\u3b2)
\u2192
u
5 Se \u3b1
\u2192
u=
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1 = 0 ou
\u2192
u=
\u2192
0
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Propriedades
Sejam \u3b1, \u3b2 escalares e
\u2192
u ,
\u2192
v vetores de V3. Enta\u2dco:
1 \u3b1(
\u2192
u +
\u2192
v ) = \u3b1
\u2192
u +\u3b1
\u2192
v
2 (\u3b1 + \u3b2)
\u2192
u= \u3b1
\u2192
u +\u3b2
\u2192
u
3 1
\u2192
u=
\u2192
u
4 \u3b1(\u3b2
\u2192
u ) = (\u3b1\u3b2)
\u2192
u
5 Se \u3b1
\u2192
u=
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1 = 0 ou
\u2192
u=
\u2192
0
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Propriedades
Sejam \u3b1, \u3b2 escalares e
\u2192
u ,
\u2192
v vetores de V3. Enta\u2dco:
1 \u3b1(
\u2192
u +
\u2192
v ) = \u3b1
\u2192
u +\u3b1
\u2192
v
2 (\u3b1 + \u3b2)
\u2192
u= \u3b1
\u2192
u +\u3b2
\u2192
u
3 1
\u2192
u=
\u2192
u
4 \u3b1(\u3b2
\u2192
u ) = (\u3b1\u3b2)
\u2192
u
5 Se \u3b1
\u2192
u=
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1 = 0 ou
\u2192
u=
\u2192
0
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Propriedades
Sejam \u3b1, \u3b2 escalares e
\u2192
u ,
\u2192
v vetores de V3. Enta\u2dco:
1 \u3b1(
\u2192
u +
\u2192
v ) = \u3b1
\u2192
u +\u3b1
\u2192
v
2 (\u3b1 + \u3b2)
\u2192
u= \u3b1
\u2192
u +\u3b2
\u2192
u
3 1
\u2192
u=
\u2192
u
4 \u3b1(\u3b2
\u2192
u ) = (\u3b1\u3b2)
\u2192
u
5 Se \u3b1
\u2192
u=
\u2192
0 , enta\u2dco \u3b1 = 0 ou
\u2192
u=
\u2192
0
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Exerc´\u131cio
Prove que se
\u2192
u 6=\u21920 e \u3b1\u2192u= \u3b2\u2192u , enta\u2dco \u3b1 = \u3b2.
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Soluc¸a\u2dco
Se \u3b1
\u2192
u= \u3b2
\u2192
u , enta\u2dco:
\u3b1
\u2192
u \u2212\u3b2\u2192u= \u3b2\u2192u \u2212\u3b2\u2192u=\u21920
(\u3b1\u2212 \u3b2)\u2192u
Como
\u2192
u 6=\u21920 , temos \u3b1\u2212 \u3b2 = 0, ou seja, \u3b1 = \u3b2.
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Combinac¸a\u2dco linear
Definic¸a\u2dco
Se
\u2192
u= \u3b11
\u2192
v1 +\u3b12
\u2192
v2 +\u3b13
\u2192
v3 + · · · + \u3b1n \u2192vn, dizemos enta\u2dco que
o vetor
\u2192
u e´ combinac¸a\u2dco linear dos vetores
\u2192
v 1,
\u2192
v 2,
\u2192
v 3, . . . ,
\u2192
v n.
Os escalares \u3b11, \u3b12, \u3b13, . . . , \u3b1n sa\u2dco chamados de coeficientes da
combinac¸a\u2dco.
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Combinac¸a\u2dco linear
Definic¸a\u2dco
Se
\u2192
u= \u3b11
\u2192
v1 +\u3b12
\u2192
v2 +\u3b13
\u2192
v3 + · · · + \u3b1n \u2192vn, dizemos enta\u2dco que
o vetor
\u2192
u e´ combinac¸a\u2dco linear dos vetores
\u2192
v 1,
\u2192
v 2,
\u2192
v 3, . . . ,
\u2192
v n.
Os escalares \u3b11, \u3b12, \u3b13, . . . , \u3b1n sa\u2dco chamados de coeficientes da
combinac¸a\u2dco.
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Exerc´\u131cio
Considerando o paralelep´\u131pedo da figura abaixo, expresse o vetor
\u2212\u2192
AF
como combinac¸a\u2dco linear dos vetores
\u2212\u2192
DC ,
\u2212\u2192
AD e
\u2212\u2192
BE .
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Soluc¸a\u2dco
Temos
\u2212\u2192
BE =
\u2212\u2192
CF e
\u2212\u2192
AC =
\u2212\u2192
AD +
\u2212\u2192
DC , logo
\u2212\u2192
AF =
\u2212\u2192
AC +
\u2212\u2192
CF e pelas
relac¸o\u2dces descobertas vem:
\u2212\u2192
AF =
\u2212\u2192