Geometria Analitica (produto escalar)

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Produto por escalar e Dependeˆncia linear
Prof: Rafael Santos
UFPE
02/03/2018
Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica
Informac¸o˜es
Link da pasta onde coloco os arquivos:
https://drive.google.com/drive/u/0/folders/1XqArWVoZ5arqzi5ivlArIxKjdQ5GvXIc
Link do mural digital:
https://drive.google.com/drive/u/0/folders/0Bz6vOaKzI4JlQU9pT3ZLRENLRzg
Nome da pa´gina do facebook:Geometria Anal´ıtica: Professor Rafael
E-mail e celular: rafaelparadoxo2@gmail.com, 9 9771-9550
Cap´ıtulos da prova: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 11, 12 e 13.
Dia da prova: 02/04
Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica
Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor
Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α
→
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.
Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`
→
v .
Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se
α < 0.
Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α
→
v =
→
0 .
Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica
Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor
Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α
→
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.
Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`
→
v .
Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se
α < 0.
Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α
→
v =
→
0 .
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Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor
Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α
→
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.
Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`
→
v .
Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se
α < 0.
Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α
→
v =
→
0 .
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Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor
Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α
→
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.
Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`
→
v .
Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se
α < 0.
Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α
→
v =
→
0 .
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Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor
Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α
→
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.
Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`
→
v .
Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se
α < 0.
Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α
→
v =
→
0 .
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Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor
Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α
→
v e´ tal que:
Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.
Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`
→
v .
Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se
α < 0.
Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α
→
v =
→
0 .
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Considerando
→
v na˜o-nulo e O origem de
→
v e de todos os vetores
paralelos a
→
v , enta˜o variando os valores de α em α
→
v , vamos ter
representados numa so´ reta todos os vetores paralelos a
→
v .
Conve´m notar que se
→
u e´ paralelo a
→
v , enta˜o existe um escalar β
tal que
→
u= β
→
v .
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Considerando
→
v na˜o-nulo e O origem de
→
v e de todos os vetores
paralelos a
→
v , enta˜o variando os valores de α em α
→
v , vamos ter
representados numa so´ reta todos os vetores paralelos a
→
v .
Conve´m notar que se
→
u e´ paralelo a
→
v , enta˜o existe um escalar β
tal que
→
u= β
→
v .
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Considerando
→
v na˜o-nulo e O origem de
→
v e de todos os vetores
paralelos a
→
v , enta˜o variando os valores de α em α
→
v , vamos ter
representados numa so´ reta todos os vetores paralelos a
→
v .
Conve´m notar que se
→
u e´ paralelo a
→
v , enta˜o existe um escalar β
tal que
→
u= β
→
v .
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Exerc´ıcio
Sendo
→
u ,
→
v e
→
w representados na figura abaixo, represente o vetor
→
x = 2
→
u − →v +5
4
→
w por uma flecha de origem O.
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Propriedades
Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:
1 α(
→
u +
→
v ) = α
→
u +α
→
v
2 (α + β)
→
u= α
→
u +β
→
u
3 1
→
u=
→
u
4 α(β
→
u ) = (αβ)
→
u
5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou
→
u=
→
0
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Propriedades
Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:
1 α(
→
u +
→
v ) = α
→
u +α
→
v
2 (α + β)
→
u= α
→
u +β
→
u
3 1
→
u=
→
u
4 α(β
→
u ) = (αβ)
→
u
5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou
→
u=
→
0
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Propriedades
Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:
1 α(
→
u +
→
v ) = α
→
u +α
→
v
2 (α + β)
→
u= α
→
u +β
→
u
3 1
→
u=
→
u
4 α(β
→
u ) = (αβ)
→
u
5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou
→
u=
→
0
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Propriedades
Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:
1 α(
→
u +
→
v ) = α
→
u +α
→
v
2 (α + β)
→
u= α
→
u +β
→
u
3 1
→
u=
→
u
4 α(β
→
u ) = (αβ)
→
u
5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou
→
u=
→
0
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Propriedades
Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:
1 α(
→
u +
→
v ) = α
→
u +α
→
v
2 (α + β)
→
u= α
→
u +β
→
u
3 1
→
u=
→
u
4 α(β
→
u ) = (αβ)
→
u
5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou
→
u=
→
0
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Propriedades
Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:
1 α(
→
u +
→
v ) = α
→
u +α
→
v
2 (α + β)
→
u= α
→
u +β
→
u
3 1
→
u=
→
u
4 α(β
→
u ) = (αβ)
→
u
5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou
→
u=
→
0
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Exerc´ıcio
Prove que se
→
u 6=→0 e α→u= β→u , enta˜o α = β.
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Soluc¸a˜o
Se α
→
u= β
→
u , enta˜o:
α
→
u −β→u= β→u −β→u=→0
(α− β)→u
Como
→
u 6=→0 , temos α− β = 0, ou seja, α = β.
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Combinac¸a˜o linear
Definic¸a˜o
Se
→
u= α1
→
v1 +α2
→
v2 +α3
→
v3 + · · · + αn →vn, dizemos enta˜o que
o vetor
→
u e´ combinac¸a˜o linear dos vetores
→
v 1,
→
v 2,
→
v 3, . . . ,
→
v n.
Os escalares α1, α2, α3, . . . , αn sa˜o chamados de coeficientes da
combinac¸a˜o.
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Combinac¸a˜o linear
Definic¸a˜o
Se
→
u= α1
→
v1 +α2
→
v2 +α3
→
v3 + · · · + αn →vn, dizemos enta˜o que
o vetor
→
u e´ combinac¸a˜o linear dos vetores
→
v 1,
→
v 2,
→
v 3, . . . ,
→
v n.
Os escalares α1, α2, α3, . . . , αn sa˜o chamados de coeficientes da
combinac¸a˜o.
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Exerc´ıcio
Considerando o paralelep´ıpedo da figura abaixo, expresse o vetor
−→
AF
como combinac¸a˜o linear dos vetores
−→
DC ,
−→
AD e
−→
BE .
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Soluc¸a˜o
Temos
−→
BE =
−→
CF e
−→
AC =
−→
AD +
−→
DC , logo
−→
AF =
−→
AC +
−→
CF e pelas
relac¸o˜es descobertas vem:
−→
AF =
−→BE +
−→
AD +
−→
DC
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Exerc´ıcio
Sendo P o ponto me´dio do lado BC do triaˆngulo ABC , conforme a
figura, exprima
−→
AP como combinac¸a˜o linear de
−→
AB e
−→
AC .
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Soluc¸a˜o
Podemos notar as seguintes decomposic¸o˜es:
−→
AP =
−→
AB +
−→
BP
e −→
AP =
−→
AC +
−→
CP =
−→
AC −−→BP
Somando as duas vem 2
−→
AP =
−→
AB +
−→
AC , portanto:
−→
AP =
1
2
−→
AB +
1
2
−→
AC
.
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Exerc´ıcio
[Questa˜o extra´ıda prova de 2017.1 (com modificac¸o˜es)] Num
triaˆngulo ABC , considere o ponto D tal que
−→
DC = 3
−→
AD. Escreva−→
BD como combinac¸a˜o linear de
−→
AB e
−→
BC .
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Soluc¸a˜o
Observe que
−→
BD =
−→
BA +
−→
AD. Como
−→
DC = 3
−→
AD, enta˜o
−→
AC =
−→
AD +
−→
DC =
−→
AD + 3
−→
AD = 4
−→
AD, ou seja,
−→
AD =
1
4
−→
AC e agora
podemos exprimir a combinac¸a˜o linear:
−→
BD =
−→
BA +
−→
AD = −−→AB + 1
4
−→
AC =
= −−→AB + 1
4
(
−→
AB +
−→
BC ) = −−→AB + 1
4
−→
AB +
1
4
−→
BC =
= −3
4
−→
AB +
1
4
−→
BC
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Exemplo importante
Consideremos a figura a seguir e suponhamos que fosse pedido para
expressar
−→
AC como combinac¸a˜o linear de
−→
AH e
−→
AB.
Esta seria uma tarefa imposs´ıvel, pois a soma de quaisquer mu´ltiplos
dos vetores
−→
AH e
−→
AB vai continuar sempre no plano determinado
por AHB que na˜o conte´m o vetor
−→
AC .
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Exemplo importante
Consideremos a figura a seguir e suponhamos que fosse pedido para
expressar
−→
AC como combinac¸a˜o linear de
−→
AH e
−→
AB.
Esta seria uma tarefa imposs´ıvel, pois a soma de quaisquer mu´ltiplos
dos vetores
−→
AH e
−→
AB vai continuar sempre no plano determinado
por AHB que na˜o conte´m o vetor
−→
AC .
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Dependeˆncia linear e independeˆncia linear
Considere o conjunto V3.
O conjunto {→v } e´ linearmente dependente se →v =→0 e line-
armente independente se
→
v 6=→0 .
O conjunto {→u ,→v } e´ linearmente dependente se →u e →v sa˜o
paralelos. Caso contra´rio, {→u ,→v } e´ linearmente indepen-
dente.
O conjunto {→u ,→v ,→w} e´ linearmente dependente se →u ,→v e →w
esta˜o no mesmo plano (coplanares). Caso contra´rio, {→u ,→v ,→w}
e´ linearmente independente.
Quaisquer conjunto com quatro vetores e´ linearmente depen-
dende.
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Dependeˆncia linear e independeˆncia linear
Considere o conjunto V3.
O conjunto {→v } e´ linearmente dependente se →v =→0 e line-
armente independente se
→
v 6=→0 .
O conjunto {→u ,→v } e´ linearmente dependente se →u e →v sa˜o
paralelos. Caso contra´rio, {→u ,→v } e´ linearmente indepen-
dente.
O conjunto {→u ,→v ,→w} e´ linearmente dependente se →u ,→v e →w
esta˜o no mesmo plano (coplanares). Caso contra´rio, {→u ,→v ,→w}
e´ linearmente independente.
Quaisquer conjunto com quatro vetores e´ linearmente depen-
dende.
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Dependeˆncia linear e independeˆncia linear
Considere o conjunto V3.
O conjunto {→v } e´ linearmente dependente se →v =→0 e line-
armente independente se
→
v 6=→0 .
O conjunto {→u ,→v } e´ linearmente dependente se →u e →v sa˜o
paralelos. Caso contra´rio, {→u ,→v } e´ linearmente indepen-
dente.
O conjunto {→u ,→v ,→w} e´ linearmente dependente se →u ,→v e →w
esta˜o no mesmo plano (coplanares). Caso contra´rio, {→u ,→v ,→w}
e´ linearmente independente.
Quaisquer conjunto com quatro vetores e´ linearmente depen-
dende.
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Dependeˆncia linear e independeˆncia linear
Considere o conjunto V3.
O conjunto {→v } e´ linearmente dependente se →v =→0 e line-
armente independente se
→
v 6=→0 .
O conjunto {→u ,→v } e´ linearmente dependente se →u e →v sa˜o
paralelos. Caso contra´rio, {→u ,→v } e´ linearmente indepen-
dente.
O conjunto {→u ,→v ,→w} e´ linearmente dependente se →u ,→v e →w
esta˜o no mesmo plano (coplanares). Caso contra´rio, {→u ,→v ,→w}
e´ linearmente independente.
Quaisquer conjunto com quatro vetores e´ linearmente depen-
dende.
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Dependeˆncia linear e independeˆncia linear
Considere o conjunto V3.
O conjunto {→v } e´ linearmente dependente se →v =→0 e line-
armente independente se
→
v 6=→0 .
O conjunto {→u ,→v } e´ linearmente dependente se →u e →v sa˜o
paralelos. Caso contra´rio, {→u ,→v } e´ linearmente indepen-
dente.
O conjunto {→u ,→v ,→w} e´ linearmente dependente se →u ,→v e →w
esta˜o no mesmo plano (coplanares). Caso contra´rio, {→u ,→v ,→w}
e´ linearmente independente.
Quaisquer conjunto com quatro vetores e´ linearmente depen-
dende.
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Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica
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Crite´rio alge´brico
Abreviaremos a expressa˜o linearmente independente por LI e linear-
mente dependente por LD.
Um conjunto {→u ,→v } e´ LI se, e somente se, a equac¸a˜o α→u
+β
→
v =
→
0 admite APENAS a soluc¸a˜o trivial α = β = 0.
De maneira ana´loga temos que um conjunto {→u ,→v ,→w} e´ LI se,
e somente se, a equac¸a˜o α
→
u +β
→
v +γ
→
w=
→
0 admite APENAS
a soluc¸a˜o trivial α = β = γ = 0.
Em qualquer dos casos, existindo outras soluc¸o˜es para as equac¸o˜es
acima implica que os conjuntos sa˜o LD.
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Crite´rio alge´brico
Abreviaremos a expressa˜o linearmente independente por LI e linear-
mente dependente por LD.
Um conjunto {→u ,→v } e´ LI se, e somente se, a equac¸a˜o α→u
+β
→
v =
→
0 admite APENAS a soluc¸a˜o trivial α = β = 0.
De maneira ana´loga temos que um conjunto {→u ,→v ,→w} e´ LI se,
e somente se, a equac¸a˜o α
→
u +β
→
v +γ
→
w=
→
0 admite APENAS
a soluc¸a˜o trivial α = β = γ = 0.
Em qualquer dos casos, existindo outras soluc¸o˜es para as equac¸o˜es
acima implica que os conjuntos sa˜o LD.
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Crite´rio alge´brico
Abreviaremos a expressa˜o linearmente independente por LI e linear-
mente dependente por LD.
Um conjunto {→u ,→v } e´ LI se, e somente se, a equac¸a˜o α→u
+β
→
v =
→
0 admite APENAS a soluc¸a˜o trivial α = β = 0.
De maneira ana´loga temos que um conjunto {→u ,→v ,→w} e´ LI se,
e somente se, a equac¸a˜o α
→
u +β
→
v +γ
→
w=
→
0 admite APENAS
a soluc¸a˜o trivial α = β = γ = 0.
Em qualquer dos casos, existindo outras soluc¸o˜es para as equac¸o˜es
acima implica que os conjuntos sa˜o LD.
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Crite´rio alge´brico
Abreviaremos a expressa˜o linearmente independente por LI e linear-
mente dependente por LD.
Um conjunto {→u ,→v } e´ LI se, e somente se, a equac¸a˜o α→u
+β
→
v =
→
0 admite APENAS a soluc¸a˜o trivial α = β = 0.
De maneira ana´loga temos que um conjunto {→u ,→v ,→w} e´ LI se,
e somente se, a equac¸a˜o α
→
u +β
→
v +γ
→
w=
→
0 admite APENAS
a soluc¸a˜o trivial α = β = γ = 0.
Em qualquer dos casos, existindo outras soluc¸o˜es para as equac¸o˜es
acima implica que os conjuntos sa˜o LD.
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Crite´rio alge´brico
Abreviaremos a expressa˜o linearmente independente por LI e linear-
mente dependente por LD.
Um conjunto {→u ,→v } e´ LI se, e somente se, a equac¸a˜o α→u
+β
→
v =
→
0 admite APENAS a soluc¸a˜o trivial α = β = 0.
De maneira ana´loga temos que um conjunto {→u ,→v ,→w} e´ LI se,
e somente se, a equac¸a˜o α
→u +β
→
v +γ
→
w=
→
0 admite APENAS
a soluc¸a˜o trivial α = β = γ = 0.
Em qualquer dos casos, existindo outras soluc¸o˜es para as equac¸o˜es
acima implica que os conjuntos sa˜o LD.
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Exemplo
Consideremos o conjunto {→u , 3→u } com →u 6= 0. E´ claro que α = β =
0 e´ sempre soluc¸a˜o da equac¸a˜o α
→
u +3β
→
u=
→
0 , mas na˜o e´ a u´nica.
Note que tomando α = −3 e β = 1 tambe´m resolve:
−3→u +3→u=→0
Por isso e´ importante atenc¸a˜o com a palavra “apenas” destacada
no crite´rio apresentado.
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Exemplo
Consideremos o conjunto {→u , 3→u } com →u 6= 0. E´ claro que α = β =
0 e´ sempre soluc¸a˜o da equac¸a˜o α
→
u +3β
→
u=
→
0 , mas na˜o e´ a u´nica.
Note que tomando α = −3 e β = 1 tambe´m resolve:
−3→u +3→u=→0
Por isso e´ importante atenc¸a˜o com a palavra “apenas” destacada
no crite´rio apresentado.
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Exemplo
Consideremos o conjunto {→u , 3→u } com →u 6= 0. E´ claro que α = β =
0 e´ sempre soluc¸a˜o da equac¸a˜o α
→
u +3β
→
u=
→
0 , mas na˜o e´ a u´nica.
Note que tomando α = −3 e β = 1 tambe´m resolve:
−3→u +3→u=→0
Por isso e´ importante atenc¸a˜o com a palavra “apenas” destacada
no crite´rio apresentado.
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Exerc´ıcio
Verifique que se {→u ,→v } e´ LI, enta˜o {→u + →v ,→u − →v } e´ LI.
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Soluc¸a˜o
Vamos resolver a equac¸a˜o α(
→
u +
→
v ) +β(
→
u − →v ) =→0 , isto equivale
a:
α
→
u +α
→
v +β
→
u −β→v =→0
Agrupando vem:
(α + β)
→
u +(α− β)→v =→0
Como o conjunto formado pelos vetores
→
u ,
→
v e´ LI, enta˜o devemos
ter α + β = 0 e α− β = 0.{
α + β = 0
α− β = 0
Resolvendo o sistema vem α = β = 0 e assim mostramos que
{→u + →v ,→u − →v } e´ LI.
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Exerc´ıcio
Verifique que se (
→
u ,
→
v ,
→
w) e´ LI, enta˜o (
→
a ,
→
b ,
→
c ) tambe´m e´ LI, sendo:
→
a=
→
u +
→
w ,
→
b= 2
→
u +
→
v − →w e →c =→v −2→w
Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica
Soluc¸a˜o
Vamos encontrar as soluc¸o˜es de α
→
a +β
→
b +γ
→
c =
→
0 que equivale a:
α(
→
u +
→
w) + β(2
→
u +
→
v − →w) + γ(→v −2→w) =→0
Apo´s aplicar as propriedades ficamos com:
(α + 2β)
→
u +(β + γ)
→
v +(α− β − 2γ)→w=→0
Como o conjunto com os vetores
→
u ,
→
v e
→
w e´ LI, enta˜o:
α + 2β = 0
β + γ = 0
α− β − 2γ = 0
Resolvendo o sistema encontramos α = β = γ = 0 e isto implica
{→a ,→b ,→c } LI.
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