Geometria Analitica (produto escalar)
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Geometria Analitica (produto escalar)

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Produto por escalar e Dependeˆncia linear

Prof: Rafael Santos

UFPE

02/03/2018

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Informac¸o˜es

Link da pasta onde coloco os arquivos:
https://drive.google.com/drive/u/0/folders/1XqArWVoZ5arqzi5ivlArIxKjdQ5GvXIc

Link do mural digital:
https://drive.google.com/drive/u/0/folders/0Bz6vOaKzI4JlQU9pT3ZLRENLRzg

Nome da pa´gina do facebook:Geometria Anal´ıtica: Professor Rafael

E-mail e celular: rafaelparadoxo2@gmail.com, 9 9771-9550

Cap´ıtulos da prova: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 11, 12 e 13.

Dia da prova: 02/04

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor

Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α

→
v e´ tal que:

Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.

Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`

→
v .

Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se

α < 0.

Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α

→
v =
→
0 .

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor

Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α

→
v e´ tal que:

Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.

Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`

→
v .

Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se

α < 0.

Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α

→
v =
→
0 .

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor

Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α

→
v e´ tal que:

Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.

Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`

→
v .

Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se

α < 0.

Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α

→
v =
→
0 .

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor

Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α

→
v e´ tal que:

Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.

Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`

→
v .

Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se

α < 0.

Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α

→
v =
→
0 .

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor

Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α

→
v e´ tal que:

Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.

Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`

→
v .

Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se

α < 0.

Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α

→
v =
→
0 .

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor

Seja α 6= 0 um nu´mero real (ou escalar) e →v um vetor na˜o-nulo.
Enta˜o o vetor α

→
v e´ tal que:

Mo´dulo: Igual ao comprimento de
→
v multiplicado por |α|.

Direc¸a˜o: α
→
v e´ paralelo a`

→
v .

Sentido: Mesmo sentido de
→
v se α > 0 e sentido contra´rio se

α < 0.

Se α = 0 ou
→
v =
→
0 , enta˜o α

→
v =
→
0 .

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Considerando
→
v na˜o-nulo e O origem de

→
v e de todos os vetores

paralelos a
→
v , enta˜o variando os valores de α em α

→
v , vamos ter

representados numa so´ reta todos os vetores paralelos a
→
v .

Conve´m notar que se
→
u e´ paralelo a

→
v , enta˜o existe um escalar β

tal que
→
u= β

→
v .

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Considerando
→
v na˜o-nulo e O origem de

→
v e de todos os vetores

paralelos a
→
v , enta˜o variando os valores de α em α

→
v , vamos ter

representados numa so´ reta todos os vetores paralelos a
→
v .

Conve´m notar que se
→
u e´ paralelo a

→
v , enta˜o existe um escalar β

tal que
→
u= β

→
v .

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Considerando
→
v na˜o-nulo e O origem de

→
v e de todos os vetores

paralelos a
→
v , enta˜o variando os valores de α em α

→
v , vamos ter

representados numa so´ reta todos os vetores paralelos a
→
v .

Conve´m notar que se
→
u e´ paralelo a

→
v , enta˜o existe um escalar β

tal que
→
u= β

→
v .

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Exerc´ıcio

Sendo
→
u ,
→
v e

→
w representados na figura abaixo, represente o vetor

→
x = 2

→
u − →v +5

4

→
w por uma flecha de origem O.

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Propriedades

Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:

1 α(
→
u +

→
v ) = α

→
u +α

→
v

2 (α + β)
→
u= α

→
u +β

→
u

3 1
→
u=
→
u

4 α(β
→
u ) = (αβ)

→
u

5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou

→
u=
→
0

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Propriedades

Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:

1 α(
→
u +

→
v ) = α

→
u +α

→
v

2 (α + β)
→
u= α

→
u +β

→
u

3 1
→
u=
→
u

4 α(β
→
u ) = (αβ)

→
u

5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou

→
u=
→
0

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Propriedades

Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:

1 α(
→
u +

→
v ) = α

→
u +α

→
v

2 (α + β)
→
u= α

→
u +β

→
u

3 1
→
u=
→
u

4 α(β
→
u ) = (αβ)

→
u

5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou

→
u=
→
0

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Propriedades

Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:

1 α(
→
u +

→
v ) = α

→
u +α

→
v

2 (α + β)
→
u= α

→
u +β

→
u

3 1
→
u=
→
u

4 α(β
→
u ) = (αβ)

→
u

5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou

→
u=
→
0

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Propriedades

Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:

1 α(
→
u +

→
v ) = α

→
u +α

→
v

2 (α + β)
→
u= α

→
u +β

→
u

3 1
→
u=
→
u

4 α(β
→
u ) = (αβ)

→
u

5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou

→
u=
→
0

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Propriedades

Sejam α, β escalares e
→
u ,
→
v vetores de V3. Enta˜o:

1 α(
→
u +

→
v ) = α

→
u +α

→
v

2 (α + β)
→
u= α

→
u +β

→
u

3 1
→
u=
→
u

4 α(β
→
u ) = (αβ)

→
u

5 Se α
→
u=
→
0 , enta˜o α = 0 ou

→
u=
→
0

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Exerc´ıcio

Prove que se
→
u 6=→0 e α→u= β→u , enta˜o α = β.

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Soluc¸a˜o

Se α
→
u= β

→
u , enta˜o:

α
→
u −β→u= β→u −β→u=→0

(α− β)→u
Como

→
u 6=→0 , temos α− β = 0, ou seja, α = β.

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Combinac¸a˜o linear

Definic¸a˜o

Se
→
u= α1

→
v1 +α2

→
v2 +α3

→
v3 + · · · + αn →vn, dizemos enta˜o que

o vetor
→
u e´ combinac¸a˜o linear dos vetores

→
v 1,

→
v 2,

→
v 3, . . . ,

→
v n.

Os escalares α1, α2, α3, . . . , αn sa˜o chamados de coeficientes da
combinac¸a˜o.

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Combinac¸a˜o linear

Definic¸a˜o

Se
→
u= α1

→
v1 +α2

→
v2 +α3

→
v3 + · · · + αn →vn, dizemos enta˜o que

o vetor
→
u e´ combinac¸a˜o linear dos vetores

→
v 1,

→
v 2,

→
v 3, . . . ,

→
v n.

Os escalares α1, α2, α3, . . . , αn sa˜o chamados de coeficientes da
combinac¸a˜o.

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Exerc´ıcio

Considerando o paralelep´ıpedo da figura abaixo, expresse o vetor
−→
AF

como combinac¸a˜o linear dos vetores
−→
DC ,
−→
AD e

−→
BE .

Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica

Soluc¸a˜o

Temos
−→
BE =

−→
CF e

−→
AC =

−→
AD +

−→
DC , logo

−→
AF =

−→
AC +

−→
CF e pelas

relac¸o˜es descobertas vem:

−→
AF =

−→