derivadas

Prévia do material em texto

CÁLCULO I
LIMITES E 
DERIVADAS
2° semestre de 2018
 O desenvolvimento do Cálculo no século XVII por Newton e
Leibniz forneceu aos cientistas seu primeiro entendimento real
do que significa uma “taxa de variação” , tal como a
velocidade ou a aceleração. Uma vez entendida
conceitualmente essa ideia, seguiram-se métodos
computacionais eficientes, e a Ciência deu um salto quântico
para frente.
 A pedra fundamental sobre a qual se apoia a ideia de taxa de
variação é o conceito de “limite”.
viver aprender transformar
 Veremos um exemplo 
do movimento de um 
corpo que se move ao 
longo do tempo.
 Vamos tentar calcular a 
velocidade desse corpo 
no ponto P, a partir da 
análise gráfica da 
velocidade média.
viver aprender transformar
Velocidade
 Vamos escolher dois pontos da curva do gráfico, chamados de R e S.
viver aprender transformar
 A velocidade média é igual a declividade da reta nos pontos R e S.
viver aprender transformar
Assim a
É a velocidade do corpo no 
ponto P?
A curva não varia de acordo com 
o tempo?
viver aprender transformar
Devido a distância entre R e S, torna a velocidade 
média do ponto P POUCO EXATA! 
Mas ...

viver aprender transformar
 Analisando os resultados
viver aprender transformar
E se os pontos R e S ficarem cada vez mais próximos a P?
viver aprender transformar
Melhoramos 
a exatidão 
do cálculo 
da 
velocidade 
instantânea 
em P
Melhoramos 
a exatidão 
do cálculo 
da 
velocidade 
instantânea 
em P
viver aprender transformar
Como consequência...
viver aprender transformar
O que podemos concluir em relação ao limite??
viver aprender transformar

Lembrando:
Exemplo 01
viver aprender transformar
TAXA DE VARIAÇÃO
 A velocidade pode ser vista como uma taxa de variação,
mais precisamente, a taxa de variação também ocorrem
em outras aplicações.
 Um biólogo pode estar interessado na taxa segundo a
qual a quantidade de bactéria de uma colônia muda com
o tempo.
 Um engenheiro pode estar interessado na taxa segundo a
qual o comprimento de um cano de metal muda com a
temperatura.
 Um economista pode estar interessado na taxa de
segundo qual os custos de produção mudam com a
quantidade do produto que está sendo produzido.
 Um médico pode estar interessado na taxa segundo a
qual o raio de uma artéria muda com a concentração de
álcool na corrente sanguínea.
viver aprender transformar
Exemplo 03
viver aprender transformar
Tangentes
viver aprender transformar
viver aprender transformar
Vejamos as ilustrações, quando
oxx 
tende à zero, então teremos que o coeficiente angular da reta tangente.
viver aprender transformar
DERIVADA!!!
viver aprender transformar
Derivada no ponto x.
viver aprender transformar
Em cada valo de x a reta tangente tem inclinação m.
Vejamos o gráfico da função f(x) = x².
Análise gráfica de uma derivada
1) Encontre a equação da reta tangente à curva 
y = x², no ponto xo =1. Represente graficamente.
2) Após calcular para os pontos xo = 0, 2 e 3.
viver aprender transformar
.