Capítulo 4 Variáveis Aleatórias

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28-03-2016
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Capítulo 4 – Variáveis aleatórias
4.1. Variáveis aleatórias
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Variável aleatória:
Seja  o espaço de resultados de uma experiência aleatória.
Chama-se variável aleatória (v.a.), a qualquer função X que, a
cada acontecimento    faz corresponder um número real
x = X().
Capítulo 4 – Variáveis aleatórias
4.1. Variáveis aleatórias
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Convenções:
 Uma v.a. representa-se sempre por uma letra maiúscula.
 Os valores possíveis das v.a.s representam-se por letras 
minúsculas.
Tipos de variáveis aleatórias:
 Variável aleatória discreta ou descontínua: o conjunto dos
valores assumidos pela variável aleatória X (isto é, o seu
contradomínio CDX) é finito ou, sendo infinito, pode ser contado
ou enumerado (infinito numerável);
 Variável aleatória contínua: o conjunto dos valores
assumidos pela variável é um intervalo de números reais (ou
união de intervalos);
 Variável aleatória mista: o contradomínio da variável
aleatória não cumpre nenhuma das condições anteriores.
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Exemplo 4.1:
Considere-se a experiência aleatória que consiste em lançar duas
moedas perfeitas ao ar, com o objetivo de contar o número de
coroas que aparecem.
A variável aleatória
X = número de coroas observado, num lançamento
estabelece uma correspondência entre o espaço de resultados
 = (F, F), (F, C), (C, F), (C, C),
onde a letra F designa a face “cara” e C a face “coroa”, e o conjunto
dos números reais
CDX = 0, 1, 2.
Temos assim, X : (F, F), (F, C), (C, F), (C, C)  0, 1, 2.
A variável aleatória X é uma variável discreta.
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4.1. Variáveis aleatórias
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4.1. Variáveis aleatórias
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Exemplo 4.2:
Considerem-se as variáveis aleatórias
X = altura
Y = peso
de um determinado grupo de pessoas.
Estas variáveis podem assumir quaisquer valores num determinado
intervalo.
Classificaremos as variáveis X e Y como variáveis aleatórias
contínuas.
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4.2. Função de probabilidade e função de distribuição de v.a´s unidimensionais
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O facto de uma variável aleatória assumir um determinado valor x
pode ser interpretado como um acontecimento:
"a variável aleatória X assume o valor x“
do qual podemos determinar a respetiva probabilidade.
Assim, a probabilidade de uma v.a. X assumir um valor concreto x
é igual à probabilidade de realização do acontecimento A, cuja
imagem dada por X é x, ou seja,

1 
2
  
3  IR
b
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Graficamente
onde
e
 X
a     1 2P X Pa ,       3P X Pb  
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Exemplo 4.3:
Relativamente à v.a.
X = número de coroas observado, num lançamento de duas moedas
definida no Exemplo 4.1, podem calcular-se as seguintes
probabilidades,
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      1P X 0 P ,
4
F F  
        F,C,C,FP1XP
     
4
1
P2XP  C,C
2 1
4 2

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Variáveis aleatórias discretas
Considere-se  o espaço de resultados de uma experiência
aleatória e X uma variável aleatória discreta definida em . À
função associada à variável aleatória X,
designamos por função massa de probabilidade (f.m.p.) ou
função de probabilidade da variável aleatória X.
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Variáveis aleatórias discretas
Para a função massa de probabilidade f, de uma variável aleatória
discreta X, tem-se:
1. 0  f (x)  1,  x  IR;
2.
Qualquer função f com domínio IR e conjunto de chegada em 0, 1
pode servir como f.m.p. de uma v.a. discreta X se os seus valores
satisfizerem as condições 1. e 2. definidas atrás.
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Variáveis aleatórias discretas
Exemplo 4.4:
Relativamente ao exemplo anterior,
X = n.º de coroas observado, num lançamento de duas moedas
a função massa de probabilidade da v.a. X será a função f tal que
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Variáveis aleatórias discretas
Dada uma variável aleatória discreta X, chama-se função
distribuição (f.d.) ou função de probabilidade acumulada à
função
De notar que para uma f.d. F de uma v.a. X, o limite à esquerda
num ponto é dado por:
que denotaremos por . Temos assim que, P(X < a) = .
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Variáveis aleatórias discretas
Exemplo 4.5:
Considere a seguinte função massa de probabilidade:
a) Mostre que esta função satisfaz as propriedades de qualquer
função massa de probabilidade e represente-a graficamente.
b) Deduza a função de distribuição.
c) Calcule .
 






x
x
x
xf
 de valoresoutros , 0
3 2, ,1 , 
14
2
 2X1XP 
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Variáveis aleatórias discretas
Teorema 4.1:
Seja X uma variável aleatória discreta e F a sua função
distribuição. Então,
i.
ii.
iii. F é uma função não decrescente em IR.
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Variáveis aleatórias discretas
Teorema 4.2:
Sejam X uma variável aleatória discreta e F a sua função de
distribuição. Então,
i.
ii.
iii.
iv.
     aFbFba  XP
     P X    a b F b F a
      P X    a b F b F a
      P X     a b F b F a
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Variáveis aleatórias discretas
Teorema 4.3:
Sejam X uma variável aleatória discreta e F a sua função
distribuição. Então, F é uma função em escada definida em IR e
tem, no máximo, uma infinidade numerável de pontos de
descontinuidade à esquerda, que correspondem aos pontos onde a
função massa de probabilidade é positiva.
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Variáveis aleatórias contínuas
Uma função real f, não negativa, definida em IR e para a qual
é convergente, diz-se uma função densidade de probabilidade
(f.d.p.), ou apenas função densidade, de uma variável aleatória
contínua X, quando
= 1.
 


xxf d
 


xxf d
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Variáveis aleatórias contínuas
A função f é tal que a probabilidade de a v.a. X se situar no
intervalo compreendido entra a e b, é dada pela área sob a função
densidade, entre os valores x = a e x = b, isto é,
   ba XP  
b
a
xxf d
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Variáveis aleatórias contínuas
Observações:
1. ,  k  CDX e assim sendo,  a, b  IR,
2. Nas v.a.'s discretas a probabilidade está "concentrada" em pontos
dareta real enquanto que no caso das v.a.'s contínuas a
probabilidade está "distribuída" de modo contínuo num intervalo
da reta real.
3. O valor da f.d.p. num ponto, f (x), não é a P(X = x), como
acontece nas v.a.'s discretas. O seu integral entre dois valores a
e b define esse sim, uma probabilidade.
  kXP   0d 
k
k
xxf
   ba XP   ba XP   ba XP  ba  XP
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Variáveis aleatórias contínuas
Sejam X uma variável aleatória contínua e f a sua função densidade
de probabilidade. Chama-se função distribuição de
probabilidade (f.d.) ou função de probabilidade acumulada à
função
admitindo a convergência do integral, para qualquer x  IR.
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Variáveis aleatórias contínuas
Teorema 4.4:
Seja F a função distribuição de uma variável aleatória contínua X. 
Então,
Teorema 4.5:
Seja f a função densidade e F a função distribuição de uma variável
aleatória contínua X. Se f é contínua em IR, com exceção de um
número finito ou infinito numerável de pontos de descontinuidade
de 1ª espécie (os limites laterais existem e são finitos) então F é
derivável em qualquer ponto de continuidade x, de f e, nesse ponto
   xfxF 
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Variáveis aleatórias contínuas
Observação:
A uma função distribuição podem estar associadas uma infinidade
de funções densidade, todas elas diferentes entre si, apenas em um
número finito ou infinito numerável de pontos.
Teorema 4.6:
Sendo F a função distribuição de uma variável aleatória contínua X, 
tem-se
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Variáveis aleatórias contínuas
Exemplo 4.6:
Considere a variável aleatória X cuja função densidade de probabili-
dade é dada por:
Calcule usando
a) a função densidade de probabilidade.
b) a função de distribuição.
 








x
xx
xx
xf
 de valoresoutros para , 0
21 , 2
10 , 
 2,1X8,0P 
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Características Populacionais
A características numéricas associadas à distribuição de uma
variável aleatória dá-se o nome de parâmetros de distribuição.
Entre os vários existentes destacam-se:
 Os parâmetros de localização: indicadores de como
determinada característica de uma população se distribui ao longo
do respetivo espaço de resultados.
Exemplo: valor médio da v.a. X: E(X), μX ou simplesmente μ
 Os parâmetros de dispersão: medidas da variabilidade de
determinada característica de uma população.
Exemplos: variância da v.a. X: Var(X), 2X ou simplesmente 2,
desvio padrão da v.a. X: X ou simplesmente .
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Características Populacionais
Considere-se a v.a. X e CDX o seu contradomínio.
 Se X é uma v.a. discreta, com função massa de probabilidade f,
o valor médio de X é definido por
desde que a soma seja finita.
 Se X é uma v.a. contínua, com função densidade de
probabilidade f, o valor médio é definido por
desde que o integral seja convergente.
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Características Populacionais
Na definição anterior, se o somatório ou o integral não forem
convergentes, isto é, caso não se tenha |E(X)|<+, dizemos que o
valor médio não existe, ou que é infinito.
Exemplo 4.7:
Calcule o valor médio de X das v.a.´s definidas nos Exemplos 4.5 e
4.6.
Exemplo 4.8:
Calcule o valor médio de Y = 7X – 2, considerando a v.a X definida
no Exemplo 4.5.
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Características Populacionais
Teorema 4.7: Consideremos X uma v.a. discreta ou contínua e
CDX o seu contradomínio.
i. Se |E(X)|<+ e a e b são constantes reais, então
E(aX+b) = aE(X)+b.
ii. Seja g uma função real qualquer definida em IR.
 Se X é uma v.a. discreta, com f.m.p. f, então
supondo a soma convergente.
 Se X é uma v.a. contínua, com f.d.p. f, então, supondo o
integral convergente,
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Características Populacionais
Teorema 4.7: (continuação)
iii. Sejam g1, g2, … , gn, funções quaisquer definidas em IR e X uma
v.a. tal que |E(gi(X))|<+,  i = 1, … , n, então,
iv. Se X é uma v.a. não negativa, com função distribuição F, então,
ou seja, se um dos membros da igualdade é finito o outro
também o é e, nesse caso, são iguais.
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Características Populacionais
Teorema 4.8:
Sejam X1, X2, … , Xn v.a.'s, tais que |E(Xi)|<+, para i = 1, … , n.
Então,
Teorema 4.9:
Sejam X1, X2, … , Xn v.a.'s independentes, tais que |E(Xi)|<+,
para i = 1, … , n. Então,
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Características Populacionais
Sendo X uma v.a. com contradomínio CDX, a variância de X é
definida por
2 = Var(X) = E[(X  μ)2] = E[(X  E(X))2] (4.1)
caso exista o valor médio indicado.
Chama-se desvio padrão da variável aleatória X, a
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 XVar
Características Populacionais
 Se X é uma v.a. discreta, com função massa de probabilidade f,
a expressão (4.1) escreve-se
desde que a soma seja finita.
 Se X é uma v.a. contínua, com função densidade de
probabilidade f, a expressão (4.1) escreve-se
desde que o integral seja convergente.
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Características Populacionais
Teorema 4.10:
Seja X uma v.a. para a qual |E(X)|<+ e E(X2)<+. Então,
i. Var(X)  0.
ii. Var(X) = E(X2)  (E(X))2.
iii. Sendo a e b duas constantes reais, 
Var(aX+b) = a2Var(X).
Teorema 4.11:
Sejam X1, X2, … , Xn v.a.'s independentes, tais que |E(Xi)|<+,
para i = 1, … , n. Então,
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Características Populacionais
Exemplo 4.9:
Calcule a variância de X das v.a.´s definidas nos nos Exemplos 4.5
e 4.6.
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