8.1) Exercicios de GEOMETRIA ANALÍTICA - CIRCUNFERÊNCIA

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Geometria Analítica - Exercícios 2 
 
Os pontos (2,3) e (3,5) determinam a reta rrrr que intercepta, em PPPP, a reta s s s s determinada 
pelos pontos (0,3) e (3,–3). Encontre as coordenadas do ponto PPPP 
 
Para determinar a equação da reta que passa pelos 
pontos B(2,3) e A(3,5) podemos fazer de 2 maneiras: 
 
1º) Equação da reta que passa por 2 pontos A e B: 
 
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
01yx26x25y
3x25y
3x
23
355y
xx
xx
yyyy B
AB
AB
B
====−−−−−−−−→→→→−−−−====−−−−
−−−−====−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====−−−−
 
 
 
2º) Condição de alinhamento de 3 pontos B, A e P : 
 
01yx20y310x3x5y290
1yx
132
153
====−−−−−−−−→→→→====−−−−−−−−−−−−++++++++→→→→==== 
 
 
2º) Condição de alinhamento de 3 pontos C, P e D : 
 
03yx209y3x60x3y39x30
133
1yx
130
====−−−−++++→→→→====−−−−++++→→→→====−−−−−−−−++++−−−−→→→→====
−−−−
 
 
 
Interseção de r com s : srI 
 
 
 
resposta 
 
 
 
 
 
 
1y1x04x4
)(
03yx2
01yx2
====∴∴∴∴====→→→→====−−−−
++++−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
====−−−−++++
====−−−−−−−−
1)1)1)1) 
Geometria Analítica - Exercícios 3 
 
 
Equação Reduzida da circunferênciaEquação Reduzida da circunferênciaEquação Reduzida da circunferênciaEquação Reduzida da circunferência 
 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))1..............................................ryx 222 ====ββββ−−−−++++αααα−−−− 
 
Equação normal da circunferênciaEquação normal da circunferênciaEquação normal da circunferênciaEquação normal da circunferência 
 
Desenvolvendo (1) temos : 
 
(((( )))) (((( ))))2..........................0ry2x2yx
ry2yx2x
22222
22222
====−−−−ββββ++++αααα++++ββββ−−−−αααα−−−−++++
====ββββ++++ββββ−−−−++++αααα++++αααα−−−−
 
 
 
Condições para o reconhecimento de uma circunferênciaCondições para o reconhecimento de uma circunferênciaCondições para o reconhecimento de uma circunferênciaCondições para o reconhecimento de uma circunferência 
 
Dada uma equação do 2º grau em x e y, temos : 
 
(((( ))))
(((( ))))3..............................0
A
Fy
A
E
x
A
D
xy
A
Cy
A
B
x
A0FEyDxCxyByAx
22
22
====++++++++++++++++++++
÷÷÷÷====++++++++++++++++++++
 
 
Comparando as equações (2) e (3) temos : 
 
2
22
2
2
2
2
2
2
222222
A4
AF4ED
r
A
F
A4
E
A4
D
r
A
F
rr
A
F)º5
A2
E2
A
E)º4
A2
D2
A
D)º3
)xytermohaverpodenão(0C0
A
C)º2
0AB1
A
B)º1
−−−−++++
====→→→→−−−−++++====→→→→
−−−−ββββ++++αααα====→→→→−−−−ββββ++++αααα====
−−−−====ββββ→→→→ββββ−−−−====
−−−−====αααα→→→→αααα−−−−====
====→→→→====
≠≠≠≠====→→→→====
 
 
Como r2 > 0 ( nº real positivo ) temos então: 0AF4ED0
A4
AF4ED 22
2
22
>>>>−−−−++++⇒⇒⇒⇒>>>>
−−−−++++ 
 
Portanto, são condições para a existência da circunferênciacondições para a existência da circunferênciacondições para a existência da circunferênciacondições para a existência da circunferência : 
 
B = A ≠ 0 ; C = 0 ; D2 + E2 − 4AF > 0
Geometria Analítica - Exercícios 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
resposta 
resposta 
2)2)2)2) 
3)3)3)3) 
Geometria Analítica - Exercícios 5 
 
resposta 
4)4)4)4) 
Geometria Analítica - Exercícios 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
resposta 
resposta 
resposta 
5)5)5)5) 
6)6)6)6) 
Geometria Analítica - Exercícios 7 
 
 
 
 
Veja 2ª maneira na página seguinte: 
resposta 
7)7)7)7) 
Geometria Analítica - Exercícios 8 
 
 
 
resposta 
8)8)8)8) 
Geometria Analítica - Exercícios 9 
 
 
 
 
 
resposta 
9)9)9)9) 
Geometria Analítica - Exercícios 10 
 
10) 10) 10) 10) A reta A reta A reta A reta rrrr passa pelo centro da circunferência x passa pelo centro da circunferência x passa pelo centro da circunferência x passa pelo centro da circunferência x2222+(y+1)+(y+1)+(y+1)+(y+1)2222 = 4 e é paralela = 4 e é paralela = 4 e é paralela = 4 e é paralela 
à reta à reta à reta à reta ssss : 3x : 3x : 3x : 3x----y+7 = 0 . Achar a equação da reta r.y+7 = 0 . Achar a equação da reta r.y+7 = 0 . Achar a equação da reta r.y+7 = 0 . Achar a equação da reta r. 
 
Se r // sr // sr // sr // s então o coeficiente angular de rrrr é igual 
ao coeficiente angular de ssss. 
 
Então : 
 
 rs m3m7x3y07yx3:s ========→→→→++++====→→→→====++++−−−− 
 
Temos : (((( )))) (((( )))) 1,0C41yx C22 −−−−====→→→→====++++++++ 
 
r passa por Cr passa por Cr passa por Cr passa por CCCCC(0,(0,(0,(0,----1)1)1)1) então : 
 
 
(((( ))))
(((( )))) 1x3y0x31y
xxmyy 0r0
−−−−====→→→→−−−−====++++
−−−−====−−−−
 
 
 
 
11) 11) 11) 11) Seja P um ponto do eixo das ordenadas pertencentes à reta 2xSeja P um ponto do eixo das ordenadas pertencentes à reta 2xSeja P um ponto do eixo das ordenadas pertencentes à reta 2xSeja P um ponto do eixo das ordenadas pertencentes à reta 2x----3y3y3y3y----6=0. Achar a 6=0. Achar a 6=0. Achar a 6=0. Achar a 
equação da circunferência de centro em P e tangente ao eixo dequação da circunferência de centro em P e tangente ao eixo dequação da circunferência de centro em P e tangente ao eixo dequação da circunferência de centro em P e tangente ao eixo das abscissas.as abscissas.as abscissas.as abscissas. 
 
Se PPPP pertence ao eixo das ordenadas então suas coordenadas são: (((( ))))y,0P 
 
PPPP pertence à reta 2x2x2x2x----3y3y3y3y----6=06=06=06=0. . . . 
 
Então : (((( )))) Centro2,0P2y06y30.2 ====−−−−→→→→−−−−====→→→→====−−−−−−−− 
 
Cálculo de RCálculo de RCálculo de RCálculo de R 
A distância de PPPP até a origem é igual ao raio RRRR : : : : 
 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) 2r4P,OD
2000P,OD
yyxxP,OD
22
2
PO
2
PO
====→→→→====
++++++++−−−−====
−−−−++++−−−−====
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(((( ))))
0y4yx
 
44y4yx
ou 
42yx
22
22
22
====++++++++
↓↓↓↓
====++++++++++++
====++++++++
resposta 
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 11 
 
12) 12) 12) 12) Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos 
pontos A(5,pontos A(5,pontos A(5,pontos A(5,----1) e B(1) e B(1) e B(1) e B(----3333,7),7),7),7) 
 
Como AB é um diâmetro então o centro da circunferência é dado pelo Ponto Médio de Ponto Médio de Ponto Médio de Ponto Médio de 
ABABABAB : 
 
 (((( ))))3,1C
3y
2
71y
2
yyy
1x
2
35
x
2
xx
x
CC
BA
C
CC
BA
C
⇒⇒⇒⇒






====→→→→
++++−−−−
====→→→→
++++
====
====→→→→
−−−−
====→→→→
++++
====
 
 
O raio da circunferência se obtém aplicando a fórmula da distância entre 2 pontos : 
 
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
32r32rd1616d
3115d
yyxxd
2
22
2
CA
2
CA
====→→→→========→→→→++++====
−−−−−−−−++++−−−−====
−−−−++++−−−−====
 
 
Portanto, a equação da circunferência será : 
 
(((( )))) (((( ))))
geral equação022y6x2yx0329y6y1x2x
reduzida quaçãoe 323y1x
2222
22
⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−−−−−++++→→→→====−−−−++++−−−−++++++++−−−−
⇒⇒⇒⇒====−−−−++++−−−−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 12 
 
13) 13) 13) 13) Determinar a equação da circunferênciaqueDeterminar a equação da circunferência queDeterminar a equação da circunferência queDeterminar a equação da circunferência que passa pela origem do sistema passa pela origem do sistema passa pela origem do sistema passa pela origem do sistema 
cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4,cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4,cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4,cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4,----3).3).3).3). 
 
O raio r é igual a distância da origem (0,0) ao centro (4,-3) : 
 
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) 5r25r3040r
yyxxdr
22
2
Corigem
2
Corigem
====∴∴∴∴====→→→→++++++++−−−−====
−−−−++++−−−−========
 
 
Logo: 
 (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 253y4xrayax 22222 ====++++++++−−−−→→→→====++++++++−−−− 
 
 
 
14) 14) 14) 14) Determinar a equação da circunferênDeterminar a equação da circunferênDeterminar a equação da circunferênDeterminar a equação da circunferência que passa pelo ponto A(cia que passa pelo ponto A(cia que passa pelo ponto A(cia que passa pelo ponto A(----1,6) e é tangente 1,6) e é tangente 1,6) e é tangente 1,6) e é tangente 
ao eixo das abscissas, no ponto B(0,3)ao eixo das abscissas, no ponto B(0,3)ao eixo das abscissas, no ponto B(0,3)ao eixo das abscissas, no ponto B(0,3) 
 
Como a circunferência é tangente ao eixo das ordenadas Oy no ponto 
BBBB então seu centro é (((( ))))3,aC 
 
Temos: 
 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
5a10a2a91a2a
330a631a
yyxxyyxx
)CB(d)CA(d
22
2222
2
BC
2
BC
2
AC
2
AC
−−−−====∴∴∴∴−−−−====→→→→====++++++++++++
−−−−++++−−−−====−−−−++++++++
−−−−++++−−−−====−−−−++++−−−−
====
 
 
 
Logo (((( ))))3,5C −−−− e o raio = BC=AC = 5raio = BC=AC = 5raio = BC=AC = 5raio = BC=AC = 5 
 
 
Portanto: (((( )))) (((( )))) 253y5x 22 ====−−−−++++++++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
resposta 
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 13 
 
 
15) 15) 15) 15) Dada a circunferência de equação x²+y²Dada a circunferência de equação x²+y²Dada a circunferência de equação x²+y²Dada a circunferência de equação x²+y²----5x5x5x5x----3y+4 = 0, determinar a 3y+4 = 0, determinar a 3y+4 = 0, determinar a 3y+4 = 0, determinar a potênciapotênciapotênciapotência do do do dossss 
pontopontopontopontossss P(P(P(P(----2,3)2,3)2,3)2,3) e e e e P P P P’’’’(2,(2,(2,(2,3333)))) em relação à circunferência dada. em relação à circunferência dada. em relação à circunferência dada. em relação à circunferência dada. 
 
Seja a circunferência Ax²+By²+Dx+Ey+F = 0Ax²+By²+Dx+Ey+F = 0Ax²+By²+Dx+Ey+F = 0Ax²+By²+Dx+Ey+F = 0 e um ponto P(xP(xP(xP(x0000,y,y,y,y0000)))), a Potência de P é 
 
dada por: Pot(P) = A(xPot(P) = A(xPot(P) = A(xPot(P) = A(x0000)²+B(y)²+B(y)²+B(y)²+B(y0000)²+D)²+D)²+D)²+Dxxxx0000+Ey+Ey+Ey+Ey0000+F+F+F+F 
 
Então : 
[[[[ ]]]](((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
[[[[ ]]]](((( )))) [[[[ ]]]](((( )))) 18PPot491094PPot
4332532PPot
3,23,2
22
3,2
====⇒⇒⇒⇒++++−−−−++++++++====
++++−−−−−−−−−−−−++++−−−−====
−−−−−−−−
−−−−
 
 
[[[[ ]]]](((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
[[[[ ]]]](((( )))) [[[[ ]]]](((( )))) 2PPot491094PPot
4332532PPot
3,23,2
22
3,2
−−−−====⇒⇒⇒⇒++++−−−−−−−−++++====
++++−−−−−−−−++++====
−−−−
 
 
 
 
 
Da Geometria Plana temos:Da Geometria Plana temos:Da Geometria Plana temos:Da Geometria Plana temos: 
Define-se Potência de um ponto P em relação a uma circunferência C como sendo o produto das medidas dos 
segmentos PA e PB, sendo A e B os pontos em que uma reta qualquer que contenha P intercepta C. 
 
Ou seja, Pot(P) = PA . PBPot(P) = PA . PBPot(P) = PA . PBPot(P) = PA . PB 
 
Se PPPP é externo a CCCC → Pot(P) > 0Pot(P) > 0Pot(P) > 0Pot(P) > 0 
 
 
 
 
Se PPPP é interno a CCCC → Pot(P) Pot(P) Pot(P) Pot(P) <<<< 0000 
 
 
 
 
Se PPPP pertence a CCCC → Pot(P) Pot(P) Pot(P) Pot(P) = PA ²= PA ²= PA ²= PA ² 
 
 
 
 
 
 
 
resposta 
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 14 
 
 
16) 16) 16) 16) Determinar a equação do Determinar a equação do Determinar a equação do Determinar a equação do eixo radicaleixo radicaleixo radicaleixo radical das circunferências cujas equações são : das circunferências cujas equações são : das circunferências cujas equações são : das circunferências cujas equações são : 
C1 : xC1 : xC1 : xC1 : x2222 ++++ yyyy2222 ++++ 8x8x8x8x ++++ 4y4y4y4y ++++ 11115 = 0 e C2 : x5 = 0 e C2 : x5 = 0 e C2 : x5 = 0 e C2 : x 2222++++ yyyy2222 ---- 12x12x12x12x +14y+14y+14y+14y ++++ 35 = 035 = 035 = 035 = 0 
 
Da Geometria Plana :Da Geometria Plana :Da Geometria Plana :Da Geometria Plana : 
O eixo radicaleixo radicaleixo radicaleixo radical de duas circunferências é o lugar geométrico dos pontos do plano equipotentesequipotentesequipotentesequipotentes ( que tem a mesma 
potência ) em relação às duas circunferências. 
O eixo radical é sempre uma reta perpendicular à reta suporte que contém os centros das duas circunferências. 
 
Sendo P(x,y) um ponto genérico do eixo radical , temos : 
 
 
(((( )))) ) radical eixo do equação (2x2you02yx2020y10x20
020y14y4x12x8
35y14x12yx15y4x8yx
10
2222
−−−−========++++++++−−−− →→→→====−−−−−−−−
====−−−−−−−−++++++++
++++++++−−−−++++====++++++++++++++++
−−−−÷÷÷÷
 
 
ExemploExemploExemploExemplo : : : : 
Seja y =3 ∈ eixo radical . Então x =2,5 →→→→ P( 2,5 ; 3 ) 
 
C1: x² + y² +8x +4y +15 = 0 → C1( -4;-2 ) 
C2: x² + y² - 12x + 14y + 35 = 0 → C2( 6;-7 ) 
 
Reta que passa por P e C1 : 5x - 6,5y + 7 = 0 
Reta que passa por P e C2 : - x – y + 5,5 = 0 
 
Reta que passa por C1 e C2 : x + 2y + 8 = 0 
 
Potência (P~C1) = 2,5² + 3² + 8.2,5 + 4.3 + 15 → Potência (P~C1) = 62,2 
Potência (P~C2) = 2,5² + 3² - 12.2,5 + 14.3 + 35 → Potência (P~C1) = 62,2 
 
As duas potências são iguais, o que mostra que o eixo radical é uma reta equipotencial ( cujas potências são 
iguais em relação às duas circunferências C1 e C2 ) 
 
Geometricamente , PA.PB = PC.PD = 62,2 → Pot (P~C1;C2) = 62,2 
 
 
 
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 15 
 
 
17) 17) 17) 17) Determinar a equação do eixo radical das circunferências de equações:Determinar a equação do eixo radical das circunferências de equações:Determinar a equação do eixo radical das circunferências de equações:Determinar a equação do eixo radical das circunferências de equações: 
C1 : x²C1 : x²C1 : x²C1 : x² ++++ y²y²y²y² ---- 5x5x5x5x ++++ 10101010yyyy ++++ 11110000 = 0 e C2 : x² = 0 e C2 : x² = 0 e C2 : x² = 0 e C2 : x² ++++ y² y² y² y² ---- 5 = 05 = 05 = 05 = 0 
 
Sendo P(x,y) um ponto genérico do eixo radical temos: 
 
) radical eixo do equação ( 03y2x015y10x5
0510y10x5
5yx10y10x5yx 2222
====++++++++−−−−→→→→====++++++++−−−−
====++++++++++++−−−−
−−−−++++====++++++++−−−−++++
 
 
ExemploExemploExemploExemplo : : : : 
Seja x =7 ∈ eixo radical . Então y =2 →→→→ P( 7 ; 2 ) 
 
C1: x² + y²- 5x +10y +10 = 0 → C1( 2,5 ; 5 ) 
C2: x² + y² - 5 = 0 → C2( 0;0 ) 
 
Reta que passa por P e C1 : 7x - 4,5y - 40 = 0 
Reta que passa por P e C2 : 2x - 7y = 0 
Reta que passa por M e N : 1,61x – 3,2y – 4,79 = 0 ou x – 2y -3 = 0 
 
Reta que passa por C1 e C2 : -5x – 2,5y = 0 
 
Potência (P~C1) = 7² + 2² - 5.7 + 10.2 + 10 → Potência (P~C1) = 48 
Potência (P~C2) = 7² + 2² - 5 → Potência (P~C1) = 48 
 
As duas potências são iguais, o que mostra que o eixo radical é uma reta equipotencial ( cujas potências são 
iguais em relação às duas circunferências C1 e C2 ) 
 
Geometricamente, PA.PB = PC.PD = PM.PN = 48 → Pot (P~C1;C2) = 48 
 
 
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 16 
 
18) 18) 18) 18) Determinar a equação do eixo radical das circunferências de equDeterminar a equação do eixo radical das circunferências de equDeterminar a equação do eixo radical das circunferências de equDeterminar a equação do eixo radical das circunferências de equações:ações:ações:ações: 
C1 : x²C1 : x²C1 : x²C1 : x² ++++ y²y²y²y² ---- 2 2 2 2xxxx ---- 2y 2y 2y 2y ---- 2 2 2 2 = 0 e C2 : x² = 0 e C2 : x² = 0 e C2 : x² = 0 e C2 : x² ++++ y²y²y²y² ----8888xxxx ---- 10y + 32 10y + 32 10y + 32 10y + 32 = 0 = 0 = 0 = 0 
 
Sendo P(x,y) um ponto genérico do eixo radical temos: 
 
) radical eixo do equação ( 034y8x6
032y10x82y2x2
32y10x8yx2y2x2yx 2222
====−−−−++++
====−−−−++++++++−−−−−−−−−−−−
++++−−−−−−−−++++====−−−−−−−−−−−−++++
 
 
ExemploExemploExemploExemplo : : : : 
Seja x =10 ∈ eixo radical . Então y =-3,25 →→→→ P( 10 ; -3,25 ) 
 
C1: x² + y² - 2x - 2y - 2 = 0 → C1( 1;1 ) 
C2: x² + y² - 8x - 10y + 32 = 0 → C2( 4;5 ) 
 
Reta que passa por P e C1 : 4,25x + 9y - 13,25 = 0 
Reta que passa por P e C2 : 8,25x + 6y - 63 = 0 
 
Reta que passa por C1 e C2 : -4x + 3y + 1 = 0 
 
Potência (P~C1) = 10² + (-3,25)² - 2.10 - 2(-3,25) - 2 → Potência (P~C1) = 95,06 
Potência (P~C2) = 10² + (-3,25)² - 8.10 - 10(-3,25) + 32 → Potência (P~C1) = 95,06 
 
As duas potências são iguais, o que mostra que o eixo radical é uma reta equipotencial ( cujas potências são 
iguais em relação às duas circunferências C1 e C2 ) 
 
Geometricamente , Potência (P~C1) = PA . PB e Potência (P~C2) = PC . PD → PA.PB = PC.PD 
 
 
 
 
 
 
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 17 
 
19) 19) 19) 19) Determinar a equação do eixo radical das circunferências de equações:Determinar a equação do eixo radical das circunferências de equações:Determinar a equação do eixo radical das circunferências de equações:Determinar a equação do eixo radical das circunferências de equações: 
C1 : x²C1 : x²C1 : x²C1 : x² ++++ y²y²y²y² ---- 49494949 = = = = 0 e C2 : x² 0 e C2 : x² 0 e C2 : x² 0 e C2 : x² ++++ y²y²y²y² ---- 6 6 6 6xxxx ---- 8888y + y + y + y + 21212121 = 0 = 0 = 0 = 0 
 
Sendo P(x,y) um ponto genérico do eixo radical temos: 
 
) radical eixo do equação ( 035y4x3070y8x6
21y8x6yx49yx
)2(
2222
====−−−−++++ →→→→====++++−−−−−−−−
++++−−−−−−−−++++====−−−−++++
−−−−÷÷÷÷
 
 
ExemploExemploExemploExemplo : : : : 
Seja x = 9 ∈ eixo radical . Então y = 2 →→→→ P( 9 ; 2 ) 
 
C1: x² + y² - 49 = 0 → C1( 0;0 ) 
C2: x² + y² - 6x – 8y + 21 = 0 → C2( 3;4 ) 
 
Reta que passa por P e C1 : 2x - 9y = 0 
Reta que passa por P e C2 : - x - 3y + 15 = 0 
 
Reta que passa por C1 e C2 : - 4x + 3y = 0 
 
Potência (P~C1) = 9² + 2² - 49 → Potência (P~C1) = 36 
Potência (P~C2) = 9² + 2² - 6.9 – 8.2 + 21 → Potência (P~C1) = 36 
 
As duas potências são iguais, o que mostra que o eixo radical é uma reta equipotencial ( cujas potências são 
iguais em relação às duas circunferências C1 e C2 ) 
 
Geometricamente , 
PA.PB = PE.PF = PC.PD = PT ² = POT( P ~ C1 e C2 ) = 36 
 
 
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 18 
 
20) 20) 20) 20) O ponto O ponto O ponto O ponto (((( ))))2222 ;P pertence à circunferência de equação pertence à circunferência de equação pertence à circunferência de equação pertence à circunferência de equação x² + y² = 1x² + y² = 1x² + y² = 1x² + y² = 1. Determinar a . Determinar a . Determinar a . Determinar a 
equação da reta t, tangente à circunferência e que passa por equação da reta t, tangente à circunferência e que passa por equação da reta t, tangente à circunferência e que passa por equação da reta t, tangente à circunferência e que passa por PPPP.... 
 
Da equação: (((( ))))0;0C1yx 22 →→→→====++++ 
 
A reta que contém o raio da circunferência passa pela origem (((( )))) (((( ))))2222 ;Pe0;0C . 
Então sua equação será: 
1m1xy02y2x20x
2
2y
2
2
2
2
0
1yx
1
100
2
2
2
2
====∴∴∴∴−−−−====→→→→====++++++++−−−−→→→→====−−−−++++→→→→
====
 
 
Como a reta tangente tttt passa por PPPP e é perpendicular ao raio, então seu coeficiente 
angular mmmmtttt é o inverso do simétrico de mmmm ( invermétrico de mmmm ) ) ) ), isto é mmmmtttt = = = = ----1111 
 
Logo, 
(((( ))))
(((( ))))
) tangente reta ( 2xy
2
22x2y
2
22x2y
2x22y2
2
2
x
2
2y
2
2
x1
2
2y
xxmyy PtP
++++−−−−====→→→→
++++−−−−
====→→→→
++++++++−−−−
====→→→→
→→→→++++−−−−====−−−−→→→→++++−−−−====−−−−→→→→







−−−−−−−−====−−−−
−−−−====−−−−
 
 
 
 
 
ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação : o coeficiente angular da reta que contem o raio OP também pode ser calculado como : 
 
1
02
2
02
2
xx
yy
m
OP
OP
====
−−−−
−−−−
====
−−−−
−−−−
==== 
 
 
 
 
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 19 
 
21) 21) 21) 21) Dada a reta Dada a reta Dada a reta Dada a reta r: 3x + 4y r: 3x + 4y r: 3x + 4y r: 3x + 4y –––– 1 = 0 1 = 0 1 = 0 1 = 0 e a circunferência e a circunferência e a circunferência e a circunferência x² + y² x² + y² x² + y² x² + y² ---- 1 = 0 1 = 0 1 = 0 1 = 0 , ach , ach , ach , achar as equações ar as equações ar as equações ar as equações 
das retas tangentes a circunferência e paralelas a reta r.das retas tangentes a circunferência e paralelas a reta r.das retas tangentes a circunferência e paralelas a reta r.das retas tangentes a circunferência e paralelas a reta r. 
 
Todas as retas (feixe de retas) que são paralelas à reta rrrr dada tem a forma: 
 
 0Cy4x3 ====++++++++ 
 
De: (((( )))) 1 r e 0;0C1yx 22 ====→→→→====++++ 
 
Como as retas procuradas são tangentes à circunferência e paralelas a rrrr , então a 
distância de tais retas até o centro da circunferência é igual ao raio. 
Ou seja : 
 



−−−−====
====
∴∴∴∴====→→→→====→→→→====→→→→====
++++
++++++++
→→→→
====
++++
++++++++
5C
5C
5C1
5
C
1
5
C1
43
C0.40.3
r
BA
CBbAa
22
22
 
 
Portanto: 
 
) tangentes das equações (05y4x3e05y4x3 ====−−−−++++====++++++++ 
 
 
 
 
 
 
 
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 20 
 
22) 22) 22) 22) Determinar as equações das retaDeterminar as equações das retaDeterminar as equações das retaDeterminar as equações das retas tangentes à circunferência x²+y²s tangentes à circunferência x²+y²s tangentes à circunferência x²+y²s tangentes à circunferência x²+y²----10x+2y+18 = 0 10x+2y+18 = 0 10x+2y+18 = 0 10x+2y+18 = 0 
e que são paralelas à reta e que são paralelas à reta e que são paralelas à reta e que são paralelas à reta r: r: r: r: x x x x –––– y + 3 = 0 y + 3 = 0 y + 3 = 0 y + 3 = 0 
 
Todas as retas (feixe de retas) que são paralelas à reta rrrr dada tem a forma: 
 
 0Cyx ====++++−−−− 
 
Centro da circunferência : (((( ))))1;5C1
1.2
2
A2
E
e5
1.2
)10(
A2
D
−−−−→→→→−−−−====
−−−−
====
−−−−
====ββββ====−−−−−−−−====−−−−====αααα 
 
Raio da circunferência : 
(((( ))))
(((( )))) 8r8r
1
1815r
A
F
r
ou
8r8r
1.4
18.1.4210
r
A4
AF4ED
r
22222
2
22
2
2
22
2
====∴∴∴∴====→→→→−−−−−−−−++++====→→→→−−−−ββββ++++αααα====
====∴∴∴∴====→→→→
−−−−++++−−−−
====→→→→
−−−−++++
====
 
 
Como as retas procuradas são tangentes à circunferência e paralelas a rrrr , então a 
distância de tais retas até o centro da circunferência é igual ao raio. 
Ou seja : 
 
(((( ))))



−−−−====→→→→−−−−====++++−−−−====→→→→====++++
∴∴∴∴====++++→→→→====
++++
→→→→====
++++
→→→→
→→→→====
−−−−++++
++++−−−−−−−−
→→→→====
++++
++++ββββ++++αααα
10C46C
2C46C
166C8
2
6C
8
2
C6
8
11
C)1.(15.1
r
BA
CBA
2222
 
 
Portanto: ) tangentes das equações (010yxe02yx ====−−−−−−−−====−−−−−−−− 
 
 resposta 
 
Geometria Analítica - Exercícios 21 
 
23) 23) 23) 23) Determinar a posição relativa entre a reta Determinar a posição relativa entre a reta Determinar a posição relativa entre a reta Determinar a posição relativa entre a reta x+y = 0x+y = 0x+y = 0x+y = 0 e a circunferência e a circunferência e a circunferência e a circunferência x²+y² = 1x²+y² = 1x²+y² = 1x²+y² = 1 
 
1ª maneira:1ª maneira:1ª maneira:1ª maneira: 
Fazendo a interseção entre a reta e a circunferência temos : 
 
(((( ))))1yx0yx −−−−====→→→→====++++ 
 
Substituindo (1) na circunferência temos : 
 
(((( )))) (((( ))))201y21y21yy 2222 ====−−−−→→→→====→→→→====++++−−−− 
 
Em (2), temos que antessec08802 ⇒⇒⇒⇒>>>>∆∆∆∆∴∴∴∴====∆∆∆∆→→→→++++====∆∆∆∆ 
 
 
2ª maneira:2ª maneira:2ª maneira:2ª maneira: 
Calculando a distância entre o centro da circunferência e a reta temos: 
 
(((( )))) antessec10rd0
11
00.10.1
BA
CBbAad
2222
⇒⇒⇒⇒<<<<<<<<→→→→====
++++
++++++++
====
++++
++++++++
==== 
 
 
 
 
 
 
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
x
y
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 22 
 
24) 24) 24) 24) DeterminDeterminDeterminDetermineeee a posição a posição a posição a posição relativa entre a reta relativa entre a reta relativa entre a reta relativa entre a reta 02yx ====−−−−−−−− e a circunferência e a circunferência e a circunferência e a circunferência x²+y² = 1x²+y² = 1x²+y² = 1x²+y² = 1 
 
1ª maneira:1ª maneira:1ª maneira:1ª maneira: 
Fazendo a interseção entre a reta e a circunferência temos : 
 
(((( ))))12yx02yx ++++====→→→→====−−−−−−−− 
 
Substituindo (1) na circunferência temos : 
 
(((( ))))
(((( ))))201y22y21y2y22y
1y2y
222
22
====++++++++→→→→====++++++++++++
====++++++++
 
 
Em (2), temos que (((( )))) gentetan0088822 2 ⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆∴∴∴∴====−−−−====∆∆∆∆→→→→−−−−====∆∆∆∆ 
 
 
2ª maneira:2ª maneira:2ª maneira:2ª maneira: 
Calculando a distância entre o centro da circunferência e a reta temos: 
 
(((( )))) gentetan11rd11d
2
2d
11
20.10.1d
BA
CBbAad
22
22
⇒⇒⇒⇒========→→→→====−−−−====→→→→
−−−−
====
++++
−−−−−−−−
====
++++
++++++++
====
 
 
 
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
x
y
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 23 
 
25) 25) 25) 25) Determinar a posição relativa entre a reta Determinar a posição relativa entre a reta Determinar a posição relativa entre a reta Determinar a posição relativa entre a reta 09yx ====−−−−−−−− e a circunferência e a circunferência e a circunferência e a circunferência x²+y² = 1x²+y² = 1x²+y² = 1x²+y² = 1 
 
1ª1ª1ª1ª maneira: maneira: maneira: maneira: 
Fazendo a interseção entre a reta e a circunferência temos : 
 
(((( ))))19yx09yx ++++====→→→→====−−−−−−−− 
 
Substituindo (1) na circunferência temos : 
 
(((( ))))
(((( ))))2040y9y080y18y21y81y18y
1y9y
22222
22
====++++++++→→→→====++++++++→→→→====++++++++++++
====++++++++
÷÷÷÷
 
 
Em (2), temos que (((( )))) exterior079160811609 2 ⇒⇒⇒⇒<<<<∆∆∆∆∴∴∴∴−−−−====−−−−====∆∆∆∆→→→→−−−−====∆∆∆∆ 
 
 
2ª maneira:2ª maneira:2ª maneira:2ª maneira: 
Calculando a distância entre o centro da circunferência e a reta temos: 
 
(((( )))) exterior136,6rd
2
9d
2
9d
11
90.10.1d
BA
CBbAad
22
22
⇒⇒⇒⇒>>>>>>>>→→→→====→→→→
−−−−
====
++++
−−−−−−−−
====
++++
++++++++
====
 
 
 
 
 
 
−1 1 2 3 4 5 6 7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
y
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 24 
 
26) 26) 26) 26) Escrever a equação da circunferência de centro (3;Escrever a equação da circunferência de centro (3;Escrever a equação da circunferência de centro (3;Escrever a equação da circunferência de centro (3;----1) e raio 51) e raio 51) e raio 51) e raio 5 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 251y3xrbyax 22222 ====++++++++−−−−→→→→====++++++++−−−− resposta 
 
27) 27) 27) 27) Escrever a equação da circunferência de centro (4;Escrever a equação da circunferência de centro (4;Escrever a equação da circunferência de centro (4;Escrever a equação da circunferência de centro (4;----1) e 1) e 1) e 1) e que que que que passa porpassa porpassa porpassa por ( ( ( (----1;3)1;3)1;3)1;3) 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 222222 r1y4xrbyax ====++++++++−−−−→→→→====++++++++−−−− 
 
Passa por (-1;3): 






====→→→→====
====++++++++++++++++++++
====++++++++++++++++−−−−
41r41r
r1691681
r1y2y16x8x
2
2
222
 
 
Portanto: (((( )))) (((( )))) 411y4x 22 ====++++++++−−−− resposta 
 
 
28) 28) 28) 28) Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência que tem como diâmetro o segmento que liga que tem como diâmetro o segmento que liga que tem como diâmetro o segmento que liga que tem como diâmetro o segmento que liga 
os pontos A(os pontos A(os pontos A(os pontos A(----3;5) e B(7;3;5) e B(7;3;5) e B(7;3;5) e B(7;----3).3).3).3). 
As coordenadas do centro da circunferência é o ponto médio do diâmetro AB. 






====ββββ→→→→−−−−====++++====ββββ
====αααα→→→→
++++−−−−
====
++++
====αααα
1
2
35
2
yy
2
2
73
2
xx
BA
BA
 
 
O raio é a metade da distância AB. Então: 
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
41r
2
164
r
2
64100
r
2
3573
r
2
yyxx
r
2
ABD
r
2
22
2
BA
2
BA
====∴∴∴∴====→→→→
++++
====→→→→
++++++++−−−−−−−−
====
−−−−++++−−−−
====
====
 
 
Logo (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 411y2xryx 22222 ====−−−−++++−−−−→→→→====ββββ−−−−++++αααα−−−− resposta 
 
 
−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
 
Geometria Analítica - Exercícios 25 
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 
29) 29) 29) 29) Escrever a equação da circunferência de centro (Escrever a equação da circunferência de centro (Escrever a equação da circunferência de centro (Escrever a equação da circunferência de centro (----4;4;4;4;3333) e ) e ) e ) e tangente ao eixo y.tangente ao eixo y.tangente ao eixo y.tangente ao eixo y. 
Se a circunferência tangencia o eixo y então a distância do seu centro até este eixo é 
igual ao raio). 
 
Temos que a equação do eixo y é 0x ==== . Então: 
 
4rr
1
4
r
01
03.0)4.(1
r
BA
CBA
22
22
====→→→→====
−−−−
→→→→
====
++++
++++++++−−−−
→→→→
====
++++
++++ββββ++++αααα
 
 
Logo, (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 163y4xryx 22222 ====−−−−++++++++→→→→====ββββ−−−−++++αααα−−−− resposta 
 
 
 
30) 30) 30) 30) Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência cujocujocujocujo centro centro centro centro é a origem é a origem é a origem é a origem e e e e corta o eixo x na corta o eixo x na corta o eixo x na corta o eixo x na 
abscissa 6.abscissa 6.abscissa 6.abscissa 6. 
Sendo (0;0) o centro da circunferência sua equação é: 222 ryx ====++++ 
 
A circunferência corta o eixo x na abscissa 6666. Então suas coordenadas são P(6;0)P(6;0)P(6;0)P(6;0) 
 
Logo, ela passa por PPPP. 
 
Daí , 6r36rr06 222 ====→→→→====→→→→====++++ 
 
Portanto, sua equação será :36yx 22 ====++++ resposta 
 
 
 
 
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
Geometria Analítica - Exercícios 26 
−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
 
31) 31) 31) 31) Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência tangente aos eixos, de tangente aos eixos, de tangente aos eixos, de tangente aos eixos, de centro no segundo centro no segundo centro no segundo centro no segundo 
quadrante e raio igual a 8.quadrante e raio igual a 8.quadrante e raio igual a 8.quadrante e raio igual a 8. 
 
Se a circunferência é tangente aos eixos coordenados 
então, em módulo, as coordenadas do seu centro são 
iguais, ou seja, ββββ====αααα =R=R=R=R. 
 
Como o centro está no 2º quadrante, então: 
 (((( )))) (((( ))))8;8C;C −−−−→→→→αααααααα−−−− 
 
Portanto sua equação é : 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 648y8xryx 22222 ====−−−−++++++++→→→→====αααα−−−−++++αααα−−−− 
 resposta 
 
 
 
32) 32) 32) 32) Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência Escrever a equação da circunferência que passa pela origem, tendo raio igual a que passa pela origem, tendo raio igual a que passa pela origem, tendo raio igual a que passa pela origem, tendo raio igual a 10101010 
e abscissa do centro igual a e abscissa do centro igual a e abscissa do centro igual a e abscissa do centro igual a ----6.6.6.6. 
 
As coordenadas do centro são : (((( ))))ββββ−−−− ;6C 
 
Como a circunferência passa pela origem então: 
(((( )))) (((( ))))
86410036
100060
2
22
±±±±====ββββ→→→→====ββββ→→→→====ββββ++++
====ββββ−−−−++++++++
 
 
Logo, o centro vale : (((( )))) (((( ))))8;6Cou8;6C −−−−−−−−−−−− 
 
E sua equação será : 
 
 
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) 1008y6x
ou 
1008y6x
22
22
====++++++++++++
====−−−−++++++++
 
 resposta 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 27 
 
33) 33) 33) 33) Achar a equação reduzida da reta que passa pelos centros das Achar a equação reduzida da reta que passa pelos centros das Achar a equação reduzida da reta que passa pelos centros das Achar a equação reduzida da reta que passa pelos centros das circunferências:circunferências:circunferências:circunferências: 
CCCC1111: x²+y²: x²+y²: x²+y²: x²+y²----6y+5 = 0 e C6y+5 = 0 e C6y+5 = 0 e C6y+5 = 0 e C2222: x²+y²+2x: x²+y²+2x: x²+y²+2x: x²+y²+2x----5 = 05 = 05 = 05 = 0 
 
Em C1 : (((( ))))3;0C
33
2
6
A2
E
00
2
0
A2
D
1⇒⇒⇒⇒






====ββββ→→→→========−−−−====ββββ
====αααα→→→→========
−−−−
====αααα
 
 
Em C2 : (((( ))))0;1C
00
2
0
A2
E
11
2
2
A2
D
1 −−−−⇒⇒⇒⇒






====ββββ→→→→========−−−−====ββββ
−−−−====αααα→→→→−−−−====
−−−−
====
−−−−
====αααα
 
 
Cálculo da reta que passa por CCCC1111(0;3)(0;3)(0;3)(0;3) e CCCC2222((((----1;0)1;0)1;0)1;0) : 
 
1ª maneira1ª maneira1ª maneira1ª maneira:::: através de um determinante de 3ª ordemdeterminante de 3ª ordemdeterminante de 3ª ordemdeterminante de 3ª ordem ( condição de alinham( condição de alinham( condição de alinham( condição de alinhamento de 2 pontos )ento de 2 pontos )ento de 2 pontos )ento de 2 pontos ) 
 
3x3y03x3y0
1yx
101
130
0
1yx
1xx
1yx
2C2C
1C1C
++++====→→→→====++++++++−−−−→→→→====−−−−→→→→==== resposta 
 
2ª maneira2ª maneira2ª maneira2ª maneira: através da equação : 
 
 
 
 
resposta 
 
 
 
 
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) 3x3yx33y0x10
033y
xx
xx
yy
yy 1C
2C1C
2C1C
1C
++++====→→→→====−−−−→→→→−−−−
++++
−−−−
====−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====−−−−
Geometria Analítica - Exercícios 28 
 
34) 34) 34) 34) Estabelecer a equação da circunferência que é o lugar dos vértices dos ângulos Estabelecer a equação da circunferência que é o lugar dos vértices dos ângulos Estabelecer a equação da circunferência que é o lugar dos vértices dos ângulos Estabelecer a equação da circunferência que é o lugar dos vértices dos ângulos 
retos de todos os triângulos retângulos, cuja hipotenusa comum retos de todos os triângulos retângulos, cuja hipotenusa comum retos de todos os triângulos retângulos, cuja hipotenusa comum retos de todos os triângulos retângulos, cuja hipotenusa comum liga os pontos (liga os pontos (liga os pontos (liga os pontos (----4;1) e 4;1) e 4;1) e 4;1) e 
(3;2)(3;2)(3;2)(3;2) 
 
A hipotenusa comum é o diâmetro da circunferência pedida e cuja distância vale: 
 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 37ABd136ABd2124ABd
yyxxABd
22
2
BA
2
BA
====→→→→++++====→→→→−−−−++++−−−−−−−−====
−−−−++++−−−−====
 
 
 
Sendo o raio igual a metade deste diâmetro temos então que 
4
37
r
2
37
r 2 ====∴∴∴∴==== 
 
As coordenadas do centro C é a média aritmética das coordenadas do diâmetro: 
 
 
2/3y
2
21y
2
yy
 y
2/1x
2
34
x
2
xx
x
CC
BA
C
CC
BA
C
====∴∴∴∴→→→→
++++
====→→→→→→→→
++++
====
−−−−====∴∴∴∴→→→→
++++−−−−
====→→→→
++++
====
 




 −−−−
2
3;
2
1C 
 
Logo a equação da circunferência será: 
4
37
2
3y
2
1
x
22
====





−−−−++++





++++ resposta 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 29 
 
35) 35) 35) 35) Achar a equação da circunferência de centro no eixo Ox e que passa pAchar a equação da circunferência de centro no eixo Ox e que passa pAchar a equação da circunferência de centro no eixo Ox e que passa pAchar a equação da circunferência de centro no eixo Ox e que passa pelos pontos elos pontos elos pontos elos pontos 
A(A(A(A(----2;3) e B(4;5)2;3) e B(4;5)2;3) e B(4;5)2;3) e B(4;5) 
 
Se o centro C C C C ∈∈∈∈ Ox Ox Ox Ox →→→→ (((( ))))0;C αααα 
 
Se C passa por (((( ))))3;2A −−−− e (((( ))))5;4B então se verificam as equações abaixo: 
 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))2r418r25816r054
1r134r944r032
2222222
2222222
====++++αααα−−−−αααα∴∴∴∴====++++αααα++++αααα−−−−→→→→====−−−−++++αααα−−−−
====++++αααα++++αααα∴∴∴∴====++++αααα++++αααα++++→→→→====−−−−++++αααα−−−−−−−−
 
 
Igualando (1) e (2) tem-se: 
 
(((( ))))0;C
3
7
12
282812
418134
3
7
22
→→→→====αααα∴∴∴∴====αααα→→→→====αααα
++++αααα−−−−αααα====++++αααα++++αααα
 
 
Substituindo o valor de 3/7====αααα em (1) temos: 
 
3
250
r
9
250
rr
9
1178449
r13
3
28
9
49 222
====∴∴∴∴====→→→→====
++++++++
→→→→====++++++++ 
 
Logo, a equação procurada é: 
9
250y
3
7
x 2
2
====++++





−−−− ( forma reduzida )( forma reduzida )( forma reduzida )( forma reduzida ) resposta 
 
Ou 
) normal forma ( 067x14y3x3
0201x42y9x90
9
250y
9
49
x
3
14
x
22
2222
====−−−−−−−−++++→→→→
====−−−−−−−−++++→→→→====−−−−++++++++−−−−
 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 30 
 
36) 36) 36) 36) Achar o centro da circunfeAchar o centro da circunfeAchar o centro da circunfeAchar o centro da circunferência que passa pelos pontos A(4 ; 6) e B(rência que passa pelos pontos A(4 ; 6) e B(rência que passa pelos pontos A(4 ; 6) e B(rência que passa pelos pontos A(4 ; 6) e B(----6 ; 4) e 6 ; 4) e 6 ; 4) e 6 ; 4) e 
pertence à reta 3x + y pertence à reta 3x + y pertence àreta 3x + y pertence à reta 3x + y –––– 12 = 0 12 = 0 12 = 0 12 = 0 
 
Se a circunferência passa por A(4 , 6) e B(-6 ; 4) então valem as relações: 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))2r46 e 1r64 222222 ====ββββ−−−−++++αααα−−−−−−−−====ββββ−−−−++++αααα−−−− 
 
Igualando (1) e (2) teremos: 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
αααα−−−−====ββββ→→→→ββββ====αααα−−−−
∴∴∴∴
ββββ++++ββββ−−−−====αααα−−−−αααα−−−−
ββββ++++ββββ−−−−++++αααα++++αααα++++====ββββ++++ββββ−−−−++++αααα++++αααα−−−−
ββββ−−−−++++αααα−−−−−−−−====ββββ−−−−++++αααα−−−−
5420
128128
81612361236816
4664
2222
2222
 
 
O centro (((( ))))ββββαααα; ∈∈∈∈ à reta 3x + y -12 =0 . Então: resposta 
(((( ))))30;6C30612201253 5 −−−−∴∴∴∴====ββββ →→→→−−−−====αααα→→→→====αααα−−−−→→→→====−−−−αααα−−−−αααα αααα−−−−====ββββ 
 
Cálculo adicional:Cálculo adicional:Cálculo adicional:Cálculo adicional: 
Substituindo α = - 6 e β = 30 em (1) ou (2) calculamos o raio da circunferência e, daí, sua equação: 
 
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) ) nciacircunferê da equação ( 67630y6x676r
r576100
r30664
r64
222
2
222
222
====−−−−++++++++→→→→====
====++++
====−−−−++++++++
====ββββ−−−−++++αααα−−−−
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 31 
 
 
37) 37) 37) 37) Na fNa fNa fNa figura igura igura igura abaixoabaixoabaixoabaixo M é o ponto médio do segmento M é o ponto médio do segmento M é o ponto médio do segmento M é o ponto médio do segmento AB e P é o ponto médio do AB e P é o ponto médio do AB e P é o ponto médio do AB e P é o ponto médio do 
segmento OM.segmento OM.segmento OM.segmento OM. Achar a equação da circunferência de centro P e Achar a equação da circunferência de centro P e Achar a equação da circunferência de centro P e Achar a equação da circunferência de centro P e rrrraio OPaio OPaio OPaio OP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M é ponto médio de A(0;4) e B(4;0). 
 
 






====→→→→
++++
====
++++
====
====→→→→
++++
====
++++
====
2M
2
04
2
yyM
2M
2
40
2
xxM
y
BA
y
x
BA
x
 (((( ))))2;2M 
 
P é ponto médio de O(0;0) e M(2;2). 
 
 






====→→→→
++++
====
++++
====
====→→→→
++++
====
++++
====
1P
2
20
2
yy
P
1P
2
20
2
xx
P
y
MO
y
x
MO
x
 (((( ))))1;1P 
 
Daí, 
 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 2r1010ryyxx)OP(DR 222PO2PO ====→→→→−−−−++++−−−−====→→→→−−−−++++−−−−======== 
 
Logo a equação será : (((( )))) (((( )))) 21y1x 22 ====−−−−++++−−−− resposta 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 32 
 
38) 38) 38) 38) Achar a equação da reta perpendicular ao eixo das abscissas que passaAchar a equação da reta perpendicular ao eixo das abscissas que passaAchar a equação da reta perpendicular ao eixo das abscissas que passaAchar a equação da reta perpendicular ao eixo das abscissas que passa pelo ponto pelo ponto pelo ponto pelo ponto 
médio do segmento AB, onde A(2;3) e médio do segmento AB, onde A(2;3) e médio do segmento AB, onde A(2;3) e médio do segmento AB, onde A(2;3) e B é o centro da circunferência de equaçãoB é o centro da circunferência de equaçãoB é o centro da circunferência de equaçãoB é o centro da circunferência de equação 
x² + y² x² + y² x² + y² x² + y² ---- 8x 8x 8x 8x ----6y + 24 = 06y + 24 = 06y + 24 = 06y + 24 = 0 
 
Na circunferência dada temos: 
 






====
−−−−−−−−
====
−−−−
====ββββ
====
−−−−−−−−
====
−−−−
====αααα
3
2
)6(
A2
E
4
2
)8(
A2
D
 (((( )))) nciacircunferê da centro 3;4B→→→→ 
 
O ponto médio de A(2;3) e B(4;3) vale: 
 
 
3
2
33
2
yy
M
3
2
42
2
xxM
BA
y
BA
x
====
++++
====
++++
====
====
++++
====
++++
====
 (((( )))) ABmédio ponto 3;3M→→→→ 
 
A reta passa pelo ponto médio de ABABABAB, ou seja, (((( ))))3;3M e como é perpendicular ao eixo 
das abscissas, cortará o eixo x em (((( ))))0;3Q ( mesma abscissa de M ) 
 
Portanto, sua equação será dada pela reta que passa por 2 pontos, MMMM e QQQQ: 
 
3x9x309y3y3x30
1yx
103
133
0
1yx
1yx
1yx
QQ
MM
====∴∴∴∴====→→→→====−−−−−−−−++++→→→→====→→→→==== resposta 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 33 
 
39) 39) 39) 39) Seja (Seja (Seja (Seja (λλλλ) uma circunferência cujo centro pertence ao eixo das abscissas. ) uma circunferência cujo centro pertence ao eixo das abscissas. ) uma circunferência cujo centro pertence ao eixo das abscissas. ) uma circunferência cujo centro pertence ao eixo das abscissas. 
Se as extremidades de uma de suas cordas são os pontos A(2;2) e B(8;4), a área da Se as extremidades de uma de suas cordas são os pontos A(2;2) e B(8;4), a área da Se as extremidades de uma de suas cordas são os pontos A(2;2) e B(8;4), a área da Se as extremidades de uma de suas cordas são os pontos A(2;2) e B(8;4), a área da 
supesupesupesuperfície plana limitada por (rfície plana limitada por (rfície plana limitada por (rfície plana limitada por (λλλλ) é igual a :) é igual a :) é igual a :) é igual a : 
Se o centro pertence a Ox então (((( ))))0;C αααα . 
 
A e B são extremidades de uma corda de λλλλ . Então λλλλ passa por A e B. Daí, 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))2r048: Bpor passa Se
1r022: por A passa Se
222
222
====−−−−++++αααα−−−−
====−−−−++++αααα−−−−
 
 
Desenvolvendo (1) e (2) e comparando teremos: 
(((( ))))0;6C67212801684 22 ⇒⇒⇒⇒====αααα∴∴∴∴====αααα→→→→++++αααα−−−−αααα====++++αααα−−−−αααα 
 
Substituindo C(6;0) em (1) por exemplo , teremos : 
(((( )))) (((( ))))
20rr416
r0262
22
222
====→→→→====++++
====−−−−++++−−−−
 
 
Portanto, a área delimitada por λλλλ será: (((( )))) pipipipi====pipipipi====λλλλ 20rÁrea 2 resposta 
 
 
 
 
40) 40) 40) 40) Quantos são os pontos que têm coordenadas inteiras e são interiores à Quantos são os pontos que têm coordenadas inteiras e são interiores à Quantos são os pontos que têm coordenadas inteiras e são interiores à Quantos são os pontos que têm coordenadas inteiras e são interiores à 
cicicicircunferência de equação x² + y² = 6 ?rcunferência de equação x² + y² = 6 ?rcunferência de equação x² + y² = 6 ?rcunferência de equação x² + y² = 6 ? 
A circunferência dada tem centro na origem e 4,26r ≅≅≅≅==== 
 
Logo as coordenadas inteiras e interiores a ela são : 
 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))1;2,2;1,1;1
1;2,2;1,1;1,2;0,1;0
1;2,2;1,1;1,0;2,0;1
1;2,2;1,1;1,0;2,0;1,2;0,1;0,0;0
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 
 
Total de 21 coordenadas inteirasTotal de 21 coordenadas inteirasTotal de 21 coordenadas inteirasTotal de 21 coordenadas inteiras resposta 
 
Geometria Analítica - Exercícios 34 
 
41) 41) 41) 41) Determinar aDeterminar aDeterminar aDeterminar a maior e a menor distância do ponto P(10;7) à circunferência maior e a menor distância do ponto P(10;7) à circunferência maior e a menor distância do ponto P(10;7) à circunferência maior e a menor distância do ponto P(10;7) à circunferência 
λλλλ : x² + y² : x² + y² : x² + y² : x² + y² ---- 4x 4x 4x 4x ---- 2y 2y 2y 2y ---- 20 = 0 20 = 0 20 = 0 20 = 0 
A maior e menor distância de P até λ é calculada através da reta que passa por P e pelo centro C de λ , 
e cuja reta intercepta λnos pontos A e B. 
 
1) Cálculo do cenCálculo do cenCálculo do cenCálculo do centro de tro de tro de tro de λλλλ:::: 
 
(((( ))))1;2C1
2
)2(
A2
E
e2
2
)4(
A2
D
⇒⇒⇒⇒====
−−−−−−−−
====
−−−−
====αααα====
−−−−−−−−
====
−−−−
====αααα 
 
2) ) ) ) Reta que passa porReta que passa porReta que passa porReta que passa por (((( )))) (((( ))))1;2Ce7;10P : 
 
(((( ))))102y4x3014y10xx7y2100
1yx
112
1710
====−−−−−−−−∴∴∴∴====−−−−−−−−−−−−++++++++→→→→==== 
 
3) Intersecção de r com Intersecção de r com Intersecção de r com Intersecção de r com λλλλ:::: 
 
Da equação (1) temos : (((( ))))2
3
2y4
x
++++
====
 
 
Substituindo (2) em λ vem: 
(((( ))))
(((( ))))



∴∴∴∴====→→→→====
−−−−−−−−∴∴∴∴−−−−====→→→→−−−−====
====−−−−−−−− →→→→====−−−−−−−−
====−−−−−−−−−−−−−−−−++++++++++++
====−−−−−−−−−−−−−−−−++++
++++++++
====−−−−−−−−




 ++++
−−−−++++




 ++++
÷÷÷÷
4;6B6x4y
2;2A2x2y
08y2y0200y50y25
0180y1824y48y94y16y16
020y2
3
8
3
y16y
9
4y16y16
020y2
3
2y44y
3
2y4
)2(
)2(
2252
22
2
2
2
2
 
 
4) Cálculo de Cálculo de Cálculo de Cálculo de d(d(d(d(PAPAPAPA) ) ) ) e e e e d( d( d( d(PBPBPBPB)))) : 
 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (menor) 5PB2547610yyxx)PB(d
(maior) 15PA22527210yyxx)PA(d
222
BP
2
BP
222
AP
2
AP
====→→→→====−−−−++++−−−−====−−−−++++−−−−====
====→→→→====++++++++++++====−−−−++++−−−−====
 resposta 
 
 
 
 
Solução alternativa:Solução alternativa:Solução alternativa:Solução alternativa: 
Após calcularmos PAPAPAPA, calculamos a potência 
de P em relação a λλλλ : 
 Pot(P) =Pot(P) =Pot(P) =Pot(P) = λλλλ(10,7)(10,7)(10,7)(10,7) 
 
Daí, 
PA
)P(PotPBPA.PB)P(Pot ====∴∴∴∴==== 
 
Geometria Analítica - Exercícios 35 
 
42) 42) 42) 42) Achar a equação de uma circunferência tangente às retas xAchar a equação de uma circunferência tangente às retas xAchar a equação de uma circunferência tangente às retas xAchar a equação de uma circunferência tangente às retas x = 0 e y = 0 nos pontos = 0 e y = 0 nos pontos = 0 e y = 0 nos pontos = 0 e y = 0 nos pontos 
A(p,0) e B(0,p)A(p,0) e B(0,p)A(p,0) e B(0,p)A(p,0) e B(0,p) 
Seja (((( )))) (((( )))) 222 ryx: ====ββββ−−−−−−−−αααα−−−−λλλλ a equação genérica da circunferência. 
Se λ passa por A(p,0) → (((( )))) (((( )))) (((( ))))1r0p 222 ====ββββ−−−−++++αααα−−−− 
Se λ passa por B(0,p) → (((( )))) (((( )))) (((( ))))2rp0 222 ====ββββ−−−−++++αααα−−−− 
 
Comparando (1) e (2) temos: 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
ββββ====αααα∴∴∴∴ββββ−−−−====αααα−−−−→→→→ββββ++++ββββ−−−−++++αααα====ββββ++++αααα++++αααα−−−−
ββββ−−−−++++αααα−−−−====ββββ−−−−++++αααα−−−−
p2p2p2pp2p
p00p
222222
2222
 
 
Como λ é tangente aos eixos então : ββββ====αααα======== pr 
 
Logo: 
(((( )))) (((( ))))
0ppy2px2yxpppy2yppx2x
ppypx
22222222
222
====++++−−−−−−−−++++→→→→====++++−−−−++++++++−−−−
====−−−−++++−−−−
 
 resposta 
 
 
 
43) 43) 43) 43) Qual o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes aos eixos Qual o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes aos eixos Qual o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes aos eixos Qual o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes aos eixos 
coordenados ?coordenados ?coordenados ?coordenados ? 
 
São as retas ) bissetriz 2ª e bissetriz 1ª ( 0x /xy ≠≠≠≠±±±±==== resposta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 36 
 
44) 44) 44) 44) Dois círculos são tangentes entre si e tangentes aos eixo coordenados. O centro de Dois círculos são tangentes entre si e tangentes aos eixo coordenados. O centro de Dois círculos são tangentes entre si e tangentes aos eixo coordenados. O centro de Dois círculos são tangentes entre si e tangentes aos eixo coordenados. O centro de 
um é C1(3;3). Achar o centro do outro círculo bem como as equações dos círculos.um é C1(3;3). Achar o centro do outro círculo bem como as equações dos círculos.um é C1(3;3). Achar o centro do outro círculo bem como as equações dos círculos.um é C1(3;3). Achar o centro do outro círculo bem como as equações dos círculos. 
 
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição: : : : Uma circunferência CCCC1111 de centro CCCC1111 ((((αααα,,,,ββββ) ) ) ) e raio RRRR1111 é tangente a outra circunferência CCCC2222 de 
centro CCCC2222(((( µµµµ , , , ,ξξξξ ) ) ) ) e raio RRRR2222 se, e somente, a distância entre CCCC1111 C C C C2222 for igual à soma ou à diferença dos 
raios. Se for (+(+(+(+)))) as circunferências tangenciam externamente e se for ((((-)))) as circunferências 
tangenciam internamente). 
 
Ou seja, (((( )))) (((( ))))1RRCCd 2121 ±±±±==== 
 
1) C1C1C1C1 é tangente aos eixos coordenados. Então 3R1 ========ββββ====αααα (dado no problema) 
2) C2C2C2C2 também é tangente aos eixos coordenados. Então 2R====ξξξξ====µµµµ 
3) Como ambas as circunferências são tangentes aos eixos coordenados, então elas necessariamente 
são tangentes exteriores 
 
4) Aplicando (1) temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As circunferências terão as seguintes equações: 
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))
(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) 93y3x:C
93y3x:C
269269y269x:C
269269y269x:C
93y3x:C
22
5
22
4
222
3
222
2
22
1
====++++++++−−−−
====−−−−++++++++
−−−−====−−−−−−−−++++−−−−−−−−
++++====++++−−−−++++++++−−−−
====−−−−++++−−−−
 
 
 
 
 
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))3;3C
3;3C
";"C
';'C
3;3C
5
4
3
2
1
−−−−
−−−−
ξξξξµµµµ
ξξξξµµµµ
 
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))




−−−−====µµµµ====ξξξξ
++++====µµµµ====ξξξξ
====++++ξξξξ−−−−ξξξξ→→→→ξξξξ++++ξξξξ++++====ξξξξ++++ξξξξ−−−−++++ξξξξ++++ξξξξ−−−−
ξξξξ++++====ξξξξ−−−−++++ξξξξ−−−−
ξξξξ++++====−−−−++++−−−−
ξξξξ++++====−−−−++++−−−−
++++====
269''''
269''
0918696969
333
Ryyxx
Ryyxx
RRCCd
2222
222
2
1
2
2C1C
2
2C1C
1
2
2C1C
2
2C1C
2121
resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 37 
 
45) 45) 45) 45) Estabeleça a equação da ciEstabeleça a equação da ciEstabeleça a equação da ciEstabeleça a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0,rcunferência que passa pelos pontos A(0,rcunferência que passa pelos pontos A(0,rcunferência que passa pelos pontos A(0,----1) e B(0,3) e 1) e B(0,3) e 1) e B(0,3) e 1) e B(0,3) e 
determina no eixo Ox uma corda de comprimento 4.determina no eixo Ox uma corda de comprimento 4.determina no eixo Ox uma corda de comprimento 4.determina no eixo Ox uma corda de comprimento 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 38 
−2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
4
 
46) 46) 46) 46) Determinar a circunferência de raio 8 e tangente aos eixos cartesianos nos 2 semiDeterminar a circunferência de raio 8 e tangente aos eixos cartesianos nos 2 semiDeterminar a circunferência de raio 8 e tangente aos eixos cartesianos nos 2 semiDeterminar a circunferência de raio 8 e tangente aos eixos cartesianos nos 2 semi----
eixos negativos.eixos negativos.eixos negativos.eixos negativos. 
Se a circunferência é tangente aos 2 eixos, então αααα ==== ββββ ==== rrrr 
Os 2 semi-eixos negativos pertencem ao 3º quadrante, então C(C(C(C(----αααα , , , ,----ββββ) = C() = C() = C() = C(----8,8,8,8,----8)8)8)8) 
 
Logo: (((( )))) (((()))) (((( )))) (((( )))) 648y8xryx 22222 ====++++++++++++→→→→====ββββ−−−−++++αααα−−−− resposta 
 
Desenvolvendo a equação acima temos a forma geral: x²+y²+16x+16y+64 = 0x²+y²+16x+16y+64 = 0x²+y²+16x+16y+64 = 0x²+y²+16x+16y+64 = 0 
 
 
 
 
47) 47) 47) 47) QualQualQualQual a posição re a posição re a posição re a posição relativa entre as circunferências : lativa entre as circunferências : lativa entre as circunferências : lativa entre as circunferências : C1C1C1C1: : : : x²+y²x²+y²x²+y²x²+y²----2y = 0 e 2y = 0 e 2y = 0 e 2y = 0 e C2C2C2C2: : : : x²+y²x²+y²x²+y²x²+y²----2x2x2x2x----8 8 8 8 
= 0= 0= 0= 0 
 
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 2CCd0110CCd
2r9r)8(01 r
1R1R010 R
0,1Ce1,0C : Centros
21
22
21
2
C1A
F222
C2
2
C1A
F222
C1
21
====→→→→−−−−++++−−−−====
====→→→→====→→→→−−−−−−−−++++====−−−−ββββ++++αααα====
====→→→→====→→→→−−−−++++====−−−−ββββ++++αααα====
 
 
Posições relativas : 
 











⇒⇒⇒⇒====
⇒⇒⇒⇒−−−−<<<<<<<<
⇒⇒⇒⇒++++<<<<<<<<−−−−
⇒⇒⇒⇒−−−−====
⇒⇒⇒⇒++++====
⇒⇒⇒⇒++++>>>>
asconcêntric nciascircunferê0d
outra àinterior é raiomenor de nciascircunferêrRd0
secantes nciascircunferêrRdrR
nteinteriorme tangentes nciascircunferêrRd
nteexteriorme tangentes nciascircunferêrRd
exteriores nciascircunferêrRd
:SE
 
 
Temos que : 2202rR;4rR;2d <<<<<<<<⇒⇒⇒⇒====−−−−====++++==== 
 
Logo : as circunferências são interiores resposta 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 39 
 
48) 48) 48) 48) DDDDeterminar o comprimento da corda determinada pela reta xeterminar o comprimento da corda determinada pela reta xeterminar o comprimento da corda determinada pela reta xeterminar o comprimento da corda determinada pela reta x----y = 0 sobre a y = 0 sobre a y = 0 sobre a y = 0 sobre a 
circunferência (x+1)² + (ycircunferência (x+1)² + (ycircunferência (x+1)² + (ycircunferência (x+1)² + (y----1)² = 91)² = 91)² = 91)² = 9 
 
1) 1) 1) 1) Intersecção da reta com a circunferência:Intersecção da reta com a circunferência:Intersecção da reta com a circunferência:Intersecção da reta com a circunferência: 
 
De: (((( ))))1xy0yx ====→→→→====−−−− 
 
Substituindo (1) na circunferência tem-se: 
 
 
Logo, os pontos de intersecção valem: 





−−−−−−−−





2
7
2
7
2
7
2
7 ;Be;A 
 
2) 2) 2) 2) Comprimento da corda ABComprimento da corda ABComprimento da corda ABComprimento da corda AB 
 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) c.u72ABd28ABd
2
74
2
74ABd
22ABd
ABd
yyxxABd
2
2
7
2
2
7
2
2
7
2
7
2
2
7
2
7
2
BA
2
BA
====→→→→====→→→→××××++++××××====





++++





====





 ++++++++




 ++++====
−−−−++++−−−−====
 
 resposta 
 
 
 
 
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))




−−−−====→→→→−−−−====
++++====→→→→++++====
→→→→====→→→→====−−−−
====−−−−++++−−−−++++++++++++
====−−−−++++++++
2
71
2
7
2
71
2
7
22
22
22
yx
yx
2
7
x07x2
091x2x1x2x
91x1x
Geometria Analítica - Exercícios 40 
 
 49) 49) 49) 49) Achar a equação da circunferência tangente às retas x+y = 0 e x+y = 8 e que Achar a equação da circunferência tangente às retas x+y = 0 e x+y = 8 e que Achar a equação da circunferência tangente às retas x+y = 0 e x+y = 8 e que Achar a equação da circunferência tangente às retas x+y = 0 e x+y = 8 e que 
passa pelo ponto (0,0)passa pelo ponto (0,0)passa pelo ponto (0,0)passa pelo ponto (0,0) 
 
1) A forma reduzida das retas rrrr e ssss são: 
 
 8xy:sexy:r ++++−−−−====−−−−==== 
 
2) Observe que rrrr e ssss tem o mesmo coeficiente angular mmmmrrrr = m = m = m = mssss = = = = ---- 1 1 1 1 , logo ambas são paralelas. 
 
3) A reta rrrr passa pela origem O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0) assim como a circunferência λλλλ 
.... 
4) Então a reta que passa por OOOO e é perpendicular a rrrr possui coeficiente angular igual ao inverso do 
simétrico ( invermétrico) do coeficiente angular de rrrr , ou seja, mmmmzzzz = 1 = 1 = 1 = 1. 
 
Logo: (((( )))) (((( )))) 0yx:zxy:z0x10yxxmyy 0z0 ====−−−−∴∴∴∴====→→→→−−−−====−−−−→→→→−−−−====−−−− 
 
5) Fazendo zsI temos: 
 (((( ))))4,4I4y4x8x28xx ⇒⇒⇒⇒====∴∴∴∴====→→→→====→→→→++++−−−−==== 
 
6) O centro C de λ é o ponto médio de O(0,0) e I(4,4). 
Logo : 






====→→→→
++++
====
++++
====
====→→→→
++++
====
++++
====
2y
2
40
2
yy
y
2x
2
40
2
xx
x
C
IO
C
C
IO
C
 → (((( ))))2,2C 
 
 
7) Cálculo da distância da origem O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0) até a reta ssss : 
 
 
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) 24s,Od
22
28
2
8
2
8
11
80.10.1
s,Od
BA
CByAx
s,Od
22
22
00
====→→→→========
−−−−
====
++++
−−−−++++
====
++++
++++++++
====
 
 
 
8) O raio da circunferência é a metade da 
 distância da origem ate ssss : 
 
 22r ==== 
 
9) Logo a equação da circunferência será : 
 
 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) 82y2x
222y2x
22
222
====−−−−++++−−−−→→→→
====−−−−++++−−−−
 
 
 resposta 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 41 
 
50) 50) 50) 50) Achar a equação de uma circunferência de centro no ponto (4,5) e tangente à Achar a equação de uma circunferência de centro no ponto (4,5) e tangente à Achar a equação de uma circunferência de centro no ponto (4,5) e tangente à Achar a equação de uma circunferência de centro no ponto (4,5) e tangente à 
circunferência dada por x²+y²circunferência dada por x²+y²circunferência dada por x²+y²circunferência dada por x²+y²----2x2x2x2x----3 = 03 = 03 = 03 = 0 
 
Da circunferência de equação dada temos que: 
 
(((( ))))0;1C2 e 2r01r 2132AF2222 ====→→→→++++++++====−−−−ββββ++++αααα==== 
 
Se C1 é tangente a C2 então : 
 
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))




++++====
−−−−====
→→→→====±±±±
++++====±±±±
±±±±====−−−−++++−−−−
±±±±====−−−−++++−−−−
±±±±====
234r
234r
342r
2592r
2r0514
2ryyxx
rrCCd
1
1
1
1
1
22
1
2
2C1C
2
2C1C
2121
 
 
Portanto, as equações da circunferência procurada são : 
 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))222222 2345y4xe2345y4x ++++====−−−−++++−−−−−−−−====−−−−++++−−−− resposta 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 42 
 
51) 51) 51) 51) A reta de equação 3xA reta de equação 3xA reta de equação 3xA reta de equação 3x----4y4y4y4y----6 = 0 intercepta a circunferência 4x²+4y²6 = 0 intercepta a circunferência 4x²+4y²6 = 0 intercepta a circunferência 4x²+4y²6 = 0 intercepta a circunferência 4x²+4y²----8x+16y8x+16y8x+16y8x+16y----5 = 0 nos 5 = 0 nos 5 = 0 nos 5 = 0 nos 
pontos A e B. Determine o valor de tg(pontos A e B. Determine o valor de tg(pontos A e B. Determine o valor de tg(pontos A e B. Determine o valor de tg(αααα/2), onde /2), onde /2), onde /2), onde αααα é a medida do ângulo ACB e onde C é a medida do ângulo ACB e onde C é a medida do ângulo ACB e onde C é a medida do ângulo ACB e onde C 
é o centro da circunferência.é o centro da circunferência.é o centro da circunferência.é o centro da circunferência. 
 
Dividindo a circunferência por 4 temos : 
(((( ))))
(((( ))))




====∴∴∴∴====→→→→++++++++====−−−−ββββ++++αααα====
−−−−
====−−−−++++−−−−++++2
5
4
252
4
5
A
F2224
522
rr41r
2;1C
10y4x2yx 
 
Da reta dada temos : 
(((( ))))2
4
6x3y06y4x3 −−−−====→→→→====−−−−−−−− 
 
Substituindo (2) na equação da circunferência (1) que é a intersecção temos : 
(((( ))))3016x4x5080x20x25
0
16
2096x48x3236x36x9x16
0
4
56x3x2
16
36x36x9
x
0
4
5
4
6x34x2
4
6x3
x
252
22
2
2
2
2
====−−−−−−−−→→→→====−−−−−−−−
====
−−−−−−−−++++−−−−++++−−−−++++
====−−−−−−−−++++−−−−
++++−−−−
++++
====−−−−




 −−−−
++++−−−−




 −−−−
++++
÷÷÷÷
 
 
 
Aplicando Bháskara em (3) temos: 
(((( ))))
(((( ))))







−−−−−−−−
====→→→→
−−−−
====
++++−−−−
====→→→→
++++
====
10
21312y
5
2122
x
10
21312y
5
2122
x
B
2
B
A
2
A
 
 
Calculando a distância entre os pontos A e B temos : (((( )))) 21B,Ad ==== 
 
 
Sendo M o ponto médio de AB, temos que 2/21AM ==== 
 
 
 
Da figura temos : 
 
 
1MCMC
MCAMr
2
2
21
4
252
222
====→→→→





−−−−====
++++====
 
 
Daí: 
 
2
21
21.2
21
2
MC
AM
2
tgtg
tg
====→→→→====
====
αααααααα
αααα
 
 
 resposta 
Geometria Analítica - Exercícios 43 
 
52) 52) 52) 52) Sendo Sendo Sendo Sendo CCCC a circunferência a circunferência a circunferência a circunferência x²+y² = 4x²+y² = 4x²+y² = 4x²+y² = 4 e e e e ssss a reta a reta a reta a reta x+x+x+x+yyyy = 8 = 8 = 8 = 8 
a)a)a)a) Determine uma equação da reta perpendicular a Determine uma equação da reta perpendicular a Determine uma equação da reta perpendicular a Determine uma equação da reta perpendicular a ssss e que passa pelo centro de e que passa pelo centro de e que passa pelo centro de e que passa pelo centro de CCCC.... 
b)b)b)b) Dentre os pontos eqüidistantes de Dentre os pontos eqüidistantes de Dentre os pontos eqüidistantes de Dentre os pontos eqüidistantes de CCCC e e e e ssss, determine aquele que está mais perto de , determine aquele que está mais perto de , determine aquele que está mais perto de , determine aquele que está mais perto de ssss.... 
 
O centro de CCCC é C(0,0)C(0,0)C(0,0)C(0,0) e a forma reduzida de ssss é : 1mx8y s ====→→→→−−−−==== 
 
A reta tttt , perpendicular a ssss terá coeficiente angular : 1mt ==== ( invermétrico de ms ) 
 
Portanto a equação de tttt , que passa por (0,0) e perpendicular a ssss será : 
 
(((( ))))
(((( )))) xy0x10y
xxmyy CtC
====→→→→−−−−====−−−−
−−−−====−−−−
 
 
Fazendo Ct I : 
(((( )))) (((( ))))2;2Pou2;2P2y2x4x24xx 222 −−−−−−−−∴∴∴∴±±±±====∴∴∴∴±±±±====→→→→====→→→→====++++ 
 
Fazendo rt I : 
(((( ))))4;4Q4y4x8x28xx ∴∴∴∴====∴∴∴∴====→→→→====→→→→====++++ 
 
O ponto M , equidistante de C e s que está mais próximo de s é o ponto médio e P e Q . 
 
Logo: 
2
24y
2
yy
y
2
24
x
2
xx
x
M
PQ
M
M
PQ
M
++++
====→→→→
++++
====
++++
====→→→→
++++
====
 resposta 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 44 
 
53) 53) 53) 53) Escrever a equação da circunferência circunscrita ao triângulo formado pelas retasEscrever a equação da circunferência circunscrita ao triângulo formado pelas retasEscrever a equação da circunferência circunscrita ao triângulo formado pelas retasEscrever a equação da circunferência circunscrita ao triângulo formado pelas retas 
r: x+3y = 8r: x+3y = 8r: x+3y = 8r: x+3y = 8 , , , , s: 2x+y = 14s: 2x+y = 14s: 2x+y = 14s: 2x+y = 14 e e e e t: 3x+y = 22t: 3x+y = 22t: 3x+y = 22t: 3x+y = 22 
 
1) Fazendo a intersecção de r com s : 
(((( ))))5253452534 ;Ayx14x2y38x31y →→→→====∴∴∴∴====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====++++−−−−==== I 
 
2) Fazendo a intersecção de r com t : 
(((( ))))4142941429 ;Byx22x3y38x31y →→→→====∴∴∴∴====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====++++−−−−==== I 
 
3) Fazendo a intersecção de s com t : (((( ))))2;8C2y8x22x3y14x2y −−−−→→→→−−−−====∴∴∴∴====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====++++−−−−==== I 
 
4) Achando o ponto médio de AB : →→→→






====
++++
====
++++
40
13BA
40
281BA
2
yy
2
xx
 (((( ))))401340281AB ;M 
 
5) Achando o ponto médio de BC : →→→→






====
++++
====
++++
−−−−
8
7CB
8
61CB
2
yy
2
xx
 (((( ))))87861BC ;M −−−− 
 
6) Reta que passa por MAB e ⊥ a reta r ( m = 3 ) : 0415y20x60 ====−−−−−−−− 
 
7) Reta que passa por MBC e ⊥ a reta t ( m = 1/ 3 ) : 041y12x4 ====−−−−−−−− 
 
8) O Centro é a intersecção das duas perpendiculares de 6) e 7) : (((( ))))4521345213 ;Pyx −−−−−−−− ⇒⇒⇒⇒====∴∴∴∴==== 
 
9) O Raio é a distância de P até C : 
(((( )))) (((( )))) 164522CP2CP2 ryyxxr ====→→→→−−−−++++−−−−==== 
 
10) Equação da circunferência: 
 (((( )))) (((( )))) 16452452213 yx ====++++++++−−−− 
 
 resposta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica - Exercícios 45 
 
Achar a circunferência tangente às retas:Achar a circunferência tangente às retas:Achar a circunferência tangente às retas:Achar a circunferência tangente às retas: 
 r: 2xr: 2xr: 2xr: 2x----3y+21 = 03y+21 = 03y+21 = 03y+21 = 0 , , , , s: 3xs: 3xs: 3xs: 3x----2y2y2y2y----6 = 06 = 06 = 06 = 0 e e e e t: 2x+3y+9 = 0t: 2x+3y+9 = 0t: 2x+3y+9 = 0t: 2x+3y+9 = 0 
 
Sendo a circunferência tangente às retas dadas temos que sua distância às mesmas são iguais ao raio: 
)3(r
94
932
r
BA
CBA
)2(r
49
623
r
BA
CBA
)1(r
94
2132
r
BA
CBA
22
22
22
====
++++
++++ββββ++++αααα
→→→→====
++++
++++ββββ++++αααα
====
++++
−−−−ββββ−−−−αααα
→→→→====
++++
++++ββββ++++αααα
====
++++
++++ββββ−−−−αααα
→→→→====
++++
++++ββββ++++αααα
 
 
Comparando (1) e (2) temos: 
)4(27
13
623
13
2132 ββββ−−−−====αααα→→→→−−−−ββββ−−−−αααα====++++ββββ−−−−αααα 
 
Comparando (2) e (3) temos: 
)5(155
13
932
13
623
++++ββββ====αααα→→→→++++ββββ++++αααα====−−−−ββββ−−−−αααα 
 
Comparando (4) e (5) temos: 
)6(25215527 )4( ====αααα→→→→====ββββ→→→→++++ββββ====ββββ−−−− 
 
Substituindo (6) em (1) temos: 
325r
13
1365
r
13
212.325.2
r 2 ====∴∴∴∴====→→→→
++++−−−−
==== 
 
Logo, a equação da circunferência será: 
 (((( )))) (((( )))) 3252y25x 22 ====−−−−++++−−−− respostarespostarespostaresposta 
 
 
 
−10 10 20 30 40
−20
−10
10
20