Andrade Algebra Abstrata Mar2010

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Sumário
Prefácio vi
I Teoria dos Grupos e Aneis vii
1 Grupos 1
1.1 Operações Binárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Grupos Cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5 Grupos Diedrais e Alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Teoremas de Estruturas para Grupos 59
2.1 Classes Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 Grupos Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Aneis 103
3.1 Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2 Subaneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4 Homomorfismos de Aneis e Aneis Quocientes 133
4.1 Homomorfismos de Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2 Aneis Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3 Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.4 Ideais Primos e Maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5 Aneis de Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
II Teoria Avançada dos Grupos e Aneis 185
5 Produto de Grupos e os Teoremas de Sylow 187
5.1 Produto Direto e Semidireto de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
v
vi SUMÁRIO
5.2 Ação de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.3 Classes de Conjugação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.4 p-Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.5 Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6 Grupos Solúveis e Nilpotentes 229
6.1 Grupos de Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.2 Grupos Solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.3 Grupos Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.4 Séries de Composição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7 Aneis de Fatoração Única e Euclidianos 271
7.1 Aneis de Fatoração Única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.2 Máximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.3 Aneis Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8 Aneis de Polinômios e Noetherianos 303
8.1 Polinômios e o Algoritmo da Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
8.2 Critérios de Irredutibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
8.3 Aneis Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
III Teoria de Corpos e de Galois 337
9 Teoria dos Corpos 339
9.1 Extensão de Corpos e Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.2 Elementos Algébricos e Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Bibliografia 351
Índice 351
Parte I
Teoria dos Grupos e Aneis
vii
Capítulo 1
Grupos
O principal objetivo deste capítulo é levar o aluno a compreender o conceito de grupo
de um ponto de vista axiomático, isto é, o conceito abstrato de grupo como objeto com
uma estrutura algébrica específica. Além disso, serão vistos os conceitos de subgrupos,
subgrupos gerados, grupos cíclicos, grupos diedrais e grupos alternados, com ênfase em
grupos de ordem finita que serão necessários para cursos subsequentes.
1.1 Operações Binárias
Seja G um conjunto não vazio qualquer. Uma operação binária (ou uma composição
interna) ∗ sobre G é qualquer função
∗ : G×G −→ G.
Notação: ∗(a, b) = a ∗ b, ab, a× b ou a+ b, e assim por diante, chamada de produto ou de
soma, dependendo da notação escolhida.
Observação 1.1 A prova de que uma operação (binária) ∗ sobre um conjunto G está
bem definida pode ser feita como segue: dados (a, b), (c, d) ∈ G×G,
(a, b) = (c, d)⇒ a = c e b = d⇒ a ∗ b = c ∗ d.
Um sistema algébrico ou uma estrutura algébrico é um conjunto não vazio G munido
de uma ou mais operações binárias.
Uma operação binária ∗ sobre G é:
1. Comutativa se
a ∗ b = b ∗ a, ∀ a, b ∈ G.
2. Anticomutativa se
a ∗ b = b ∗ a⇒ a = b, ∀ a, b ∈ G.
1
2 CAPÍTULO 1. GRUPOS
3. Associativa se
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀ a, b, c ∈ G.
Neste caso, podemos omitir os parênteses e simplesmente escrever, a ∗ b ∗ c, sem
ambiguidade.
4. Um elemento u ∈ G é uma unidade para a operação binária ∗ se
a ∗ u = u ∗ a = a, ∀ a ∈ G.
Um elemento unidade u é frequentemente chamado de elemento identidade ou neu-
tro.
5. A oposta de uma operação binária ∗ sobre G é definida por
a ∗op b = b ∗ a, ∀ a, b ∈ G.
6. Se ◦ é outra operação binária sobre G, então ∗ é distributiva:
(a) à esquerda sobre ◦ se
a ∗ (b ◦ c) = (a ∗ b) ◦ (a ∗ c), ∀ a, b, c ∈ G.
(b) à direita sobre ◦ se
(a ◦ b) ∗ c = (a ∗ c) ◦ (b ∗ c), ∀ a, b, c ∈ G.
Assim, se ∗ é distributiva à esquerda e à direita sobre ◦, dizemos que ∗ é distributiva
sobre ◦.
Exemplo 1.2 A soma usual “+” é uma operação binária sobre Z, Q, R e C, respecti-
vamente. Note que ela é comutativa e associativa.
Exemplo 1.3 O produto usual “·” é uma operação binária sobre Z∗, Q∗, R∗ e C∗, re-
spectivamente, com Z∗ = Z− {0}. Note que ele é comutativa e associativa.
Exemplo 1.4 A subtração usual “−” é uma operação binária sobre Z, Q, R e C. Note
que ela não é comutativa e nem associativa, por exemplo,
3− 5 = −2 6= 2 = 5− 3 e 3− (5− 7) = 5 6= −9 = (3− 5)− 7.
Exemplo 1.5 A subtração usual “−” não é uma operação binária sobre Z+, Q+ e R+,
com Z+ = {n ∈ Z : n ≥ 0}. Por exemplo, 3− 5 = −2 /∈ Z+.
Seja ∗ uma operação binária sobre G. Chamamos a ∗ b o produto de a e b, nesta
ordem. Dados a1, a2, ..., an ∈ G, podemos formar o produto dos elementos a1, a2, ..., an,
nesta ordem, de várias maneiras inserindo vários parênteses e aplicando sucessivamente
a operação binária ∗. Mas os parênteses devem ser localizados adequadamente, de modo
que obtemos um produto significativo, isto é, sem ambiguidade.
1.1. OPERAÇÕES BINÁRIAS 3
Exemplo 1.6 Os produtos significativos de a, b e c, nesta ordem, são:
a ∗ (b ∗ c) e (a ∗ b) ∗ c.
Exemplo 1.7 Os produtos significativos de a, b, c e d, nesta ordem, são:
(a ∗ (b ∗ c)) ∗ d; ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d; (a ∗ b) ∗ (c ∗ d);
a ∗ (b ∗ (c ∗ d)) e a ∗ ((b ∗ c) ∗ d).
Mais geralmente, seja f(a1, a2, ..., an), qualquer produto significativo de a1, a2, ..., an ∈
G, nesta ordem. Então é claro que
f(a1, a2, ..., an) = f1(a1, ..., ak) ∗ f2(ak+1, ..., an),
com f1(a1, ..., ak) e f2(ak+1, ..., an), produtos significativos, 1 ≤ k ≤ n. O produto canônico
dos elementos a1, ..., an ∈ G, nesta ordem, é definido, indutivamente, por
nY
i=1
ai =
(
a1, se n = 1¡Qn−1
i=1 ai
¢
∗ an, se n > 1.
Por exemplo, o produto canônico de a1, a2, a3, a4 ∈ G, nesta ordem, é
4Y
i=1
ai = ((a1 ∗ a2) ∗ a3) ∗ a4.
Proposição 1.8 (Lei Associativa Generalizada) Sejam G um conjunto não vazio e
∗ uma operação binária associativa sobre G. Então
f(a1, ..., an) =
nY
i=1
ai, ∀ a1, ..., an ∈ G.
Prova. Vamos usar indução sobre n. Se n = 1 ou 2, nada há para ser provado. Supo-
nhamos que n > 2 e que o resultado seja válido para todo m, com 1 ≤ m < n. Como
f(a1, a2, ..., an) = f1(a1, ..., ak) ∗ f2(ak+1, ..., an),
para algum k,1 ≤ k < n, temos, pela hipótese de indução, que
f1(a1, ..., ak) =
kY
i=1
ai e f2(ak+1, ..., an) =
n−kY
j=1
ak+j.
Logo,
f(a1, a2, ..., an) =
Ã
kY
i=1
ai
!
∗
Ã
n−kY
j=1
ak+j
!
Assim, há duas possibilidades:
4 CAPÍTULO 1. GRUPOS
1.a Possibilidade. Se k = n− 1, então
f(a1, a2, ..., an) =
Ã
n−1Y
i=1
ai
!
∗ an =
nY
i=1
ai.
2.a Possibilidade. Se k < n− 1, então
f(a1, a2, ..., an) =
Ã
kY
i=1
ai
!
∗
ÃÃ
n−k−1Y
j=1
ak+j
!
∗ an
!
, por definição
=
ÃÃ
kY
i=1
ai
!
∗
Ã
n−k−1Y
j=1
ak+j
!!
∗ an, pela a associatividade
=
Ã
n−1Y
i=1
ai
!
∗ an, pela hipótese de indução
=
nY
i=1
ai
que é o resultado desejado. ¥
Observação 1.9 Seja ∗ é uma operação binária associativa sobre G. Dados a1, ..., an ∈ G
existe um único produto, nesta ordem, que pode ser escrito como a1 ∗ · · ·∗an sem qualquer
parênteses ou ambiguidade.
EXERCÍCIOS
1. Determine quais das seguintes operações são operações binárias ∗ sobre N:
(a) A operação ∗ definida por a ∗ b = a2.
(b) A operação ∗ definida por a ∗ b = 2a+ 3b.
(c) A operação ∗ definida por a ∗ b = a− b.
(d) A operação ∗ definida por a ∗ b = a+ b+ 1.
2. Determine quais das seguintes operações são operações binárias ∗ sobre R2:
(a) A operação ∗ definida por
(a, b) ∗ (c, d) =
(
(a+c
2
, b+d
2
), se (a, b) 6= (c, d)
(a, b), se (a, b) = (c, d)
.
(b) A operação ∗ definida por (a, b) ∗ (c, d) = (a+ c, b+ d).
1.1. OPERAÇÕES BINÁRIAS 5
(c) A operação ∗ definida por (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd).
(d) A operação ∗ definida por (a, b) ∗ (c, d) = (ac− bd, bc+ ad).
3. Determine se as operações binárias ∗ sobre Z é associativa (comutativa) em cada
um dos seguintes casos:
(a) A operação ∗ definida por a ∗ b = a− b.
(b) A operação ∗ definida por a ∗ b = a2 + b2.
(c) A operação ∗ definida por a ∗ b = 2(a+ b).
(d) A operação ∗ definida por a ∗ b = −a− b.
(e) A operação ∗ sobre Z× Z definida por (a, b) ∗ (c, d) = (ad+ bc, bd).
4. Determine se as operações binárias ∗ sobre R é associativa (comutativa) em cada
um dos seguintes casos:
(a) a ∗ b = a2b.
(b) a ∗ b = min{a, b}.
(c) a ∗ b = ab + ba.
(d) a ∗ b = 1.
5. Determine se as operações binárias ∗ sobre R é associativa (comutativa) em cada
um dos seguintes casos:
(a) a ∗ b = 3
√
a3 + b3. (f) a ∗ b = a+ b− ab.
(b) a ∗ b = ab+ a+ b. (g) a ∗ b = a+ b− 3.
(c) a ∗ b = a. (h) a ∗ b =
√
a2 + b2 + 1.
(d) a ∗ b = a+ b+ a2b. (i) a ∗ b = a+ log10(10b−a + 1).
(e) a ∗ b = max{a, b}. (j) a ∗ b = |a| b, quando a, b ∈ R∗.
6. Determine se as operações binárias ∗ sobre R∗+ é associativa (comutativa) em cada
um dos seguintes casos:
(a) a ∗ b = 3ab. (e) a ∗ b = a+b
1+ab .
(b) a ∗ b = ab. (f) a ∗ b = aba+b+1 .
(c) a ∗ b = aba+b . (g) a ∗ b =
√
a2 + b2 + 1.
(d) a ∗ b = ab+ 1. (h) a ∗ b = a log10 b.
7. Determine quais das seguintes operações binárias são associativa (comutativa):
(a) A operação ∗ sobre Q definida por a ∗ b = a+b
5
.
(b) A operação ∗ sobre Z× Z definida por (a, b) ∗ (c, d) = (ad+ bc, bd).
(c) A operação ∗ sobre Q∗ definida por a ∗ b = ab .
6 CAPÍTULO 1. GRUPOS
(d) A operação ∗ sobre Q definida por a ∗ b = a− b+ ab.
8. Sejam S um conjunto não vazio qualquer munido de uma operação binário associa-
tiva ∗ e e, f ∈ S. Mostre que se a ∗ e = a e f ∗ a = a, para todo a ∈ S, então e = f .
Além disso, se a ∗ b = e = c ∗ a, então b = c.
9. Suponhamos que uma operação binária ∗ sobre G tenha uma unidade e satisfaça a
identidade
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ c) ∗ b, ∀ a, b, c ∈ G.
Mostre que ∗ é associativa e comutativa.
10. Sejam ∗ uma operação binária associativa sobre G e x ∈ G. Mostre que a operação
binária ◦ sobre G definida por
a ◦ b = a ∗ x ∗ b
é associativa.
11. Seja G um conjunto munido de uma operação binária ∗. Dizemos que a ∈ G é um
elemento idempotente para ∗ se a ∗ a = a.
(a) Suponhamos que ∗ seja associativa. Mostre que ∗ é anticomutativa se, e so-
mente se, a ∗ a = a e a ∗ b ∗ a = a, para todos a, b ∈ G.
(b) Mostre se ∗ é associativa e anticomutativa, então a ∗ b ∗ c = a ∗ c, para todos
a, b, c ∈ G. (Sugestão: Considere a ∗ b ∗ c ∗ a ∗ c.)
1.2 Grupos
Um grupo é um conjunto G munido de uma operação binária ∗ tal que os seguintes
axiomas são satisfeitos:
1. Associatividade,
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀ a, b, c ∈ G.
2. Existe e ∈ G tal que
a ∗ e = e ∗ a = a, ∀ a ∈ G.
3. Para cada a ∈ G, existe b ∈ G tal que
a ∗ b = b ∗ a = e.
Observações 1.10 1. O axioma (2), assegura que o conjunto G é sempre não vazio.
1.2. GRUPOS 7
2. O elemento e em (2) é único. De fato, seja f ∈ G outro elemento identidade de G.
Então
f = f ∗ e e f ∗ e = e⇒ f = f ∗ e = e.
3. O elemento b em (3) é único e é chamado de elemento inverso de a em G e será
denotado por a−1. De fato, seja c ∈ G outro elemento inverso de a em G. Então
b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ c) = (b ∗ a) ∗ c = e ∗ c = c.
4. Se em um grupo G o axioma
a ∗ b = b ∗ a, ∀ a, b ∈ G,
é verificado, dizemos que G é um grupo abeliano ou um grupo comutativo.
5. Quando G = {e}, dizemos que G é um grupo trivial.
Com o objetivo de simplificar a notação usaremos ab ao invés de a ∗ b, salvo menção
explicita em contrário. A cardinalidade de um grupo G, em símbolos |G|, é chamada a
ordem do grupo G.
Exemplo 1.11 O conjunto G = Z (Q, R ou C) munido com a operação binária “ + ” é
um grupo abeliano infinito.
Exemplo 1.12 Seja p um número primo fixado. Então o conjunto
G = Q[√p] = {a+ b√p : a, b ∈ Q, com a ∈ Q∗ ou b ∈ Q∗}
munido com a operação binária
z · w = (ac+ pbd) + (ad+ bc)√p,
com z = a+ b
√
p,w = c+ d
√
p ∈ G, é um grupo abeliano infinito (prove isto!).
Exemplo 1.13 O conjunto
G = C∗ = {a+ bi : a, b ∈ R e i2 = −1}
munido com a operação binária
z · w = (ac− bd) + (ad+ bc)i,
com z = a+ bi, w = c+ di ∈ G, é um grupo abeliano infinito (prove isto!).
Exemplo 1.14 Seja Mn (R) o conjunto de todas as matrizes n × n sobre R. Então o
conjunto
G = GL n(R) = {A ∈Mn(R) : det(A) 6= 0}
munido com a multiplicação usual de matrizes é um grupo não abeliano infinito, chamado
de grupo linear geral de grau n.
8 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Solução. Dados A,B ∈ G. Então, pelo Teorema de Binet-Cauchy, obtemos
det(AB) = det(A) det(B) 6= 0.
Logo, AB ∈ G, isto é, o produto usual de matrizes é uma operação binária sobre G. É
claro que essa operação é associativa e a matriz identidade In é o elemento identidade
de G. Se A ∈ Mn(R) é tal que det(A) 6= 0, então a Regra de Cramer mostra que a
transformação linear associada a matriz A admite inversa. Logo, A admite inversa A−1
e, assim,
det(A−1) =
1
det(A)
6= 0.
Portanto,
A−1 ∈ G e AA−1 = A−1A = In,
ou seja, G é um grupo. Finalmente, se
A =
"
1 0
1 1
#
e B =
"
1 1
0 1
#
,
então A,B ∈ G. Mas
AB =
"
1 1
1 2
#
6=
"
2 1
1 1
#
= BA,
isto é, G é não abeliano. Além disso,
Aa =
"
a 1
1 0
#
∈ G, ∀ a ∈ R.
Portanto, G é um grupo não abeliano infinito. ¥
Exemplo 1.15 Sejam
G = Zn = {0, 1, 2, ..., n− 1} ⊆ Z
e n um número inteiro positivo fixado. Então G munido com a operação binária
a⊕ b = a+ b,
com a+ b indicando o resto da divisão a+ b por n, é um grupo abeliano finito, chamado
o grupo aditivo dos números inteiros de módulo n.
Solução. Dados a, b, c ∈ G. Então, no grupo aditivo Z, temos que
a+ (b+ c) = (a+ b) + c = a+ b+ c.
Agora, dividindo a+ b+ c por n, obtemos
a+ b+ c = qn+ r, com 0 ≤ r < n.
1.2. GRUPOS 9
Logo, a⊕ b⊕ c = r. Dividindo b+ c por n, obtemos
b+ c = q1n+ r1, com 0 ≤ r1 < n,
ou seja, b⊕ c = r1. Finalmente, dividindo a+ r1 por n, obtemos
a+ r1 = nq2 + r2, com 0 ≤ r2 < n,
isto é, a⊕ r1 = r2. Como
a+ b+ c = a+ q1n+ r1 = q2n+ r2 + q1n = (q1 + q2)n+ r2
temos, pela unicidade do resto, que r = r2. Portanto,
a⊕ (b⊕ c) = a⊕ r1 = r2 = r = a⊕ b⊕ c.De modo inteiramente análogo, prova-se que
(a⊕ b)⊕ c = r = a⊕ b⊕ c.
Logo,
a⊕ (b⊕ c) = (a⊕ b)⊕ c, ∀ a, b, c ∈ G.
É fácil verificar que 0 = n é o elemento identidade de G e −a = n−a é o elemento inverso
de a. Assim, G = Zn é um grupo de ordem n. Finalmente, dados a, b ∈ G, obtemos
a⊕ b = a+ b = b+ a = b⊕ a.
Portanto, G = Zn é um grupo abeliano finito. ¥
Exemplo 1.16 Seja
G = Z•n = {a ∈ Z : 1 ≤ a < n e mdc(a, n) = 1}.
Então G munido com a operação binária
a¯ b = ab,
com ab indicando o resto da divisão de ab por n, é um grupo abeliano finito (prove isto!).
Exemplo 1.17 Seja G = Q o grupo aditivo dos números racionais. Dados x, y ∈ G,
definimos
x ∼ y ⇔ y − x ∈ Z.
Então ∼ é uma relação de equivalência sobre G (prove isto!). Além disso, o conjunto
G =
G
Z
= {x : x ∈ G},
com x = x+ Z a classe de equivalência de x, munido com a operação binária
x⊕ y = (x+ Z)⊕ (y + Z) = (x+ y) + Z = x+ y,
é um grupo abeliano infinito, chamado de grupo dos números racionais de módulo um.
10 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Solução. Dados x, y, z ∈ G,
x⊕ (y ⊕ z) = x⊕ (y + z) = x+ (y + z) = (x+ y) + z = (x+ y)⊕ z = (x⊕ y)⊕ z.
Existe 0 = 0 + Z = Z ∈ G tal que
x⊕ 0 = 0⊕ x = x, ∀ x ∈ G.
Para cada x ∈ G, existe −x ∈ G tal que
x⊕−x = x− x = 0 = −x+ x = −x⊕ x.
Portanto, G é um grupo. Dados x, y ∈ G, obtemos
x⊕ y = x+ y = y + x = y ⊕ x,
isto é, G é abeliano. Finalmente, sejam p e q números primos distintos. Então
r 6= s, com r = 1
p
e s =
1
q
,
pois se
r = s⇔ 1
q
− 1
p
∈ Z,
então existe n ∈ Z tal que
1
q
− 1
p
= n⇔ p− q = npq ⇔ p = (np+ 1)q,
isto é, q divide p. Assim, p = q, o que é impossível. Portanto, G é um grupo abeliano
infinito. ¥
Exemplo 1.18 Sejam S um conjunto não vazio qualquer e
G = P (S) = {σ : S −→ S : σ é uma função bijetora}.
Então G munido com a composição usual de funções é um grupo não abeliano se |S| ≥ 3.
Solução. Dados σ, φ ∈ G e z ∈ S. Como σ é sobrejetora temos que existe y ∈ S tal que
z = σ(y). De modo inteiramente análogo, existe x ∈ S tal que y = φ(x). Logo,
(σ ◦ φ)(x) = σ(φ(x)) = σ(y) = z,
isto é, σ ◦ φ é sobrejetora.
Dados x,y ∈ S, se
(σ ◦ φ)(x) = (σ ◦ φ)(y),
então, por definição de σ e φ, temos que φ(x) = φ(y) e x = y, isto é, σ ◦ φ é injetora.
Portanto, σ◦φ ∈ G, isto é, a composição usual de funções é uma operação binária sobreG.
1.2. GRUPOS 11
É claro que essa operação é associativa e a função identidade IS é o elemento identidade
de G. Finalmente, se σ ∈ G e y ∈ S, então existe um único x ∈ S tal que y = σ (x).
Vamos definir σ−1 : S −→ S por
x = σ−1(y)⇔ y = σ(x).
Sejam x ∈ S qualquer e y = σ(x). Então
(σ−1 ◦ σ)(x) = σ−1(σ(x)) = σ−1(y) = x,
isto é, σ−1 ◦ σ = IS. Como σ é sobrejetora temos, para cada x ∈ S, que existe z ∈ S tal
que x = σ(z). Logo,
(σ ◦ σ−1)(x) = (σ ◦ σ−1)(σ(z)) = σ(σ−1 ◦ σ)(z) = σ(IS(z)) = σ(z) = x,
isto é, σ ◦ σ−1 = IS. Portanto, σ−1 ∈ G e σ−1 ◦ σ = σ ◦ σ−1 = IS, ou seja, G é um grupo
não abeliano. ¥
O grupo do Exemplo 1.18, é conhecido como o grupo de permutações de S. Em
particular, se S = {1, 2, ..., n}, então P (S) é chamado o grupo de simetria de grau n e
será denotado por Sn. Neste caso, |Sn| = n! (prove isto!).
Note que uma permutação σ ∈ Sn é unicamente determinada pelo conjunto de pares
ordenados
{(x, σ(x)) : x ∈ {1, 2, ..., n}}.
Portanto, σ pode ser escrita sob a forma:
σ =
Ã
1 2 · · · n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
!
=
Ã
x
σ(x)
!
,
cuja ordem das colunas não importa. Dados σ, τ ∈ Sn, digamos
σ =
Ã
x
σ(x)
!
e τ =
Ã
x
τ(x)
!
.
Então, reordenando as colunas de τ até a primeira linha coincidir com a segunda linha de
σ, obtemos
τ =
Ã
σ(x)
τ(σ(x))
!
=
Ã
σ(x)
(τ ◦ σ)(x)
!
.
Portanto,
τ ◦ σ =
Ã
x
(τ ◦ σ)(x)
!
=
Ã
σ(x)
τ(σ(x))
!
◦
Ã
x
σ(x)
!
,
ou seja, se as colunas são adequadamente ordenadas, então a composição é essencialmente
a lei do cancelamento. Por exemplo, se S = {1, 2, 3},
σ =
Ã
1 2 3
2 3 1
!
e τ =
Ã
1 2 3
2 1 3
!
,
12 CAPÍTULO 1. GRUPOS
então
τ ◦ σ =
Ã
1 2 3
2 1 3
!
◦
Ã
1 2 3
2 3 1
!
=
Ã
2 3 1
1 3 2
!
◦
Ã
1 2 3
2 3 1
!
=
Ã
1 2 3
1 3 2
!
e
σ ◦ τ =
Ã
1 2 3
2 3 1
!
◦
Ã
1 2 3
2 1 3
!
=
Ã
2 1 3
3 2 1
!
◦
Ã
1 2 3
2 1 3
!
=
Ã
1 2 3
3 2 1
!
.
Observe que σ ◦ τ 6= τ ◦ σ. Finalmente,
σ−1 =
Ã
2 3 1
1 2 3
!
=
Ã
1 2 3
3 1 2
!
e τ−1 =
Ã
2 1 3
1 2 3
!
=
Ã
1 2 3
2 1 3
!
= τ .
Exemplo 1.19 Sejam G e H grupos. Então o conjunto
G×H = {(a, b) : a ∈ G e b ∈ H}
munido com a operação binária
(a, b) ∗ (x, y) = (ax, by)
é um grupo com |G×H| = |G| |H|. Em particula, G×H é abeliano se, e somente se, G
e H também o são.
Solução. É fácil verificar que ∗ é associativa, que (eG, eH) é o elemento identidade de
G×H e que (a−1, b−1) é o elemento inverso de (a, b) em G×H. ¥
Seja G um conjunto munido de uma operação binária ∗. Dizemos que G é um semi-
grupo se a operação binária ∗ for associativa. Se, além disso, G tiver o elemento identidade,
dizemos que G é um monoide.
Seja G um grupo qualquer. Vamos definir uma composição externa ∗ sobre G, ∗ :
Z×G→ G, por
n ∗ a = an =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
an−1a, se n > 0
e, se n = 0
(a−1)−n = an+1a−1, se n < 0.
O elemento an é chamado a potência n-ésima do elemento a. Note que a−n = (an)−1 =
(a−1)n, para todo n ∈ Z, por exemplo, se n ≥ 0, então, indutivamente, obtemos
an(a−1)n = e e ana−n = e.
Logo, pela unicidade do elemento inverso, temos que a−n = (an)−1 = (a−1)n.
Proposição 1.20 Sejam G um grupo e a ∈ G fixado. Então:
1.2. GRUPOS 13
1. aman = am+n, para todos m,n ∈ Z.
2. (am)n = amn, para todos m,n ∈ Z.
Prova. Provaremos apenas o item (1). Para isto, vamos dividir a prova em vários casos:
1.o Caso. Se m > 0 e n > 0 (m + n > 0), neste caso, vamos fixar m e usar indução
sobre n. Seja
S = {n ∈ N : aman = am+n}.
Então 1 ∈ S, pois am+1 = ama. Suponhamos que o resultado seja válido para n > 1, isto
é, n ∈ S. Então
am+(n+1) = am+na = (aman)a = am(ana) = aman+1.
Logo, n+ 1 ∈ S. Portanto, S = N.
2.o Caso. Se m < 0 e n < 0 (m+ n < 0), então −m > 0 e −n > 0. Logo,
aman = (a−1)−m(a−1)−n = (a−1)(−m)+(−n) = (a−1)−(m+n) = am+n.
3.o Caso. Se m > 0, n < 0 e m+ n > 0, então
am = a(m+n)−n = am+na−n.
Logo,
aman = (am+na−n)an = am+n(a−nan) = am+ne = am+n.
4.o Caso. Se m > 0, n < 0 e m+ n = 0, então
am = a(m+n)−n = am+na−n = ea−n = a−n.
Logo,
aman = a−nan = e = am+n.
5.o Caso. Se m > 0, n < 0 e m+ n < 0, então
an = (a−1)−n = (a−1)m+(−m−n)) = (a−1)m−(m+n) = (a−1)m(a−1)−(m+n) = (a−1)mam+n.
Logo,
aman = am(a−1)mam+n = (ama−m)am+n = eam+n = am+n.
Portanto, aman = am+n, para todos m,n ∈ Z. ¥
Proposição 1.21 Sejam G um grupo e a, b, c, d ∈ G. Então:
1. Se ab = e, então b = a−1. Em particular, e ∈ G é o único elemento de G tal que
e2 = e.
2. (c−1)−1 = c e (cd)−1 = d−1c−1.
14 CAPÍTULO 1. GRUPOS
3. Se ca = cb ou da = db, então a = b.
Prova. (1) Se ab = e, então
b = eb =
¡
a−1a
¢
b = a−1 (ab) = a−1e = a−1.
Em particular, seja x ∈ G tal que x2 = x. Então
e = x−1x = x−1x2 = (x−1x)x = ex = x.
(2) Pondo b = c e a = c−1 no item (1), obtemos
ab = c−1c = e⇒ c = (c−1)−1.
Agora, pondo b = d−1c−1 e a = cd no item (1), obtemos
ab = (cd)(d−1c−1) = c(dd−1)c−1 = cec−1 = cc−1 = e⇒ d−1c−1 = (cd)−1 .
(3) Se ca = cb, então
a = ea = (c−1c)a = c−1(ca) = c−1(cb) = (c−1c)b = eb = b.
Provar que se da = db, então a = b fica como um exercício. ¥
Exemplo 1.22 Seja G um grupo tal que (ab)2 = (ba)2, para todos a, b ∈ G. Mostre que
se G possui a seguinte propriedade: x2 = e, x ∈ G, implicar que x = e, então G é grupo
abeliano.
Solução. Dados a, b ∈ G, obtemos
a2 = (ab−1b)2 = (bab−1)2 = ba2b−1 ou a2b = ba2.
Pondo x = aba−1b−1, obtemos
x2 = ab(a−1b−1a)(ba−1b−1)= ab(aa−2b−1a)(ba−1b−1)
= ab(ab−1a−2a)(ba−1b−1) = ab(ab−1a−1)(ba−1b−1)
= ab(abb−2a−1)(ba−1b−1) = (ab)2(a−1b−2)(ba−1b−1)
= (ab)2(a−1b−1)2 = (ba)2(a−1b−1)2 = e,
Logo, por hipótese x = e, isto é, ab = ba. Portanto, G é um grupo abeliano. ¥
Proposição 1.23 Seja G um conjunto munido de uma operação binária ∗ tal que os
seguintes axiomas são satisfeitos:
1. a(bc) = (ab)c, para todos a, b, c ∈ G.
2. Existe e ∈ G tal que ea = a, para todo a ∈ G.
1.2. GRUPOS 15
3. Para cada a ∈ G, existe a−1 ∈ G tal que a−1a = e.
Então G é um grupo.
Prova. Dado a ∈ G, devemos provar que o inverso à esquerda a−1 de a é também um
inverso à direita a, isto é, aa−1 = e. Pondo b = aa−1, obtemos
b2 =
¡
aa−1
¢ ¡
aa−1
¢
= a
¡
a−1a
¢
a−1 = aea−1 = aa−1 = b.
Assim,
e = b−1b = b−1(b2) = (b−1b)b = eb = b,
isto é, aa−1 = e. Finalmente, devemos provar que o elemento identidade à esquerda e é
também um elemento identidade à direita, isto é, ae = a, para todo a ∈ G. Dado a ∈ G,
obtemos
ae = a
¡
a−1a
¢
=
¡
aa−1
¢
a = ea = a.
Portanto, G é um grupo. ¥
Proposição 1.24 Seja G um semigrupo. Então as seguintes condições são equivalentes:
1. Para quaisquer a, b ∈ G, as equações ax = b e ya = b têm soluções x, y ∈ G.
2. G é um grupo.
3. Para quaisquer a, b ∈ G, as equações ax = b e ya = b têm soluções únicas x, y ∈ G.
4. As funções Lc : G −→ G e Rc : G −→ G definidas por Lc(x) = cx e Rc(x) = xc,
respectivamente, são bijetoras, para todo c ∈ G.
Prova. (1 ⇒ 2) Seja e ∈ G uma solução da equação ya = a, de modo que ea = a, para
todo a ∈ G. Como a equação ax = b tem solução temos que
eb = e(ax) = (ea)x = ax = b, ∀ b ∈ G.
Assim, e é o elemento identidade à esquerda de G. Finalmente, a equação ya = e tem
solução. Logo, cada elemento a ∈ G tem um inverso à esquerda. Portanto, pela Proposição
1.23, G é um grupo.
(2 ⇒ 3) Vamos provar apenas que a equação ax = b tem solução x ∈ G. É claro que
x0 = a−1b é solução da equação ax = b, pois
ax0 = a
¡
a−1b
¢
= (aa−1)b = eb = b.
Reciprocamente, seja x1 uma solução da equação ax = b. Então ax1 = b. Logo,
a−1b = a−1(ax1) = (a−1a)x1 = ex1 = x1.
Portanto, toda solução da equação ax = b é da forma a−1b.
16 CAPÍTULO 1. GRUPOS
(3⇒ 4⇒ 1) Segue das definições. ¥
É usual dar-se a operação binária de um grupo finito G por meio de sua tabela de
multiplicação ou tabela de Cayley. Assim, se
G = {a1, . . . , an},
então
∗ a1 a2 · · · an
a1 a21 a1a2 · · · a1an
a2 a2a1 a22 · · · a2an
...
...
... · · · ...
an ana1 ana2 · · · a2n
Usualmente, fazemos a1 = e, o elemento identidade do grupo G.
Observação 1.25 Uma tabela de multiplicação de ordem “n” representa um grupo se
cada elemento de G aparece exatamente uma vez em cada linha e cada coluna. Em par-
ticular, G é um grupo abeliano se sua tabela for simétrica.
Exemplo 1.26 Construa a tabela de multiplicação para o grupo
Z4 = {0, 1, 2, 3}.
Solução. Pelo Exemplo 1.15, obtemos
⊕ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
que é o resultado desejado. ¥
EXERCÍCIOS
1. Mostre que existe exatamente um grupo de ordem 3.
2. Mostre que existe apenas dois grupos de ordem 4.
3. Mostre que G = R− {−1} munido com a operação binária a ∗ b = a+ b+ ab é um
grupo.
1.2. GRUPOS 17
4. Sejam G um grupo e x um elemento fixado de G. Mostre que G munido com a nova
operação binária a ∗ b = axb é um grupo.
5. Seja G = Z× Z. Mostre que G munido com a operação binária
(a, b) ∗ (c, d) = (a+ c, (−1)cb+ d)
é um grupo. É G um grupo abeliano?
6. Seja G um grupo com elemento identidade e. Mostre que a operação binária / :
G×G→ G definida por a/b = ab−1 satisfaz os seguintes axiomas:
(a) Para quaisquer a, b ∈ G, a/b = e se, e somente se, a = b.
(b) Para todo a ∈ G, a/e = a.
(c) Para quaisquer a, b ∈ G, e/(a/b) = b/a.
(d) Para quaisquer a, b, c ∈ G, (a/c)/(b/c) = a/b.
Reciprocamente, seja G um conjunto com uma operação binária / : G × G → G e
um elemento e ∈ G satisfazendo os quatro axiomas acima. Mostre que G, com a
nova operação binária ∗ : G × G → G definida por a ∗ b = a/(e/b), é um grupo.
(Sugestão: É fácil verificar que e é o elemento identidade de G. Para mostrar a
associatividade faça sucessivamente (a ∗ c)/(b ∗ c) = a/b; (a/c) ∗ (b/c) = a/b; se
a/c = b ∗ c, então a = b e (a ∗ b)/b = a.)
7. Seja G = {a ∈ Q : 0 ≤ a < 1} um conjunto munido de uma operação binária
a⊕ b =
(
a+ b, se 0 ≤ a+ b < 1
a+ b− 1, se 1 ≤ a+ b < 2,
com “+” a soma usual emQ. Mostre que G é um grupo abeliano infinito. (Sugestão:
Note que a⊕ (b⊕ c) e (a⊕ b)⊕ c são ambas iguais a
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a+ b+ c, se 0 ≤ a+ b+ c < 1
a+ b+ c− 1, se 1 ≤ a+ b+ c < 2
a+ b+ c− 2, se 2 ≤ a+ b+ c < 3.)
8. Seja G um semigrupo satisfazendo os seguintes axiomas:
(a) Existe e ∈ G tal que ae = a para todo a ∈ G.
(b) Dado a ∈ G, existe a−1 ∈ G tal que aa−1 = e.
Mostre que G é um grupo.
9. Seja G um semigrupo satisfazendo os seguintes axiomas:
18 CAPÍTULO 1. GRUPOS
(a) Existe e ∈ G tal que ea = a para todo a ∈ G.
(b) Dado a ∈ G, existe a−1 ∈ G tal que aa−1 = e.
Mostre, com um exemplo, que G não é um grupo. (Sugestão: Tente G = C∗ com
a ∗ b = |a| b.)
10. Seja G um semigrupo finito. Mostre que G possui um elemento idempotente. (Su-
gestão: Como G é finito temos que o conjunto {an : n ∈ N} é finito. Assim, existem
m,n ∈ N, com n > m, tais que am = an. Agora, escolha um k ∈ N tal que
m < k(n−m) e e = ak(n−m). Então eam = am.)
11. Sejam G um semigrupo e a ∈ G. Mostre que se existem e, f ∈ G tais que ex = x,
para todo x ∈ G, e fa = e, então
ab = ac⇒ b = c, ∀ b, c ∈ G.
12. Seja G um semigrupo. Mostre que se existe e ∈ G tal que ea = a, para todo a ∈ G e
ba = e, para algum b ∈ G, então G é um grupo. (Sugestão: Use (ba)2 para mostrar
que e é o elemento identidade de G e use o Exercício acima.)
13. Seja G um semigrupo contendo um elemento idempotente e ∈ G com a seguinte
propriedade: Para qualquer a ∈ G existe pelo menos x ∈ G tal que xa = e e existe
no máximo y ∈ G tal que ay = e. Mostre que G é um grupo.
14. Seja G um semigrupo. Mostre que se para cada a ∈ G a função La : G→ G definida
por La(x) = ax é bijetora e para algum b ∈ G a função Rb : G → G definida por
Rb(x) = xb é bijetora, então G é um grupo.
15. Seja G um semigrupo com a seguinte propriedade: Para qualquer a ∈ G, existe um
único at ∈ G tal que aata = a.
(a) Mostre que se e é um elemento idempotente de G, então et = e.
(b) Mostre que se x, a ∈ G e atx = at, então x = aat.
(c) Mostre que ataat = at e (at)t = a, para todo a ∈ G.
(d) Mostre que x = (bat)t é solução da equação xb = a, para todos a, b ∈ G.
(e) Mostre que G é um grupo.
16. Seja G um semigrupo abeliano satisfazendo os seguintes axiomas:
1. Para qualquer a ∈ G, existe b ∈ G tal que ba = a.
2. Se ba = a, então existe c ∈ G tal que ca = b, para todos a, b ∈ G.
(a) Mostre que se ba = a = b0a, então b = b0.
1.2. GRUPOS 19
(b) Mostre que se ba = a, então b2 = b.
(c) Mostre que se ba = a e cd = d, então b = c. (Sugestão: Considere b(bd) e
c(bd).)
(d) Mostre que G é um grupo.
Mostre, com um exemplo, que G não é um grupo se G é um semigrupo não abeliano.
17. Seja G um grupo tal que a2 = e, para todo a ∈ G. Mostre que G é um grupo
abeliano.
18. Seja G um semigrupo finito tal que
ab = ac⇒ b = c e ba = ca⇒ b = c, ∀ a, b, c ∈ G.
Mostre que G é um grupo. Mostre, com um exemplo, que essa conclusão pode ser
falsa se G é semigrupo infinito.
19. Sejam G um monoide e ∼ uma relação de equivalência sobre G tal que
a ∼ x e b ∼ y ⇒ ab ∼ xy, ∀ a, b, x, y ∈ G.
Mostre que o conjunto
G =
G
∼ = {a : a ∈ G},
com a a classe de equivalência de a, munido com a operação binária
a ∗ b = ab
é um monoide. Em particular, se G é um grupo (abeliano), então G também o é.
20. Sejam G um grupo e a1, . . . , an ∈ G. Mostre que se a1 · · · an = e, então
ak · · · ana1 · · · ak−1= e, ∀ k, com 2 ≤ k ≤ n.
21. Seja p um número primo fixado. Sejam
Rp =
na
b
∈ Q : mdc(b, p) = 1
o
e Rp =
½
a
pn
∈ Q : n ∈ Z+
¾
.
Mostre que Rp e Rp são grupos abelianos sob a operação de adição de Q.
22. Seja p um número primo fixado. Mostre que o conjunto
Z(p∞) =
½
a
pn
+ Z ∈ Q
Z
: a ∈ Z e n ∈ Z+
¾
é um grupo abeliano infinito sob a operação de adição de QZ (confira Exemplo 1.17).
23. Sejam G um grupo, a, b ∈ G e k ∈ N fixado.
20 CAPÍTULO 1. GRUPOS
(a) Mostre que se aba−1 = bk, então anba−n = bkn , para todo n ∈ N.
(b) Mostre que se (ab)n = anbn, para algum n = n(a, b) ∈ N fixado com n > 1,
então (ab)n−1 = bn−1an−1, anbn−1 = bn−1an e (aba−1b−1)n(n−1) = e.
24. Sejam G um grupo e a, b ∈ G.
(a) Mostre que a equação xax = b tem solução x ∈ G se, e somente se, ab é um
quadrado em G.
(b) Mostre que a equação x2ax = a−1 tem solução x ∈ G se, e somente se, a é um
cubo em G.
25. Seja G um grupo. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
(a) G é um grupo abeliano;
(b) (ab)n = anbn, para todos a, b ∈ G e n ∈ N;
(c) (ab)n = anbn, (ab)n+1 = an+1bn+1 e (ab)n+2 = an+2bn+2, para todos a, b ∈ G e
n ∈ N;
(d) (ab)2 = a2b2, para todos a, b ∈ G;
(e) (ab)−1 = a−1b−1, para todos a, b ∈ G.
Mostre, com um exemplo, que (c⇒ a) é falsa se três é substituído por dois.
26. Sejam m,n ∈ N fixados e G um grupo tal que ambm = bmam e anbn = bnan, para
todos a, b ∈ G. Mostre que se mdc(m,n) = 1, então G é um grupo abeliano.
(Sugestão: Note que ambn = (ambn)rm+sn = am(bnam)rm+sn−1bn.)
27. Seja G um semigrupo. Mostre que G é um grupo se, e somente se, toda equação
sobre G do tipo axb = c possui uma única solução em G. (Sugestão: Dado g ∈ G,
existe x ∈ G tal que gxg = g. Pondo e = gx, temos que eg = g e e2 = ee = e.
Assim, para cada y ∈ G tal que gye = g, temos que ge = (gye)e = (gy)e2 = gye = g.
Logo, existe e ∈ G (dependendo de g) tal que ge = eg = g, para todo g ∈ G. Agora,
dado a ∈ G existe x ∈ G tal que gxg = a, e daí
ea = e(gxg) = eg(xg) = gxg = a e ae = (gxg)e = (gx)ge = gxg = a.
Logo, e é o elemento identidade de G. Finalmente, dado a ∈ G e seja x, y ∈ G tal
que e = axe = ax e e = eya = ya. Mostre que x = y é o elemento inverso de a.)
28. Construa uma tabela de multiplicação para os grupos S3, Z•7 e Z•24.
1.2. GRUPOS 21
29. Sejam I, σi, τ j : R− {0, 1}→ R− {0, 1}, i = 1, 2 e j = 1, 2, 3, funções definidas por
I(x) = x, τ 1(x) =
1
x
, τ 2(x) = 1− x, τ 3(x) =
x
x− 1 ,
σ1(x) =
1
1− x e σ2(x) =
x− 1
x
.
Construa uma tabela de multiplicação para G = S3 = {I, τ 1, τ 2, τ 3, σ1, σ2} com a
composição usual de funções e conclua que G é um grupo não abeliano finito.
30. Sejam as matrizes
1 =
"
1 0
0 1
#
, I =
"
i 0
0 −i
#
, J =
"
0 −1
1 0
#
e K =
"
0 −i
−i 0
#
,
com i2 = −1. Construa uma tabela de multiplicação para Q8 = {±1,±I,±J,±K}
com a multiplicação usual de matrizes e conclua que Q8 é um grupo não abeliano
finito, chamado de grupo dos quatérnios.
31. Seja G um grupo tal que (ab)3 = a3b3 e (ab)5 = a5b5, para todos a, b ∈ G. Mostre
que G é um grupo abeliano.
32. Seja G = {a ∈ R : −1 < a < 1} um conjunto munido de uma operação binária
a¯ b = a+ b
1 + ab
.
Mostre que G é um grupo abeliano infinito.
33. Seja
G = {σa,b : R→ R : σa,b(x) = ax+ b, a, b ∈ R e a 6= 0}.
Mostre que G com a composição usual de funções é um grupo não abeliano infinito.
34. Sejam G o grupo do Exercício anterior e
H = {σa,b ∈ G : a ∈ Q, b ∈ R e a 6= 0}.
Mostre que H é um grupo com a operação induzida por G e que σa,b ◦ τ ◦ σ−1a,b ∈ H,
para todo σa,b ∈ G e τ ∈ H.
35. Seja G = R∗ ×R. Mostre que G munido de uma operação binária
(a, b)¯ (c, d) = (ac, ad+ b)
é um grupo não abeliano infinito. Qual a relação deste grupo com o grupo do
Exercício 33?.
22 CAPÍTULO 1. GRUPOS
36. Seja
G =
("
a b
0 1
#
∈M2(R) : a 6= 0
)
Mostre que G com a operação usual de multiplicação de matrizes é um grupo não
abeliano infinito. Qual a relação deste grupo com o grupo do Exercício 35?
37. Seja T = {z ∈ C∗ : |z| = 1}. Mostre que T com a multiplicação usual de números
complexos é um grupo abeliano infinito, chamado de grupo circular .
38. Sejam d um inteiro positivo livre de quadrados e
G =
n
a+ b
√
d : a, b ∈ Q com a ∈ Q∗ ou b ∈ Q∗
o
.
Mostre que G com a multiplicação usual de números reais é um grupo abeliano
infinito.
39. Sejam G um grupo e S um conjunto não vazio qualquer. Mostre que o conjunto
GS = F(S,G) = {f : S → G : f é uma função}
munido com a operação binária
(f ¯ g)(x) = f(x)g(x), ∀ x ∈ S e f, g ∈ F(S,G),
é um grupo, chamado de grupo das funções com domínio S e valores em G.
40. Seja G um semigrupo tal que a−1(ab) = b = (ba)a−1, para todos a, b ∈ G. Mostre
que G é um grupo.
41. Seja G um semigrupo tal que ba2 = b, para todos a, b ∈ G. Mostre que G é um
grupo abeliano.
42. Sejam G um semigrupo e
C = {a ∈ G : ab = ac e ba = ca⇒ b = c, ∀ b, c ∈ G}
(a) Mostre que C é fechado sob a operação de G.
(b) Mostre que se G é um monoide, então
G• = {a ∈ G : ab = ba = e, para algum b ∈ G}
é um grupo contido em C.
(c) Para cada um dos monoides G =M2(Z) e G =M2(R+), determine G•.
43. Seja G um grupo finito. Mostre que para cada a ∈ G existe um inteiro positivo
n = n(a) tal que an = e. Conclua que existe m ∈ N tal que am = e, para todo
a ∈ G.
1.3. SUBGRUPOS 23
44. Sejam G um grupo finito de ordem n e m ∈ N tal que mdc(m,n) = 1. Mostre que
cada a ∈ G pode ser escrito sob a forma a = bm, para algum b ∈ G. (Sugestão:
Mostre que a função ϕ : G→ G definida por ϕ(x) = xm é bijetora.)
45. Sejam {Gi}i∈I uma família indexada de grupos e G =
Q
i∈I Gi o produto cartesiano
dos Gi. Mostre que G munido com a operação binária (ai)i∈I ∗ (bi)i∈I = (aibi)i∈I é
um grupo, chamado o produto direto externo dos Gi.
46. Seja G = {e, a2, . . . , an} um grupo abeliano tal que a2 6= e, para todo a ∈ G com
a 6= e, isto é, e é o único elemento de G com e2 = e.
(a) Mostre que ea2 · · · an = e.
(b) Mostre o Teorema de Wilson: Se p é um número primo, então (p − 1)! ≡
−1 (mod p).
1.3 Subgrupos
Seja G um grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H de G é um subgrupo de
G, em símbolos H ≤ G, quando H munido com a operação binária induzida por G for
um grupo.
Observações 1.27 1. Todo grupo G admite pelo menos dois subgrupos, a saber, G e
o subgrupo trivial {e}.
2. Os subgrupos H de G com H 6= {e} e H 6= G são chamados de subgrupos próprios.
Sejam G um grupo e A, B subconjuntos de G. Definimos
AB = {ab : a ∈ A e b ∈ B} e A−1 = {a−1 : a ∈ A}.
Então é fácil verificar que
A(BC) = (AB)C, ∀ A,B,C ⊆ G.
Proposição 1.28 (Critério de Subgrupo) Sejam G um grupo e H um subconjunto
não vazio de G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, as seguintes condições
são satisfeitas:
1. eG ∈ H, com eG o elemento identidade de G.
2. Se a, b ∈ H, então ab ∈ H (isto é, HH ⊆ H). (fechamento)
3. Se a ∈ H, então a−1 ∈ H (isto é, H−1 ⊆ H). (existência de inverso)
24 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Prova. Suponhamos que H seja um subgrupo de G. Seja f o elemento identidade de H.
Então devemos provar que eG = f . Como f2 = f e f ∈ G temos que
eG = f−1f = f−1(f2) = (f−1f)f = eGf = f.
Assim, as condições (1), (2) e (3) são claras.
Reciprocamente, dados a, b, c ∈ H, temos que a(bc) = (ab)c, pois a, b, c ∈ G. Logo,
pela condição (2), obtemos a(bc) = (ab)c em H. Finalmente, dado a ∈ H, temos, pela
condição (3), que a−1 ∈ H. Assim, pela condição (2),
e = aa−1 = a−1a ∈ H.
Portanto, H é um subgrupo de G. ¥
Corolário 1.29 Sejam G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Então H é um
subgrupo de G se, e somente se, ab−1 ∈ H, para todos a, b ∈ H.
Prova. Fica como um exercício. ¥
Observação 1.30 Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e K um subgrupo de H.
Então K é um subgrupo de G.
Exemplo 1.31 Seja G = Z ogrupo aditivo dos números inteiros. Então
H = nZ = {na : a ∈ Z}
é um subgrupo de G, com n ∈ Z+.
Solução. É claro que 0 ∈ H, pois 0 = n0. Se h, k ∈ H, então existem a, b ∈ Z tais que
h = na e k = nb. Logo,
h+ k = na+ nb = n(a+ b) ∈ H,
pois a + b ∈ Z. Finalmente, se h ∈ H, então existe a ∈ Z tal que h = na. Logo,
−h = n(−a) ∈ H, pois −a ∈ Z. Portanto, H é um subgrupo de G. ¥
Exemplo 1.32 Sejam G = P (S) o grupo de permutações de G e s0 ∈ S fixado. Então
H = {σ ∈ G : σ(s0) = s0}
é um subgrupo de G (prove isto!).
Sejam G um grupo e a, b ∈ G. Dizemos que o elemento ba = aba−1 é o conjugado de
b por a. Mais geralmente, sejam S um subconjunto não vazio de G e a um elemento de
G. Dizemos que o conjunto
Sa = aSa−1 = {asa−1 : s ∈ S}
é o conjugado de S por a. Além disso, dizemos que a ∈ G normaliza S se aSa−1 = S.
Intuitivamente, uma conjugação de um elemento (de um conjunto) significa ver o elemento
(o conjunto) de um outro ponto de vista, isto é, de um ponto de vista “mais fácil”.
1.3. SUBGRUPOS 25
Exemplo 1.33 Sejam G um grupo e S um subconjunto não vazio de G. Então
CG(S) = {a ∈ G : asa−1 = s, ∀ s ∈ S}
= {a ∈ G : as = sa, ∀ s ∈ S}
é um subgrupo de G, chamado o subgrupo centralizador de S em G.
Solução. É claro que e ∈ CG(S), pois es = se, para todo s ∈ S. Se a, b ∈ CG(S), então
as = sa, para todo s ∈ S e bt = tb, para todo t ∈ S. Logo,
(ab)s = a(bs) = (as)b = (sa)b = s(ab), ∀ s ∈ S.
Assim, ab ∈ CG(S). Finalmente, se a ∈ CG(S), então as = sa, para todo s ∈ S. Logo,
a−1s = a−1(asa−1) = (a−1a)sa−1 = sa−1, ∀ s ∈ S.
Assim, a−1 ∈ CG(S). Portanto, CG(S) é um subgrupo de G. ¥
Exemplo 1.34 Sejam G um grupo e S um subconjunto não vazio de G. Então
NG(S) = {a ∈ G : Sa = S} = {a ∈ G : aSa−1 = S}
é um subgrupo de G, chamado o subgrupo normalizador de S em G (prove isto!).
Exemplo 1.35 Seja G um grupo. Então
Z(G) = {a ∈ G : ab = ba, ∀ b ∈ G}
é um subgrupo de G, chamado o centro de G (prove isto!). Além disso,
Z(G) =
\
a∈G
CG(a) e Z(G) ⊆ CG(S) ⊆ NG(S), ∀ S ⊆ G.
Exemplo 1.36 Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e a ∈ G fixado. Então
Ha = aHa−1 = {aha−1 : h ∈ H}
é um subgrupo de G.
Solução. É claro que e ∈ Ha, pois e ∈ H e e = aea−1. Se x, y ∈ Ha, então existem
h, k ∈ H tais que x = aha−1 e y = aka−1. Logo,
xy =
¡
aha−1
¢ ¡
aka−1
¢
= a(ha−1ak)a−1 = a(hk)a−1 ∈ Ha,
pois hk ∈ H. Finalmente, se x ∈ Ha, então existe h ∈ H tal que x = aha−1. Logo,
x−1 =
¡
aha−1
¢−1
=
¡
a−1
¢−1 h−1a−1 = ah−1a−1 ∈ Ha,
pois h−1 ∈ H. Portanto, Ha é um subgrupo de G. ¥
26 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Exemplo 1.37 Sejam n ∈ Z∗ fixado e H = {r ∈ Q : nr = 2}. Então H não é um
subgrupo do grupo aditivo dos números racionais Q.
Solução. Como 0 /∈ H temos que H não é um subgrupo do grupo aditivo dos números
racionais. ¥
Observação 1.38 Note que H = Z+ não é um subgrupo do grupo aditivo dos números
inteiros, embora 0 ∈ H. Portanto, e ∈ H é uma condição necessária mas não suficiente
para que H seja um subgrupo de G.
Proposição 1.39 Sejam G um grupo e {Hi}i∈I uma família indexada de subgrupos de
G. Então
K =
\
i∈I
Hi
é um subgrupo de G. Neste caso, K é o maior subgrupo de G contido em cada Hi.
Prova. É claro que e ∈ K, pois e ∈ Hi, para todo i ∈ I. Se a, b ∈ K, então a, b ∈ Hi,
para todo i ∈ I. Logo, ab−1 ∈ Hi, para todo i ∈ I. Assim, ab−1 ∈ K. Portanto, K é um
subgrupo de G. ¥
Sejam G um grupo e S um subconjunto de G. Seja F a família de todos os subgrupos
de G contendo S, isto é,
F = {K ≤ G : S ⊆ K}.
Como G ∈ F temos que F 6= ∅. Seja
H =
\
K∈F
K.
Então, pela Proposição 1.39, H é um subgrupo de G e S ⊆ H. Finalmente, seja L
qualquer subgrupo de G tal que S ⊆ L. Então L ∈ F e H ⊆ L. Portanto, H é o menor
subgrupo de G contendo S. O subgrupo H é chamado o subgrupo de G gerado por S e
será denotado por
H = hSi .
Neste caso, temos a existência de um menor subgrupo de G contendo S. Se S =
{a1, a2, . . . , an}, então
hSi = ha1, a2, . . . , ani .
Se existir um subconjunto finito {a1, a2, . . . , an} de G tal que
G = ha1, a2, . . . , ani ,
dizemos queG é um grupo finitamente gerado e {a1, a2, . . . , an} é um conjunto de geradores
de G. Em particular, se H e K são subgrupos de G, então o subgrupo hH ∪Ki = hH,Ki
será denotado por H ∨K e chamado de adjunção de H e K.
1.3. SUBGRUPOS 27
Proposição 1.40 SejamG um grupo e S um subconjunto não vazio qualquer de G. Então
hSi = {a1a2 · · · an : n ∈ N, ai ∈ S ou a−1i ∈ S}.
Em particular, se S = {a}, então
hSi = h{a}i = hai = {an : n ∈ Z}.
Prova. Seja
L = {a1a2 · · · am : m ∈ N, ai ∈ S ou a−1i ∈ S}
= {at11 at22 · · · atnn : n ∈ N, ai ∈ S e ti ∈ {−1, 1}}
= {at11 at22 · · · atnn : n ∈ N, ai ∈ S e ti ∈ Z}.
Então é claro que S ⊆ L e e ∈ L, pois e = aa−1, para todo a ∈ S. Se x, y ∈ L, então
existem m,n ∈ N tais que
x = a1a2 · · · am, ai ∈ S ou a−1i ∈ S,
e
y = b1b2 · · · bn, bj ∈ S ou b−1j ∈ S.
Logo,
xy−1 = a1a2 · · · amb−1n b−1n−1 · · · b−11 ,
¡
ai ∈ S ou a−1i ∈ S
¢
e
¡
bj ∈ S ou b−1j ∈ S
¢
.
Assim, xy−1 ∈ L. Portanto, L é um subgrupo de G. Finalmente, seja K qualquer
subgrupo de G tal que S ⊆ K. Então
a1a2 · · · an ∈ K, com n ∈ N, ai ∈ S ou a−1i ∈ S.
Logo, L ⊆ K. Portanto, L é o menor subgrupo de G contendo S. Assim, L ⊆ hSi. Como
S ⊆ L temos que hSi ⊆ L, isto é, L = hSi. ¥
Corolário 1.41 Sejam G um grupo e S = {Hi}i∈I uma família indexada de subgrupos
de G. Então
hSi =
*[
i∈I
Hi
+
= hHi : i ∈ Ii
= {h1h2 · · ·hn : n ∈ N e hj ∈ Hij , para algum ij ∈ I}.
Prova. Fica como um exercício. ¥
Sejam G um grupo e S um subconjunto não vazio qualquer de G. Uma expressão da
forma
at11 a
t2
2 · · · atnn , com n ∈ N, ai ∈ S e ti ∈ Z,
é chamada uma palavra nos elementos de S. Note que o elemento identidade de G pode
ser visto como a palavra a0, para todo a ∈ S.
28 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Observação 1.42 A Proposição 1.40 pode ser usada como um guia para determinar todos
os subgrupos de um grupo finito.
Exemplo 1.43 Determine todos os subgrupos de S3.
Solução. Sejam S3 = {I, σ, σ2, τ , στ , σ2τ}, com
I =
Ã
1 2 3
1 2 3
!
, σ =
Ã
1 2 3
2 3 1
!
, σ2 =
Ã
1 2 3
3 1 2
!
,
τ =
Ã
1 2 3
1 3 2
!
, στ =
Ã
1 2 3
2 1 3
!
, σ2τ =
Ã
1 2 3
3 2 1
!
e sua tabela de multiplicação (optativa)
◦ I σ σ2 τ στ σ2τ
I I σ σ2 τ στ σ2τ
σ σ σ2 I στ σ2τ τ
σ2 σ2 I σ σ2τ τ στ
τ τ σ2τ στ I σ2 σ
στ στ τ σ2τ σ I σ2
σ2τ σ2τ στ τ σ2 σ I
Vamos primeiro determinar todos os subgrupos de S3 contendo τ . O menor subgrupo de
S3 contendo τ é
hτi = {I, τ}, pois τ 2 = I.
Vamos escolher ϕ ∈ S3 e determinar hτ , ϕi. Se ϕ = στ , então hτ , στi contém
I, τ , στ , (στ) ◦ τ = σ, σ2τ e (σ2τ) ◦ τ = σ2.
Portanto, hτ , στi = S3. De modo inteiramente análogo, trabalha com ϕ = σ2τ , ϕ = σ e
ϕ = σ2. Assim, os únicos subgrupos de S3 contendo τ são hτi e S3. Continuando dessa
maneira, obtemos todos os subgrupos de S3. ¥
Exemplo 1.44 Seja p um número primo fixado. Determine todos os subgrupos do grupo
Z(p∞) =
½
a
pn
+ Z ∈ Q
Z
: a ∈ Z e n ∈ Z+
¾
=
½
a
pn
+ Z : a ∈ Z , 0 ≤ a < pn e n ∈ Z+
¾
.
Solução. É claro que
Cn =
¿
1
pn
+ Z
À
=
½
0,
1
pn
,
2
pn
, . . . .
pn − 1
pn
¾
, ∀ n ∈ N,
1.3. SUBGRUPOS 29
é um subgrupo próprio de Z(p∞) com |Cn| = pn. Note que Cn ⊆ Cn+1, para todo n ∈ Z+.
Reciprocamente, seja H um subgrupo próprio de Z(p∞). Vamos provar primeiro que
a
pm
+ Z ∈ H − {Z}, com mdc(a, p) = 1, ⇒ b
pn
+ Z ∈ H, ∀ b ∈ Z, com n ≤ m,
ou seja, ½
0,
1
pn
,
2
pn
, . . . .
pn − 1
pn
¾
⊆ H.
De fato, como mdc(a, p) = 1 temos que existem r, s ∈ Z tais que ar + spm = 1. Logo,
para todo b ∈ Z e n ≤ m, obtemos
b = b · 1 = abr + bspm ⇒ b
pn
= bpm−nr
a
pm
+ bspm−n.
Assim,
b
pn
+ Z = bpm−nr
µ
a
pm
+ Z
¶
∈ H.
Portanto, existe um menor inteiro k ∈ N (H 6= Z(p∞))tal que
H =
½
a
pm
+ Z : a ∈ Z e m ≤ k
¾
e H ⊆ Ck,
que é o resultado desejado. ¥
Sejam F um conjunto (uma família) parcialmente ordenado e C um subconjunto de
F . Dizemos que C é uma cadeia de F se dados A,B ∈ C, então A ≤ B ou B ≤ A. Um
elemento M ∈ F é chamado um elemento maximal de F se nenhum dos elementos de F
é estritamente maior do que M , em símbolos,
∀ A ∈ F , M ≤ A⇒M = A.
Ou, equivalentemente, não existe elemento A ∈ F com M < A. Um elemento A ∈ F é
chamado o maior elemento de F se
X ≤ A, ∀ X ∈ F .
Exemplo 1.45 Seja F = {A1, A2, A3, A4} ordenado pela inclusão, com A1 = {0, 1},
A2 = {1, 2}, A3 = {0, 2} e A4 = {0, 1, 2, 3}. Então A4 é o maior elemento de F. Agora,
seja G = {A1, A2, A3, A5}, com A5 = {1, 2, 3}. Então G não contém maior elemento, mas
A1, A3 e A5 são elementos maximais de G.
Exemplo 1.46 Qualquer conjunto parcialmente ordenado finito possui um elemento ma-
ximal.
30 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Solução. Seja F um conjunto finito. Escolhendo um elemento qualquer A1 de F . Se A1
é um elemento maximal, acabou. Caso contrário, escolhendo um elemento qualquer A2
de F , com A1 ⊆ A2. Continuando assim, obtemos uma cadeia de elementos de F ,
A1 ⊆ A2 ⊆ · · ·An ⊆ · · ·
Como F tem um número finito de elementos temos que essa cadeia para, digamos em Ak.
Portanto, Ak é um elemento maximal de F . ¥
Exemplo 1.47 Nem todo conjunto parcialmente ordenado possui um elemento maximal.
Solução. Sejam An = {0, 1, . . . , n}, para cada n ∈ Z+, e F = {An : n ∈ Z+}. Então
F não possui um elemento maximal. De fato, se M ∈ F , então existe n ∈ Z+ tal que
M = An e M ⊆ An+1, mas M 6= An+1. ¥
Lema 1.48 (Lema de Zorn) Seja F uma família de conjuntos parcialmente ordenado
pela inclusão. Suponhamos que para qualquer cadeia C em F, SA∈C A seja um elemento
de F. Então F possui pelo menos um elemento maximal.
Sejam G um grupo e M um subgrupo de G. Dizemos que M é um subgrupo maximal
de G se M 6= G e se K é um subgrupo de G tal que M ⊆ K ⊆ G, então M = K ou
K = G. Por exemplo, se G = {e, a, b, c}, com a2 = b2 = c2 = e, então M = {e, a} é um
subgrupo maximal de G.
Exemplo 1.49 Seja G um grupo finitamente gerado não trivial. Mostre que G possui
um subgrupo maximal.
Solução. Sejam
G = ha1, a2, . . . , ani
e F a família de todos os subgrupos H de G com H 6= G. Então F 6= ∅, pois {e} ∈ F .
Dados H,K ∈ F , definimos
H ¹ K ⇔ H ⊆ K.
Então ¹ é uma relação de ordem parcial sobre F (prove isto!). Seja C = {Hi : i ∈ I} uma
cadeia qualquer de F . Então
M =
[
i∈I
Hi
é um subgrupo de G. De fato, é claro que M 6= ∅, pois e ∈ Hi, para todo i ∈ I. Dados
a, b ∈ M , existem i, j ∈ I tais que a ∈ Hi e b ∈ Hj. Como C é uma cadeia temos que
Hi ⊆ Hj ou Hj ⊆ Hi, digamos Hi ⊆ Hj. Logo, a, b ∈ Hj e ab−1 ∈ Hj, pois Hi é um
subgrupo de G. Portanto, ab−1 ∈ M e M é um subgrupo de G. É claro que M é uma
cota superior de C.
Afirmação. M ∈ F .
1.3. SUBGRUPOS 31
De fato, se M = G, então ai ∈ M , i = 1, . . . , n. Logo, existem j1, . . . , jn ∈ I tais que
ai ∈ Hji, i = 1, . . . , n. Como C é uma cadeia temos que existe k ∈ I tal que
k ≥ sup{j1, . . . , jn}.
Logo, ai ∈ Hk, i = 1, . . . , n. Assim, Hk = G, o que é impossível. Finalmente, pelo Lema
de Zorn, M é um elemento maximal de F . Portanto, M é um subgrupo maximal de G.¥
EXERCÍCIOS
1. Sejam G um grupo e H um subconjunto não vazio e finito de G. Mostre que H é
um subgrupo de G se, somente se, ab ∈ H, para todos a, b ∈ H.
2. Sejam G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Para a, b ∈ G, definimos
a ∼ b⇔ a−1b ∈ H.
Mostre que ∼ é uma relação de equivalência sobre G se, e somente se, H é um
subgrupo de G.
3. Sejam G um grupo.
(a) Mostre, para um a ∈ G fixado, que as funções La : G → G definida por
La(x) = ax e Ra : G→ G definida por Ra(x) = xa−1 são bijetoras.
(b) Mostre que Lab = La ◦ Lb e Rab = Ra ◦Rb, para todos a, b ∈ G.
(c) Mostre que La ◦Rb = Rb ◦ La, para todos a, b ∈ G.
(d) Mostre que Gl = {La : a ∈ G} é um subgrupo de P (G).
(e) Mostre que Gr = {Ra : a ∈ G} é um subgrupo de P (G).
4. Sejam G = GLn(R),
H = {A = (aij) ∈ G : aij = 0 se i > j} e
L = {A = (aij) ∈ G : aij = 0 se i > j e aii = 1}.
Mostre que H e L são subgrupos de G.
5. Seja G um grupo qualquer.
(a) Mostre que
A
Ã[
i∈I
Bi
!
=
S
i∈I
ABi, ∀ A,Bi ⊆ G.
32 CAPÍTULO 1. GRUPOS
(b) Mostre que
A
Ã\
i∈I
Bi
!
⊆
\
i∈I
ABi, ∀ A,Bi ⊆ G.
6. Seja
H =
("
cosh a senh a
senh a cosh a
#
: a ∈ R
)
Mostre que H é um subgrupo de GL2(R), chamado de grupo de Lorentz .
7. Seja G um grupo. Mostre que CG(Z(G)) = G. Conclua que NG(Z(G)) = G.
8. Sejam G um grupo e S, T subconjuntos não vazios de G tais que S ⊆ T . Mostre
que CG(T ) ⊆ CG(S).
9. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G.
(a) Mostre que H é um subgrupo de NG(H). Mostre, com um exemplo, que isto
não é necessariamente verdade se H não é um subgrupo de G.
(b) Mostre que H é um subgrupo de CG(H) se, e somente se, H é um grupo
abeliano.
10. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e S subconjunto não vazio de G. Mostre
que
NH(S) = NG(S) ∩H.
Conclua que NH(S) é um subgrupo de H.
11. Sejam G um grupo e n ∈ N com n ≥ 2. Sejam
Hn = {a ∈ G : an = e} e Hn = {an : a ∈ G}.
Mostre que se G é um grupo abeliano, entãoHn e Hn são subgrupos de G. Mostre
que esta afirmação é falsa se G não é um grupo abeliano.
12. Sejam G um grupo qualquer e
H = {x1 · · ·xnxn · · ·x1 : com n ∈ N e xi ∈ G}.
Mostre que H é um subgrupo de G.
13. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Mostre que hHi = H.
14. Sejam G um grupo e S, T subconjuntos não vazios de G com S ⊆ T . Mostre que
hSi é um subgrupo de hT i. Mostre, com um exemplo, que hSi = hT i, com S ⊆ T e
S 6= T .
15. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Mostre que hH − {e}i = H.
1.3. SUBGRUPOS 33
16. Determine explicitamente os seguintes subgrupos de GL2(R)
H =
*"
1 0
1 1
#+
e K =
*"
1 1
0 1
#+
.
17. Sejam G um grupo e H, K subgrupos de G. Mostre que HK é um subgrupo de
G se, e somente se, HK = KH. Neste caso, HK = hH ∪ Ki. Mostre, com um
exemplo, que HK não é necessariamente um subgrupo de G. (Sugestão: Confira o
Exercício acima)
18. Sejam G um grupo e H, K, L subgrupos de G. Mostre que se H ⊆ L, então
(HK) ∩ L = H(K ∩ L).
Conclua que se G = HK, então L = H(K ∩ L).
19. Sejam G um grupo abeliano e H, K subgrupos de G. Mostre que
H ∨K = {ab : a ∈ H e b ∈ K}.
Estenda esse resultado para qualquer número finito de subgrupos de G.
20. Sejam G um grupo e H, K subgrupos de G. Mostre que H ∪K é um subgrupo de
G se, e somente se, H ⊆ K ou K ⊆ H.
21. Sejam G um grupo e {Hi}i∈I uma família indexada de subgrupos de G. Determine
condições necessárias e suficientes para que
K =
[
i∈I
Hi
seja um subgrupo de G. (Sugestão: Se G é um grupo ordenado pela inclusão, então
dados H e K subgrupos de G, existe um subgrupo L de G tal que H ⊆ L e K ⊆ L.)
22. Sejam G um grupo e F a família de todos os subgrupos de G. Dados H,K ∈ F ,
definimos
H ¹ K ⇔ H ⊆ K.
Mostre que ¹ é uma ordem parcial sobre F ,
supF =
*[
H∈F
H
+
e inf F =
\
H∈F
H,
isto é, F é um reticulado completo.
23. Sejam G um grupo e H, K subgrupos próprios de G. Mostre que existe a ∈ G tal
que a /∈ H ∪K.
34 CAPÍTULO 1. GRUPOS
24. Sejam G um grupo e H um subgrupo próprio de G. Mostre que hG−Hi = G.
25. Determine o grupo Q8 gerado pelas matrizes
A =
"
0 1
−1 0
#
e B =
"
i 0
0 −i
#
,
com i2 = −1. (Sugestão: Note que A4 = B4 = I2 e BA = A3B. Logo, qualquer
elemento de Q8 é da forma AmBn.)
26. Determine o grupo D4 gerado pelas matrizes
C =
"
0 1
−1 0
#
e D =
"
0 1
1 0
#
,
27. Sejam G um grupo e
H = {a ∈ G : a = a−1}.
Mostre que se G é grupo abeliano, então H é subgrupo de G. Determine um grupo
G tal que H não seja um subgrupo de G.
28. Sejam {Gi}i∈I uma família indexadade grupos e G =
Q
i∈I Gi o produto direto
externo dos Gi. Mostre que o conjuntoX
i∈I
Gi = {(ai)i∈I ∈ G : ai = eGi , para todos exceto um número finito de i ∈ I}
é um subgrupo de G, chamado a soma direta externa dos Gi.
29. Sejam G um grupo e σ : G→ S uma função arbitrária. Mostre que
H = {p ∈ G : σ(xp) = σ(x), para todo x ∈ G}
é um subgrupo de G.
30. Determine um conjunto S tão pequeno quanto possível tal que Z× Z = hSi.
31. Sejam G um grupo e a, b ∈ G. Mostre que CG(aba−1) = aCG(b)a−1.
32. Sejam G um grupo e a, b ∈ G.
(a) Mostre que ab e ba são conjugados.
(b) Mostre que se ab ∈ Z(G), então ab = ba.
33. Seja G um grupo.
(a) Mostre que a função κa : G → G definida por κa(x) = axa−1 é bijetora, para
todo a ∈ G.
1.4. GRUPOS CÍCLICOS 35
(b) Mostre que κab = κa ◦ κb, para todos a, b ∈ G.
34. Sejam G um grupo finito e S um subconjunto de G com mais da metade dos ele-
mentos de G. Mostre que cada a ∈ G pode ser escrito sob a forma a = st, com
s, t ∈ S. (Sugestão: Mostre que xS−1 ∩ S 6= ∅, para todo x ∈ G.)
35. Sejam G um grupo e H subgrupo de G. Mostre que G −H é finito se, e somente
se, G é finito ou G = H.
36. Sejam {Gi}i∈I uma família indexada de grupos e G =
Q
i∈I Gi o produto direto
externo dos Gi. Mostre que
Z(G) =
Y
i∈I
Z(Gi).
37. Seja S um conjunto não vazio qualquer. Mostre que o conjunto G = 2S de todos os
subconjuntos de S munido com a operação binária
A4B = (A−B) ∪ (B −A) = A ∪B − (A ∩B), ∀ A,B ∈ G,
é um grupo abeliano.
38. Mostre que o conjunto G = {(x, y) ∈ Q : x2 + y2 = 1} munido da operação binária
(x, y) ∗ (z, w) = (xz − yw, xw + yz)
é um subgrupo de R2. Mostre que se x, y ∈ [0, 1], com x < y, então existe r ∈ Q tal
que
x <
1− r2
1 + r2
< y.
39. Seja G um grupo não abeliano qualquer. Mostre que G contém um subgrupo
abeliano maximal. (Sugestão: Use o Lema de Zorn.)
1.4 Grupos Cíclicos
Seja G um grupo. Dizemos que G é grupo cíclico se existir a ∈ G tal que G = hai,
isto é,
G = {at11 · · · atnn : n ∈ N, ai ∈ {a} e ti ∈ {−1, 1}}
= {at1 · · · atn : n ∈ N e ti ∈ {−1, 1}}
= {a
Sn
i=1 ti : n ∈ N e ti ∈ {−1, 1}}
= {am : m ∈ Z}.
36 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Observação 1.50 Um grupo cíclico tem pelo menos dois geradores, a saber, a e a−1, pois
a−n = (a−1)n, ∀ n ∈ Z.
Além disso, G = hai é um grupo abeliano, pois se x, y ∈ G, então existem m,n ∈ Z tais
que x = am e y = an. Logo,
xy = aman = am+n = an+m = anam = yx.
Para finalizar, se a operação binária sobre G for denotada aditivamente, então
G = {ma : m ∈ Z}.
Exemplo 1.51 Mostre que o grupo aditivo dos números inteiros Z é cíclico.
Solução. É claro que
h1i = {n · 1 : n ∈ Z} ⊆ Z.
Dado n ∈ Z, temos, pela Lei da Tricotomia, que
n > 0 ou n = 0 ou n < 0.
Se n > 0, então
n = 1 + 1 + · · ·+ 1
n parcelas
= n · 1⇒ n ∈ h1i .
Se n = 0, então
n = 0 = 0 · 1 ∈ h1i .
Se n < 0, então m = −n > 0. Logo,
m = −n ∈ h1i⇒ n ∈ h1i .
Portanto,
Z ⊆ h1i = h−1i ,
isto é, Z é um grupo cíclico. ¥
Exemplo 1.52 Mostre que o grupo aditivo dos números racionais Q não é cíclico.
Solução. Suponhamos, por absurdo, que Q seja cíclico. Então existe r = mn ∈ Q∗ tal que
Q = hri. Como s = 1pn ∈ Q, com p um número primo, temos que existe k ∈ Z tal que
s = kr. Logo,
s = kr⇔ 1
pn
= k
m
n
⇔ p(km) = 1⇒ p | 1,
o que é uma contradição. Portanto, Q não é um grupo cíclico. ¥
Sejam G um grupo e a ∈ G. Definimos a ordem do elemento a como sendo a ordem
do subgrupo cíclico gerado por a de G e será denotada por |a| = |hai|.
1.4. GRUPOS CÍCLICOS 37
Proposição 1.53 Sejam G um grupo e a ∈ G. Se |a| é finita, então |a| é igual ao menor
inteiro positivo k tal que ak = e. Neste caso, o subgrupo gerado por a é
hai = {e, a, . . . , ak−1}.
Prova. Como
hai = {an : n ∈ Z}
é finito temos que existem m,n ∈ Z, com n > m, tais que am = an. Sendo a−m ∈ G,
obtemos
an−m = ana−m = ama−m = am−m = a0 = e.
Logo,
S = {n ∈ N : an = e} 6= ∅.
Assim, pelo Princípio da Boa Ordenação, S contém um menor elemento, digamos k ∈ S.
Donde ak = e.
Afirmação. Os elementos e, a, . . . , ak−1 são todos distintos.
De fato, se ar = as, com 0 ≤ r < s < k, então
as−r = asa−r = ara−r = a0 = e,
o que contradiz a minimalidade de k, pois 0 < s− r < k. É claro que
{e, a, . . . , ak−1} ⊆ hai .
Por outro lado, dado b ∈ hai, existe m ∈ Z tal que b = am. Assim, pelo Algoritmo da
Divisão, existem únicos q, r ∈ Z tais que
m = qk + r, com 0 ≤ r < k.
Logo,
b = am = aqk+r =
¡
ak
¢q ar = eqar = ar ∈ {e, a, . . . , ak−1}.
Portanto,
hai ⊆ {e, a, . . . , ak−1},
que é o resultado desejado. ¥
Proposição 1.54 Sejam G um grupo e a ∈ G. Se |a| é infinita, então an 6= e, para todo
n ∈ Z∗ e am 6= an, para todos m, n ∈ Z, comm 6= n. Em particular, os subgrupos próprios
de hai estão em corresponência biunívoca com os números 1, 2, . . ., pois ­ak® = ­a|k|®, para
todo k ∈ Z, e a função ϕ : N→ hai definida por ϕ(k) = ­ak® é bijetora.
Prova. Basta verificar que a função χ : Z −→ G definida por χ(n) = an é injetora. ¥
Teorema 1.55 Seja G um grupo cíclico. Então todo subgrupo de G é cíclico.
38 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Prova. Sejam G = hai e H um subgrupo de G. Se H = {e}, então H = hei. Se H 6= {e},
então existe m ∈ Z tal que am ∈ H e a−m ∈ H, pois H é um subgrupo de G. Logo,
S = {n ∈ N : an ∈ H} 6= ∅.
Assim, pelo Princípio da Boa Ordenação, S contém um menor elemento, digamos k ∈ S.
Donde ak ∈ H.
Afirmação. H =
­
ak
®
.
De fato, é claro que
­
ak
®
⊆ H, pois H é um subgrupo de G. Por outro lado, dado b ∈ H,
existe m ∈ Z tal que b = am. Logo, pelo Algoritmo da Divisão, existem únicos q, r ∈ Z
tais que
m = qk + r, com 0 ≤ r < k.
Se r > 0, então
ar = am−qk = ama−qk = am
¡
ak
¢−q
= b
¡
ak
¢−q ∈ H,
o que contradiz a minimalidade de k. Assim, r = 0 e
b = am = akq =
¡
ak
¢q ∈ ­ak® .
Portanto, H ⊆
­
ak
®
. ¥
Observação 1.56 Note que se G = hai e H é um subgrupo de G com H 6= {e}, então
H =
­
ak
®
, com k o menor inteiro positivo tal que ak ∈ H.
Exemplo 1.57 Determine todos os subgrupos do grupo G = Z2 = Z × Z. Conclua que
G contém subgrupos diferentes de mZ× nZ.
Solução. Seja H um subgrupo qualquer de G. Então
K = {a ∈ Z : (a, b) ∈ H, para algum b ∈ Z} e L = {b ∈ Z : (0, b) ∈ H}
são subgrupos cíclicos de Z (prove isto!). Logo, existem a0, b1 ∈ Z tais que
K = ha0i e L = hb1i .
Assim, pela definição de K, podemos encontrar b0 ∈ Z tal que x0 = (a0, b0) ∈ H.
Afirmação. H = hx0, x1i, com x1 = (0, b1) ∈ H.
De fato, dado x = (a, b) ∈ H, então a ∈ K, de modo que a = ma0, para algum m ∈ Z.
Assim,
x−mx0 = (0, b−mb0) ∈ H ⇒ b−mb0 ∈ L.
Logo, b−mb0 = nb1, para algum n ∈ Z. Portanto,
x = (a, b) = (ma0,mb0 + nb1) = mx0 + nx1,
isto é, H = hx0, x1i. ¥
1.4. GRUPOS CÍCLICOS 39
Proposição 1.58 Seja G um grupo. Então:
1. Se a ∈ G tem ordem finita m > 0, então an = e se, e somente se, m divide n.
2. Se G = hai é um grupo cíclico de ordem finita m > 0, então G = ­ak® se, e somente
se, mdc(m, k) = 1.
3. Se G = hai é um grupo cíclico de ordem finita m > 0, então para cada d ∈ N tal
que d divide m existe um único subgrupo H de G com ordem d. Neste caso,
H =
­
ak
®
,
com m = dk. Em particular, o número de subgrupos distintos de G é igual ao
número de divisores distintos de m, pois hani = ­amdc(m,n)®, para todo n ∈ Z, e
a função ϕ : D(m) → Sub(G) definida por ϕ(d) =
­
ak
®
é bijetora, com D(m)
o conjunto de todos os divisores positivos de m e Sub(G) o conjunto de todos os
subgrupos de G.
Prova. Vamos provar apenas os itens (2) e (3). (2) Suponhamos que G =
­
ak
®
. Como
a ∈ G temos que existe r ∈ Z tal que a = (ak)r = akr. Logo,
akr−1 = akra−1 = aa−1 = e.
Assim, pelo item (1), kr − 1 = sm, para algum s ∈ Z. Portanto,
kr + (−s)m = 1,
isto é, mdc(m, k) = 1. Reciprocamente, suponhamos que mdc(m, k) = 1. Então existem
r, s ∈ Z tais que
kr + sm = 1.Logo,
a = a1 = akr+sm = akrasm = (ak)r(am)s = (ak)r ∈
­
ak
®
.
Portanto, G ⊆
­
ak
®
, ou seja, G =
­
ak
®
.
(3) Se m = kd, então H =
­
ak
®
tem ordem d = mk . De fato, seja l = |H|. Então
akl =
¡
ak
¢l
= e⇒ m | kl⇒ kd | kl⇒ d | l⇒ d ≤ l.
Por outro lado,
e = am = akd =
¡
ak
¢d ⇒ l | d⇒ l ≤ d.
Portanto, l = d. Finalmente, seja K um subgrupo qualquer de G de ordem d. Então,
pelo Teorema 1.55, K = hani, para algum n ∈ Z. Logo,
e = (an)d = and ⇒ m | nd⇒ kd | nd⇒ k | n.
Assim, existe r ∈ Z tal que n = rk. Portanto,
an = ark =
¡
ak
¢r ∈ H,
isto é, K ⊆ H. Como |H| = |K| e K ⊆ H temos que H = K. ¥
40 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Exemplo 1.59 Sejam G um grupo abeliano e a, b ∈ G com ordens m e n, respectiva-
mente.
1. Mostre que existe um elemento de ordem k = mmc(m,n).
2. Mostre que se a ordem maximal dos elementos de G é igual a N , então aN = e,
para todo a ∈ G.
Solução. (1) Vamos dividir a prova em dois casos:
1.o Caso. mdc(m,n) = 1 e k = mn. Sejam c = ab e |c| = l. Então
cl = (ab)l = albl = e⇒ al = b−l.
Logo,
aln = (al)n = (b−l)n = (bn)−l = e−l = e⇒ m | nl.
Assim, pelo Lema de Euclides, m divide l. De modo inteiramente análogo prova-se que n
divide l. Portanto, k divide l, isto é, k ≤ l. Por outro lado, como
ck = (ab)k = akbk = (am)n(bn)m = enem = e
temos que l divide k, isto é, l ≤ k. Portanto, k = l e |c| = k.
2.o Caso. mdc(m,n) > 1. Seja {p1, . . . , pr} o conjunto de números primos ocorrendo
na decomposição de m e n, respectivamente. Então
m = pm11 · · · pmrr e n = pn11 · · · pnrr , com mi, ni ∈ Z+.
Logo,
k = pk11 · · · pkrr ,
com ki = max{mi, ni}, i = 1, . . . , r. Sejam d = pd11 · · · pdrr e e = pe11 · · · perr , com
di =
(
mi, se mi ≤ ni
0, se mi > ni
e ei =
(
0, se mi ≤ ni
ni, se mi > ni.
Então d divide m e e divide n. Logo, ad e be têm ordens md e
n
e , respectivamente (prove
isto!). Como (mi− di = 0 ou ni− ei = 0) e (md e
n
e ) não têm fatores primos comum temos
que
mdc(
m
d
,
n
e
) = 1.
Logo, pelo primeiro caso, c = adbe tem ordem
m
d
n
e
=
mn
de
= mmc(m,n) = k,
pois
ki = max{mi, ni} = (mi + ni)− (di + ei).
Portanto, em qualquer caso, G contém um elemento de ordem k = mmc(m,n).
1.4. GRUPOS CÍCLICOS 41
(2) Seja a um elemento de G com |a| = N . Para um b ∈ G fixado, com |b| = k, obte-
mos, pelo item (1), um elemento de ordem mmc(k,N) ≥ N . Assim, pela maximalidade
de N , temos que N = mmc(k,N). Como k divide N temos que existe r ∈ Z tal que
N = kr. Logo,
bN = bkr = (bk)r = er = e.
Portanto, cN = e, para todo c ∈ G. ¥
EXERCÍCIOS
1. Mostre que todo subgrupo H do grupo aditivo dos números inteiros Z é da forma
H = nZ = {na : a ∈ Z} = hni ,
para algum n ∈ Z+. Conclua que a função ϕ : Z+ → Sub(Z) definida por ϕ(n) = hni
é bijetora, com Sub(Z) o conjunto de todos os subgrupos de Z.
2. Mostre que Zn é um grupo cíclico, para todo n ∈ N.
3. Determine todos os subgrupos de Z45.
4. Sejam G um grupo e a ∈ G de ordem finita m > 0.
(a) Mostre que ar = as se, e somente se, r ≡ s (modm).
(b) Mostre que
¯¯
ak
¯¯
= mk , para cada k ∈ N tal que k divide m.
(c) Mostre que ak e a−k têm ordem
m
mdc(k,m)
=
mmc(k,m)
k
.
5. Seja G um grupo. Mostre que G não possui subgrupos próprios se, e somente se, G
é um grupo cíclico finito de ordem um número primo p.
6. Sejam G um grupo finito e a ∈ G. Mostre que se |a| = |G|, então G é um grupo
cíclico. Mostre, com um exemplo, que o resultado não é necessariamente verdade se
G é um grupo infinito.
7. Seja G um grupo abeliano de ordem pq, com mdc(p, q) = 1. Mostre que se existem
a, b ∈ G tais que |a| = p e |b| = q, então G é um grupo cíclico.
8. Seja G um grupo abeliano. Mostre que se G é gerado por um número finito de
elementos de ordem finita, então G é finito.
42 CAPÍTULO 1. GRUPOS
9. Seja G um grupo. Mostre que se G possui somente um número finito de subgrupos,
então G é finito.
10. Sejam m,n ∈ Z∗ e H = {rm + ns : r, s ∈ Z}. Mostre que H é um subgrupo do
grupo aditivo dos números inteiros Z. Conclua que existe um menor inteiro positivo
d tal que H = hdi e d = mdc(m,n).
11. Sejam G um grupo finito e a um elemento de G de ordem n. Mostre que se n é um
número ímpar, então a = (a2)k, para algum k ∈ Z.
12. Sejam G, H grupos e x = (a, e), y = (e, b) ∈ G × H. Mostre que xy = yx e que
|(a, b)| = mmc(|a| , |b|).
13. Seja m,n ∈ Z∗.
(a) Mostre que m divide n se, e somente se, hni = nZ ⊆ mZ = hmi.
(b) Mostre que m divide n se, e somente se, Zm ⊆ Zn.
14. Sejam G um grupo e a, b ∈ G fixados.
(a) Mostre que |b| = |aba−1|.
(b) Mostre que |ab| = |ba|.
(c) Mostre que se |a| = m, então ¯¯ak ¯¯ = ¯¯am−k ¯¯, para todo k ∈ Z.
(d) Mostre que se |a| = 5 e a3b = ba3, então ab = ba.
15. Sejam G um grupo e k ∈ N com k > 1. Mostre que se a ∈ G é o único elemento tal
que |a| = k, então a ∈ Z(G) e k = 2.
16. Sejam G um grupo e a, b, c ∈ G fixados.
(a) Mostre que ab2a−1 = ba, então a = b.
(b) Mostre que se |a| = 2 e ab2a−1 = b3, então |b| = 5.
(c) Mostre que se |a| = 5 e aba−1 = b2, então |b| = 31.
(d) Mostre que se ab2a−1 = b3 e ba2b−1 = a3, então a = e = b.
(e) Mostre que se a−1ba = b2, b−1cb = c2 e c−1ac = a2, então a = b = c = e.
(Sugestão: (d) Mostre que b9 = a2b4a−2 e b9 = a3b4a−3.)
17. Sejam G um grupo e a, b ∈ G fixados. Mostre que se |a| = m, |b| = n e ab = ba,
então pode ocorrer que |ab| < mmc(m,n). (Sugestão: Escolha a 6= e e b = a−2.)
1.4. GRUPOS CÍCLICOS 43
18. Seja G um grupo. Mostre que se existe n ∈ N tal que anbn = bnan, para todos
a, b ∈ G, então o conjunto
H = {b ∈ G : mdc(|b| , n) = 1}
é um subgrupo abeliano de G.
19. Sejam G = GL2(R) e
A =
"
1 0
0 −1
#
, B =
"
1 1
0 −1
#
, C =
"
0 −1
1 0
#
, D =
"
0 1
−1 −1
#
∈ G.
Calcule |A|, |B|, |C|, |D|, |AB| e |CD|.
20. Sejam G = Z2 × Z e a = (0, 1), b = (1,−1) ∈ G. Determine |a|, |b| e |ab|.
21. Sejam G = GL2(R) e
A =
"
0 1
1 0
#
,B =
"
0 2
1
2
0
#
∈ G.
Calcule |A|, |B| e |AB|. Conclua que hA,Bi é um grupo infinito.
22. Seja G um grupo abeliano. Mostre que o conjunto T (G) = {a ∈ G : |a| <∞} é um
subgrupo de G, chamado o subgrupo de torção de G. Mostre, com um exemplo, que
o resultado não é necessariamente verdade se G não é um grupo abeliano.
23. Mostre que os seguintes grupos não são cíclicos:
(a) G = Z2 × Z2.
(b) G = Z2 × Z.
(c) G = Z× Z.
24. Sejam G um grupo, p ∈ N um número primo e n ∈ Z+. Mostre que se a ∈ G é tal
que apn = e, então |a| = pm, para algum m ≤ n.
25. Sejam p, n ∈ N com p um número primo ímpar. Use o Teorema Binomial para
provar que
(1 + p)p
n−1 ≡ 1 (mod pn) mas (1 + p)pn−2 6≡ 1 (mod pn).
Conclua que |(1 + p)| = pn−1 no grupo multiplicativo Z•pn.
26. Seja n ∈ N com n ≥ 3. Use o Teorema Binomial para provar que
(1 + 22)2
n−2 ≡ 1 (mod 2n) mas (1 + 22)pn−3 6≡ 1 (mod 2n).
Conclua que |5| = 2n−2 no grupo multiplicativo Z•2n.
44 CAPÍTULO 1. GRUPOS
27. Seja n ∈ N com n ≥ 3. Mostre que o grupo multiplicativo Z•2n não é um grupo
cíclico. (Sugestão: Mostre que Z•2n contém dois subgrupos distintos de ordem 2.)
28. Seja G um grupo finito de ordem n. Mostre que se mdc(k, n) = 1, então a função
ϕ : G→ G definida por ϕ(a) = ak é bijetora. Mostre, com um exemplo, que ϕ não
é necessariamente bijetora se mdc(k, n) 6= 1.
29. Sejam G um grupo e a ∈ G.
(a) Mostre que CG(hai) = CG(a).
(b) Mostre que hai é um subgrupo de NG(hai).
Mostre, com um exemplo, que hai não é necessariamente igual a NG(hai).
30. Sejam G um grupo finito e a ∈ G.
(a) Mostre que se b ∈ NG(hai), então bab−1 = am, para algum m ∈ Z.
(b) Mostre que se bab−1 = am, para algum m ∈ Z, então b ∈ NG(hai).
(Sugestão: (b) Como bakb−1 = (bab−1)k = amk, para todo k ∈ Z, temos que bhaib−1
é um subgrupo de hai. Agora, mostre que se |a| = n, então e, bab−1, . . . , ban−1b−1
são todos distintos.)
31. SejamG um grupo e H um subgrupo de G. Mostre que o conjunto
Qua(H) = {a ∈ G : Ka = K, para todo subgrupo K de H}
é um subgrupo do NG(H), chamado o quasicentralizador de H em G. Conclua que
se G é um grupo finito, então
Qua(H) = {a ∈ G : ha = hn, ∀ h ∈ H e para algum n ∈ Z}.
32. Sejam G um grupo cíclico finito de ordem n e k ∈ Z tal que mdc(k, n) = 1. Mostre
que se a, b ∈ G e ak = bk, então a = b. Mostre, com um exemplo, que existem um
m ∈ Z e um grupo tais que am = bm, mas a 6= b.
33. Sejam G um grupo e H, K subgrupos de G com K = aHa−1, para todo a ∈ G.
Mostre que se L é um subgrupo cíclico de G tal que H,K ⊆ L, então H = K.
34. Sejam G um grupo e {Hi}i∈N uma família de subgrupos de G tais que Hn ⊂ Hn+1,
para todo n ∈ N. Mostre que
H =
[
n∈N
Hn
não é um grupo cíclico.
1.4. GRUPOS CÍCLICOS 45
35. Mostre que o grupo aditivo dos números racionais Q possui subgrupos não cíclicos.
(Sugestão: Considere o subgrupo H = hSi, com
S =
½
1
2n
: n ∈ N
¾
.
Então
H =
[
n∈Z+
Hn e Hn =
¿
1
2n
À
.)
36. Determine todos os subgrupos do grupo aditivo dos números racionais Q (Muito
difícil).
37. Mostre que o grupo multiplicativo dos números racionais Q∗ é gerado pelo conjunto
S =
½
1
p
: p é um número primo
¾
.
38. Mostre que cada subgrupo finitamente gerado do grupo aditivo dos números racionais
Q é um grupo cíclico.
39. (Existência de grupos finitos de qualquer ordem) Sejam n ∈ N fixado e
Un = {z ∈ C∗ : zn = 1}.
(a) Mostre que Un é um subgrupo cíclico de C∗.
(b) Mostre que se m divide n, então Um é um subgrupo de Un.
(c) Seja U o grupo de todas as raízes da unidade em C, isto é,
U = {z ∈ C∗ : zn = 1, para algum n ∈ Z+}.
Mostre que
U =
[
n∈Z+
Un.
40. Sejam p um número primo,
Z = {z ∈ C∗ : zpn = 1, para algum n ∈ Z+} e Ck = {z ∈ Z : zpk = 1}, ∀ k ∈ Z+.
(a) Mostre que Ck é um subgrupo de Cm se, e somente se, k ≤ m.
(b) Mostre que Ck é um subgrupo cíclico de Z e
C0 = {1} ≤ C1 ≤ C2 ≤ · · · ≤ Cn ≤ · · · .
(c) Mostre que cada subgrupo próprio de Z é igual a Ck, para algum k ∈ Z+.
46 CAPÍTULO 1. GRUPOS
(d) Mostre que
Z =
[
n∈Z+
Cn
e que Z não é um grupo finitamente gerado.
41. Sejam p um número primo fixado e H um subgrupo de Z(p∞).
(a) Mostre que Z(p∞) é gerado pelo conjunto
S =
½
1
pn
=
1
pn
+ Z : n ∈ N
¾
.
(b) Mostre que todo elemento de Z(p∞) tem ordem finita pk, para algum k ∈ Z+.
(c) Mostre que se pelo menos um elemento deH tem ordem pm e nenhum elemento
de H tem ordem maior do que pm, então H é igual ao subgrupo cíclico gerado
pela classe de equivalência
1
pm
=
1
pm
+ Z.
(d) Mostre que se não existir cota superior nas ordens dos elementos de H, então
H = Z(p∞).
(e) Mostre que os únicos subgrupos próprios de Z(p∞) são os subgrupos cíclicos
finito
Cn =
¿
1
pn
À
, ∀ n ∈ N.
Conclua que
C0 = {0} ≤ C1 ≤ C2 ≤ · · · ≤ Cn ≤ · · · e Z(p∞) =
[
n∈Z+
Cn.
42. Mostre que o grupo aditivo dos números racionais Q é a união de uma sequência
crescente de grupos cíclicos infinto. (Sugestão: Considere os subgrupos
Cn =
¿
1
n!
À
, ∀ n ∈ N.)
Conclua que Q não é cíclico.
43. Seja G um grupo abeliano. Dizemos que G é um grupo divisível se para cada a ∈ G
e cada n ∈ Z∗ existir x ∈ G tal que xn = a, isto é, a função ϕ : G→ G definida por
ϕ(x) = xn é sobrejetora, para cada n ∈ Z∗.
(a) Mostre que o grupo aditivo dos números racionais Q é um grupo divisível.
(b) Mostre que nenhum grupo abeliano não trivial finito é um grupo divisível.
(c) Mostre que Z(p∞) é um grupo divisível.
1.5. GRUPOS DIEDRAIS E ALTERNADOS 47
44. Seja G um grupo abeliano. Mostre que G é um grupo divisível tal que todo elemento
de G∗ tenha ordem infinita (livre de torção) se, e somente se, G é um espaço vetorial
sobre Q.
45. Sejam G e K grupos abelianos não triviais. Mostre que G×K é um grupo divisível
se, e somente se, G e K também o são.
46. Mostre que o grupo aditivo dos números racionais Q não possui subgrupos próprios
divisíveis.
1.5 Grupos Diedrais e Alternados
Sejam A = (x1, . . . , xn), B = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. A distância (Euclidiana) entre A e B
é dada por
d(A,B) = kA−Bk =
p
(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2.
Uma isometria de Rn é uma função σ : Rn −→ Rn que preserva distância e é bijetora,
isto é,
kσ(A)− σ(B)k = kA−Bk , ∀ A,B ∈ Rn e σ(Rn) = Rn.
Vamos denotar o conjunto de todas as isometrias de Rn por Isom(Rn).
Proposição 1.60 Isom(Rn) é um subgrupo de P (Rn), o grupo de permutações de Rn,
chamado o grupo Euclidiano de Rn.
Prova. É claro que I ∈ Isom(Rn). Sejam σ, τ ∈ Isom(Rn). Então σ ◦ τ ∈ P (Rn) e
k(σ ◦ τ)(A)− (σ ◦ τ)(B)k = kσ(τ(A))− σ(τ(B))k
= kτ(A)− τ(B)k = kA−Bk , ∀ A,B ∈ Rn.
Assim, σ ◦ τ ∈ Isom(Rn). Finalmente, se σ ∈ Isom(Rn), então σ−1 ∈ P (Rn). Assim,°°σ−1(A)− σ−1(B)°° = °°σ(σ−1(A))− σ(σ−1(B))°° = kA−Bk , ∀ A,B ∈ Rn.
Logo, σ−1 ∈ Isom(Rn). Portanto, Isom(Rn) é um subgrupo de P (Rn). ¥
Exemplo 1.61 Seja G = Isom(R).
1. Mostre que se σ, τ ∈ G, com σ(a) = τ(a) e σ(b) = τ(b), para todos a, b ∈ R distintos,
então σ = τ , ou seja, se σ fixas dois pontos distintos, então σ = I.
2. Mostre que
G = {σ : R→ R : σ(x) = mx+ b, m ∈ {−1, 1} e b = σ(0)} .
Em particular, G = hr, ti, com r(x) = −x uma reflexão na origem e t(x) = x + b
uma translação.
48 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Solução. (1) Seja c um elemento qualquer de R. Então
|c− a| = |τ(c)− τ(a)| = |τ(c)− σ(a)| = ¯¯σ−1τ(c)− a¯¯ .
Logo,
σ−1τ(c)− a = ±(c− a).
Suponhamos, por absurdo, que σ−1τ(c) 6= c. Se σ−1τ(c)− a = c− a, então σ−1τ(c) = c,
o que é uma contradição. Assim, σ−1τ(c) − a = −c + a, isto é, σ−1τ(c) = −c + 2a. De
modo inteiramente análogo, obtemos σ−1τ(c) = −c+ 2b. Logo, 2a = 2b, ou seja, a = b, o
que é uma contradição. Portanto, σ−1τ(c) = c e σ−1τ = I, pois c é arbitrário. Portanto,
σ = τ .
(2) É claro que a função σ : R → R definida por σ(x) = mx + b, com m ∈ {−1, 1} e
b = σ(0), é uma isometria de R. Portanto,
{σ : R→ R : σ(x) = mx+ b, m ∈ {−1, 1} e b = σ(0)} ⊆ G.
Por outro lado, seja σ ∈ G e suponhamos que σ(0) = b. Então
1 = |1− 0| = |σ(1)− σ(0)| = |σ(1)− b| .
Logo, σ(1) = b± 1. Assim, há dois casos a ser considerado:
1.o Caso. Se σ(1) = b + 1. Seja τ : R → R definida por τ(x) = x + b. Então τ ∈ G.
Logo, σ(0) = τ(0) e σ(1) = τ(1). Assim, pelo item (1), σ = τ
2.o Caso. Se σ(1) = b− 1. Seja τ : R→ R definida por τ(x) = −x+ b. Então τ ∈ G.
Logo, σ(0) = τ(0) e σ(1) = τ(1). Assim, pelo item (1), σ = τ .
Portanto, em qualquer caso, σ(x) = mx+ b, com m ∈ {−1, 1} e b = σ(0). ¥
Exemplo 1.62 Seja G = Isom(R2).
1. Mostre que se σ ∈ G fixa dois pontos distintos A e B em R2, então σ fixa todo os
pontos da reta suporte de A e B, isto é, σ = I ou σ é uma reflexão.
2. Mostre que se σ ∈ G fixa três pontos não colineares A, B e C em R2, então σ = I
é a identidade.
3. Mostre que existe no máximo um elemento σ ∈ G tal que σ(A) = A0, σ(B) = B0 e
σ(C) = C 0, com ABC e A0B0C 0 triângulos congruentes em R2.
4. Mostre que cada elemento de G pode ser escrito como a composição de uma reflexão,
uma rotação e uma translação.
Solução. (1) Seja P um ponto qualquer de R2. Então
kA− Pk = kA− σ(P )k e kB − Pk = kB − σ(P )k .
1.5. GRUPOS DIEDRAIS E ALTERNADOS 49
Logo, σ(P ) = P ou (τ ◦ σ)(P ) = P , com τ uma reflexão com eixo a reta suporte de A e
B. Portanto, σ = I ou σ = τ .
(2) Se σ ∈ G fixa três pontos não colineares A, B e C em R2, então pelo item (1) σ
fixa a reta suporte de A e B. Logo, σ é a identidade I ou σ é uma reflexão τ com eixo a
reta suporte de A e B. Como τ(C) 6= C temos que σ = I.
(3) Primeiro observe que se A e B são pontos quaisquer em R2, então existe t ∈ G
tal que t(A) = B. De fato, sejam t−A e tB translações em R2. Então t = tB ◦ t−A tem a
propriedade desejada, pois
t(A) = (tB ◦ t−A)(A) = tB(O) = B.
Como
kA0 −B0k = kA−Bk = kt(A)− t(B)k = kA0 − t(B)k
temos que B0 e t(B)