Matrizes_2012-1M

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Matrizes
Álgebra Linear II
Prof. Mário Jorge
2012-1
Ana Carolina Ferreira
Bruno Justen
Gabriel Ribeiro
Karine Chevalier
Luiz Felipe Rodrigues
Uma matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas.
Cada elemento da matriz é indicado por dois índices:
 
 aij j indica coluna
 i indica linha
Definição
Formando assim, um conjunto m x n (m por n) de elementos dispostos em m linhas e n colunas, onde aij é o elemento associado à i-ésima linha e j-ésima coluna.
Definição
Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas, como nos exemplos:
Abreviadamente, uma matriz A, por exemplo, pode ser representada assim: A = (aij)mxn
Representação
Matriz Identidade
Matriz Nula
Matriz Escalar
Matriz Quadrada
Matriz Transposta
Matriz Simétrica
Matriz Anti-simétrica
Matriz Triangular
Matriz Inversa
Tipos de matrizes
Matriz identidade ou matriz unidade é toda matriz quadrada de ordem n, na qual aij=0 para i ≠ j e aij = 1 para i = j (elementos da diagonal principal).
Indica-se a matriz identidade de ordem n por In.
Matriz Identidade
Uma matriz nula é qualquer matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero.
Matriz Nula
Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual m = n cujo elemento Ai,j = 0 se i for diferente de j e Ai,j= X. Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
 Exemplo:
Matriz Escalar
Uma matriz m x n é dita quadrada quando o número de linhas dessa matriz é igual ao número de colunas. Como m = n, dizemos que a matriz é do tipo n x n ou que é quadrada de ordem n.
Matriz Quadrada
Dada uma matriz A do tipo m x n, denomina-se transposta de A (indicada At) a matriz do tipo n x m obtida trocando-se ordenadamente as linhas de A pelas colunas de A.
 1 2
 A = -3 5 , então sua transposta é At = 1 -3 7
 7 0 2 5 0
Matriz transposta
Uma matriz quadrada A de ordem n denomina-se matriz simétrica, quando A = At.
Matriz Simétrica
Uma matriz denomina-se anti-simétrica se sua transposta é igual à sua oposta (At = -A).
 0 -1 5 0 1 -5
 A = 1 0 -3 At =-A= -1 0 3
 -5 3 0 5 -3 0
 
 
Matriz Anti-simétrica
Uma matriz denomina-se triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são zero. Dividindo-se em:
matriz triangular superior : é aquela em que os elementos abaixo da diagonal são zero.
uma matriz triangular inferior é aquela em que os elementos acima da diagonal são zero.
 Superior Inferior 
 
Matriz Triangular
Uma matriz quadrada A é dita inversível quando existe outra matriz denotada A-1 tal que: 
 A-1.A =I
 Onde I é a matriz identidade e A-1 é a matriz inversa de A.
Exemplo de inversão de matrizes: O método tradicional de procura da inversa consiste em associar variáveis arbitrárias aos elementos de uma matriz e aplicar a definição já citada.
Matriz Inversa
 Se queremos descobrir a inversa da matriz de dimensões 2 x 2 representada abaixo, atribuímos variáveis aos elementos de A-1 e resolvemos o sistema:
A = 2 4 fazendo A-1 = a b temos:
 1 5 c d
 A-1 = I 2 4 a b = 1 0 
 1 5 . c d 0 1 
 2a+4c 2b+4d = 1 0
 a+5c b+5d 0 1
Temos os sistemas:
2a+4c = 1 a = 5/6 e c = -1/6
a+5c = 0 
2b+4d = 0 b = -2/3 e d = 1/3 
b+5d = 1 
Portanto, A-1 = 5/6 -2/3
 -1/6 1/3 
Operações com Matrizes
 Adição de Matrizes
 Subtração de Matrizes
 Multiplicação por Escalar
 Multiplicação de Matrizes
	Para se somar duas ou mais matrizes, todas as matrizes envolvidas na operação devem ser de mesma ordem, resultando em uma matriz de mesmas dimensões, onde cada elemento (i x j) da matriz resultante é a soma dos elementos (i x j) das matrizes somadas.
Adição de Matrizes
Adição de Matrizes
Errado
 Certo
A
A + B =C
B
Exemplos:
19
 Propriedade Comutativa:
A + B = B + A
Propriedade Associativa:
(A + B) + C = A + (B + C)
Propriedade do Elemento Neutro:
A + 0 = 0 + A = A
Propriedade do Elemento Oposto:
A + (-A) = 0
Propriedades da Adição de Matrizes
	A subtração de matrizes é um caso particular da soma. Subtrair duas matrizes é o mesmo que somar a primeira pela oposta da segunda: A + (-B) = D. Dadas duas matrizes de mesma ordem, a matriz A – B é a matriz D de mesma dimensão, onde cada elemento (i x j) da matriz resultante é a subtração dos elementos (i x j) das matrizes A e B.
Subtração de Matrizes
Exemplos:
Subtração de Matrizes
-
=
	Multiplicando-se uma matriz por um número real (K), resulta em uma matriz onde cada elemento (i x j) da matriz resultado é equivalente a multiplicação de cada elemento (i x j) da matriz original pelo número real (K).
	B = K.A,	 bij= K.Aij para todo i e j.
Multiplicação por Escalar
Exemplo:
Multiplicação pelo escalar 1:
A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, logo
1.A = A
 
Multiplicação pelo escalar 0:
A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, logo
0.A = 0
Propriedades de Multiplicação por Escalar
 Distributividade das matrizes:
Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se que
K.(A+B) = K.A + K.B
 Distributividade de escalares:
Para quaisquer matrizes A e para qualquer escalares x e y, tem-se que
(X+Y).A = X.A + Y.A
Propriedades de Multiplicação por Escalar
	Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B, a matriz C do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:
	
	
 Em outras palavras,cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. 
Multiplicação de Matrizes
Veja:
Multiplicação de Matrizes
O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim: 
 Propriedade Comutativa:
Nem sempre vale a comutatividade
Em geral, A X B é diferente de B X A
 Distributividade da soma à direita
A.(B+C) = A.B + A.C 
 Distributividade da soma à esquerda
(A+B).C = A.C + B.C
 Propriedade Associativa:
A.(B.C) = (A.B).C
Propriedades da Multiplicação de Matrizes
Aplicações de Matrizes
A Utilidade das Matrizes
 Cadeias de Markov:
	Os registros meteorológicos de uma localidade especifica pode ser usados para estimar a probabilidade de que vá chover em um certo dia a partir da informação de que choveu ou não no dia anterior.
Animações de Cinema
	Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. Os softwares codificam informações como posição, movimento, cor e textura de cada pixel.
Computação:
	As matrizes são muito importantes na computação para representarmos translação, rotação, escala de objetos em computação gráfica, para resolver sistemas de equações, etc.
Aplicações
Outras aplicações são:
 Administração de Florestas e Plantações
 Automóveis
 Circuitos Elétricos
 Crescimento Populacional
por Faixa Etária
 Criptografia
 Economia
 Genética
 Meteorologia
 Programação Linear Geométrica
 Nanotecnologia, etc.
Aplicações
1)
É simétrica?
 
Exercícios
2)
3)