Matrizes.EB1.2010-2

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Professor: Mario Jorge Ferreira de Oliveira
Turma: EB1
Grupo: Anna Luiza Tepedino
 Bernardo Kahn
	 Joice Carrara
	 Priscilla Souza
	 Rafaella Moritz
	 Tayanne Ligeiro	
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		Os primórdios do conhecimento atual sobre matrizes foram introduzidos pelo povo Babilônio em 300 A.C. Um importante artigo chinês datado de 300 A.C e 200 A.C “The nine chapters on the mathematical art” (de Jiu Zhang Suan Shu) marca o primeiro exemplo da utilização de métodos matriciais para resolver equações simultâneas (lineares).
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		As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela, com linhas (horizontais) e colunas (verticais). Seus elementos são constituídos por números reais ou complexos, ou até mesmo funções. No que tange à álgebra, as matrizes são instrumentos para a resolução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas.
	Chama-se matriz de ordem m por n um quadro de m x n elementos. Cada elemento de uma matriz A é representado por dois índices (i), (j) que indicam sua “posição” na estrutura (i para linhas e j para colunas).
	Um elemento numa posição genérica, dentro de uma matriz A é representado por ai,j ou a[i,j]. A notação matricial pede o uso de colchetes, barras duplas ou parênteses.
	A significância tanto das linhas quanto das colunas depende do contexto sobre o qual a estrutura está sendo empregada. Detalhes sobre as aplicações das matrizes e sua simbologia física serão apresentados mais à frente.
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Quadrada
		A matriz é caracterizada quadrada quando seu número de linhas (m) é igual ao seu número de colunas (n). É o único tipo de matriz que contém determinantes, além de ser o único que engloba matrizes simétricas e anti-simétricas.
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Nula
		Matriz nula é uma matriz em que todos os seus elementos são iguais à zero.
Escalar
		São todas as matrizes quadradas (m = n) em que: Caso i = j, então Bij = X. Caso i ≠ j, então Bij = 0. Ou seja, todos os valores da matriz serão nulos, com exceção dos pertencentes à diagonal principal. 
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Identidade
		Uma matriz identidade é caracterizada por ter a diagonal principal composta somente por elementos de valor um, enquanto as demais posições da matriz têm valor zero. É uma particularidade da matriz quadrada e sua função é ser o elemento neutro na multiplicação de matrizes. 
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Matriz linhas 	Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo: 
 1 x 3
Matriz coluna 	Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo: 
 5 x 1 
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Matriz diagonal
		Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo: 
 
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Matriz Triangular:
		Uma matriz é triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são zero.
Uma matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal são zero:
Uma matriz triangular inferior é aquela em que os elementos acima da diagonal são zero:
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Matriz Inversa
		Dada uma matriz quadrada  A,  se existir outra matriz  B  da mesma ordem que verifique: 
A . B = B . A = I  
onde ( I é a matriz identidade ). 
		Dizemos que  B  é a matriz inversa de  A  e  representamos por  A-1
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Transposta
		Resumidamente, a transposta de uma matriz mxn será sempre uma matriz nxm. Obtém-se a matriz transposta quando se troca as linhas pelas colunas da matriz original, ou seja, a coluna j da matriz original passa a ser a linha j da matriz transposta e a linha i da matriz original passa a ser a coluna i da matriz transposta. 
	Escreve-se A como notação.
т
т
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Simétrica
	Uma matriz simétrica é aquela em que a própria matriz é igual à sua transposta. Este tipo de matriz é composto por propriedades como:
	Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para qualquer escalar k, k.A será simétrica também.
	Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+A é simétrica
T
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Igualdade de Matrizes:
	 Duas Matrizes A e B serão iguais se os seus elementos correspondentes forem iguais. Ou seja,Se A = (aij)mxn e B= (bij)mxn temos: A = B (aij = bij, para todo i e j).
Exemplo:
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Adição e Subtração de Matrizes:
		
 	 Na soma/subtração de duas matrizes, ambas precisam ter a mesma ordem. A matriz resultante terá as mesmas dimensões, onde cada elemento (i)(j) da matriz resultado é a soma/subtração dos elementos (i)(j) das matrizes somadas/subtraídas.
Adição: 
A + B = C
A+ B = (cij)mxn onde cij = aij + bij, 
(1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n). 
Exemplo:
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Subtração:
A – B = D
A – B = (dij)mxn onde dij = aij – bij, 
(1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n). 
Exemplo:
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Propriedades:
Propriedade Comutativa
A + B = B + A
Propriedade Associativa
(A + B) + C = A + (B + C)
Propriedade do Elemento Neutro
A + 0 = A
Propriedade do Elemento Oposto
A + (- A) = 0
 
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Multiplicação por escalar: 
 O produto de um escalar K por uma matriz A= (aij)mxn é uma matriz em que todos os elementos são o produto de aij x K.
 B = k . A bij = k . aij, para todo i e j 
Exemplo:
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Propriedades:
Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é: 
		1.A = A
Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é: 
		0.A = 0
Distributividade das matrizes : Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se: 
		k.(A+B) = k.A + k.B
Distributividade dos escalares : Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares u e v , tem-se: 
		(u+v).A = u.A + v.A
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Multiplicação de Matrizes
		A multiplicação consiste em uma regra prática geral, observe passo a passo como deve ser feita a multiplicação. 	Devemos sempre multiplicar na seguinte ordem: linha x coluna. 
 Observe o exemplo: 
 A3x2 B2x2 AxB3x2
	Observe que a multiplicação somente foi efetuada porque o número de coluna da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª. Outra característica importante que deve ser analisada é que a matriz produto possui o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª. 
 
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Exemplos
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Propriedades
Nem sempre vale a comutatividade Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:
 
Distributividade da soma à direita
 	A.(B+C) = A.B + A.C
 Distributividade da soma à esquerda 
	(A+B).C = A.C + B.C 
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Associatividade 
	A.(B.C) = (A.B).C 
Nulidade do produto Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: A.B = 0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas
Nem sempre vale o cancelamento Se ocorrer a igualdade A.C = B.C, nem sempre será verdadeiro que A = B. 
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Animações de cinema
		Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. Os softwares codificam informações como posição, movimento, cor e textura de cada pixel.
Jogos de Estratégia
		No jogo de roleta o jogador dá seu lance com uma aposta e o cassino responde com o giro da roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino é determinado a partir destes dois movimentos.
Os métodos matriciais podem ser usados para desenvolver estratégias otimizadas para os jogadores.
Circuitos Elétricos
	Circuitos elétricos que contenham somente resistências e geradores de energia podem ser analisados usando sistemas lineares derivados das leis básicas da teoria de circuito.
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Cadeias de Markov
		Os registros meteorológicos de uma localidade específica podem ser usados para estimar a probabilidade de que vá chover em um certo dia a partir da informação de que choveu ou não no dia anterior.
Projeto de estrutura metálica
		Para uma mesma estrutura sujeita a forças externas variáveis, pode-se encontrar a matriz-coluna das forças que atuam sobre as vigas multiplicando-se a inversa da matriz que modela a estrutura metálica pela matriz-coluna das forças externas.
Tomografia Computadorizada
		Imagens de seções transversais do corpo humano, como a tomografia computadorizada e a ressonância magnética. Os métodos da Álgebra Linear podem ser usados para reconstruir imagens a partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada. 
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Outras aplicações:
Administração de Florestas e Plantações 
Computação Gráfica
Distribuição de Temperatura de Equilíbrio
Genética
Crescimento Populacional por Faixa Etária
Colheita de Populações Animais:
Criptografia
Construção de Curvas e Superfícies por Pontos Especificados
Programação Linear Geométrica
O Problema da Alocação de Tarefas
Interpolação Spline Cúbica
Teoria de Grafos 
Conjuntos Fractais 
Um Modelo de Mínimos Quadrados para a Audição Humana
Deformações e Morfismos
transporte de conteiners
redes(transporte, telecomunicações, ...)
Sistemas de admissão de emergência em hospitais, fluxo de pacientes, pesquisa operacional e outros serviços de saúde pública e privada.
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1) Na fabricação de três máquinas (A, B e C)  são usados arruelas grandes (G) e pequenas (p). O número de arruelas por modelo é dado pela tabela: 
      O número de máquinas fabricadas, de cada modelo, nos meses de novembro e dezembro, é dado pela tabela: 
      O dono da fábrica gostaria de saber o número de arruelas que será preciso para suprir a produção de novembro e dezembro sem contratempos. Podemos ajudá-lo com uma simples operação com matrizes.
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Resolução
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2) Uma indústria de perfumes utiliza quatro tipos de essências vegetais para a produção de 4 tipos de perfumes diferentes
Dados de fabricação (Matriz A):
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Preço de venda de cada perfume:
(Matriz C)
Qual será o lucro da empresa na venda de 4 perfumes de cada uma das fragrâncias?
Custo de cada extrato:
(Matriz B)
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1ª parte - Custo de produção (Matriz D):
Dados de fabricação x Custo de cada extrato = Custo de Produção
A x B = D
Resolução:
X
=
=
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2ª parte - Lucro (Matriz L):
Preço de Venda – Custo de produção = Lucro
C – D = L
-
=
=
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2ª parte – Lucro com a venda de 4 produtos de cada fragrância (Matriz R):
+
R$ 396,00
Lucro total:
4 x L = R
X 4 =
=
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03) Uma pesquisa de preços resultou nas seguintes tabelas:
Preços dos automóveis:
Preços dos seguros dos automóveis:
Sabe-se que a agência Carrera só utiliza a seguradora Portoseguro,
a agência Distac só usa a seguradora Sulamérica 
e a agência Barrafor só usa a seguradora Bradesco.
Qual a diferença entre o maior e o menor preço do conjunto carro mais seguro?
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+
=
=
17190 – 14040 =
R$ 3150,00
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4)
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5) Tendo as matrizes
Calcule:
a) A+B
b) A-B
c) AxB
d) AxC
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Resolução
a)
b)
c)
d)
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http://www.brasilescola.com/matematica
http://www.wikipedia.com
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/matrizes.htm
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/adicao-subtracao-matrizes.htm
http://www.infoescola.com/matematica/
http://www.colegioweb.com.br/matematica/operacoes-com-matrizes.html
http://suelirossi.wordpress.com/2008/09/10/introducao-ao-estudo-de-matrizes/
http://www.icmc.usp.br
http://www.somatematica.com.br