MATRIZES_3_

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MATRIZES
Camilla de Abreu
Pedro Felipe de Oliveira
Daniel Nascimento
Bruno Soeiro
Diego Senra
Álgebra Linear II – 2011.1
Prof.: Mário Jorge
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Introdução
História das matrizes
Definição de matriz
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História das Matrizes
Derivado do estudo de determinantes, o conceito de matriz foi formalizado por Joseph Sylvester, em 1850.
História das matrizes
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O matemático Arthur Cayley apresentou a utilidade das matrizes para a ciência, em 1858, na obra “Memoir of the Theory of Matrizes”.
História das matrizes
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Definição
Conjunto de linhas e colunas de elementos numéricos organizadas em retângulos, que possuem diversas propriedades matemáticas.
Definição de matriz
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Representação: Aij (i é o número de linhas, j é o número de colunas).
Principais elementos
Definição de matriz
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Diagonais: Principal (da esquerda pra direita) e secundária (da direita pra esquerda)
Definição de matriz
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Tipos de Matrizes
Linha
Coluna
Quadrada
Nula
Oposta
Diagonal
Identidade
Escalar
Triangular (Inferior e Superior)
Transposta
Inversa
Simétrica e Anti-simétrica
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Linha
Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo:
Tipos de Matrizes
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Coluna
Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo:
Tipos de Matrizes
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Quadrada
Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo: 
Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.
Tipos de Matrizes
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Nula
Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:
Podendo ser representada por 03 x 2.
Tipos de Matrizes
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Oposta
Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:
A matriz oposta a ela é:
Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.
Tipos de Matrizes
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Diagonal
Matriz quadrada que possui os elementos da diagonal principal diferentes de zero e os demais elementos iguais a zero.
Tipos de Matrizes
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Identidade
A matriz identidade é constituída da seguinte forma: os elementos da diagonal principal apresentam o valor um, sendo os restantes elementos da matriz apresentados pelo número zero.
Matriz Identidade de ordem 1:
Matriz Identidade de ordem 2:
Matriz Identidade de ordem 3:
Tipos de Matrizes
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Escalar
Será uma Matriz Escalar, toda Matriz Quadrada que os elementos que não pertencem à Diagonal Principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da Diagonal Principal tem de ser iguais a uma constante "K". Por exemplo: 
(MATRIZ K=2)
Tipos de Matrizes
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Triangular Superior
Matriz quadrada em que os elementos localizados abaixo da diagonal principal são nulos. Exemplo:
Tipos de Matrizes
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Triangular Inferior
Matriz quadrada em que os elementos localizados acima da diagonal principal são nulos. Exemplo:
Tipos de Matrizes
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Transposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada por At de ordem “invertida” n x m. Essa ordem invertida significa que para transformarmos uma matriz em matriz transposta, basta trocar os elementos das linhas pelo das colunas e vice-versa. Exemplo:
Dada a matriz A= 3x2, a matriz transposta representada por At, será: 
At = 2 x 3.
Observamos que a ordem das matrizes A e da sua transposta At foi invertida, o que era linha virou coluna e o que era coluna virou linha.
Tipos de Matrizes
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Inversa
Dada duas matrizes quadradas C e D, C será inversa de D se, somente se, C . D ou D . C for igual à In. Portanto, dizemos que C = D-1 ou D = C-1.
Exemplo: Verifique se as matrizes G= e K= são inversas entre si. Para que seja verdade o produto G . K = I3:
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Simétrica
É quando a matriz transposta é igual à matriz (A = At). Ou seja, os elementos da diagonal principal de A e At são iguais. Exemplo:
Dada a matriz A = 2 x 2, a sua transposta é: 
	At =  
Tipos de Matrizes
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Anti-simétrica
É quando a sua matriz oposta é igual a sua transposta (At = -A), isto é, aij = -aij para i e j quaisquer.
Tipos de Matrizes
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Operações com Matrizes
Adição
Subtração
Produto escalar x matriz
Produto de matizes
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Adição
A soma de duas matrizes A=[aij] e B=[bij], de ordem mxn, é uma matriz C=[cij] tal que:
 cij = aij + bij 
Operações - Adição
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Propriedades:
Comutativa: A+B = B+A
Associativa: (A+B)+C = A+(B+C)
Elemento neutro: A+0 = 0+A = A
Elemento oposto: A+(-A) = (-A)+A = 0
Transposta da soma: (A + B)T = AT + BT 
Operações - Adição
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Exemplo:
Operações - Adição
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Subtração
A subtração de duas matrizes A=[aij] e B=[bij], de ordem mxn, é uma matriz C=[cij] tal que:
cij = aij – bij
Operações - Subtração
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Exemplo:
Operações - Subtração
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Multiplicação por escalar
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do numero real k por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k.
Operações – Multiplicação por escalar
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Propriedades:
(kz)A = k(zA)
(k+z)A = kA+zA
k(A+B) = kA+kB
1(A) = A
Exemplo:
Matriz A dada multiplicada pelo escalar 3:
Operações – Multiplicação por escalar
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Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:
 A condição para que a multiplicação AxB ocorra é que o número de colunas de A(n colunas) seja igual ao número de linhas de B(p linhas), originando uma matriz C da ordem de mxp.
Operações – Multiplicação de matrizes
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Propriedades:
A.B é diferente de B.A (não é comutativa)
(A.B)C = A(B.C)
C(A+B) = C.A+C.B
(A + B).C = A.C + B.C
A.1 = 1.A = A
A.0 = 0
Operações – Multiplicação de matrizes
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Exemplo:
Operações – Multiplicação de matrizes
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Aplicações Gerais
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Trabalhos gráficos
A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais no cinema, nos games e nas visualizações de simulações científicas, está baseada na multiplicação de matrizes 4x4 no caso espacial e 3x3 no caso plano. 
Nessas aplicações 
o problema computacional não reside 
no tamanho das matrizes, mas na 
quantidade delas e na rapidez que 
precisamos fazer as multiplicações 
( para que tenhamos um movimento 
mais próximo possível da realidade ).
Aplicações Gerais
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Ciências e Engenharia
Em muitas outras aplicações, temos uma situação quase que oposta: Uma única matriz, cujo tamanho pode ir a ordem de centenas e até milhares de linhas e colunas. Isso ocorre comumente em problemas que envolvem o estudo de campos elétricos, magnéticos, de tensões elásticas, termologia, etc.
Usa-se principalmente o processo de discretização, que reduz essas grandes matrizes a um sistema de equações lineares, tornando o problema mais simples de resolver. Esse tipo de processo é um dos mais comuns em vários campos da Engenharia.
Aplicações Gerais
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Ferramenta matemática
Na maioria das profissões,
as matrizes são usadas para 
resolver sistemas de equações, 
mas podem também ser usadas 
para encriptar dados numéricos 
e no estudo de transformações 
lineares. As matrizes apareceram 
principalmente pela necessidade 
de organizar dados numéricos evitando 
assim que matemáticos e outros trabalhem 
com expressões demasiado longas e difíceis de manipular.
Aplicações Gerais
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Aplicações na Eng. Civil
Materiais
Softwares
Topografia
Estruturas
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Materiais compósitos
Combinação macroscópica de, 
pelo menos, dois materiais distintos, 
possuindo uma fronteira reconhecível 
entre eles.
Dado o interesse destes materiais 
em aplicações estruturais, a definição 
é restrita aos materiais que contêm um 
reforço (fibras ou partículas) suportado 
por um material aglomerante (matriz).
Material utilizado para reforço de estruturas, 
como lona (ao lado) para contenção de destroços 
de construção em andamento.
Aplicações – Materiais compósitos
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São como matrizes em que cada elemento aij representa uma nova matriz linear de três variáveis (largura, comprimento e altura).
São estruturados de maneira a suportar as variações de comprimento da fibra, conservando a capacidade de esforço da unidade.
Aplicações – Materiais compósitos
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Softwares de CAD
Identificam um ponto selecionado no esquema de matrizes, captando cada ponto como uma matriz linear de três ou duas coordenadas.
Sofwares de CAD
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Topografia
Feita com o auxílio de aparelho óptico chamado teodolito mecânico.
Localiza pontos em diferentes alturas e distâncias entre si e os aloca em um sistema de matrizes para análise e estabelecimento do relevo real do terreno.
Topografia
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Matriz topográfica:
Topografia
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Estudo de solos
Mapeamento de superfícies
Topografia
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Cálculo estrutural
Imprescindível na construção civil
Aplicações – Cálculo estrutural
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Como é feito?
Aplicações – Cálculo estrutural
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Identifica-se as vigas que estão sob maior força e a matriz das vigas oblíquas às primeiras com sua forças devidamente recalculadas.
Aplicações – Cálculo estrutural
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Estabelece-se uma matriz que, multiplicada à f, dê origem a F:
Dando origem a:
Aplicações – Cálculo estrutural
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Por fim, a relação deve ser resguardada:
Se a função “ômega” for invertível, a estrutura possui capacidade de se manter de pé, mesmo sob força de cargas.
Aplicações – Cálculo estrutural
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Exemplo de Cálculo Estrural: 
Obra do Fundão:
Aplicações – Cálculo estrutural
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Exercícios
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Dadas as matrizes:
Calcule:
a)A+B
b)A-B
c)A.B
d)A.C
Exercícios
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Resoluções:
Exercícios
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Resolva:
Exercícios
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1) Na fabricação de três máquinas (A, B e C)  são usados arruelas grandes (G) e pequenas (p). O número de arruelas por modelo é dado pela tabela:
O número de máquinas fabricadas, de cada modelo, nos meses de novembro e dezembro, é dado pela tabela: 
Exercícios
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O dono da fábrica gostaria de saber o número de arruelas que será preciso para suprir a produção de novembro e dezembro sem contratempos. Podemos ajudá-lo com uma simples operação com matrizes:
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Bibliografia:
Sites:
www.engenhariacivil.com
www.clubedeengenharia.com.br
www.deg.ufrj.br
www.dcc.ufrj.br
www.ead.pep.ufrj.br/moodle
http://matematicartedastrevas.blogspot.com/2011/02/matrizes.html
http://www.infoescola.com/matematica/operacoes-com-matrizes-multiplicacao/
Livros:
“Curso de Análise Estrutural”, Süssekind, Editora Globo, 1980.
“Concreto Armado”, Anderson Moreira da Rocha, Editora Científica, 1982.
“Mecânica Vetorial para Engenheiros”, Beer e Johnston, Editora McGraw Hill, 1979.
“Álgebra Linear e suas aplicações”, Gilbert Strang, Editora Cengage , 2010.
“Vetores, Geometria Analítica e Álgebra”, Julianelli e Cataldo, Editora Oficina do Autor, 1999.
“Álgebra Linear “, Steinbruch e Winterle, Editora Makron Books, 2005.