Apresentacao_Matrizes_Final

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Matrizes
Grupo
Ana Karolina Muniz
André Mano
Arianne Antonucci
Bruno Gargiolli
Carolina Capitani
Cíntia Azevedo
Felipe Ferreira
Jéssica Santos
Rafael Bastos
Sarah Vidal
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Introdução
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Introdução
Aplicação de Matrizes
Definição e Estrutura
Tipos de Operação
Exercícios
Softwares
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Aplicações de Matrizes
Utensílios:
Máquinas de calcular
Máquinas fotográficas
Televisão(digital/analógica)
Aplicações 3D
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Engenharia:
 Elétrica
Mecânica
Computação
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Química
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Genética
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1 x 3 
5 x 1 
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Operações com Matrizes
Adição
Multiplicação por Escalar
Transposição
Multiplicação de Matrizes
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Adição
Amxn = [aij] Bmxn = [bij]
A + B = [aij +bij]mxn = [cij]
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Adição
Propriedades:
A + B = B + A (comutatividade)
 A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
A + 0 = A onde A denota a matriz nula m x n
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Multiplicação por Escalar
A = [aij]mxn k=Número real
KxA= [kx aij]mxn
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Multiplicação por Escalar
Propriedades:
K x (A + B) = k x A + k x B
(k1 +k2) x A = k1x A + k2 x A
0 x A = 0, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos a matriz nula.
k1 x (k2 x A) = (k1x k2) x A
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Transposição de Matrizes:
Definição:
 Dada uma matriz A = [aij] m x n obtemos sua transposta com uma matriz A’= [bij] n x m em que bij = aji , ou seja, as linhas correspondem as colunas da matriz original. 
• Exemplo:
 
 A = 3 2 1		 A’ = 3 5			 	 5 7 2 2x3	 2 7
 	 1 2 3x2
 
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Transposição de Matrizes
• Propriedades:
Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual a sua transposta: A = A’ ;
A’’= A : B = 3 2 1 B’ = 3 5 B’’ = 3 2 1	
 5 7 2 2 7 5 7 2 			 1 2 
(A+B)’ = A’ + B’ ;
(kA)’ = k . A’, K = Escalar ;
 
 Obs.: Se A é uma matriz diagonal então A’ = A
 A = 8 0 0 A’ = 8 0 0
 0 5 0		 0 5 0
 0 0 1 0 0 1
 
	
 							
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Multiplicação de Matrizes
Definição:
 Dadas as matrizes A = [aij] mxn e B = [brs] nxp encontra-se A.B = [cuv] mxp ;
 Cuv = Σ Auv . Bkv = Au1 . B1v + ... + Aun . Bnv 
 • Importante :
1) Apenas é possível efetuar o produto de duas matizes A mxn e B nxp ou seja o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda e a matriz resultante é de ordem mxp, AB = C mxp.;
O elemento Cij é obtido , multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos da j-ésima coluna segunda matriz, e somando estes produtos.
 
 
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Multiplicação de Matrizes
Exemplo1:
 
 2 1 1 1 2x1 + 1x0 2x(-1) + 1x4
	 4 2 x 0 4 2x2 = 4x1 + 2x0 4x(-1) + 2x4
	 5 3 3x2	 5x1 + 3x0 5x(1) + 3x4 3x2
• Exemplo2: 
 
 1 -1 x 2 1
 0 4 2x2 4 2 = Não é possível 
 5 3 3x2
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Multiplicação de Matrizes
Propriedades:
AB ≠ BA ;
 AI = IA = A , I = Matriz identidade ;
A(B+C) = AB + AC (Distributiva) ;
4) (AB)C = A(BC) (Associativa) ;
5) (AB)’ = B’A’ ;
6) 0.A = A.0 .
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Exercícios
01. A imobiliária CASANOVA, visando incentivar o trabalho de seus corretores, costuma, em cada trimestre, premiar os que atingem maior pontuação por aluguéis e vendas concretizadas, atribuindo 12 pontos a cada unidade alugada e 15 pontos a cada unidade vendida. A matriz representa o desempenho de 		um corretor dessa imobiliária nos i meses do 		primeiro trimestre de 2007, em relação aos 			aluguéis ( j = 1 ) e vendas ( j = 2 ) por ele 			efetuadas. Qual o total de pontos acumulados por esse corretor, no referido período?
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RESOLUÇÃO:
a11 = 5 x 12 + 4 x 15 = 120 
a21= 3 x 12 + 1 x 15 = 51
 a31= 2 x 12 + 3 x 15 = 69
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02. Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (frutas, leites e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos.
		
		A matriz M mostra a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama ingerida dos alimentos citados.
 		
		A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:
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RESOLUÇÃO:
a11 = 0,006 x 200 + 0,033 x 300 + 0,108 x 600 = 75,9
	 a21 = 0,001 x 200 + 0,035 x 300 + 0,018 x 600 = 21,5
 a31= 0,084 x 200 + 0,052 x 300 + 0,631 x 600= 411
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	03. Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, Português, Ciências e Estudos Sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra abaixo:
 
		Sabe-se que as notas de todos os bimestres tem o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos os elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:
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RESOLUÇÃO:
M =			 x 					
RESPOSTA E
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	04. Se uma matriz quadrada é tal que At = - A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que D é anti-simétrica e os termos a12, a13 e a23 de D, valem respectivamente:
	a) -4, -2 e 4
	b) 4, 2 e -4
	c) 4, -2 e -4
	d) 2, -4 e 2
	e) 2, 2 e 4
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RESOLUÇÃO:
4 + a = - (4 + a)  2a = -8  a = - 4
a12 = - a 
a13 = - b
b + 2 = - (b +2)  2b = -4  b = - 2
a23 = - c
2c - 8 = - (2c -8)  4c = 16  c = 4
a12 = 4; a13 = 2 e a23 = - 4  RESPOSTA B
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Software
 - MatLab (Matrix Laboratory) foi criado em 1970 por Cleve Moler
- Linguagem mais eficiente que Fontran e C
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Matriz Quadrada
Matriz Nula
Softwares
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Matriz Coluna
Matriz Linha
Softwares
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Matriz Identidade
Softwares
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Soma de Matrizes:
- Para somarmos matrizes, elas devem ser de mesma ordem.
- Conhecemos as matrizes A e E:
- Basta usar o comando A+E para que a adição seja feita:
Softwares
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Soma de Matrizes:
- Ao tentar somar matrizes de diferentes ordens, o programa irá retornar uma mensagem
de erro:
Sempre que alguma operação for executada errada, o programa irá retornar uma mensagem de erro parecida com essa.
Softwares
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Multiplicação por escalar:
- É só usar o comando K*A onde A é a matriz e K é o escalar.
Multiplicação por matrizes:
- É só usar o comando C*D onde C e D são matrizes, respeitando as regras do produto matricial.
Softwares
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Softwares
Exemplo:
Suponha que um corretor da bolsa de valores faça um pedido para comprar ações como segue: 400 cotas de A a $500/cota; 500 cotas de B a $400/cota; 600 cotas de C a $250/cota.
a) Encontre o custo total usando multiplicação de matrizes:
% cotas
% preços
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Softwares
b) Qual será o ganho ou a perda quando as ações forem vendidas a:
A = $600 B = $350 C = $300
cotas
preços
$595.000 – $550.000 = $95.000
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