Trabalho_AL2_-_Processos_Estocasticos_EM1-2010-1

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Processos Estocásticos
Álgebra Linear II
Professor: Mário Jorge
Alunos:
André Luiz Carvalho Luna
Lucas Carvalho de Figueiredo
Marcelo Zanardo Berti
Marina Castro dos Santos
Rodrigo Martins de Oliveira
Zélia Garcia da Fonseca
Introdução e Definição
 → Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias indexadas por elementos t pertencentes a determinado intervalo temporal. Intuitivamente, se uma variável aleatória é um número real que varia aleatoriamente, um processo estocástico é uma função temporal que varia aleatoriamente. 
 → Seja T um conjunto arbitrário. Um processos estocástico é uma família
	Z = {Z(t), t є T} e Z(t) é variável aleatória.
 → Os Processos Estocásticos constituem um ramo da Teoria da Probabilidade, onde se define um conjunto diverso de modelos que permitem, nas situações mais frequentes e de interesse prático, realizar o estudo dos fenômenos aleatórios que evoluem de acordo com o tempo. O leque das aplicações é tão vasto quanto o dos fenômenos a modelar nas diferentes ciências: economia, gestão, engenharia, física, biologia, etc.
 → Mais genericamente, qualquer tipo de evolução temporal (determinística ou essencialmente probabilística) que seja analisável em termos de probabilidade pode ser chamada de processo estocástico.
	 → Podem ser classificados dentro das seguintes categorias: 
	Processos de Tempo Contínuo: A variável pode mudar o seu valor em qualquer momento de tempo. 
	Processos de Tempo Discreto: A variável somente pode alterar o seu valor a intervalos fixos de tempo. 
	Variável Contínua: A variável pode assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo.
	Variável Discreta: A variável pode assumir apenas alguns valores discretos. 
	Processos Estacionários: A média e variância são constantes no tempo.
	Processos não-estacionários: O valor esperado da variável aleatória pode crescer sem limite e sua variância
	aumenta com o tempo.
Cadeias de Markov
...um pouco de história
Andrei Andreyevich Markov foi um matemático Russo, nasceu em 14 de junho de 1856, formou-se na Universidade de St. Petersburg em 1878.Tornando-se professor da mesma em 1886. 
 Tendo como primeiros trabalhos, limites de integrais e teoria da aproximação. Aplicou métodos de frações contínuas, que havia sido iniciada por outro matemático. Provou o teorema do limite central.
 Markov é lembrado pelo seu estudo de Cadeias de Markov, teve um filho com o mesmo nome dele que nasceu em 9 de setembro de 1903, e também se tornou um matemático de renome.
Cadeias de Markov
 Definição: Em matemática, a cadeia de Markov é um caso particular de processo estocástico e apresenta a propriedade markoviana, também chamada de memória markoviana, e na qual os estados anteriores são irrelevantes para a predição dos estados seguintes, desde que o estado atual seja conhecido.
 Este processo pode assumir estados a[1],a[2],...a[r], de tal modo que a probabilidade de transição de um estado a[j] para um estado a[i] seja p[ij] (um número que só depende de a[j] e a[i]).
→ Um exemplo de cadeia na qual podemos aplicar a propriedade markoviana para obter probabilidades a longo prazo. Onde um estágio P depende apenas diretamente do estágio anterior.
→ Temos do caso geral mostrado na figura,que se a ação foi de P1 para P2 não importa se ela veio de uma ação de P1 para P1, ou de P3 para P1, ou mesmo de P2 para P1. O importante é que foi de P1 para P2, no atual momento. 
P1
P2
P3
>
<
 ^
^
<
>
 → Numa cidade industrial, os dados sobre a qualidade do ar são classificados como satisfatório (S) e insatisfatório (I). Assuma que, se num dia é registrado S, a probabilidade de se ter S no dia seguinte é de 2/5 e que, uma vez registrado I, tem-se 1/5 de probabilidade de ocorrer S no dia seguinte.
>
<
>
<
S
I
3/5
2/5
4/5
1/5
Método I
 → Multiplicação sucessiva das matrizes por elas mesmas dão as probabilidades em tempos futuros.
 → Soma de cada linha deve ser igual a 1.
 → Todos ou elementos devem ser maiores ou iguais a 0 (zero).
Exemplo:
	Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: o Jacaré, o Piranha e o Urubu. O termo aij da matriz A a seguir é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo 
Como calcular as probabilidades de um consumidor mudar de uma marca para outra após duas compras?
A matriz que fornecerá a resposta será a matriz decorrente de A A, isto é, A².
Numa terceira compra o procedimento seria
A² A e assim sucessivamente.
Método II
Matriz das probabilidades de transição (matriz estocástica)
→ A matriz T do sistema é uma matriz cujas entradas são maiores que 0 e a soma dos elementos de cada coluna é 1. Uma matriz com essas duas propriedades é chamada uma matriz estocástica.
→A matriz das probabilidades é aquela cujo i-ésima linha dá a probabilidade de ocorrência do estado a[i] após n transações.
 → Então após n passos. 
Onde é uma matriz estocástica com n linhas e n colunas.
 
Pelo teorema, se a matriz das probabilidades de transição é regular, ou seja, se alguma de suas potências tem todos os elementos não nulos, então podemos fazer uma previsão a longo prazo que não depende das probabilidades iniciais.
Exemplo:
	Duas substâncias distintas estão em contato e trocam íons de sódio entre si. Sabe-se (por dedução teórica ou experimentação) que um íon de sódio do meio (1) tem probabilidade de 0,7 de passar ao meio (2), enquanto um íon de sódio que esteja no meio (2) tem 0,1 de chance de passar ao meio (1). Colocando-se 2 mols de sódio no meio (1) quais serão as concentrações de sódio em cada um dos meios após um longo período de tempo?
p1 = 1/8
p2 = 7/8
Logo, como foram colocados a príncipio 2 mols, as concentrações finais em cada meio serão:
C(p1) = 2 x 1/8 = 0,25 mol
C(p2) = 2 x 7/8 = 1,75 mol
Exemplos e Exercícios 
 → Exemplo 1: Seja X a variável aleatória que indica se chove ou não num determinado dia num dado local. A seqüência que indica o estado do tempo em dias consecutivos forma um processo estocástico. É um processo estocástico não estacionário, pois as probabilidades variam ao longo do tempo. X1, X2,... , Xn
 
 → Exemplo 2: Uma seqüência de lançamentos de um dado forma um processo estocástico estacionário. As probabilidades são constantes ao longo do tempo.
 
 → Exemplo 3: No jogo da Glória, a seqüência de valores aleatórios (X1, X2,... Xn ) representa a posição no jogo ao longo do tempo. Esta seqüência é um processo de Markov uma vez que a probabilidade do jogador se encontrar numa dada casa depende apenas da casa onde estava na jogada anterior.
 → Exemplo 4: Imagine um bêbado, que após muito caminhar consegue enxergar sua casa. Supondo que o caminho esteja desimpedido, o instinto o levará a tentar caminhar em linha reta; A questão é que a bebida não permite. Se traçarmos um sistema cartesiano de modo que o bêbado esteja na origem e a casa em algum ponto do eixo das ordenadas, o bêbado é uma partícula caminhando para cima, pois a linha reta é o caminho mais curto; porém, o vetor deslocamento não coincide com o vetor (0,1), pois o bêbado cambaleia para a direita ou esquerda aleatoriamente, fazendo com que a posição no bêbado no instante t seja (xt,t), supondo velocidade constante no eixo das ordenadas, onde xt é um valor aleatório. 
		 A seqüência de valores xt e suas variáveis aleatórias associadas Xt recebem o nome de cadeia, um caso especial de processo estocástico. 
 
 
 
 onde P(A | B) é a probabilidade do evento A ocorrer dado que o evento B ocorreu e são as posições anteriores do bêbado. Esta relação de probabilidades quer dizer que a única informação que pode nos ajudar a prever onde o bêbado estará no próximo instante de tempo é a posição do bêbado
no momento atual, sendo que a trajetória anterior, velocidade resultante, etc. não nos fornecem nenhuma informação extra.
 → Exemplo 5: O passeio aleatório consiste em uma trajetória formada por passos aleatórios de mesmo tamanho a cada qual em uma direção aleatória.
Aplicações
 → Os processos estocásticos possuem aplicações na Física, Economia, Ciências da Computação e em outros inúmeros campos. Como exemplos têm o movimento Browniano das moléculas em líquidos e gases, estimação do tamanho da Web, oscilação dos preços das ações, sistemas de filas com senhas como em bancos e serviços automatizados por computador, otimizando o sistema computacional para a chegada aleatória dos clientes variando com o tempo e o atendimento dos caixas; operação e planejamento da expansão do sistema elétrico nacional, relacionando vazões afluentes e usina hidrelétricas com reservatórios; Sistemas de Saúde, marcando consultas individuais com hora marcada, distribuindo os tempos de espera e os tempos ociosos, chegadas aleatórias com taxas variáveis e alocação de menos médicos em horários de descanso. Em inteligência artificial, programas estocásticos trabalham através do uso de métodos probabilísticos para resolver problemas, como em redes neurais estocásticas e nos algoritmos genéticos.