Matrizes-2010-1EM1

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MATRIZES
Fellipe C. Parreira
Arthur Wilson
Vinícius A. Touza
Jan Gudme
Paulo Arthur Lima
Thamíris Oliveira
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Introdução a Matrizes
As matrizes tem muitas utilidades no mundo atual. Mas uma das principais é a forma como a informação pode ser organizada numa tabela, numa matriz, de modo a se tornar mais clara e simples.
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Um exemplo clássico ensinado em escolas pode ser visto abaixo. Uma tabela de campeonato de futebol é uma matriz. Nesse caso, as linhas representam times, e as colunas a atuação desses times.
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Representação de Matrizes
Existem diferentes modos de representar uma matriz, colocando as linhas e colunas entre parênteses, colchetes ou duas barras duplas, como mostradas aqui abaixo:
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Uma matriz com m colunas e n linhas é chamada de uma matriz m x n, e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem: 
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima
coluna é escrito como ai,j ou a[i,j].
Nesse exemplo ao lado, a matriz tem dimensões 4x5.
Podemos usar como exemplo também que a1,4 = 7,0
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Tipos Especiais de Matrizes
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Matriz Quadrada
 Possui o número de linhas igual ao número de colunas (m=n).
Linha
m
Coluna
n
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Matriz Nula
 Possui todos os elementos aij=0
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Matriz-Coluna
 Possui apenas uma coluna, onde n=1.
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Matriz-Linha
 Possui apenas uma linha, onde m=1
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Matriz-diagonal
 É uma matriz quadrada (m=n), onde todo o elemento
aij=0 para i≠j.
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Matriz identidade Quadrada
 É uma matriz quadrada que para todo i=j, aij=1 e para todo i≠j, aij=0.
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Matriz Triangula Superior
 Todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.
 Para todo i>j, aij=0.
i=3, j=1
a31=0
i=2, j=1
a21=0
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Matriz Triangular Inferior
 Todos os elementos acima da diagonal principal são nulos.
 Para todo i<j, aij=0.
i=1, j=4
a14=0
i=1, j=2
a12=0
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Matriz Simétrica
 A parte triangular superior é uma “reflexão” da parte triangular inferior.
 Assim, os elementos aij=aji.
i=3,j=1
i=1,j=3
a31=a13=b
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OPERAÇÕES COM MATRIZES
Igualdade
Adição
Multiplicação por escalar
Transposição
Produto de Matrizes
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Igualdade de Matrizes
Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn temos: A = B (aij = bij, para todo i e j). Ou seja, se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, elas são iguais.
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Adição e Subtração de Matrizes
Adição: Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn temos 
A+ B = (cij)mxn onde cij = aij + bij, 
(1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n).
Subtração: A – B = (dij)mxn onde dij = aij – bij, 
(1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n). 
Em outras palavras, a adição de Matrizes de mesma ordem é efetuada adicionando ou subtraindo os seus elementos correspondentes. 
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Adição e Subtração, Propriedades
>Propriedade Comutativa
A + B = B + A
>Propriedade Associativa
(A + B) + C = A + (B + C)
>Propriedade do Elemento Neutro
A + 0 = A
>Propriedade do Elemento Oposto
A + ( - A) = 0
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Multiplicação por Escalar
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um escalar k, chama-se produto de k por A a matriz B = (bij), em que bij = k . aij.
> B = k . A bij = k . aij, para todo i e j 
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Multiplicação por escalar, Propriedades
>Propriedade Distributiva
k(A + B) = kA + kB
(k + k’) A = kA + k’A
>Propriedade da Matriz Nula
0 . A = ( 0 )
>Propriedade Associativa
k(k’.A) = (k.k’)A
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Transposição de Matrizes
A transposta de uma matriz Amxn é a matriz An×m em que  Detalhadamente; todos os elementos da primeira linha, tornam-se elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornam-se elementos da segunda coluna, todos os elementos da linha n, tornam-se elementos da coluna m.
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Transposição de Matrizes, Propriedades
>Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual a sua transposta: A = A 
>A = A
>(A + B) = A + B
>(kA) = k . A k=escalar
>Se A é uma matriz diagonal, A = A
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Multiplicação de Matrizes
Para se multiplicar a matriz Amxn pela matriz Bnxp, o número de colunas de Amxn deve ser igual ao número de linhas de Bnxp, resultando em uma matriz Cmxp. 
para cada par i e j com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p 
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Exemplo de Multiplicação de Matrizes
A)
B)
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Propriedades na Multiplicação de Matrizes
>Propriedade Associativa: 
A .(BC) = (AB) . C
>Propriedade Distributiva:
 À esquerda: (B+C) . A = B . A + C . A
 À direita: A . (B+C) = A . B + A . C
>Propriedade da Matriz Identidade
A . I = I . A = A
>Obs:
 A multiplicação de matrizes não é comutativa
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Operações Elementares
Definição: São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz. ( Para simplificar a linguagem vamos indicar por Li a i-ésima linha de uma matriz)
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Permutar linhas
Exemplo: 
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo k
Exemplo: 
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Substituir uma linha por ela somada a outra linha multiplicada por um escalar não nulo
Exemplo: 
Matrizes Linha-Eqüivalentes : Se A e B são matrizes m x n, dizemos que B é linha-equivalente a A, e indicamos A ~ B se B for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. 
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Teorema: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas linha-equivalentes são equivalentes.
Aplicação: Escalonamento de matrizes
Matrizes ampliadas linha-equivalentes, referentes ao sistema:
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Exercícios
Seja A = 
Se Se A = A, então x =
t
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Exercícios
Ache x, y, z, e w se:
2x+3y = 1
3x+4y = 0
2z+3w = 0
3z+4w= 1
x=-4, y=3, z=3, w=-2
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Exercícios
Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C)  são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela:
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho. 
 
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Exercícios
Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
 
      a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
      b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
      c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
      d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
      e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B. 
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
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Exercícios
Respostas:
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Aplicação de Matrizes
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Muitas animações que vemos no cinema utilizam matrizes. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. Os softwares codificam informações como posição, movimento, cor e textura de cada pixel. Para isso, utilizam vetores, matrizes e aproximações poligonais de superfícies para determinar a característica de cada pixel. Um simples quadro de um filme criado no computador tem mais de dois milhões de pixels, o que torna indispensável o uso de computadores para realizar todos os cálculos necessários.
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A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais do cinema, da TV, dos games de computadores e nas visualizações das simulações científicas está baseada na multiplicação de matrizes 4x4 no caso espacial e 3x3 no caso plano. Nessas aplicações o problema computacional não reside no tamanho das matrizes, mas quantidade delas e na rapidez que precisamos fazer as multiplicações (para que tenhamos um movimento realístico).
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Em muitas outras aplicações, temos uma situação quase que oposta: uma única matriz, mas cujo tamanho pode ir à ordem de centenas e mesmo milhares de linhas e colunas. Isso é o que ocorre comumente em problemas que envolvem o estudo de campos elétricos, magnéticos, de tensões elásticas, térmicos, etc, os quais - por um processo
de discretização - são reduzidos a um sistema de equações lineares, cuja matriz tem grande tamanho. Esse tipo de problema é um dos mais comuns em vários campos da Engenharia.
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Obs.:Matriz de uma relação linear Considerando o que se expôs sobre o produto de matrizes, temos novas perspectivas para expressar qualquer sistema de equações lineares. Observe como se expressa o seguinte sistema de equações por uma igualdade de matrizes: 
Assim, se denominamos A à matriz com os coeficientes; x à matriz coluna das incógnitas; e B à matriz coluna integrada pelos termos independentes, o sistema de equações lineares anterior equivale a uma simples equação entre matrizes da forma: AX=B 
 
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Outra situação que nos leva a nos envolvermos com matrizes enormes são as associadas a redes estaduais de distribuição de energia elétrica, grandes redes de comunicações, redes de transporte, etc.
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As matrizes são muito utilizadas na computação para representarmos translação, rotação, escala de objetos em computação gráfica, para se resolver sistemas de equações, etc. Na engenharia elétrica, é muito difícil resolver problemas de circuitos elétricos e linhas de transmissão de energia elétrica sem matrizes. Trabalhar com uma malha de linha de transmissão e passar esse circuito para forma matricial é mais fácil. Na mecânica também é muito importante, pois os tensores (grandeza) só são fornecidos em forma de matriz. Os determinantes simplificam e sistematizam a resolução de sistemas de equações lineares.
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Aplicação de matrizes para otimizar a programação da manufatura
Tem como objetivo procurar por sistemas de planejamento e programação da produção cada vez mais eficientes. Apresenta-se uma ferramenta matricial para o cálculo e seleção otimizada entre planos de processos alternativos desenvolvida por Gideon Halevi (HALEVI, 1993), aplicada na produção de pequenos lotes.
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A Matriz de Halevi, 
 Aplicada na resolução de problemas de planejamento e programação da manufatura de empresas que trabalham com pequenos lotes. A ferramenta foi concebida para apoiar as tomadas de decisões necessárias em diferentes estágios da produção, dando a possibilidade de escolher entre diferentes critérios de otimização: mínimo tempo de produção, mínimo custo, máximo lucro, etc.. Sua concepção teórica assim como seu arranjo matricial fazem da matriz uma boa ferramenta para atender o planejamento e a programação da produção da moderna manufatura em pequenos lotes. A ferramenta foi programada e disponibilizada na forma de um software.
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Outra aplicação de operações com matrizes é no campo das ciências biológicas para auxiliar os biocientistas em seus cálculos.
	Para o tratamento dos diabéticos são utilizadas, entre outros remédios, as insulinas que se apresentam em várias concentrações e tipos. Com os dados das insulinas que um paciente deva fazer seu tratamento, podemos montar matrizes para o controle do consumo de cada uma.
	Matriz com a quantidade de pacientes por tipo de medicamento utilizado: 
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