Inversao_de_Matrizes_2011.1_T

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MATRIZES INVERSAS
Trabalho de Álgebra Linear 2
Turma: ET1/ER1
Prof.:Mário Jorge
 Componentes do Grupo
 Gabriel Felipe Tavares de Barros – DRE: 110085689 
 Leandro Serra Corrêa Ruffo – DRE: 110161477
 Milton Silveira Pita – DRE: 110076054
 Rodrigo da Silveira Gomes – DRE: 110076004
 Rodrigo Menna Barreto Amil – DRE: 110128356
 Victor Campos Teixeira – DRE: 110188754
0
MATRIZES INVERSAS
Índice :
→ Introdução :
- História da inversa e desenvolvedores → Aplicações 
- Conceitos básicos da inversa 
- Propriedades 
 
→ Cálculo da Inversa : → Exercícios : 
 - Matriz Transposta, Simétrica, 		 - 1º (Trivial)
 e Conceito de Pivôs			 - 2º (Médio)
 - Pela Adjunta				 - 3º (Complexo)
 - Método tradicional 
 - Escalonamento (método de Gauss)
 - Por Blocos
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Introdução - História da inversa e desenvolvedores 
 
 Os dois grandes matemáticos que contribuíram para o calculo da matriz inversa são: Carl Friedrich Gauss e Wilhelm Jordan.
Jordan desenvolveu um método para achar a matriz inversa que ficou conhecido como método Gauss – Jordan e foi publicado em 1887. Esse método recebeu esse nome porque é uma variação da eliminação de Gauss.
Gauss: matemático e cientista alemão 
Jordan:agrimensor alemão
Matrizes Inversas
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Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
Wilhelm Jordan (1842 - 1899) 
Introdução - Conceitos básicos da inversa
 
→ Definição : 
 Temos uma matriz A, quadrada. Ela é dita invertível quando existe uma matriz
 B, tal que :
 A . B = I
 B . A = I
 Onde I é a matriz identidade. 
 Então temos B = , onde é a inversa da matriz A .
 * Exemplo : 
 1 0
 x = 0 1 
 2
 Seja A a matriz quadrada; a matriz inversa; E finalmente a matriz 
 identidade
Matrizes Inversas
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→ Condição Básica :
 Nem todas as matrizes quadradas possuem inversa. Quando uma possui, ela 
 é usualmente chamada de invertível, mas também pode ser chamada de
 regular ou não-singular.
 Para sabermos se uma matriz quadrada é invertível, ou seja, possui uma
 matriz inversa que adote a definição anterior, precisamos saber se seu 
 determinante é, necessariamente, diferente de zero :
 *
 
 
 * Lê-se : Inversa de A existe se, e somente se, o determinante de A for 
 diferente de zero. 3
Introdução - Conceitos básicos da inversa
Matrizes Inversas
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 → Propriedades :
 
 1) A matriz inversa é única. Esta propriedade é decorrente do conjunto das matrizes quadradas nxn com a operação binária de multiplicação de matrizes formar um monóide*.
 2) A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que a inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz :
 
 3) A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a inversa da transposta é a transposta da inversa:
 
 
 4
 *Monóide : conjunto de termos dotado de uma operação binária. 
Introdução - Propriedades
Matrizes Inversas
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 4) O produto de uma matriz invertível por sua transposta é também invertível :
 
 
 
 5) O inverso de uma matriz multiplicada por um número(diferente zero) é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número :
 
 6) O inverso do produto de matrizes invertíveis é igual aos produtos das inversas dessas matrizes com a ordem trocada :
 
 5
Introdução - Propriedades
Matrizes Inversas
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 7) O determinante de uma matriz invertível é diferente de zero. 
 
 8) A matriz inversa de uma matriz identidade é sempre igual à própria matriz identidade: 
 I − 1 = I Isso ocorre pois :
 
 
 6
Introdução - Propriedades
Matrizes Inversas
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7
Cálculo da inversa – Matriz Transposta, 
Matriz Simétrica e Conceito de Pivôs.
Matrizes Inversas
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Já que algumas propriedades de uma matriz inversa passam pelo conceito de certas matrizes especiais, como a transposta e a simétrica e pelo conceito de pivô; seria interessante relembrarmos certas matrizes e algumas de suas propriedades de maneira breve.
7
Cálculo da inversa – Matriz Transposta, 
Matriz Simétrica e Conceito de Pivô.
Matrizes Inversas
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Matriz Transposta
A matriz transposta, denotada por MT de uma matriz M qualquer é uma matriz muito simples: suas colunas são diretamente tomadas das linhas de M (a i-ésima linha de M torna-se a i-ésima coluna de MT):
Ex.: 
Elementos de MT : 		(MT)ij = Mji
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Cálculo da inversa – Matriz Transposta, 
Matriz Simétrica e Conceito de Pivô.
Matrizes Inversas
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Da propriedade já introduzida [(M-1)T = (MT)-1] acrescentamos outras típicas das transpostas, que são:
 (M-1)T M T = I
	(MT )T = M
	det(MT ) = det (M)
	(M+N)T = MT +NT
	(MN)T = N T M T 	
	(cM)T = cM T
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Cálculo da inversa – Matriz Transposta, 
Matriz Simétrica e Conceito de Pivô.
Matrizes Inversas
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Matriz Simétrica
Uma matriz simétrica é uma matriz que é igual a sua própria transposta: MT = M. Essa matriz precisa necessariamente ser quadrada.
Uma propriedade interessante de ser tratada já que estamos focados nas matrizes inversas é a seguinte: Nem sempre uma matriz simétrica é invertível, mas se M -1 existir, ela também será simétrica, ou seja, (M-1)T = M-1.
Ex.:
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Cálculo da inversa – Matriz Transposta, 
Matriz Simétrica e Conceito de Pivô.
Matrizes Inversas
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Conceito de Pivô
Chama-se pivô ao elemento diferente de zero mais à esquerda de uma linha não-nula de uma matriz quadrada em forma de escada ao aplicarmos a eliminação de Gauss já vista em sistemas lineares, quando formamos uma matriz quadrada somente dos coeficientes . Por que esse conceito é importante ser tratado numa matriz inversa? Porque uma outra condição para que uma matriz seja invertível, além do determinante obrigatoriamente ser diferente de 0, é que uma matriz quadrada de ordem n é invertível se, e somente se, ela possuir n pivôs.
Ex.: 
Essa matriz M quadrada acima, de ordem 3, possui 3 pivôs, respectivamente: (m11 = 1, m22 = 3 e m33 = 1), portanto, ela é invertível!
 → Matriz Adjunta 
 A matriz adjunta de uma matriz quadrada consiste na transposta da matriz dos 
 complementos algébricos A e representa-se por adj(A).
 A transposta da matriz
determina-se substituindo o termo Aij pelo determinante 
 da matriz. 
 
 Nota: Só é possível obter uma matriz adjunta a partir de uma matriz quadrada, 
 ou seja, é possível calcular a matriz adjunta de uma matriz A2x2, A3x3, A4x4, 
 contudo não é possível determinar de uma matriz A2x3, A3x4, A4x5. 
 
 * Exemplo : para uma matriz 2x2 :
 
 → 7
Cálculo da inversa – Pela Adjunta
Matrizes Inversas
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 * Exemplo : Para uma matriz 3x3 :
 O desenvolvimento se torna diferente conforme se aumenta ambos numero de linhas e de colunas, como se pode observar :
 
 8
Cálculo da inversa – Pela Adjunta
Matrizes Inversas
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 Agora podemos finalmente calcular ao inversa através da adjunta :
 Lê-se : A inversa de A é calculada através da adjunta de A sobre seu determinante.
 Esse método é bastante usado em casos de contas com matrizes de ordem 2x2, por
 ser bem simples de desenvolver : 
 
 
 Mas também pode ser usado em matrizes 3x3 ou 4x4, só que tornando a operação 
 do determinante e o desenvolvimento da matriz adjunta um pouco mais complexo.
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Cálculo da inversa – Pela Adjunta
Matrizes Inversas
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 *Exemplo com uma matriz 2x2 :
 
 
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Cálculo da inversa – Pela Adjunta
Matrizes Inversas
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 → Método Tradicional – Condição estabelecida
 O método tradicional é o mais utilizado quando tenta-se achar a inversa de uma
 matriz. É só aplicar a condição fundamental estabelecida anteriormente para se
 achar a inversa de uma matriz :
 A . = I (identidade)
 * Exemplo :
 Temos M = e M -¹ = 
 
 Agora calculamos de acordo com a regra anteriormente estabelecida :
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Cálculo da inversa – Método Tradicional
Matrizes Inversas
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 Assim achamos : O processo apresentado, embora simples e claro por 
 utilizar apenas a definição e uma matriz 2x2, é muito
 trabalhoso, pois depende, de um modo geral, da 
 resolução de n sistemas e de n equações a n incógnitas.
 12 
Cálculo da inversa – Método Tradicional
Matrizes Inversas
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 → Método de Gauss :
 Por eliminação de Gauss: acopla-se uma matriz identidade de mesma
 ordem a matriz que se deseja inverter e, através de operações com 
 linhas, transforma-se a matriz que se deseja inverter em identidade e a 
 identidade na sua matriz inversa.
 → ]
 Caso contrário a matriz A não possui inversa
 
 * Exemplo :
 Temos a Matriz A, cuja inversa desejamos saber : 
 13 
Cálculo da inversa – Escalonamento (Gauss)
Matrizes Inversas
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 Primeiro, acrescentamos uma matriz identidade ao seu lado direito :
 
 O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a
 matriz unitária no lado esquerdo. (Notar que esses escalares não são elementos da
 matriz. Devem ser escolhidos de acordo com o resultado desejado.)
 
 1ª Linha → 1ª linha + 2ª linha multiplicada por – 1 :
 14 
 
Cálculo da inversa – Escalonamento (Gauss)
Matrizes Inversas
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 Agora fazemos o mesmo com a 2ª e 3ª linha para tentar transformar a matriz A em 
 identidade :
 2ª linha → 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1.
 3ª linha → 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2.
 →
 Chegamos à primeira linha da matriz identidade que irá se formar, precisamos agora das 
 outras duas, então trabalhamos mais uma vez com elas, até chegar a [0 1 0] e [0 0 1] :
 
 3ª linha → 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3 : 
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Cálculo da inversa – Escalonamento (Gauss)
Matrizes Inversas
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 Percebemos que chegamos a [0 0 -1], na terceira linha, então basta multiplicá-la por -1 :
 
 3ª linha → 3ª linha multiplicada por −1 : 
 
 Agora falta apenas a 2ª linha chegar à [0 1 0] :
 
 2ª linha → 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1 : 
 Com a matriz identidade formada à direita, nossa matriz inversa se encontra à esquerda, que
 foi formada como uma conseqüências usadas na primeira matriz para se chegar à identidade :
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Cálculo da inversa – Escalonamento (Gauss)
Matrizes Inversas
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 → Método por blocos : 
 Esse método é empregado em casos de matrizes muito grandes o que impossibilita a aplicação direta de um dos métodos mencionados :
 Desenvolvimento :
 Temos uma Matriz A :
 Da forma que, conseguimos organizá-la da seguinte maneira:
 Por essa condição adotada que ele é chamado de blocos, pois para nós acharmos a
 inversa, primeiro temos que dividir a matriz original em blocos relativos, conforme mostrado.
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Cálculo da inversa – Por Blocos (Partição)
Matrizes Inversas
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 	Assim temos : 
 
 A11 = A12 = A21 = A22 = 
 Pretendemos encontrar uma matriz B, tal que B = A–1 :
 Então, a partir de agora, utilizamos a definição básica da matriz inversa, pelo método
 tradicional :
 I sendo a identidade, A a matriz da qual pretende-se achar a inversa e B a inversa. 18
 
Cálculo da inversa – Por Blocos (Partição)
Matrizes Inversas
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 Então podemos armar o seguinte sistema :
 
 Obtendo o seguinte sistema em relação aos termos de B :
B11 = A11 – A12 . A22–1 . A21
B12 = - A12 . A22–1 ( - A11 . A12 . A22–1 . A21 )–1 
B21 = - A22–1 . A21 . B11
B22 = - A22–1 . A22–1 . A21 . B21
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Cálculo da inversa – Por Blocos (Partição)
Matrizes Inversas
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Aplicações 
Matrizes Inversas
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A inversão de matrizes é notadamente usada na computação gráfica , na produção de efeitos gráficos e de simulações 3D.Temos como exemplo o Ray Casting, um algoritmo utilizado em tratamento de imagem, e que tem como objetivo a formulação de imagens 3D, além do World-to-subspace-to-world, um modelo de programação em que dados são enviados do “world” (o computador do usuário ou mesmo uma realidade virtual) para um “subspace” (um servidor ou a um processador de dados) e as informações processadas(não obrigatoriamente alteradas) são retornadas para o “world”, esse conceito é muito usado em realidades virtuais mas não é usado
 exclusivamente nessa área.
O problema é a dificuldade numérica de se calcular as inversas de matrizes de terceira ordem ou de ordem superior.
Comparando com a multiplicação de matrizes ou a criação de matrizes de rotação, a inversão de matrizes é um processo muito mais lento de ser realizado no computador,o que gera atraso no processo de obtenção dos recursos gráficos.
 
 
 
Exercícios 
Matrizes Inversas
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Resolva o sistema através da equação matricial:
AX = Id.R, sendo A matriz dos coeficientes do sistema, X matriz das incógnitas, Id matriz identidade, R matriz dos termos independentes.(Dica: escalone!)
Exercício (1)
 
Exercícios 
Matrizes Inversas
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Solução (1)
 
Exercícios 
Matrizes Inversas
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Solução (1)
 
Exercícios 
Matrizes Inversas
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Exercício (2)
 
Exercícios 
Matrizes Inversas
31
Solução (2)
 
Exercícios 
Matrizes Inversas
32
Solução (2)
 
Exercícios 
Matrizes Inversas
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Exercício (3)
 
Exercícios 
Matrizes Inversas
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Solução (3)
 BIBLIOGRAFIA
BOLDRINI -  ALGEBRA LINEAR II
STEINBRUCH - INTRODUÇÃO À ALGEBRA LINEAR
WWW.WIKIPEDIA.COM.BR
WWW.IGM.MAT.BR
WWW.WIKIENGENHARIA.COM.BR
 
Bibliografia 
Matrizes Inversas
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