Inversao_de_Matrizes.EE1.2010.1

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Matrizes Inversas
A história das matrizes como conhecemos começa em 1826 quando Cauchy com seus conceitos ainda primitivos de matriz as definiu como “tableu”(tabela).
 
A definição formal de matriz começou a ser usada na Teoria das Matrizes de James Joseph Sylvester em 1850, ainda sendo considerada apenas um “ingrediente” de determinantes para determinar suas linhas e colunas.
 
Durante o século XIX, personalidades como Arthur Cayley (1821-1895), Josiah Willard Gibbs (1839-1903), desempenharam um papel fundamental no desenvolvimento da teoria matricial e no consequente surgimento da matriz inversa.
INTRODUÇÃO
Para responder a esta pergunta podemos começar com a definição de números inversos:
Todo número real possui um inverso multiplicativo, ou seja, para cada número real a existe um número real b, tal que b é o inverso de a.
 b = a-1
->Exemplo:
3/4 é inverso de 4/3 , pois 4/3*3/4 =1  
 Este número é único e pode ser denotado por a-1.
 O conceito de matriz inversa(com suas particularidades) é o mesmo do número inverso, mas é um caso particular em que não há numeros, mas sim matrizes
E o que seria uma matriz inversa?
Apesar de este princípio aritmético valer para matrizes, nem toda matriz A não-nula possui inversa, ou seja, nem sempre há uma matriz B tal que AB = BA = In. 
Uma matriz quadrada é dita invertível quando existe outra matriz denotada tal que:
onde I é a matriz identidade e A-1 é a matriz inversa de A.
 Repetindo a definição:
	AB = BA = In
Se esta definição for verdadeira a matriz B é a matriz inversa de A!
É necessário que os produtos AB e BA estejam definidos e sejam iguais à identidade, é preciso que as matrizes A e B sejam quadradas. 
Portanto, somente as matrizes quadradas e com determinante diferente de 0 podem ter inversa, o que já diferencia do caso dos números reais, onde todo número não-nulo tem inverso. Mesmo entre matrizes quadradas, muitas não possuem inversa.
A matriz inversa
Para um melhor entendimento do processo de inversão é preciso ter em mente alguns conceitos :
1- Uma matriz A é chamada de inversível quando existe outra matriz A-1 onde:
 	e
De forma que I representa a matriz identidade (unitária) e A-1 a matriz inversa de A.
2 - Além disso, uma matriz será inversível quando seu determinante for diferente de 0(zero).
CONCEITOS IMPORTANTES
Exemplo:
					
					
Neste caso, detA=0, evidenciando que essa matriz não é inversível.
Agora, observamos que detA’≠0, logo, é possível invertê-la.
3- A matriz inversa da inversa de uma matriz corresponde a própria matriz:
4- A matriz transposta de uma matriz inversa será sempre igual a inversa da transposta:
 
OBS.: Vale lembrar que uma matriz transposta resulta da troca de linhas por colunas em uma determinada matriz.
5- A matriz inversa de um produto de matrizes é igual ao produto das inversas dessas mesmas matrizes:
 
 
OBS: Isso funcionará com múltiplas matrizes:
 
6- Uma matriz quadrada (Anxn) diz-se ortogonal se a sua inversa for igual à sua transposta:
7- Conceitualmente, podemos chamar uma matriz inversível de não singular e podemos chamar de singulares matrizes não inversíveis. 
8- Uma matriz inversa multiplicada por um número n (n≠0) é igual a matriz inversa multiplicada pelo inverso de n:
MÉTODOS DE INVERSÃO
Existem inúmeros métodos para se calcular a inversa de uma matriz, porém iremos apresentar somente três deles, pois são os mais importantes:
 
Pela definição
Utilizando a matriz de co-fatores
Operações de Matrizes
Pela definição:
Através da definição básica de matriz inversa temos:
 
Onde A representa a própria matriz, A-1 a matriz inversa e I a matriz identidade da matriz A.
Assim, podemos obter A-1 (a inversa de A) sabendo a matriz inicial A e sua identidade I.
Podemos calcular a inversa de uma matriz utilizando o conceito de cofatores e de transpostas:
Onde A’ representa a matriz inversa, det A o determinante de A e (cof A)t a matriz transposta de co-fatores de A.
Utilizando a matriz de co-fatores:
OBS.: Vale lembrar que para o calculo do cofator de A (cof A), devemos encontrar Cij em:
 
Onde Mij representa o determinante da matriz obtida eliminando a linha e a coluna da matriz original que contenha Cij .
Coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traço vertical:
	
 			a b | 1 0
		ou	c d | 0 1
Transforma-se, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando-se, simultaneamente, à matriz I as mesmas operações elementares.
Operações de matrizes:
(A|I)
Alguns exemplos dos métodos citados acima podem ser observados logo abaixo:
A matriz inversa de , por exemplo, é do tipo , e da definição decorre que:
Assim sendo:
Outra forma para a obtenção da matriz inversa é a aplicação da matriz adjunta através da seguinte formula: 
Exemplo:
Obtendo a matriz inversa de M = , por este processo, temos:
a) det M = = 12 - 11 = 1
b) M' = 
c) M = (M')t = 
d) M-1 = . M = . = 
Definição :
Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.
Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:
	1)A troca da ordem de duas linhas da matriz;
	2)A multiplicação uma linha da matriz por uma 	constante diferente de zero;
	3)A substituição uma linha da matriz por sua soma com 	outra linha multiplicada por uma constante diferente de 	zero.
MATRIZES ELEMENTARES
Exemplo:
Considere a matriz identidade I. Então as matrizes E1, E2, E3, são matrizes elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se Li representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira: 
	 , 	 ,	 , .
TEOREMA:
 Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de In . Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem nxr , então o resultado será igual a E.A .
Exemplo:
Considere as matrizes elementares E1, E2 e E3 , obtidas conforme segue:
Considere agora a matriz:
Verifique que:
1) Encontre a matriz inversa da matriz , se existir. 
Resolução:
 det A = 6 – 6 = 0, logo não existe a matriz inversa.
 
2)Mostre que, se uma matriz quadrada é invertível, então det A ≠ 0.
Resolução:
 Se A é inversível, então:
A-1 · A = I 
det (A–1 · A) = det I
(det A) · (det A-1) = 1
Portanto det A ≠0 e 
det (A-1) = 
Exercícios
3) Considere o conjunto das matrizes da forma  
Determine o valor de k para o qual exista exatamente uma matriz não-inversível nesse conjunto.
Resolução:
(x – 3)·(x – 5) – 1·(x + k) =
x2 – 8x + 15 – x – k = x2 – 9x + 15 – k
Para não se ter A-1, devemos ter det A = 0.
x2 – 9x + 15 – k = 0
Como queremos uma matriz não-inversível, devemos ter Δ= 0:
Δ= (–9)2 – 4(1) (15 – k) = 0
81 – 60 + 4k = 0
4k = –21
k = -21/4
 
4) Seja a matriz abaixo, qual é a sua matriz inversa?
Resolução:
O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito:
L1’ = L1 + L2.( −1)
L2’ = L2 + L1.( −1) e L3’ = L3 + L1.(−2)
L3’ = L3 + L2.( −3)
L3’ =L3.(−1)
L2’ =L2 +L3.( −1)
A resposta desejada é a parte da direita:
APLICAÇÕES
A matriz inversa é frequentemente utilizada por engenheiros em empresas e indústrias para maximização de seu lucro e produtividade. 
 
Exemplo 1:
 Uma montadora de automóveis deseja eliminar todos os seus prejuízos e alcançar um lucro de 100% na fabricação de dois dos seus modelos de carro. O engenheiro
responsável pela fábrica resolve esboçar a seguinte matriz:
Carro A Carro B 
O objetivo é procurar valores pelos quais ele multiplica os lucros e gastos para que eles sejam iguais a 1 (100%) e 0 (0%). 
Carro A Carro B 
		 . 		 = 
Supondo valores, temos: 
 		 .		 = 
Resolvendo esse sistema, encontramos:
X=2341 Y= 4234
W=1234 Z= -1234
Conclusão:
 Os valores calculados de x, y, w, z são o quanto o engenheiro deve aumentar ou diminuir das porcentagens de lucro e gastos para ter o máximo de lucro e mínimo de prejuízo.
Exemplo 2:
 
A inversão de matrizes também desempenha papél importante em gráficos computacionais, particularmente na renderização de gráficos de 3 dimensões e simulações 3D. Exemplos do uso para esta finalidade envolvem o transporte de objetos para o espaço tridimencional computacional e simulações físicas.
O problema normalmente envolve a complexidade em calcular inversos de matrizes 3x3 e 4x4.