EDOS Lista3

Prévia do material em texto

EXERCI´CIOS — LISTA # 3EDOs — 2018/2 181003.1726EXERCI´CIOS — LISTA # 3EDOs — 2018/2 181003.1726EXERCI´CIOS — LISTA # 3EDOs — 2018/2 181003.1726
A - EDOs homogeˆneas
Para cada uma das equac¸o˜es abaixo, verifique que a equac¸a˜o
e´ homogeˆnea e em seguida obtenha a sua soluc¸a˜o geral.
1.
dy
dx
=
yx
y2 − x2
Res.: y2
(
2 x2 − y2
)
= C
2.
dy
dx
=
x+ 2 y
2 x− y
Res.: ln
(
x2 + y2
)
− 4 arctan
( y
x
)
= C
3.
dy
dx
=
x2 + y2
yx
Res.: y2 − (2 lnx+C )x2 = 0
4.
dy
dx
=
yx
x2 + y2
Res.:
x2
2y2
− ln y = C
5.
dy
dx
=
x
y
−
y
x
Res.: y2 −
x2
2
−
C
x2
= 0
6.
dy
dx
=
x2 − 2y2
xy
Res.: y2 =
x2
3
+
C
x4
7.
dy
dx
=
2xy
y2 + xy
Res.: (2x+ y)(y − x)2 = C
8.
dy
dx
=
y
x
+
y2
x2
e
x
y
Res.: e
−
x
y − lnx = C
9.
dy
dx
=
3 yx− 2 y2
3 yx− 2x2
Res.: y3x2 − x3y2 = C
10. (x2 + y2)dx− 2xy dy = 0
Res.: y2 − (C + x)x = 0
11. (x+ y)dx− (y − x)dy = 0
Res.: y2 − 2xy − x2 = C
12. (2x+ 3y)dx+ (y − x)dy = 0
Res.: 4 arctg
(
1 +
y
x
)
− ln
(
2x2 + 2xy + y2
)
= C
13. (x3 + y3)dx+ 3xy2 dy = 0
Res.: y3 =
C
x
−
x3
4
14.
(
x− y cos
y
x
)
dx+ x cos
y
x
dy = 0
Res.: sen
y
x
+ ln(x) = C
15. (2x2 + y2)dx− xy dy = 0
Res.: y2 = x2(C + 4 lnx)
16. x
dy
dx
− y −
√
x2 − y2 = 0
Res.: lnx− arcsin
( y
x
)
= C, ou
lnx− arctg
(
y√
x2 − y2
)
= C.
Obs: Se senθ = α, enta˜o cosθ =
√
1− α2; logo,
tgθ =
α
√
1− α2
.
Consequentemente θ = arcsen α = arctg
α
√
1− α2
.
17. 2x2
dy
dx
= y2 − x2
Res.: lnx +
√
2 arctgh
[√
2
2
( y
x
− 1
)]
= C
18.
dy
dx
=
x− y
2x+ 4y
Res.: (4y − x)3(x+ y)2 = C
19. (x2 − xy + y2)dx− xy dy = 0
Res.: ln(y − x) +
y
x
= C
20.
dy
dx
=
2xy2 − 3x2y
x3 − 2x2y
Res.: y2x2 − x3y = C
B - EDOs lineares de primeira ordem.
Usando o me´todo da variac¸a˜o das constantes arbitra´rias,
determine a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es lineares a seguir.
1.
dy
dx
+ xy = x
Res.: y = 1 + Ce−x
2/2
2. x2
dy
dx
+ (1− x) y = e1/x
Res.: y =
(
Cx2 − 1
2x
)
e1/x
3. 2
dy
dx
+
y
x
= x
Res.: y (x) =
x2
5
+
C
√
x
4.
dy
dx
+
y
x2
=
1
x2
Res.: y (x) = 1 + Ce1/x
5.
dy
dx
− y = x2
Res.: y = Cex − x2 − 2x− 2
6.
dy
dx
+ 2 y = ex
Res.: y (x) =
1
3
ex + Ce−2x
7.
dy
dx
−
y
x
=
1
x
Res.: y (x) = Cx− 1
8.
dy
dx
+ (tg x) y = cos x
Res.: y (x) = (x+ C) cos x
9.
dy
dx
+ (cos x) y = cos x
Res.: y (x) = 1 + C e−sen x
10.
dy
dx
− x2y = x2
Res.: y (x) = Cex
3/3 − 1
11. x
dy
dx
+
y
x
= e1/x
Res.: y = (C + lnx)e1/x
12. x
dy
dx
+
y
x
= 1/x
Res.: y = Ce1/x + 1
13.
dy
dx
− 2y = x
Res.: y = Ce2x −
x
2
−
1
4
http://sites.google.com/view/eduvasquez 1/2
EXERCI´CIOS — LISTA # 3EDOs — 2018/2 181003.1726EXERCI´CIOS — LISTA # 3EDOs — 2018/2 181003.1726EXERCI´CIOS — LISTA # 3EDOs — 2018/2 181003.1726
14.
dy
dx
− 2y = ex
Res.: y = Ce2x − ex
15. x
dy
dx
+ x2y = x2
Res.: y = Ce−x
2/2 + 1
16. x
dy
dx
+ x2y = e−x
2/2
Res.: y = (C + lnx)e−x
2/2
17. cos x
dy
dx
+ sen x y = cos 2x+ 1
Res.: y = C cos x+ 2xcos x
18. cos x
dy
dx
+ sen x y = sen 2x
Res.: y = C cos x− 2cos x ln cos x
19.
dy
dx
+ y = (x2 − 1)ex
Res.: y =
C
ex
+ ex
(
x2
2
−
x
2
−
1
4
)
20.
dy
dx
+ y = (x2 + x)e−x
Res.: y =
(
x3
3
+
x2
2
+ C
)
e−x
http://sites.google.com/view/eduvasquez 2/2