Equações Lineares

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2° ano
Equações Lineares
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano
Equações Lineares
Equações Lineares
UM POUCO DA HISTÓRIA
	Documentos históricos comprovam que antigas civilizações orientais, como babilônica e a chinesa, já trabalhavam com equações lineares.
	Já o interesse dos matemáticos ocidentais pelo tema aprofundou-se apenas no século XVII, a partir de um artigo do alemão Gottfried W. Leibniz (1646-1716), que estabeleceu condições para associar o sistema de equações lineares a um determinante. Em 1858, o matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895) notabilizou-se ao tratar de sistemas lineares representando, em forma de matrizes, os dados extraídos de sistemas de equações.
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Gottfried W. Leibniz
Arthur Cayley 
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APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES LINEARES
	A aplicação de equações e sistemas lineares é fundamental na resolução de problemas que envolvem equações com muitas incógnitas. Problemas desse tipo se apresentam por exemplo, na distribuição de energia elétrica, no gerenciamento das linhas de telecomunicações e na logística para transporte de mercadorias em uma região.
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Acompanhe a situação a seguir
	
	
	Luísa foi ao caixa eletrônico sacar R$ 100,00 de sua conta. Se o caixa havia apenas notas de R$ 10,00, R$ 20,00, e R$ 50,00, de quantas maneiras ela pode ter efetuado o saque?
	Esse tipo de problema que pode ser expresso por meio de equação linear.
	Chamando de x o número de células de R$ 10,00, y o número de células de R$ 20,00 e z o número de células de R$ 50,00, podendo associar essa situação à equação 10x + 20y + 50z = 100.
	A equação 10x + 20y + 50z = 100 é chamada equação linear.
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De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo.
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
 x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
 a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
 b é o termo independente.
Equações Lineares
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 x, y e z são as incógnitas;
 4, 9 e 8 são os coeficientes;
 40 é o termo independente;
Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40, temos.
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 Considere a equação 4x + 9y + 8z = 40
Soluções de uma equação linear
x = 1
y = 4
z = 0
4.1 + 9.4 + 8.0 = 40
(Verdadeira)
x = 3
y = 2
z = 1
4.3 + 9.2 + 8.1 ≠ 40
(falsa)
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 Solução de uma equação linear é toda sequência de valores reais das incógnitas que tornam uma igualdade verdadeira.
Soluções de uma equação linear
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 Calcular a constante real a, sabendo que a sequência (1, –3, 4) é solução da equação linear 2x + ay – z = 4.
Exemplo:
Substituindo x = 1; y = –3 e z = 4 na equação, temos
2.1 + a.(–3) – 4 = 4
→ 2 – 3a – 4 = 4
→ –3a = 6
→ a = –2
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1ª. Equação: 2x = 8
2x = 8
→ x = 4
Portanto a única solução da equação 2x = 8 é x = 4.
Número de soluções de uma equação linear
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2ª. Equação: 0x = 3
Não existe número real que, multiplicado por 0, resulte 3. Logo, a equação não têm solução.
3ª. Equação: x + 3y = 8
Nessa equação o valor de uma incógnita depende do valor da outra (x = 8 – 3y).
y = 3 
→ x = 8 – 3.3
→ x = –1
→ (–1, 3)
y = 2 
→ x = 8 – 3.2
→ x = 2
→ (2, 2)
y = 1 
→ x = 8 – 3.1
→ x = 5
→ (5, 1)
Essa equação tem infinitas soluções.
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 Uma equação linear em que o termo independente é 0 (nulo) é chamada equação linear homogênea.
 2x – y = 0
→ é uma equação linear homogênea
 x + y – 5 = 0
→ Não é equação linear homogênea
→ x + y = 5
→ Toda equação linear homogênea admite uma solução óbvia: Aquela em que todas as incógnitas são iguais a 0. 
Equação Homogênea
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 Uma equação linear que tem todos os coeficientes iguais a 0 (zero) é chamada equação linear nula?
 0x + 0y + 0z = 0
→ é uma equação linear nula
→ Toda sequência de n números reais é uma solução de uma equação nula, com n incógnitas.
Equação Nula
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 Chama-se linear impossível ou incompatível aquela em que:
 todos os coeficientes são iguais a 0.
 o termo independente é diferente de 0.
 0x + 0y = 3
→ é uma equação linear impossível
Equação impossível ou incompatível
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Equação com variáveis naturais
	Em certos problemas, aparecem equações lineares com restrições ao universo das variáveis. Nesses casos, o número de soluções da equação pode ser finito, mesmo que haja duas ou mais incógnitas
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Exemplos de exercícios sobre equações lineares
Exemplo 1: Resolva a equação 3x + 5y = 10
Resolução:
A procura das soluções de uma equação é facilitada se uma das incógnitas é descrita em função da outra.
5y = 10 – 3x → y = 10 – 3x
 5
Definimos a variável y em função da variável x. Nesse caso, y é função de 1° grau em relação à variável x. Assim, para cada valor escolhido para x, podemos obter um valor para y. Organizamos uma tabela para alguns valores de x e y.
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x
y
SOLUÇÕES
-1
13
5
-1, 13
5
0
2
0, 2
1
7
5
1, 7
5
2
4
5
2, 4
5
5
-1
5, -1
	Poderíamos continuar essa tabela indefinidamente, pois essa equação linear com duas incógnitas tem um número infinito de soluções.
	Podemos também representar o conjunto de soluções dessa equação por meio de um gráfico. Com a equação linear é do 1° grau , seu gráfico é uma reta.
 
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x
y
0
1
2
3
1
2
3
4
5
.
-1
.
Todos os pontos da reta que é gráfico da função y = 10 – 3x representam geometricamente soluções da equação e vice-versa. 5
 
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Exemplo 1: Os pontos (3, -11) e (-2, 9) são soluções de uma equação linear com duas incógnitas. Determine outras duas soluções dessa equação. 
Resolução:
Representando graficamente os pontos (3, -11) e (-2, 9), todos os pontos da reta que passa por eles são soluções da equação linear. 
Graficamente, podemos encontrar algumas soluções da mesma equação, como:
(0, 1), (2, 7), (-1, 5)
x
y
0
-7
5
9
2
3
-11
-1
-2
1
.
(0, 1)
(-1, 5)
(2, -7)
.
.
.
.
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AGORA É SUA VEZ!
Atividade 1: Suponha que se pretendam transportar, em um elevador, caixotes de 10 kg e 30 kg. Sabendo que o elevador suporta no máximo 600 kg, então: 
a) É possível transportar 30 caixotes de 10 kg e 10 de 30 kg? 
b) E 15 de 10 kg e 15 de 30 kg? 
30 caixotes de 10 kg = 300 kg
10 caixotes de 30 kg = 300 kg
Total = 600 kg 
É possível
15 caixotes de 10 kg = 150 kg
15 caixotes de 30 kg = 450 kg 
Total = 600 kg
É possível
Openclipart/Domínio Público
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c) Dê um par de números que seja solução dessenovo problema.
 
d) Traduza esse problema por meio de uma equação. 
45 caixotes de 10 kg = 450 kg
05 caixotes de 30 kg = 150 kg
Total = 600 kg
Não é possível
X = número de caixotes de 10 kg
Y = número de caixotes de 30 kg
10 . x + 30 . y = 600
10 . (x + 3 . y) = 600
X + 3 . Y = 60
Atividade 2: Considere a equação linear 2x + y = 3. 
a) Defina y em função de x. 
2 . x + y = 3
y = -2 . x + 3
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b) Represente as soluções da equação em um referencial cartesiano. 
x
y
0
1
2
3
1
2
4
.
.
3
4
Os pontos marcados, (0, 3) e (3/2, 0), são os cortes nos eixos x e y.
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Atividade 3: Cristiane foi a uma papelaria comprar fichários e canetas. As canetas custavam R$ 2,50 cada e os fichários, R$ 5,00 cada. Cristiane gastou R$ 40,00 na papelaria. Quantos fichários e quantas canetas terá comprado? 
Traduza esse problema por meio de uma equação.
b) Determine dois pares de valores que sejam solução da equação. 
 
Se F = 1 → C = 16 – 2 . 1 → C = 14
(Um fichário e 14 canetas) 
Resolução:
2,5 . C + 5 . F = 40
2,5 . C = 40 – 5 . F
C = 40 – 5 . F
 2,5
→ C = 16 – 2 . F
Resolução:
C = número de canetas
F = número de fichários
2,50 . C + 5,00 . F = 40,00 → 2,5 . C + 5 . F = 40
Se F = 2 → C = 16 – 2 . 2 → C = 12
(Dois fichários e 12 canetas) 
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c) Indique um par de números que não seja solução do problema.
d) Há pares de números que são soluções da equação mas não do problema? Justifique. 
e) Organize uma tabela de modo que você encontre todas as soluções do problema.
Qualquer par de números que não satisfaz a equação anterior.
Exemplo: C = 5 E F = 5
5 ≠ 16 – 2 . 5 → 5 ≠ 16 – 10 → 5 ≠ 6 
Sim. Valores negativos ou fracionários , por exemplo.
Se F = -1 → C = 16 – 2 . (-1) → C = 18
Menos um fichário?
Se C = 9 → C = 16 – 2 . (9) → C = -2
Menos duas canetas?
Se F = 1,5 → C = 16 – 2 . (1,5) → C = 13
Um fichário e meio?
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F
C = 16 – 2 . F
1
14
2
12
3
10
4
8
5
6
6
4
7
2
Admitindo que Cristiane não possua ter comprado apenas canetas ou apenas fichários.
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RECURSOS COMPLEMENTARES
Openclipart/Domínio Público
NO COMPUTADOR
Openclipart/Domínio Público
Usar o Winplot para fazer gráficos de equações lineares.
O Winplot é um aplicativo que permite a plotagem de gráficos que auxilia na análise de equações lineares e/ou sistemas lineares.
Link: http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html. Acesso em 02/08/2015
ATIVIDADE NO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA: ATIVIDADE EM DUPLA
O professor distribuir para os alunos 3 equações lineares e solicitar que representem o conjunto de soluções das equações por meio de um gráfico. Utilizando o aplicativo Winplot.
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REFERÊNCIAS
MATEMÁTICA
Ensino Médio, 2° ano
Matrizes: Operações
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano
Equações Lineares
DANTE, L. R. 2013. Matemática: Contexto e Aplicações. 2a ed. 2° ano. São Paulo: Ática.
IEZZI, G. e colaboradores. 2013. MATEMÁTICA – CIÊNCIA E APLICAÇÕES. 7ª ed. 2° ano. São Paulo: Saraiva.
LEONARDO, F. M. de. Conexões com a Matemática. Obra coletiva. 2ª ed. 2° ano. São Paulo: Editora Moderna, 2013.
PAIVA, M. 2009. Matemática - Paiva. 1a ed. 2 ° ano. São Paulo: Moderna.
http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-linear.htm. Acesso em 02/08/2015
http://www.mundoeducacao.com/matematica/sistemas-equacoes-lineares.htm. Acesso em 02/08/2015
http://www.somatematica.com.br/emedio/sistemas/sistemas.php. Acesso em 02/08/2015
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_linear. Acesso em 02/08/2015
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Openclipart/Domínio Público
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31/07/2015
26 A
Openclipart/Domínio Público
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31/07/2015
26 B
Openclipart/Domínio Público
http://publicdomainvectors.org/pt/vetorial-gratis/Gr%C3%A1ficos-vetoriais-do-mouse-de-computador-em-forma-de-ovo/22293.html
02/08/2015
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