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MECÂNICA APLICADA Capítulo IV CAMES Curso de Licenciatura em Engenharia Mecânica Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia UNIVERSIDADE DO MINHO J.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta Claro [e-version: 2004] MECÂNICA APLICADA - Cames 1 4.1 CLASSIFICAÇÃO Came é um orgão mecânico cuja função é, por contacto directo, conduzir ou impôr um determinado movimento a um outro elemento, designado como seguidor. As cames podem classificar-se em três grandes grupos, a saber: - lineares - Fig.4.1.a) - de disco - Fig.4.1.b) a f) - cilíndricas - Fig.4.1.g) e h) enquanto os seguidores se podem dividir em: - de deslocamento linear ou de translacção - Fig.4.1.a) a e) e h) - de deslocamento angular ou oscilantes - Fig.4.1.f) e g) ou ainda: - de faca - Fig.4.1.d) - de rolete - Fig.4.1.a) a c), g) e h) - de prato - Fig.4.1.e) e f) podendo, no caso das cames de disco com seguidor radial, este ter a sua linha de acção alinhada com o centro de rotação da came - Fig.4.1.d) e f) - ou descentrada - Fig.4.1.c) e e). Figura 4.1 - Tipos de cames e de seguidores Em qualquer caso, é imprescindível que o seguidor seja obrigado a manter o contacto com a superfície da came, quaisquer que sejam as condições de funcionamento. Isto implica uma análise cuidada das características do movimento induzido pela came ao seguidor, nomeadamente em termos de aceleração e impulso, de modo a serem contabalançadas pela cinética do MECÂNICA APLICADA - Cames 2 próprio seguidor e de todo o mecanismo que se encontre a juzante dele. Em aplicações básicas poder-se-á contar simplesmente com a gravidade mas, na generalidade dos casos, torna-se necessário recorrer a molas ou sistemas mais elaborados (de pressão hidráulica, por exemplo) que não serão aqui abordados. Um caso particular é o do emprego de um seguidor de ‘retorno positivo’, que garanta um controlo total sobre o movimento. Nas Fig.4.1.b) e 4.2.a) ilustra-se a utilização de uma came de diâmetro constante e nas Fig.4.2.b) e c), respectivamente, os casos de dupla-came e de came de face. a) b) c) Figura 4.2 - Cames de retorno positivo Neste capítulo o estudo do movimento e da geometria, bem como a correspondente análise cinemática e cinética, serão restringidos às cames de disco com seguidor radial, vulgarmente designadas como ‘cames radiais’. MECÂNICA APLICADA - Cames 3 4.2 GEOMETRIA DA CAME RADIAL A Fig.4.3 mostra o caso de uma came com seguidor de rolete centrado com o eixo de rotação da came, na qual se identificam algumas características importantes, a saber: (φφφφ) ângulo de pressão: ângulo formado pela direcção do movimento do seguidor com a normal ao perfil primitivo, em cada ponto; (a) circunferência de base: a menor circunferência, com centro no eixo da came, tangente ao perfil da came; (b) ponto traçador: ponto teórico do seguidor, correspondente ao ponto extremo de um seguidor de faca, com auxílio do qual se define a curva primitiva da came (para um seguidor de faca, a curva primitiva coincide com a superfície da came); (d) ponto primitivo: ponto da curva primitiva correspondente à posição para a qual o ângulo de pressão é máximo; (e) circunferência primitiva: circunferência, com centro no eixo da came, que passa pelo ponto primitivo; (f) circunferência principal: a menor circunferência, com centro no eixo da came, tangente à curva primitiva. Figura 4.3 - Perfil de came radial MECÂNICA APLICADA - Cames 4 4.3 DIAGRAMA DE DESLOCAMENTOS 4.3.1 Introdução A geometria de uma came é determinada pelo movimento que se pretende induzir ao seguidor. O problema resolve-se mais facilmente com recurso a uma inversão do mecanismo, considerando a came estacionária e o seguidor em rotação em sentido oposto, obtendo-se assim o denominado Diagrama de Deslocamentos. Na realidade, o processo de concepção de uma came inicia-se pela traçagem do referido diagrama, em que: - a abcissa corresponde aos 360o de rotação completa da came, (devendo ter o perímetro da circunferência principal) - a ordenada representa o deslocamento linear pretendido do seguidor. tal como o esboçado na Fig.4.4, aplicado ao caso da came da Fig.4.3. Figura 4.4 - Diagrama de deslocamentos Neste diagrama podem identificar-se facilmente os períodos de subida, de retorno e de estacionamento quer ‘em cima’ quer ‘em baixo’ do seguidor, sendo de salientar que uma came pode apresentar vários destes estágios ao longo de uma única rotação. De notar também a existência de pontos de inflexão das curvas, que correspondem aos pontos primitivos do traçado da came e que, coincidindo com a maior inclinação da curva primitiva, se traduzem nos pontos de ângulo de pressão máximo. A abcissa do diagrama divide-se num número conveniente de partes, dependendo unicamente da precisão requerida para a traçagem, correspondendo a sectores angulares de rotação da própria came. Obs.: do exposto acima depreende-se que, para a criação de um Diagrama de Deslocamentos, deverão ter sido definidos previamente os diâmetros do rolete (caso exista) e da circunferência principal (ou da circunferência de base) da came; a forma de dimensionar estes parâmetros, assim como as implicações dos seus valores no resultado final, serão abordadas mais adiante neste capítulo. MECÂNICA APLICADA - Cames 5 4.3.2 Movimentos Básicos do Seguidor 4.3.2.1 Movimento uniforme O movimento uniforme (ou, mais exactamente, o movimento a velocidade constante) corresponde a um deslocamento regido por uma equação do tipo, y = C ⋅ θ em que (y) é o deslocamento do seguidor, (C) uma constante e (θθθθ) o ângulo de rotação da came. Considerando que se pretende uma elevação total (d) numa rotação de (ββββ) radianos, então: d = C ⋅ β ou seja, C = d/β pelo que, y = d/β ⋅ θ ou seja, (y = d) para (θθθθ = ββββ), o que equivale à equação de uma recta - Fig.4.5. Por sua vez, velocidade e aceleração do seguidor serão dadas por, v = dy/dt = d/β dθ/dt = d/β⋅ω a = d2y/dt2 = d/β dω/dt = 0 em que (ωωωω) é a velocidade angular (constante) da came. Figura 4.5 - Diagrama de movimento uniforme Nota: no caso de o movimento ser de descida, e não de subida como o ilustrado, a análise e respectivas conclusões seriam idênticas, sendo apenas necessário ajustar o sinal nas equações acima. MECÂNICA APLICADA - Cames 6 4.3.2.2 Movimento uniforme modificado Pelo facto de implicar uma passagem abrupta da condição de repouso à de velocidade constante (e vice-versa) tornam-se óbvios os inconvenientes da utilização de um movimento uniforme 'puro'. A situação - que se traduz na existência de acelerações teóricamente infinitas na zona de transição, como se pode ver na Fig.4.5 - levaria à geração de forças elevadíssimas no ínício do movimento e à impossibilidade de o seguidor se manter em contacto com a superfície da came, no fim da subida. Questões similares se põem na sua utilização para o retorno (descida) do seguidor. Assim, uma solução simples reside no 'arredondamento' das zonas de transição, com o auxílio de arcos de raio igual à elevação total (d), tal como ilustrado na Fig.4.6. Figura 4.6 - Movimento uniforme modificado 4.3.2.3 Movimento parabólico Correspondendo à construção de uma curva de deslocamentos como a da Fig.4.7, Figura 4.7 - Diagrama de movimento parabólico a respectiva equação vem como, y = C ⋅ θ2 expressão que apenas é aplicável para (0 ≤ θθθθ ≤ ponto de inflexão). MECÂNICA APLICADA - Cames 7 Considerando que o ponto de inflexão é tal que (y = d/2), pelo que (θθθθ = ββββ/2) e (C = 2⋅⋅⋅⋅d/ββββ2), então na primeira parte do movimento, y = 2⋅d (θ/β)2 e, por seuturno, v = dy/dt = (4⋅d⋅ω/β2)⋅θ a = d2y/dt2 = 4⋅d⋅ω2/β2 Para a segunda parte do movimento, após o ponto de inflexão, vem que: y = C1 + C2 θ + C3 θ2 donde, tendo em atenção que (θθθθ = ββββ) para (y = d), d = C1 + C2 β + C3 β2 Por sua vez, como para (θθθθ = ββββ) a velocidade é nula e para (θθθθ = ββββ/2) é máxima, então de: dy/dt = C2⋅ω + 2⋅C3⋅ω⋅θ resulta que: 0 = C2⋅ω + 2⋅C3⋅ω⋅β 2⋅d⋅ω/β = C2⋅ω + 2⋅C3⋅ω⋅(β/2) sendo possível calcular: C1 = -d C2 = 4⋅d/β C3 = -2⋅d/β2 Assim, virá finalmente: y = d⋅[1-2⋅(1- θ/β)2] v = dy/dt = (4⋅d⋅ω/β)⋅(1-θ/β) a = d2y/dt2 = -4⋅d⋅ω2/β2 cujos resultados podem ser visualizados na Fig.4.8, em que (B) designa o ponto de inflexão da curva de deslocamentos, à esquerda e à direita do qual são aplicáveis um ou outro dos grupos de equações deduzidos acima. Adicionalmente, a Fig.4.8 inclui a curva correspondente à terceira deriva do deslocamento - designada como o impulso ou choque - e que, correspondendo à variação da aceleração, fornece uma indicação adicional da qualidade do accionamento conseguido. No caso do movimento parabólico torna-se evidente que, apesar de a aceleração ser constante, existem situações de impulso 'infinito' no princípio e no fim do movimento, bem como no ponto de inflexão, sendo assim de esperar alguns problemas de funcionamento nestes pontos. MECÂNICA APLICADA - Cames 8 Por esta razão, sistemas empregando este tipo de movimento estão sujeitos a consideráveis restrições de velocidade de rotação. Figura 4.8 - Movimento parabólico 4.3.2.4 Movimento harmónico simples A curva para este tipo de movimento pode ser obtida conforme mostra a Fig.4.9, sendo o deslocamento do seguidor dado por: y = d/2 ⋅[1-cos(π⋅θ/β)] Figura 4.9 - Diagrama de movimento harmónico simples enquanto para a velocidade e a aceleração temos: v = dy/dt = [π⋅d⋅ω/(2⋅β)]⋅sen(π⋅θ/β) a = d2y/dt2 = [(d/2) ⋅(π⋅ω/β)2]⋅cos(π⋅θ/β) MECÂNICA APLICADA - Cames 9 Como mostra a Fig.4.10, os problemas de funcionamento devido à existência de impulso 'infinito' no início e no fim do movimento levam a restrições na sua aplicação, não muito diferentes daquelas verificadas para o movimento parabólico. Figura 4.10 - Movimento harmónico simples 4.3.2.5 Movimento cicloidal Geometricamente, a curva para pode ser obtida como ilustrado na Fig.4.11, sendo o deslocamento do seguidor dado por: y = d ⋅[(θ/β) - (1/2π)⋅sen(2πθ/β)] Figura 4.11 - Diagrama de movimento cicloidal MECÂNICA APLICADA - Cames 10 sendo a velocidade e a aceleração dadas por: v = dy/dt = (d⋅ω/β) ⋅[1 - cos(2πθ/β)] a = d2y/dt2 = (2πd) ⋅[(ω/β)2⋅sen(2πθ/β)] Os diagramas correspondentes encontram-se na Fig.4.12. A notória ausência de problemas de funcionamento faz com que este tipo de perfil seja indicado para mecanismos de alta velocidade. Figura 4.12 - Movimento cicloidal MECÂNICA APLICADA - Cames 11 4.4 DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO PERFIL DA CAME 4.4.1 Came com Seguidor de Rolete Centrado de Deslocamento Linear Inicia-se o procedimento dividindo o diagrama de deslocamentos num número conveniente de partes, tendo em consideração os pontos mais relevantes do movimento - isto é, início e fim de subida, descida, etc. Estes troços são depois sub-divididos equitativamente, contrabalançando a precisão requerida com o número de pontos de traçagem a obter. Seguidamente, divide-se a circunferência de base da came nos sectores angulares equivalentes à divisão efectuada no diagrama de deslocamentos. Partindo de um diagrama de deslocamentos, como o da Fig.4.13.b) - o valor da ordenada de cada ponto pode ser transferido para o correspondente raio do sector angular, no desenho da came - Fig.4.13.a) - adicionando-o à circunferência principal. (a) (b) Figura 4.13 - Came com seguidor de rolete centrado A união de todos os pontos assim determinados dá origem à curva primitiva da came, que MECÂNICA APLICADA - Cames 12 corresponde à trajectória do ponto de traçagem. Finalmente, o esboço das circunferências do rolete em todos os ponto determinados, e a traçagem de uma linha tangente a todas elas, permite a obtenção da superfície da came. 4.4.2 Came com Seguidor de Rolete Descentrado de Deslocamento Linear No desenho da came, começa-se por traçar uma circunferência de raio igual ao descentramento do seguidor (distância, na perpendicular, entre a linha de acção do seguidor e o eixo da came). Seguidamente divide-se esta circunferência no número de sectores angulares correspondentes às divisões definidas no diagrama de deslocamentos. Na intercepção de cada um dos raios, assim marcados, com a circunferência de descentramento traçam-se as respectivas perpendiculares - Fig.4.14. Nota: estas perpendiculares correspondem, de facto, à linha de acção do seguidor Figura 4.14 - Came com seguidor de rolete descentrado A transferência dos valores das ordenadas do diagrama de deslocamentos é feita para estas perpendiculares, definindo os pontos da curva primitiva. A continuação do procedimento é idêntica ao caso do rolete centrado. MECÂNICA APLICADA - Cames 13 4.4.3 Came com Seguidor de Prato de Deslocamento Linear O procedimento é genericamente idêntico aos anteriores, para seguidor centrado ou descentrado, conforme o caso, até à traçagem da curva primitiva. Tendo em atenção que, neste caso, o ponto de traçagem corresponde ao ponto central do prato, o passo seguinte é o esboço de linhas perpendiculares à linha de actuação do seguidor, passando pelo ponto de traçagem (que, na realidade, são esboços da superfície de contacto do prato). A curva da came obtem-se por traçagem de uma linha tangente à superfícies do prato, em todas as posições definidas. Adicionalmente, é possível determinar a largura mínima do prato que, dependendo do diagrama de deslocamentos, pode não ser simétrico - valores a e b, na Fig.4.15. Figura 4.15 - Came com seguidor de prato 4.4.4 Came com Seguidor de Rolete de Deslocamento Angular Inicia-se o procedimento por traçar a circunferência correspondente ao eixo de rotação do seguidor, com centro no eixo da came, dividindo-a depois no número de sectores angulares previamente definido no diagrama de deslocamentos (1”, 2”, ..., na Fig.4.16). Nota: nestes casos, a ordenada do diagrama de deslocamentos corresponde a variações angulares e não lineares Seguidamente, esboça-se o seguidor na sua posição de partida e sobrepõe-se-lhe o arco de oscilação pretendido, marcando-lhe as diferentes posições angulares (1’, 2’,...) constantes do diagrama de deslocamentos. A curva primitiva é então determinada pela intercepção do arco, com centro no eixo da came, saído de cada ponto acima referido (1’, 2’, ...) com o arco de raio igual ao comprimento do seguidor (*) e centro no eixo da posição considerada (1”, 2”, ...). (*) entendendo-se por comprimento do seguidor a distância entre o seu eixo e o eixo do respectivo rolete MECÂNICA APLICADA - Cames 14 A superfície da came é traçada do mesmo modo que nos casos anteriores. Figura 4.16 - Came com seguidor oscilante MECÂNICA APLICADA - Cames 15 4.5 PARÂMETROS DE DESEMPENHO Quando indevidamente seleccionados, os sistemas de cames empregues em mecanismos de média/alta velocidade tornam-se em importantes fontes de ruído e de vibração, sendo frequente a sua ruptura por fadiga. Assim, além de exigirem um nível de manutenção elevado, podem originar deficiências gerais de funcionamento de todo um equipamento. Normalmente, uma análise cuidadosa dos diagramas de aceleração e de choque (ou impulso) permite a detecção de pontos de funcionamento problemáticos e a sua correcção no estágio de projecto. Todavia, em sistemas de média/baixa velocidade,apenas o deslocamento e a velocidade são realmente importantes factores de escolha e decisão. 4.5.1 Comparação de movimentos do seguidor Uma comparação entre os diferentes tipos de movimentos básicos, descritos atrás, poder-se-ia realizar igualando à unidade os parâmetros (d), (ωωωω) e (ββββ) e calculando os valores característicos resultantes: Tipo de Movimento Uniforme Parabólico Harmónico Cicloidal ymax 1 2 π/2 2 vmax 0 4 π2/2 2π amax 0 0 π3/2 4π2 Nota: desprezando as descontinuidades de início/fim de movimento, bem como o ponto de inflexão no movimento parabólico Numa rápida análise à Tabela acima, pode constatar-se ser o movimento uniforme o mais aconselhável e o movimento cicloidal o de piores características. Como esta conclusão é evidentemente errónea face à realidade dos factos, o estudo comparativo deve ser mais aprofundado. Assim, e traçando os diagramas de velocidade, aceleração e impulso - Fig.4.17, tendo em consideração que: - a velocidade é considerada nula, no início e no fim do movimento; - a aceleração é tomada como ‘positiva’ quando a velocidade aumenta e ‘negativa’ quando diminui; - a área total circunscrita pela curva de aceleração é nula, isto é, as áreas acima e abaixo da linha de zero equivalem-se; algumas conclusões poderão ser retiradas. Numa primeira análise, constata-se que o movimento uniforme apenas poderá ter um interesse teórico, uma vez que a magnitude atingida simultaneamente pela aceleração e pelo impulso lhe retiram qualquer aplicabilidade prática. MECÂNICA APLICADA - Cames 16 Tendo em consideração a relativamente baixa aceleração que se verifica no movimento parabólico, este seria uma boa solução caso não se verificassem os três picos de impulso que vedam qualquer hipótese da sua utilização para velocidades elevadas. O movimento harmónico apresenta igualmente pontos de muito elevado impulso, pelo que a sua utilização enferma das mesmas restrições do movimento parabólico. Quanto ao movimento cicloidal, apesar de ter uma aceleração que, globalmente, é superior à dos outros movimentos, apresenta um impulso de grandeza finita, assegurando assim um funcionamento capaz, mesmo a altas velocidades. Nota: em Anexo pode ser consultada uma comparação extensiva dos movimentos do seguidor, bem como uma análise de aplicabilidade, para todas as curvas básicas usuais. Figura 4.17 - Diagramas comparativos MECÂNICA APLICADA - Cames 17 4.5.2 Ângulo de Pressão O ângulo de pressão é definido pela normal à superfície da came, no ponto de contacto, com a direcção segundo a qual o seguidor se desloca. Este ângulo define a decomposição da força execrcida pela came, nos sentidos radial e tangencial, e portanto a proporção dessa força que é, efectivamente, empregue no deslocamento (radial) do seguidor. A componente tangencial, uma vez transmitida ao seguidor, é descarregada nos seus apoios/guia em pura perda. Adicionalmete, elevados ângulos de pressão em conjunção com a (imprescindível) folga funcional da guia e condições de lubrificação deficiente, desgaste dos componentes, etc., podem levar ao encravamento e mesmo à ruína do sistema. Tendo em consideração que, em termos práticos, o tamanho da came depende do diâmetro do seu próprio veio, da curvatura do seu perfil e do ângulo de pressão resultante, este último pode ser reduzido aumentando o tamanho da came. A contrapartida é a de maiores massas rotativas desbalanceadas, maior atravancamento e, de uma forma geral, maiores dimensões dos restantes orgãos mecânicos. Assim, o problema põe-se em termos de conseguir o projecto de uma came de dimensões razoáveis que, simultaneamente, apresente um ângulo de pressão suficientemente baixo. O ângulo de pressão pode ser expresso em termos matemáticos. No entanto, dependendo do tipo de movimento (perfil da came), a respectiva equação pode ser impossível de resolver excepto por meios gráficos ou métodos analíticos aproximados. Para o caso genérico de uma came com seguidor de rolete descentrado, apresentado na Fig.4.18: Figura 4.18 - Ângulo de pressão pode ser demonstrado que a velocidade instantânea do seguidor é dada por (v4 = ωωωω2 ⋅⋅⋅⋅ O2P), donde: v4 = ω2 ⋅[e + (a + y) tanφ] em que: ω2 = velocidade de rotação da came rA = raio do círculo primitivo e = descentramento came/seguidor φ = ângulo de pressão a = (rA2 - e2)½ MECÂNICA APLICADA - Cames 18 ou seja: tanφ = (v4/ω2 - e) / (a + y) em que, uma vez que tanto (v4) como (ωωωω2) constam da equação, se pode concluir que o ângulo de pressão (φφφφ) não depende da velocidade angular da came. Nota: no caso de seguidor concentrico, a expressão acima reduz-se a: tanφ = (v4/ω2)/(a + y) Para a determinação do ângulo de pressão, ao longo da rotação da came, basta substituir (y) pelos valores correspondentes, dados pela equação do tipo de movimento em causa. A influência do tipo de movimento no ângulo de pressão é demonstrada na Fig.4.19, em que se encontram traçados os deslocamentos correspondentes a um mesmo valor de (φ), para movimentos uniforme, modificado, harmónico simples, cicloidal e parabólico. A - Uniforme, B - Unif.modificado, C - Harmónico simples, D - Cicloidal , E - Parabólico Figura 4.19 - Curvas de deslocamento para um mesmo ângulo de pressão Os resultados estão expressos em termos do diâmetro primitivo necessário, relativamente ao deslocamento (y) pretendido e, de A a E, encontram-se ordenados pelo maior diâmetro necessário para assegurar um mesmo valor de ângulo de pressão. Normalmente o ângulo de pressão é limitado a um máximo de 30o a 35o, valores que a prática indica como suficientes para garantir a ausência de problemas na maioria das aplicações. De notar ainda que, para uma mesma geometria de came, o descentramento do seguidor é um modo efectivo de diminuir o ângulo de pressão, bem como a utilização de seguidores planos e de rolete oscilante. 4.5.3 Factor de Came Existe uma forma empírica de projecto de cames com seguidor de translacção com rolete, baseada no chamado ‘factor de came’: f = l / y em que: l = comprimento de arco de circunferência primitiva (em mm) y = deslocamento do seguidor (em mm) conseguida no decurso desse arco Valores usuais de (f) para diferentes ângulos de pressão e movimentos básicos do seguidor, são listados a seguir. MECÂNICA APLICADA - Cames 19 Adicionalmente, e como o comprimento do arco da circunferência primitiva (l) e o respectivo raio (rP) são relacionados por: l = rP ⋅ β então: rP = l / β = f ⋅ y / β o que permite definir, à partida, o raio primitivo da came para se obter determinado ângulo de pressão, conhecidos que sejam o deslocamento pretendido, o ângulo de rotação da came em que se processa e retirado o factor de came da Tabela abaixo. Factores de Came para movimentos básicos Tipo de Movimento Ângulo de Pressão Uniforme Uniforme modificado Harmónico Parabólico e Cicloidal 10 5.67 5.84 8.91 11.34 15 3.73 3.99 5.85 7.46 20 2.75 3.10 4.32 5.50 25 2.14 2.58 3.36 4.28 30 1.73 2.27 2.72 3.46 35 1.43 2.06 2.24 2.86 40 1.19 1.92 1.87 2.38 45 1.00 1.83 1.57 2.00 4.5.4 Raio de Curvatura Nem sempre o projecto correcto de uma came (em termos de deslocamento, velocidade, aceleração e ângulo de pressão) resulta no correcto movimento do seguidor. A Fig.4.20 (a) mostra duas soluções possíveis para uma mesma curva primitiva: duas superfícies diferentes, para dois diêametros de rolete diferentes. Para o rolete maior, há uma área da came materialmente impossível (um ‘laço’) que, uma vez maquinada, origina uma zona de transição ponteaguda. O resultado final é um rolete que segue uma trajectória ‘rebaixada’,longe da pretendida. (a) duas soluções (b) situação limite Figura 4.20 - Raio mínimo da curva primitiva MECÂNICA APLICADA - Cames 20 Na Fig.4.20 (b) encontra-se a situação limite em que um rolete consegue seguir a curva pretendida, ou seja, quando: rR ≥ ρK em que (rR) representa o raio do rolete e (ρρρρK) o raio de curvatura. A obtenção de uma expressão analítica para o raio mínimo da curva primitiva pode ser demonstrada, para um caso genérico como o ilustrado na Fig.4.21. Figura 4.21 - Raio da curva primitiva em que, sendo (rA) o raio da circunferência primitiva e (y4) o deslocamento do seguidor, dependente do angulo (θθθθ2) da came, o raio da curva primitiva em qualquer ponto é dado por: r = rA + y4 A equação geral do raio de curvatura pode ser deduzida por cálculo diferencial, como: [r2 + (dr/dθ2)2]3/2 ρ = - r2 + 2⋅(dr/dθ2)2 - r⋅(d2r/dθ22) ou, como (dr/dθ2) = (dy4/dθ2), [(rA + y4)2 + (dy4/dθ2)2]3/2 ρK = - (rA +y4)2 + 2⋅(dy4/dθ2)2 - (rA + y4)⋅(d2y4/dθ22) em que o sinal negativo indica a existência de uma concavidade na curva. Nas cames, usualmente, o raio (ρρρρK) atinge o seu valor mínimo quando (dy4/dθθθθ2=0), o que ocorre para (θθθθ2=0) e (y4=0). Recordando que (dθθθθ2/dt=ωωωω2), (dy4/dt=v4) e (d2y4/dt2=a4), além de que (d2θθθθ2/dt2=0) para (ωωωω2=const), pode concluir-se que a curvatura primitiva mínima será dada por: rA2 ρK, min. = - rA - (a4/ω22) MECÂNICA APLICADA - Cames 21 dependendo, assim, do raio da circunferência primitiva e da razão entre a velocidade de rotação da came e a aceleração do seguidor. Por seu turno, o raio mínimo da superfície da came deverá ser de, ρC, min. = ρK, min. + rR No caso de curvatura convexa o estudo é em tudo semelhante, excepto no facto da expressão de (ρρρρK) ser positiva. Neste caso, o raio mínimo de curvatura corresponde ao ponto de máxima aceleração negativa. Para seguidores de prato plano, a came deve ter dimensões suficientes para evitar que o raio de curvatura do perfil seja nulo, no período de aceleração negativa. Para evitar esta situação basta garantir que: ρC, min. = rB + y + (a4/ω22) > 0 4.5.5 Relação de Acelerações No decurso da elevação ou da descida do seguidor, existem pelo menos dois pontos de aceleração máxima, uma positiva e outra negativa. A ‘relação de acelerações’ define-se como a razão entre estes dois valores absolutos máximos. Utilizando os índices (i) e (ii) para definir a primeira e segunda partes do movimento do seguidor, a relação de acelerações é dada por: K = ai,max/aii,max Assim, e se o movimento for de elevação, (K>1) indica que a aceleração positiva é mais elevada que a aceleração negativa, e vice-versa. Por vezes, no projecto de cames, é conveniente limitar um destes picos, mas não necessáriamente os dois. Na hipótese de um seguidor que seja mantido contra a respectiva came unicamente por acção da gravidade, o contacto perder-se-á caso a aceleração negativa ultrapasse os 9.8 m/s2. Neste caso a solução, para evitar o recurso à acção de molas, passaria por garantir uma relação de acelerações diferente da unidade. Analizando, por exemplo, um caso de elevação parabólica em que podem ser individualizadas duas fases distintas do movimento de subida - uma primeira que se processa durante um ângulo (ββββI) de rotação da came, e uma segunda num ângulo (ββββii), sendo o ângulo total de elevação de (ββββ=ββββi+ββββii) - para a primeira parte do movimento teremos uma equação básica do tipo: yi = C ⋅ θ em que, sendo (yi=y/2) para (θθθθ=ββββ), então (C=y/2ββββi2) e portanto, yi = (y⋅θ2)/(2⋅β2) pelo que: vi = (y⋅ω)/(2⋅βi) ⋅ θ ai = (y⋅ω2)/βi2 MECÂNICA APLICADA - Cames 22 sendo que a aceleração máxima ocorrerá para (θ=βi), com o valor: ai,max. = (y⋅ω)/βi Para a segunda fase do movimento de subida, teremos: yii = C1 + C2 ⋅ θ + C3 ⋅ θ2 em que, sendo (yii=y) e (vii=0), para (θθθθ=ββββi+ββββii), enquanto que (aii=ai=(y⋅⋅⋅⋅ωωωω)/ββββi), para (θθθθ=ββββI), então: yii = - [y/(2⋅βi⋅βii)] ⋅ [βi2 + βii2 - 2⋅(βi + βii)⋅θ + θ2] e, por sua vez, aii = (y⋅ω2)/(βiβii) Assim, a relação de acelerações será, ai (y⋅ω2)/βi2 βii K = = = aii (y⋅ω2)/βiβii βi pelo que se pode concluir que a relação desejada poderá ser conseguida por simples ajuste das duas partes (ββββI e ββββii) do ângulo de rotação da came correspondente à elevação do seguidor. MECÂNICA APLICADA - Cames 23 4.6 CASOS PARTICULARES 4.6.1 Cames Tangentes e de Arcos de Circunferência Frequentemente, a necessidade de fabrico de cames em grande quantidade e a custos razoáveis implica a introdução de simplificações na sua geometria e, portanto, ao compromisso do seu desempenho, nomeadamente em termos de velocidades e acelerações. Nestes casos é também comum o recurso à ‘mecânica inversa’, isto é, partir de um perfil de came exequível - usualmente constituído por uma combinação de arcos, rectas, involutas, etc., fáceis de gerar em máquinas-ferramentas comuns - e determinar a posteriori o diagrama de deslocamentos correspondente. Seguidamente é realizada a análise cinemática do movimento resultante, detectados e reparados os possíveis problemas de funcionamento e o projecto gradualmente melhorado, por aproximações sucessivas. O primeiro exemplo, ilustrado na Fig.4.22(a), é de uma came constituída por três arcos de diferentes raios, vulgarmente designada por ‘came de arcos’. Os pontos A, B, C e D são tangentes aos arcos adjacentes e normalmente implicam alterações súbitas de aceleração, devido à mudança de raio de curvatura. O segundo exemplo, na Fig.4.22(b), é de uma ‘came tangente’ composta por segmentos de recta tangentes a arcos de circunferência. Além de problemas semelhantes aos do exemplo anterior, nesta came não é de todo conveniente o emprego de seguidores de prato, devido às suas superfícies planas. (a) (b) Figura 4.22 - Came de arcos e Came tangente 4.6.2 Curvas Melhoradas Em aplicações de alta velocidade os movimentos básicos, vistos atrás, são muitas vezes inadequados em termos de deslocamento, velocidade ou aceleração. Uma solução passa pela adopção de combinações de parcelas de várias curvas básicas tendo em atenção que, nos pontos de união, deve ser assegurada a sua perfeita tangencia e a constância da aceleração. Outro método consiste na criação de uma curva polinomial. Com este tipo de curva é possível uma MECÂNICA APLICADA - Cames 24 boa aproximação a qualquer movimento, muito embora o seu cálculo possa ser complicado. A equação é do tipo, y = C0 + C1⋅θ + C2⋅θ2 + C3⋅θ3 + ... + Cn⋅θn sendo (y) o deslocamento do seguidor e (θθθθ) o angulo de posição da came. As constantes (Ci) dependem das ‘condições de fronteira’, ou seja, das particularidades geométricas do movimento e serão em número idêntico ao das condições a serem cumpridas. Assim e se, por exemplo, se pretender que: Movimento do seguidor θθθθ y v a 0 0 0 0 β d 0 0 para seis condições, teremos: y = C0 + C1⋅θ + C2⋅θ2 + C3⋅θ3 + C4⋅θ4 + C5⋅θ5 cujas primeira e segunda derivada serão: v = ωC1 + 2ωC2⋅θ + 3ωC3⋅θ2 + 4ωC4⋅θ3 + 5ωC5⋅θ4 a = 2ω2C2 + 6ω2C3⋅θ + 12ω2C4⋅θ2 + 20ω2C5⋅θ3 Subsituindo as condições da Tabela acima nestas três equações, obtem-se 0 = C0 d = C0 + C1⋅β + C2⋅β2 + C3⋅β3 + C4⋅β4 + C5⋅β5 0 = ωC1 0 = ωC1 + 2ωC2⋅β + 3ωC3⋅β2 + 4ωC4⋅β3 + 5ωC5⋅β4 0 = + 2ω2C2 0 = + 2ω2C2 + 6ω2C3⋅β + 12ω2C4⋅β2 + 20ω2C5⋅β3 a partir das quais se podem calcular: C5 = C1 = C2 = 0 C3 = 10⋅d/β3 C4 = -15⋅d/β4 C5 = 6⋅d/β5 Assim, finalmente, virão o deslocamento, 10⋅d 15⋅d 6⋅d y = θ3 - θ4 + θ5β3 β4 β5 MECÂNICA APLICADA - Cames 25 a velocidade, 30dω 60dω 30dω v = θ2 - θ3 + θ4 β3 β4 β5 a aceleração, 60dω2 180dω2 120dω2 a = θ - θ2 + θ3 β3 β4 β5 e o impulso, 60dω3 360dω3 360dω3 i = - θ + θ2 β3 β4 β5 Na Fig.4.23 encontram-se as curvas correspondentes. De notar que, embora substancialmente diferentes, os resultados são comparáveis com os obtidos por um movimento cicloidal. Figura 4.23 - Curvas de deslocamento polinomial -----oOo----- MECÂNICA APLICADA Anexo ao Capítulo IV CAMES Curso de Licenciatura em Engenharia Mecânica Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia UNIVERSIDADE DO MINHO J.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta Claro (2001) [e-version: 2004] MECÂNICA APLICADA - Cames Anexo-1 ANEXO - CINEMÁTICA DE CURVAS BÁSICAS I.1. Equações do movimento A ce le ra çã o 0 ( ω ⋅R P⋅ d) 2 / [ d2 -( R P⋅ θ) 2 ]3 /2 [(d /2 ) ⋅ ( π ⋅ω / β) 2 ]⋅ co s( π ⋅θ / β) d/ 2 ⋅ ( π ⋅ω / β) 2 ⋅ [ co s( π ⋅θ / β) - c os (2 π ⋅θ / β) ] (2 π d ⋅ ω 2 / β )2 ⋅ se n( 2 π θ/ β) ] (4 ⋅ d ⋅ ω 2 ) / β2 -4 ⋅ d ⋅ ( ω / β) 2 24 ⋅ d ⋅ ω 2 / β 2 ⋅ ( θ / β) -2 4 ⋅ d ⋅ ω 2 / β 2 ⋅ (1 - θ / β) 6 ⋅ d ⋅ ω 2 / β 2 ⋅ (1 -2 ⋅ θ/ β) V el oc id ad e d/ β⋅ω ( ω ⋅R P⋅ θ) / [d 2 -( R P⋅ θ) 2 ]1 /2 [π ⋅ d ⋅ ω /(2 ⋅ β) ] ⋅ se n( π ⋅θ / β) π ⋅d ⋅ ω /(2 ⋅ β) ⋅ [ se n( π ⋅θ / β) -1 /2 ⋅ se n( 2 π ⋅θ / β) ] (d ⋅ ω / β) ⋅[ 1 - c os (2 π θ/ β) ] (4 ⋅ d ⋅ ω ⋅ θ) / β2 (4 ⋅ d ⋅ ω / β) ⋅ (1 - θ / β) 12 ⋅ d ⋅ ω / β⋅ ( θ / β) 2 12 ⋅ d ⋅ ω / β⋅ (1 - θ / β) 2 6 ⋅ d ⋅ ω ⋅ θ/ β2 ⋅ (1 - θ / β) D es lo ca m en to d/ β ⋅ θ d– [d 2 -( R P⋅ θ) 2 ]1 /2 d/ 2 ⋅ [1 - c os ( π ⋅θ / β) ] d/ 2 ⋅ [1 - c os ( π ⋅θ / β) -1 /4 ⋅ (1 - c os (2 π ⋅θ / β) ) ] d / π ⋅[( π θ/ β)- 1/ 2 ⋅ se n( 2 π θ/ β) ] 2 ⋅ d ⋅ ( θ / β) 2 d ⋅ [1 -2 ⋅ (1 - θ / β) 2 ] 4 ⋅ d ⋅ ( θ / β) 3 d ⋅ [1 -4 ⋅ (1 - θ / β) 3 ] d ⋅ ( θ / β) 2 ⋅ (3 -2 ⋅ θ/ β) C ur va R ec ta A rc os d e C ir cu nf er ên ci a H ar m ón ic a Si m pl es H ar m ón ic a D up la C ic lo id al Pa ra bó lic a (θ θθθ /β βββ≤ ≤≤≤ 0. 5) (θ θθθ /β βββ≥ ≥≥≥ 0. 5) C úb ic a N º 1 (θ θθθ /β βββ≤ ≤≤≤ 0. 5) (θ θθθ /β βββ≥ ≥≥≥ 0. 5) C úb ic a N º 2 MECÂNICA APLICADA - Cames Anexo-2 I.2. Características cinemáticas do movimento A pl ic aç ão Im pr at ic áv el c om es ta ci on am en to n os e xt re m os B ai xa s v el oc id ad es Ex ce le nt e pa ra v el oc id ad es m od er ad as Ex ce le nt e pa ra a lta s v el oc id ad es V el oc id ad es b ai xa s e m od er ad as B ai xa s v el oc id ad es M od er ad as a a lta s v el oc id ad es O bs er va çõ es C ho qu es n os e xt re m os Im pu ls o co ns id er áv el Im pu ls o ra zo áv el p ar a m éd ia s ve lo ci da de s B ai xa v ib ra çã o, ru íd o e de sg as te  ng ul o de p re ss ão e le va do Ex ig e gr an de p re ci sã o de fa br ic o A ce le ra çã o In fin ita n os e xt re m os El ev ad a no s e xt re m os R ed uz id a no s e xt re m os e n ul a no p on to m éd io V ar ia çã o su av e M ui to b ai xa m as d e ap lic aç ão br us ca B ru sc a no p on to m éd io M ui to su av e no in íc io d o le va nt am en to V el oc id ad e C on st an te M en or n os e xt re m os V al or es d ep en de nt es d a re la çã o Ei xo m ai or /E ix o m en or N ul a no s e xt re m os e m áx im a no po nt o m éd io B ai xa n os e xt re m os e e le va da n o po nt o m éd io V ar ia çã o un ifo rm e do s e xt re m os pa ra o p on to m éd io C om po rta m en to m ui to se m el ha nt e ao d a cu rv a H ar m ón ic a Si m pl es M ui to su av e no in íc io d o le va nt am en to C ur va R ec ta A rc os d e C ir cu nf er ên ci a E líp tic a H ar m ón ic a Si m pl es C ic lo id al Pa ra bó lic a C úb ic a N º 1 C úb ic a N º 2 H ar m ón ic a du pl a MECÂNICA APLICADA - Cames Anexo-3 I.3. Alguns considerandos finais Curvas Básicas Recta: fracas características a qualquer velocidade, devido ao choque que se verifica no início e no fim do levantamento Recta Modificada: melhor que a anterior, mas só utilizável a muito baixas velocidades Arcos de Circunferência: os choques no início e no fim do movimento são reduzidos, mas à custa de um elevado ângulo de pressão Elipse: de características idênticas às da curva harmónica simples, quando correctamente escolhida a proporção dos eixos; de fabrico difícil e elevada dimensão (para controlar o ângulo de pressão) não é, em geral, muito utilizada Harmónica Simples: de cálculo complicado, embora de construção simples, apresenta um comportamento razoável a velocidades elevadas Harmónica Dupla: semelhante à anterior, tem ainda a vantagem de uma maior suavidade no início do levantamento Cicloidal: a melhor das curvas básicas, permitindo altas velocidades de funcionamento Parabólica: inferior à anterior, para velocidades elevadas Cúbica Nº 1: originando cames de elevadas dimensões, a sua utilização só é viável para baixas velocidades (em que o efeito da inércia de massas desbalanceadas seja pequeno) Cúbica Nº 2: tem características semelhantes à de curva harmónica simples -----oOo----- J.C.Pimenta Claro [e-version: 2004] 4.1nullCLASSIFICAÇÃO 4.2nullGEOMETRIA DA CAME RADIAL 4.3nullDIAGRAMA DE DESLOCAMENTOS 4.3.1nullIntrodução 4.3.2nullMovimentos Básicos do Seguidor 4.3.2.1nullMovimento uniforme 4.3.2.2nullMovimento uniforme modificado 4.3.2.3nullMovimento parabólico 4.3.2.4nullMovimento harmónico simples 4.3.2.5nullMovimento cicloidal 4.4nullDETERMINAÇÃO GRÁFICA DO PERFIL DA CAME 4.4.1nullCame com Seguidor de Rolete Centrado de DeslocamentoLinear 4.4.2nullCame com Seguidor de Rolete Descentrado de Deslocamento Linear 4.4.3nullCame com Seguidor de Prato de Deslocamento Linear 4.4.4nullCame com Seguidor de Rolete de Deslocamento Angular 4.5nullPARÂMETROS DE DESEMPENHO 4.5.1nullComparação de movimentos do seguidor 4.5.2nullÂngulo de Pressão 4.5.3nullFactor de Came 4.5.4nullRaio de Curvatura 4.5.5nullRelação de Acelerações 4.6nullCASOS PARTICULARES 4.6.1nullCames Tangentes e de Arcos de Circunferência 4.6.2nullCurvas Melhoradas J.C.Pimenta Claro (2001) [e-version: 2004] ANEXO - CINEMÁTICA DE CURVAS BÁSICAS I.1. Equações do movimento I.2. Características cinemáticas do movimento I.3. Alguns considerandos finais
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