119 ap3 mb 2011 2 gab

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Matemática Básica 2011/2  AP3-gabarito 
 
1ª Questão: (2,0) Resolva: 
a) . 
b) 
 
 
 , escreva o resultado usando a notação de intervalo. 
 
Solução: 
a) Observe que, fatorando, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Vamos estudar o sinal do numerador e do denominador da expressão para fazer o 
produto dos sinais: 
 
 
Logo, 
 
2ª Questão: (1,5) 
Num posto de gasolina há um reservatório contendo de óleo diesel e que será abastecido 
por um carro pipa a uma vazão de 300 . 
a) Determine a expressão da função afim que descreve a quantidade de diesel y no 
reservatório a cada minuto t. 
b) Quanto tempo durará o abastecimento, sabendo que a capacidade do reservatório é de 
 ? 
 
Solução: 
a) é a quantidade de diesel no reservatório 
em cada instante . 
 
b) Resolvendo 25000 , temos o tempo de 
abastecimento 
 
 
 ou 1h10min. 
 
 
3ª Questão: (2,0) 
Sabendo que e possuem um ponto de interseção, a saber, o ponto 
(3,6), determine: 
a) as constantes a e b. 
b) Esboce os gráficos das duas expressões acima no mesmo plano cartesiano, marcando 
as interseções com os eixos coordenados, o vértice da parábola e os pontos de 
interseção entre os dois. 
c) Solução: 
a) Substituindo o ponto dado na equação da reta e da parábola, temos o sistema 
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Multiplicando a 1ª equação por-2 e somando à segunda, obtemos 3 a= -6. 
Portanto, e substituindo na 2ª equação temos que . 
b) De a), temos os gráficos da reta e da parábola 
Igualando as ordenadas, calculamos as abscissas das interseções entre os 
gráficos : 
 . 
Portanto, substituindo a abscissa x= -2 na equação da reta (ou da parábola), 
encontramos o outro ponto de interseção são (-2,16). 
 
 
 
 
4ª Questão: (1,5) 
Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 
4. Além disso, os seus terceiros termos são estritamente positivos e também coincidem. Sabe-se 
ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão 
geométrica em 2. Determine o terceiro termo das progressões. 
Solução: 
Digamos que a PG é do tipo 4, x, y com razão r e a PA 4,x+2,y , com razão d. Então, usando 
os dados da pg, temos 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 (1). 
Com os dados da PA, temos 
 e 
Igualando y em (1) e (2), obtemos 
 
 
 . Logo, ou . Como o terceiro termo 
deve ser positivo, segue que Portanto, o terceiro termo é . As progressões 
são 
PA: 4,10,16 , com e a PG: 4,8,16 com . 
 
5ª Questão: (1,5) 
A figura abaixo mostra um lago sobre o qual será construída uma tirolesa saindo de um ponto P 
até Q, na margem do lago. A partir de um ponto O foram medidos =100 m, =160 m e o 
ângulo obtuso , cujo seno é igual a 
 
 
 . 
 
Calcule: 
a) 
b) O comprimento da Tirolesa, desprezando sua altura e supondo POQ sobre a margem 
plana. 
 
Solução: 
a) Pela Identidade Trigonométrica Fundamental, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
. Como o ângulo é obtuso, segue que 
 
 
. 
b) Pela lei dos cossenos, temos que o comprimento x da tirolesa satisfaz 
 
 
 
 
 Logo, = 
 
 
 
6ª Questão: (1,5) 
a) Determine o domínio de 
 
 
. 
b) Usando a), determine o domínio de 
 
 – 
, para no intervalo 
 
Solução: 
a) Devemos ter . Como 
 
 
 
segue que o domínio da é 
 
 
 . 
b) De a), se devemos ter 
 
 
 . Logo,