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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Disciplina: Vetores e Geometria Anal´ıtica Turma: T09, T18 e T24
Prof.: Adriano Veiga de Oliveira Data: 31/07/17
SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Determinar as equac¸o˜es reduzidas, com varia´vel independente x, da reta que passa pelo
ponto A = (4, 0,−3) e tem direc¸a˜o do vetor −→v = 2−→i + 4−→j + 5−→k .
2. O ponto P (2, y, z) pertence a` reta determinada por A(3,−1, 4) e B(4,−3,−1). Encontre
as coordenadas de P .
3. Determine equac¸o˜es parame´tricas para as seguintes retas:
(a) reta que passa por A(1,−2, 4) e e´ paralela ao eixo dos x
(b) reta que passa por B(3, 2, 1) e e´ ortogonal ao plano xz
(c) reta que passa por A(2, 3, 4) e e´ ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y
(d) reta que passa por A(4,−1, 2) e tem a direc¸a˜o do vetor ~i−~j.
4. Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:
(a)

x = −3t
y = 3 + t
z = 4
e
{ x+ 5
6
=
y − 1
m
z = 6
(b)

x = 2− 3t
y = 3
z = mt
e
{ x− 4
6
=
z − 1
5
y = 7
5. Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
(a)
{
y = 2x+ 13
z = 3x− 1 e
x− 1
2
=
y
−1 =
z
m
(b)
{
x = −1
y = 3
e
{
y = 4x−m
z = x
6. Dadas as retas r :
{ y − 3
2
=
z + 1
−2
x = 2
, s :
{
y = 2x
z = x− 3 e h :

x = 3 + t
y = 1− 3t
z = t
, determine:
(a) o ponto de intersec¸a˜o de s e h
(b) o aˆngulo entre r e s.
7. Em que ponto a reta que passa por A(2, 3, 4) e B(1, 0,−2) intercepta o plano xy?
8. Sejam as retas r :

x = 2 + 3t
y = 4 + 5t
z = mt
e s :
{
y = 2x+ 1
z =
x− 3
2
.
(a) Calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes
(b) Determinar, para o valor de m, o ponto de intersec¸a˜o de r e s.
9. Estabelec¸a as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto de intersec¸a˜o das retas
r : x− 2 = y + 1
2
=
z
3
e s :
{
x = 1− y
z = 2 + 2y
e e´, ao mesmo tempo, ortogonal a r e a s.
10. Determine o valor de n para que seja de 30o o aˆngulo entre as retas r :
x− 2
4
=
y + 4
5
=
z
3
e s :
{
y = nx+ 5
z = 2x− 2.
11. Calcule a distaˆncia entre as retas r :
{
x = 0
y = z
e s :
{
y = 3
z = 2x
.
12. Obtenha os pontos da reta r : x − 1 = 2y = z que equidistam das retas s : x = y = 0 e
t : x− 2 = z = 0.
13. Dados A(0, 1) e B(m, 0), determine os pontos P (x, y) da reta r passando por A e B
situados a distaˆncia 1 da origem.
14. Ache a equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto A = (6, 0,−2) e e´ paralelo aos vetores
3
−→
i e −2−→j + 5−→k .
15. Supondo abc 6= 0, escreva a equac¸a˜o do plano que corta os eixos OX, OY e OZ nos
pontos (a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c), respectivamente.
16. Considere o plano pi : 4x+ 6y + 3z − 12 = 0.
(a) Ache as intersec¸o˜es desse plano com os eixos coordenados
(b) Ache a equac¸a˜o do plano pi na forma parame´trica.
(c) Encontre o aˆngulo entre o plano pi e o plano coordenado yz.
17. Considere o plano pi : 5x−y+2z+1 = 0 e as retas r :
{
x = 3z + 1
y = −z + 2 e s :
x− 1
−1 = y =
z − 3
n
.
(a) Ache o valor de n para que o aˆngulo entre as retas r e s seja de 300.
(b) Ache o valor de n para que a reta s na˜o intercepte o plano pi.
(c) Ache a equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta r e e´ ortogonal ao plano pi.
18. Determine todos os pontos sobre a reta r :
{
x = −z + 1
y = 2z − 1 cuja distaˆncia ao plano
pi : x+ y − 2z + 3 = 0 e´
√
11
6
.
19. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m pi1 ∩ pi2 e e´ perpendicular a pi3, sendo
pi1 : x− y + z + 1 = 0, pi2 : x+ y − z − 1 = 0, pi3 : x+ y + 2z − 2 = 0.
20. Ache as coordenadas do ponto do plano 2x + y − 2z = 12 que esta´ mais pro´ximo da
origem.
21. Qual e´ o ponto do plano 2x− 3y + z = 5 mais pro´ximo do ponto P (1, 3, 1)?
GABARITO - LISTA 2
1.
{
y = 2x− 8
z =
5
2
x− 13 2. (2, 1, 9)
3. (a)

x = 1 + t
y = −2
z = 4
(b)

x = 3
y = 2 + t
z = 1
(c)

x = 2
y = 3
z = 4 + t
(d)

x = 4 + t
y = −1− t
z = 2
4. (a) m = −2 (b) m = −5
2
5. (a) m =
16
3
(b) m = −7
6. (a) (2, 4,−1) (b) arccos
(√3
6
)
7.
(4
3
, 1, 0
)
8. (a) m = 2 (b) (−1,−1,−2) 9.

x = 2 + 4t
y = −1− 5t
z = 2t
10. n = 1 ou n = 7 11.
3√
6
12. (1, 0, 0) ou
(19
3
,
8
3
,
16
3
)
13. (0, 1) ou
( 2m
m2 + 1
,
m2 − 1
m2 + 1
)
14. 15y + 6z + 12 = 0 15. bcx+ acy + abz = abc
16. (a) (3, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 4) (b)

x = 3
y = −3t+ 6s
z = 3t− 6s
(c) arccos
( 4√
61
)
17. (a) n =
32±√792
−58 (b) n = 3 (c) x+ y − 2z − 3 = 0
18. (−2 +
√
11, 5− 2
√
11, 3−
√
11) ou (−2−
√
11, 5 + 2
√
11, 3 +
√
11)
19. x+ y − z − 1 = 0 20.
(8
3
,
4
3
,−8
3
)
21.
(18
7
,
9
14
,
25
14
)