Apostila de Função até Função do 1º grau (22 páginas, 116 questões, com gabarito)

Prévia do material em texto

PROF. GILBERTO SANTOS JR
 FUNÇÃO ATÉ FUNÇÃO DO 1º GRAU
 
SUMÁRIO 
 
1 . PRODUTO CARTESIANO ............................... 1 
2 . RELAÇÃO ................................................... 1 
2.1 Representação gráfica de relação ................. 1 
3 . NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO .................... 2 
4 . DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ............................... 3 
5 . DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE 
FUNÇÃO ......................................................... 4 
6 . ESTUDO DO DOMÍNIO ................................. 5 
7 . FUNÇÃO BIJETORA ...................................... 5 
7.1 Função sobrejetora .................................... 5 
7.2 Função injetora .......................................... 5 
7.3 Função bijetora .......................................... 5 
8 . GRÁFICO DE FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO
 ..................................................................... 6 
9 . FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU ............... 6 
9.1 O gráfico ................................................... 6 
9.2 Parte variável e parte fixa ........................... 7 
9.3 Problemas que envolvem função do 1º grau .. 9 
9.4 Raiz ou zero da função do 1º grau ............... 9 
9.5 Crescimento/decrescimento e o coeficiente 
angular/coeficiente linear ............................... 10 
9.6 Função Linear .......................................... 11 
9.7 Função identidade .................................... 11 
9.8 Função constante ..................................... 11 
9.9 Coeficiente linear ..................................... 14 
10 . FUNÇÃO INVERSA ................................... 19 
10.1 Em diagramas ........................................ 19 
10.2 Processo para determinar a função inversa 19 
10.3 O gráfico de função inversa ..................... 20 
Referências ...................................................... 22 
 
 
1 . PRODUTO CARTESIANO 
 Dados dois conjuntos não vazios A e B, de-
nomina-se produto cartesiano de A por B o con-
junto formado pelos pares ordenados nos quais o 
1º elemento pertence ao conjunto A e o 2º ele-
mento pertence ao conjunto B. Simbolicamente, 
 
 
A  B = {(x, y)/ x ∈ A e y ∈ B} 
 
 
Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. Determi-
ne A  B. 
 
Resolução: 
 
A  B = {(0,2), (0,4), (1,2), (1,4), (2,2), (2,4)}. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
1) Sejam A = {0, 1} e B = {1, 3, 5}. Determine o 
produto cartesiano: 
 
a) A  B = b) B  A = c) A2 = 
 
2 . RELAÇÃO 
É um subconjunto de um produto cartesia-
no, determinado por uma sentença matemática. 
 
Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4} e 
A × B = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), 
(2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}. 
 
a) O conjunto R de A  B, tais que x = y: 
 
Resolução: 
 
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}. 
 
b) O conjunto R de A  B, tais que x é o dobro de 
y: 
 
Resolução: 
 
R = {(2,1), (4,2)}. 
 
c) O conjunto R de A  B, tais que y é o dobro de 
x: 
 
Resolução: 
 
R = {(1,2), (2,4)}. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
2) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 6}. Determi-
ne: 
a) A  B = 
b) a relação R tal que y = x. 
c) a relação R tal que x é o dobro de y. 
d) a relação R tal que y é o dobro de x. 
e) a relação R tal que x é a metade de y. 
f) a relação R tal que y = x + 1. 
 
EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 
3) Ao lançarmos dois dados, um preto e um ver-
melho. Determine: 
a) A quantidade de pares orde-
nados possíveis; 
b) Mostre quais são as possibili-
dades de resultados numa tabela. 
c) o conjunto dos pares ordenados cuja soma dos 
resultados seja igual a 7; 
d) o conjunto dos pares ordenados (x,y), tais que 
x = y; 
e) o conjunto dos pares ordenados (x,y), tais que 
y é a metade de x. 
 
2.1 Representação gráfica de relação 
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e 
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a relação R tal que y = x + 1, 
seguem as representações gráficas: 
a) Por diagramas: 
 
R = {(0,1), (1,2), (2,3), (3,4)} 
 
 
 
 
 
 
 
D = {0, 1, 2, 3} 
Im = {1, 2, 3, 4} 
CD = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
2 
b) No plano cartesiano: 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
4) Sejam A = {2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4}. Determine: 
a) a relação R tal que y = x ‒ 1. 
b) represente a relação em diagramas. 
c) represente a relação no plano cartesiano. 
d) o domínio D. 
e) a imagem Im. 
f) o contradomínio CD. 
 
5) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Deter-
mine: 
a) a relação R tal que y = 2x. 
b) represente a relação em diagramas. 
c) represente a relação no plano cartesiano. 
d) o domínio D. 
e) a imagem Im. 
f) o contradomínio CD. 
 
6) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Deter-
mine: 
a) a relação R tal que y = 2x + 1. 
b) represente a relação em diagramas. 
c) represente a relação no plano cartesiano. 
d) o domínio D. 
e) a imagem Im. 
f) o contradomínio CD. 
 
7) Localize no plano cartesiano os pontos: A(1,2), 
B(1,‒2), C(2,3), D(‒2,2), E(3,‒3), F(5,‒1), G(0,0), 
H(4,3), I(1,0) e J(0,1). 
 
EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 
8) Uma companhia telefônica tem um plano para 
seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser 
pago pelos seus clientes em função do tempo de 
ligação: 
 
Tempo de ligação (min) Valores em reais 
0 30,00 
10 32,50 
20 35,00 
30 37,50 
40 40,00 
 
Faça o que se pede: 
a) Represente a tabela em diagramas; 
b) Represente a tabela em plano cartesiano. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
9)(Enem-2015) Devido o aumento do fluxo de 
passageiros, uma empresa de transporte coletivo 
urbano está fazendo estudos para a implantação 
de um novo ponto de parada em uma determinada 
rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas 
setas, realizado por um ônibus nessa rota e a loca-
lização de dois de seus atuais pontos de parada, 
representados por P e Q. 
 
 
 
Os estudos indicam que o novo ponto T de-
verá ser instalado, nesse percurso, entre as para-
das já existentes P e Q, de modo que as distâncias 
percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e 
entre os pontos T e Q sejam iguais. 
De acordo com os dados, as coordenadas 
do novo ponto de parada são 
 
(a) (290;20) (c) (410;20) (e) (440;20) 
 
(b) (410;0) (d) (440;0) R: (e) 
 
10)(UEPA-2013, modificada) No Brasil, uma 
empresa de comércio para internet multiplicou 
suas vendas nos últimos anos, conforme ilustrado 
no gráfico abaixo. 
 
 
 
Em relação às vendas afirma-se que: 
(a) tiveram um crescimento de 2 milhões de reais 
de 2008 para 2009. 
(b) em 2009 cresceram quatro vezes em relação a 
2008. 
(c) triplicaram de 2009 para 2010. 
(d) em 2010 cresceram 2,4 milhões de reais em 
relação a 2009. 
(e) tiveram um crescimento de 4,8 milhões de 
reais de 2009 para 2011. R: (d) 
 
3 . NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO 
Observe a tabela abaixo que relaciona o 
número de litros de gasolina e o preço a pagar. 
 
Nº de litros Preço (R$) 
1 2,10 
2 4,20 
3 6,30 
 
3 
4 8,40 
5 10,50 
⋮ ⋮ 
x 2,10 ∙ x 
 
Observe: 
 As grandezas “nº de litros” e “preço” são 
variáveis; 
 Para cada quantidade em litros de gasolina co-
locada há um único preço; 
 O preço a ser pago depende do número de litros 
de gasolina a ser colocado, isto é, o preço está 
em função do número de litros colocados; 
 Para x litros de gasolina comprada, o preço a 
ser pago será 2,10 vezes x, isto é 
 
 
P = 2,10 ∙ x 
 
 
P – preço a ser pago é a variável dependente; 
x - número de litros de gasolina é a variável in-
dependente. 
 
Exemplos: 
 A população de um determinado país está em 
função do tempo; 
 A área de um quadrado está em função de 
seulado. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
11) Na tabela abaixo temos a quantidade de ovos 
(em dúzias) e o seu respectivo preço. 
 
Quantidade (em dúzia) Preço (em R$) 
1 1,20 
2 2,40 
3 3,60 
4 4,80 
⋮ ⋮ 
x 1,20 ∙ x 
 
Responda o que se pede: 
a) O preço a ser pago está em função da quanti-
dade de ovos comprados? 
b) O que depende do quê? 
c) Qual é a variável dependente? 
d) Qual é a variável independente? 
e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quanti-
dade de dúzias com o preço a pagar? 
f) Qual é o preço de 9 dúzias de ovos? 
 
12) Uma panificadora vende o pão francês de 50 
gramas, mais conhecido como “pão careca”, ao 
preço de R$ 0,25 cada. Para não ter que fazer con-
ta a toda hora, os funcionários da panificadora 
montaram a seguinte tabela: 
 
Quantidade de pães Preço (R$) 
1 0,25 
2 0,50 
3 0,75 
4 1,00 
5 1,25 
6 1,50 
7 1,75 
8 2,00 
9 2,25 
10 2,50 
 
Responda o que se pede: 
a) O preço a ser pago está em função da quanti-
dade de pães comprados? 
b) O que depende do quê? 
c) Qual é a variável dependente? 
d) Qual é a variável independente? 
e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quanti-
dade de pães e o preço a pagar? 
f) Qual é preço de 6 pães? 
g) Qual é preço de 12 pães? 
h) Se tenho R$ 4,00. Qual é a quantidade de pães 
que dá para eu comprar? 
 
4 . DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 
 
 
 
Dados os conjuntos A e B, não vazios, e 
uma relação R de A em B, quando para todo ele-
mento x ∈ A, existe um único f(x) ∈ A, dizemos que 
R é uma função f de A em B. 
 
Notação: f: A → B. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
13) Quais das seguintes relações são funções? 
a) c) 
 
b) 
 
 
 
14) Marque os diagramas representam função: 
 
(a)( ) 
 
(b)( ) (c)( ) 
 
 
(d)( ) (e)( ) (f)( ) 
 
 
 
4 
(g)( ) (h)( ) 
 
 
 
 
15) Verifique se é função ou apenas relação: 
 
a) Dado A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, 
seja a relação de A em B expressa pela lei 
y = x + 5, com x ∈ A e y ∈ B. 
 
b) Dado A = {‒2, 0, 2, 5} e B = {0, 2, 5, 10, 20}, seja a 
relação de A em B expressa pela lei y = x, com 
x ∈ A e y ∈ B. 
 
c) Dado A = {‒3, ‒1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9}, seja a 
relação de A em B expressa pela lei y = x2, com 
x ∈ A e y ∈ B. 
 
EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 
16) Uma companhia telefônica tem um plano pa-
ra seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a 
ser pago pelos seus clientes em função do tempo 
de ligação: 
 
Tempo de ligação (min) Valores em reais 
0 30,00 
10 32,50 
20 35,00 
30 37,50 
40 40,00 
 
Faça o que se pede: 
a) Represente a tabela em diagramas; 
b) Sendo o conjunto A, a variável “Tempo de liga-
ções”; e o conjunto B, a variável “Valor em reais”, 
a tabela representa uma função de A em B? 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
17)(UF-MG) Das figuras abaixo, a única que re-
presenta o gráfico de uma função real y = f(x), 
x ∈ [a,b], é: 
 
(a) (d) 
 
 
 
 
(b) (e) 
 
 
 
 
 
(c) 
 R: (c) 
 
18)(UEPA-2003) Dentre os romeiros, há aqueles 
que acompanham o círio carregando miniaturas de 
casa, barcos, parte do corpo humano em cera, 
velas, etc. Por considerarem atendidas por nossa 
senhora de Nazaré as suas súplicas. Estes objetos 
são tantos que existem carros especiais para reco-
lhê-los. Considerando a existência de um conjun-
to A, formado pelos romeiros do círio, e um 
conjunto B formado pelos objetos oferta-
dos/recolhidos durante a procissão, é correto 
afirmar que: 
(a) Todos os elementos de A estão associados a 
elementos de B, o que caracteriza uma função de 
A em B. 
(b) Alguns elementos de A estão associados a 
elementos de B, que caracteriza uma relação de A 
em B. 
(c) Nenhum elemento de A está associado a ele-
mentos de B. 
(d) Existem elementos de B que não estão associ-
ados a elementos de A. 
(e) Todas as alternativas acima estão corretas. R: (b) 
 
19)(UFF-RJ) Em certo dia, três mães deram à 
luz em uma maternidade. A primeira teve gê-
meos, a segunda, trigêmeos e a terceira, um úni-
co filho. Considere, para aquele dia, o conjunto 
das 3 mães, o conjunto das 6 crianças e as se-
guintes relações: 
I . A que associa cada mãe ao seu filho. 
II . A que associa cada filho à sua mãe. 
III . A que associa cada criança ao seu irmão. 
 São funções: 
 
(a) somente a I (d) todas 
 
(b) somente a II (e) nenhuma 
 
(c) somente a III R: (b) 
 
5 . DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍ-
NIO DE FUNÇÃO 
 
 O conjunto A chama-se Domínio da função 
(D
f
), o conjunto B contra-
domínio da função (CD
f
) e o 
elemento f(x) ∈ B chama-se 
imagem de x pela função. O 
conjunto imagem da função 
é Im
f
 = {f(x) ∈ B/ x ∈ A}. Os 
diagramas ao lado serão 
simbolizados, a partir de 
agora, simplesmente, assim 
f: A → B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6}, f: A → B, definida por f(x) = x + 1. 
Determinar: 
a) O esboço em diagramas; 
b) O domínio da função; 
c) a imagem da função; 
d) o contra domínio da função. 
 
Resolução: 
 
a) 
 
 
b) 
 
D
f
 = {0, 1, 2} 
 
c) 
 
Im
f
 = {1, 2, 3} 
 
d) 
 
CD
f
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Observações: 
 O domínio 0 tem imagem 1, simbolicamente 
f(0) = 1; 
 O domínio 1 tem imagem 2, simbolicamente 
f(1) = 2; 
O domínio 2 tem imagem 3, simbolicamente 
f(2) = 3. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
20) Dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e 
a relação R tal que y = 2x + 1: 
a) Construa a relação R em diagramas; 
b) Verifique se essa relação é uma função. Em caso 
afirmativo determine o D
f
, Im
f
 e CD
f
. 
 
21) O diagrama de flechas re-
presenta uma função f de A em 
B. Determine: 
a) D
f
 = R: {2,3,5} 
b) Im
f
 = R: {4,6,10} 
c) CD
f
 = R: {0,2,4,6,8,10} 
d) f(3) = R: 6 
e) f(5) = R: 10 
f) x tal que f(x) = 4 R: 2 
6 . ESTUDO DO DOMÍNIO 
 É o conjunto com todos os possíveis valores 
de x. 
 
Exemplo: Calcular o domínio da função: 
 
a) f(x) = 2x ‒ 5 
 
Resolução: fica implícito que x pode ser qualquer 
número real, logo, D
f
 = ℝ. 
 
b) 𝑓(x) =
2x − 3
x − 2
 
 
Resolução: x pode ser qualquer número real, com 
exceção do 2, pois se x = 2, o denominador será 0 
(zero) e não existe fração com denominador zero. 
Logo o D
f
 = ℝ ‒ {2}. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
22) Determine o domínio da função 
𝑓(x) =
5x + 3
x − 16
. S = {x ∈ ℝ/ x ≠ 16} 
 
23) Determine o domínio da função 
𝑓(x) = √5 − 3x. S = {x ∈ ℝ / x ≤ 5/3} 
 
24) Determine o domínio da função 
𝑓(x) = √x − 4 +
1
√x − 2
. S = {x ∈ ℝ / x ≥ 4} 
 
7 . FUNÇÃO BIJETORA 
7.1 Função sobrejetora 
 Quando uma função f tem a sua imagem 
igual a seu contradomínio, isto é, Im
f
 = CD
f
. 
 
7.2 Função injetora 
 Quando f: A → B transforma elementos dife-
rentes de A em elementos diferentes de B, isto é, 
x1 ≠ x2 em A ⟹ f(x1) ≠ f(x2) em B. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
25) Seja A = {‒2, ‒1, 0, 1}, B = {0, 1, 4}, f: A → B, 
definida f(x) = x2. Verifique se f é sobrejetora. 
R: f é sobrejetora 
26) Seja A = {‒3, ‒2, 0, 1}, B = {2, 3, 5, 6}, f: A → B, 
tal que f(x) = x + 5. Verifique se f é sobrejetora ou 
não. R: f é sobrejetora 
 
27) Verifique se f é injetora: 
a) A = {0, 1, 2, 3} 
 B = {1, 3, 5, 7} 
 f:A → B, f(x) = 2x + 1 R: f é injetora 
 
b) A = {2, 5, 10} 
 B = {10, 23} 
 f: A → B, definida por x é divisor de y. R: f não é injetora 
 
7.3 Função bijetora 
 Uma função f é dita bijetora quando é so-
brejetora e injetora. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
28) Verifique se f é bijetora:A = {0, 2, 3} 
B = {1, 5, 7} 
f: A → B, f(x) = 2x + 1 R: f é bijetora 
 
EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 
29) Os alunos Bruno, Jéssica e Paulo, do 1° ano, 
estavam estudando matemática e perceberam a 
formação de dois conjuntos. O conjunto A formado 
pelas disciplinas estudadas por eles e um conjunto 
B formado pelos professores dessas disciplinas. É 
correto afirmar que a relação de A em B: 
 
6 
(a) Não representa uma função. 
(b) representa uma função somente injetora. 
 
(c) representa uma função somente sobrejetora. 
(d) representa uma função bijetora. 
(e) representa uma função não injetora e nem 
sobrejetora. R: (d) 
 
30) Estudando a teoria das funções alguns alunos 
propuseram a seguinte questão: De todas as mu-
lheres, algumas são mães, porém, todo filho obri-
gatoriamente apresenta uma mãe e uma mulher é 
mãe se apresenta pelo menos um filho. Chamando 
o conjunto das mulheres de A e o conjunto dos 
filhos de B. É correto afirmar que a relação de B 
em A: 
(a) Não representa uma função. 
(b) representa uma função somente injetora. 
(c) representa uma função somente sobrejetora. 
(d) representa uma função bijetora. 
(e) representa uma função não injetora e nem 
sobrejetora. R: (e) 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
31)(UEPA-2005) Patrícia está paquerando três 
colegas: Ricardo, Paulo e Maurício. Para conhecer 
um pouco sobre suas personalidades recorreu ao 
zodíaco. Ficou sabendo que Ricardo é do signo de 
Áries, Paulo é de Leão e Maurício, de Virgem. Con-
siderando A o conjunto formado por esses colegas 
de Patrícia e B o conjunto dos 12 signos do zodía-
co, é correto afirmar que a relação de A em B: 
(a) não representa uma função. 
(b) representa uma função somente injetora. 
(c) representa uma função somente sobrejetora. 
(d) representa uma função bijetora. 
(e) representa uma função não injetora e nem 
sobrejetora. R: (b) 
 
32)(UFF-RJ) Sendo ℝ o conjunto dos números 
reais e a aplicação f: ℝ → ℝ definida por f(x) = x2, 
podemos afirmar que f: 
(a) é sobrejetora e não injetora 
(b) é bijetora 
(c) é sobrejetora 
(d) é injetora 
(e) não é sobrejetora nem injetora R: (e) 
 
8 . GRÁFICO DE FUNÇÃO NO PLANO CAR-
TESIANO 
 Construir uma tabela com os valores de 𝑥 es-
colhidos convenientemente e calcular os res-
pectivos valores de f(x); 
 A cada par ordenado (x, f(x)) associar um pon-
to no plano cartesiano; 
 Marcar o número suficiente de pontos, até que 
seja possível esboçar o gráfico. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
33) Construa o gráfico da função f(x) = 2x + 1, 
sendo o domínio D = {0, 1, 2, 3}. 
 
34) Construa o gráfico da função f(x) = 2x + 1, 
sendo o domínio D = {x ∈ ℝ/ 0 < x < 3}. 
35) Construa o gráfico da função f: ℝ → ℝ dada 
por f(x) = 2x + 1. 
 
9 . FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
 
 
Chama-se função polinomial do 1º grau, 
a qualquer função f: ℝ → ℝ dada por uma lei da 
forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais 
fixos, com a ≠ 0; x e f(x) são chamados variáveis. 
Os números a e b são chamados de coeficientes. 
 
Exemplos: 
 
a) f(x) = 5x ‒ 3, no qual a = 5 e b = ‒ 3; 
b) f(x) = ‒ 2x + 7, no qual a = ‒ 2 e b = 7; 
c) f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0. 
 
Observações: 
 f: ℝ → ℝ significa que a função é definida do 
domínio números reais ao contra domínio nú-
meros reais; 
 Alguns editais de processos seletivos e concur-
sos públicos e até alguns livros didáticos, no 
Brasil, chamam função polinomial do 1º grau 
de função afim. 
 
9.1 O gráfico 
 
 
 O gráfico 
da função polino-
mial do 1º grau é 
uma reta. 
 
 
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = 2x ‒ 
1, definidas de ℝ em ℝ. 
 Para x = 1, f(x) = 2 ∙ 1 – 1 = 1; portanto (1,1) é 
ponto do gráfico; 
 Para x = 2, f(x) = 2 ∙ 2 ‒ 1 = 3; portanto (2,3) é 
outro ponto do gráfico; 
 Marcamos os pontos (1,1) e (2,3) no plano car-
tesiano e traçamos a reta passando pelos pon-
tos. 
 
 
 x f(x) 
 1 1 
 2 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Observação: Em função polinomial do 1º grau o 
domínio são os números reais, simbolicamente x ∈ 
ℝ, portanto x é infinito, porém sabemos que para 
construir uma reta são necessários, pelo menos, 
dois pontos, com isso apenas dois valores de x são 
suficientes para construir o gráfico da função do 1º 
grau. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
36) Construa, no plano cartesiano, o gráfico das 
seguintes funções, definidas de ℝ em ℝ: 
 
a) f(x) = x + 1 d) f(x) = 2x + 1 
 
b) f(x) = x + 2 e) f(x) = ‒ 2x + 6 
 
c) f(x) = x + 4 
 
EXERCÍCIOS INTERDISCIPLINARES 
37) Um corpo se movimenta em velocidade cons-
tante de acordo com a fórmula matemática s = 2t ‒ 
3, em que s indica a posição do corpo (em metros) 
no instante t (em segundos). Construa o gráfico 
de 𝒔 em função de t. 
 
38) Um móvel em movimento retilíneo uniforme 
obedece à função s = 5t + 15, em que s é o espaço 
percorrido pelo móvel (em metros) e t é o tempo 
gasto em percorrê-lo (em segundos). Determine: 
a) construa o gráfico s(t) da função. 
b) a posição do móvel no instante t = 0 s; R: 15 m 
c) a posição do móvel no instante t = 5 s; R: 40 m 
d) a posição do móvel no instante t = 10 s; R: 65 m 
e) o instante em que o móvel se encontra a 35 m 
da origem. R: 4 s 
 
EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 
39) Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma 
desvalorização constante pelo seu uso, represen-
tada pela função P(t) = 50 ‒ 5t, em que P é o preço 
da máquina (em reais) e t é o tempo de uso (em 
anos). Determine: 
a) o gráfico dessa função; 
b) o custo da máquina ao sair da fábrica; R: R$ 50, 00 
c) o custo da máquina após 5 anos de uso; R: R$ 25, 00 
d) o tempo para que a máquina se desvalorize 
totalmente. R: 10 anos 
 
9.2 Parte variável e parte fixa 
 A função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b 
tem uma parte variável (ax) e uma parte fixa (b). 
 
f(x) = parte variável + parte fixa 
 
f(x) = ax + b 
 
Observação: 
Lucro = venda ‒ custo 
 
Exemplo: Uma revendedora de cosméticos vende 
um perfume por R$ 100,00, que custou R$ 70,00. 
Qual é o lucro da vendedora? 
 
Resolução: 
 
L = 100 ‒ 70 
 
L = 30 
 
Resposta: O lucro da vendedora é de R$ 30,00. 
EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 
40) Um motorista de táxi cobra, para cada corri-
da, uma taxa fixa de R$ 5,00 e mais R$ 2,00 por 
quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) 
num dia é função da quantidade total (x) de qui-
lômetros percorridos e calculado por meio da fun-
ção R(x) = ax + b, em que a é o preço cobrado por 
cada quilômetro e b, o valor da taxa fixa. Respon-
da: 
a) Um passageiro fez uma corrida de 20 km, quan-
to o mesmo pagará pela corrida? R: R$ 45, 00 
b) Após um dia inteiro de trabalho o taxista teve a 
receita de R$ 805,00. Quantos quilômetros ele ro-
dou nesse dia? R: 400 quilômetros 
 
41) Na produção de peças, uma indústria tem um 
custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de 
R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número 
de unidades produzidas: 
a) Escreva a lei da função que fornece o custo 
total de x peças; R: C(x) = 0,50x + 8,00 
b) Calcule o preço de 100 peças. R: R$ 58, 00 
 
42) Observando o anúncio de uma locadora de 
automóveis, assinale a equação que representa o 
valor a ser pago y em função do número de qui-
lômetros rodados x em uma diária do anúncio. 
 
 
 
(a) y = 37,90.x 
(b) y = 0,40.x 
(c) y = 37,90.x + 0,40 
(d) y = 0,40.x + 37,90 
(e) y = 38,3043) Um comerciante comprou uma caixa de um 
determinado produto, teve um custo fixo com 
transporte de R$ 230,00. Venderá cada unidade por 
R$ 5,00, o lucro final será dado em função das x 
unidades vendidas. Sabendo que 
 
Lucro = venda ‒ custo 
 
Responda: 
a) Qual é a lei dessa função f? 
b) Se o comerciante vender 1 unidade desse pro-
duto terá lucro ou prejuízo? 
c) Se o comerciante vender 10 unidades desse 
produto terá lucro ou prejuízo? 
d) Se o comerciante vender 40 unidades desse 
produto terá lucro ou prejuízo? 
e) Se o comerciante vender 50 unidades desse 
produto terá lucro ou prejuízo? 
 
44) Um comerciante teve uma despesa de 
R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como 
vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final 
será dado em função das x unidades vendidas. 
Responda: 
a) Qual é a lei dessa função f? R: L(x) = 5x ‒ 230 
 
8 
b) Para que valores de x temos f(x) = 0? Como 
pode ser interpretado esse caso? R: x = 46 unidades 
c) Para que o valor de x haverá lucro de 
R$ 315,00? R: x = 109 unidades 
d) Para que valores de x o lucro será maior que 
R$ 218,00? R: x maior que 102 
e) Para que valores de x o lucro estará entre 
R$ 100,00 e R$ 180,00? R: x maior que 66 e menor que 82 
 
45) Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 
a unidade. O custo total do produto consiste numa 
taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de 
R$ 0,30 por unidade. 
a) Qual o número de unidades que o fabricante 
deve vender para não ter lucro nem prejuízo? 
R: 80 unidades 
b) Se vender 200 unidades desse produto, o co-
merciante terá lucro ou prejuízo? R: lucro (lucro de R$ 60,00) 
 
46) Uma companhia telefônica tem um plano pa-
ra seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a 
ser pago pelos seus clientes em função do tempo 
de ligação: 
 
Tempo de ligação (min) Valores em reais 
0 30,00 
10 32,50 
20 35,00 
30 37,50 
40 40,00 
 
Considere x ∈ ℝ, y ∈ ℝ. Construa o gráfico da fun-
ção. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
47)(Unicamp-SP, modificada) O preço a ser 
pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela 
fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que 
depende da distância percorrida. Se a bandei-
rada custa R$ 3,50 e cada quilômetro rodado custa 
R$ 1,20. 
a) Escreva a lei da função que fornece o preço a 
ser pago pela corrida em função da distância x 
percorrida; R: P(x) = 1,20x + 3,5 
b) o preço de uma corrida de 10 km; R: R$ 15,50 
c) a distância percorrida por um passageiro que 
pagou R$ 27,50 pela corrida. R: 20 km 
 
48)(UEPA-2002) Um pequeno comerciante in-
vestiu R$ 300, 00 na produção de bandeiras do seu 
time favorito, para venda em um estádio de fute-
bol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de 
R$ 8, 00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na 
venda de x bandeiras é dado por: 
 
(a) L(x) = 300 ‒ 8x (d) L(x) = 8x 
 (b) L(x) = 8x + 300 (e) L(x) = ‒ 8x ‒ 300 
 (c) L(x) = 8x ‒ 300 R: (c) 
 
49)(UEPA-2006, modificada) [...] Em relação a 
pesca artesanal, estima-se que existam hoje 200 
mil pescadores artesanais no Estado do Pará, que 
sustentam as suas famílias com essa atividade. O 
volume médio mensal de produção por cada pes-
cador é aproximadamente igual a 120 quilos de 
peixe. 
A função que representa o lucro de um 
pescador durante um mês, sabendo que x repre-
senta o preço de um quilo de peixe e c representa 
o custo fixo mensal existente na produção, é: 
 
(a) L(x) = 120x + c (d) L(x) = 120c + x 
 (b) L(x) = 120x ‒ c (e) L(x) = 120x 
 (c) L(x) = 120c ‒ x R: (b) 
 
50)(UEPA-2005) Para produzir colares feitos 
com sementes de açaí, uma artesã teve uma des-
pesa de R$ 24,00 na aquisição de matéria prima. 
Sabendo que o preço de custo por unidade produ-
zida é de R$ 2,00 e que a artesã pretende vender 
cada colar por R$ 5,00, analise as afirmativas abai-
xo: 
I . A lei matemática que permite calcular a receita 
bruta R, a ser obtida com a venda desses colares, 
em função da quantidade x de unidades vendidas, 
é R(x) = 5,00x. 
 
II . A lei matemática que permite calcular o custo 
total C decorrente dessa produção, em função da 
quantidade x de colares produzidos é 
C(x) = 24,00 + 2,00x. 
 
III . A venda desses produtos só dará lucro se a 
quantidade de colares vendidos for superior a 8. 
 
É correto afirmar que: 
(a) todas as afirmativas são verdadeiras 
(b) todas as afirmativas são falsas 
(c) somente as afirmativas II e III são falsas 
(d) somente as afirmativas I e II são verdadei-
ras 
(e) somente as afirmativas I e III são verdadei-
ras R: (a) 
 
51)(UEL-PR) O custo C, em reais, da produção 
de x exemplares de um livro é dado por 
C(x) = 2000 + 3,5x. Se cada exemplar é vendido 
por 8 reais, quantos exemplares, no mínimo, de-
vem ser vendidos para que a editora não tenha 
prejuízo? 
 
(a) 438 (b) 442 (c) R$ 27,50 (d) 445 (e) 450 
R: (d) 
52)(UEPA-2003) Durante as festividades do 
Círio, são vendidos tradicionalmente os brinquedos 
de miriti vindos, em sua maioria, do município de 
Abaetetuba. Um produtor destes brinquedos fabri-
ca canoas ao custo de R$ 2,00 a unidade, venden-
do por R$ 5,00 cada uma. Sabendo que ele gasta 
com transporte R$ 20,00, quantas canoas terá que 
vender para lucrar R$ 100,00? 
 
(a) 40 (b) 50 (c) 60 (d) 70 (e) 80 
R: (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
9.3 Problemas que envolvem função do 
1º grau 
 Vários problemas envolvem função do 1º 
grau e recaem em sistemas lineares. 
 
Exemplo: Um botânico mede o crescimento de 
uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligan-
do-se os pontos colocados por ele num gráfico, 
resulta a figura seguinte. Se for mantida sempre 
esta relação entre tempo e altura, determine a 
altura que a planta terá no 30º dia. 
 
 
 
Resolução: 
 
Os pares ordenados do gráfico são (5,1) e 
(10,2); substituindo os pares ordenados na forma 
genérica da função do 1º grau y = ax + b, segue, 
 
(5,1) → 1 = a ∙ 5 + b 
 
(10,2) → 2 = a ∙ 10 + b 
 ⟹ {
5a + b = 1(−1)
10a + b = 2 
 ⟹ 
 
{
−5a − b = −1
10a + b = 2
 
 5a = 1
 ⟹ a =
1
5
 
 
 Substituindo o valor de a =
1
5
 em 5a + b = 1, 
segue, 
 
5 ∙ 
1
5
 + b = 1 ⟹ 1 + b = 1 ⟹ b = 0 
 Substituindo os valores de a e b em y = ax 
+ b, a função do gráfico acima é 
 
y = 
1
5
 x 
 
sendo x = tempo em dias 
 y = altura em cm 
 
 No 30º dia implica x = 30 substituindo em y 
= 
1
5
 x, segue, 
y = 
1
5
 ∙ 30 ⟹ y = 6 cm 
 
 No 30º dia a planta terá a altura 6 cm. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
53)(Unama-2009) O gráfico abaixo representa 
o custo (C), em reais, na fabricação de x unidades 
de um produto. Nessas condições, para se produ-
zir 25 unidades desse produto serão gastos: 
 
 
 
(a) R$ 60,00 (b) R$ 72,00 (c) R$ 75,00 (d) R$ 80,00 
R: (d) 
54)(Unificado-RJ) Uma barra de ferro com tem-
peratura inicial de 10 °C foi aquecida até 30 °C. O 
gráfico representa a variação da temperatura da 
barra em função do tempo gasto nessa experiên-
cia. Calcule em quanto tempo, após o início da 
experiência, a temperatura da barra atingiu 0 °C. 
 
 
 
(a) 1 min (c) 1 min 10 s (e) 1 min 20 s 
 
(b) 1 min 5 s (d) 1 min 15 s R: (d) 
 
55)(UFRA-2004) Uma função de custo linear é 
da forma C(x) = Ax + B, onde B representa a parte 
fixa desse custo total. Suponha que uma indústria 
ao produzir 150 unidades de um produto, gasta 
R$ 525,00 e quando produz 400 unidades seus gas-
tos são de R$ 700,00, então podemos afirmar que 
os custos fixos dessa indústria são, em reais,(a) 175 (b) 225 (c) 375 (d) 420 (e) 475 
R: (d) 
56)(CESGRANRIO) O valor de um carro novo é 
de R$ 9 000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4 
000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, 
segundo uma linha reta, o valor de um carro com 
1 ano de uso é: 
 
(a) R$ 8 250,00 (d) R$ 7 500,00 
 
(b) R$ 8 000,00 (e) R$ 7 000,00 
 
(c) R$ 7 750,00 R: (c) 
 
57)(UFRA-2003) Numa feira livre, o dono de 
uma barraca de verduras verificou que, quando o 
preço da couve é R$ 1,00 o maço, são vendidos 20 
maços, porém, quando o preço cai R$ 0,50 são 
vendidos 20 maços. Considerando essa demanda 
linear e supondo serem vendidos x maços a um 
preço y, a função que melhor descreve essa situa-
ção é: 
 
(a) y = ‒ 20x + 40 (d) y = ‒ 20x 
 (b) y = ‒ 0,05x + 2 
 
(e) y = ‒ 2x + 4 
 (c) y = 0,05x 
 
R: (b) 
 
9.4 Raiz ou zero da função do 1º grau 
 
 
 
É o valor de x para f(x) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Exemplo: Obter o zero da função de f(x) = 2x ‒ 6: 
 
Resolução: 
 
f(x) = 0 ⟹ 2x ‒ 6 = 0 ⟹ x = 
6
2
 ⟹ x = 3 
 
 
 
Observação: No plano cartesiano o zero ou raiz da 
função é a abscissa do ponto onde o gráfico corta 
o eixo x. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
58) Calcule a raiz da função: 
 
a) f(x) = 3x ‒ 6 R: 2 c) h(x) = ‒ 2x + 10 R: 5 
 
b) g(x) = 2x + 10 R: -5 d) g(x) = x + 1 R: -1 
 
9.5 Crescimento/decrescimento e o coe-
ficiente angular/coeficiente linear 
Consideremos a função f(x) = 3x ‒ 1, 
 
x aumenta 
 
x ‒ 1 0 1 2 3 4 5 
f(x) ‒ 4 ‒ 1 2 5 8 11 14 
f(x) aumenta 
 
Quando aumentamos os valores de x, os 
correspondentes valores de f(x) também aumen-
tam. Dizemos que a função f(x) = 3x ‒ 1 é crescen-
te, o coeficiente a = 3. Observemos o seu gráfico: 
 
 
 
Agora, consideremos f(x) = ‒ 3x ‒ 1, 
x aumenta 
 
x ‒ 2 ‒ 1 0 1 2 3 4 
f(x) 5 2 ‒ 1 ‒ 4 ‒ 7 ‒ 10 ‒ 13 
f(x) diminui 
 
Quando aumentamos os valores de x, os 
correspondentes valores de f(x) diminuem. Dize-
mos que a função f(x) = ‒ 3x ‒ 1 é decrescente, o 
coeficiente a = ‒ 3. Observemos o seu gráfico: 
 
 
 
De um modo geral, dada a função do 1º 
grau f(x) = ax + b quando 
 a > 0 → a função é crescente; 
 a < 0 → a função é decrescente. 
O coeficiente a é chamado de coeficiente 
angular. O coeficiente b, de coeficiente linear 
(estudaremos o coeficiente linear no Tópico 9.9). 
 
 
 
EXERCÍCIOS INTERDISCIPLINARES 
 
Texto para as questões 57 e 58 
 
Em física, quando as posições de um móvel 
crescem algebricamente no decorrer do tempo o 
movimento do mesmo é denominado progressivo 
 
 
 
O gráfico s(t) gerado por esse movimento 
será crescente. 
 
 
Quando as posições do móvel decrescem 
algebricamente no decorrer do tempo, o movi-
mento é dito retrógrado 
 
 
 
O gráfico s(t) gerado por esse movimento 
será decrescente. 
 
 
 
 
 
 
11 
59) Um ponto material, movimentando-se em 
relação a um determinado referencial e sobre um 
a trajetória retilínea, tem posições em função do 
tempo indicadas na tabela. 
 
t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
s(m) 5 8 11 14 17 20 23 26 29 
 
Classifique o movimento como progressivo ou re-
trógrado. 
 
60) Um ponto material em movimento retilíneo 
em relação a um determinado referencial em sua 
posição em função do tempo indicada pela tabela. 
 
t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 
s(m) ‒ 2 7 16 25 34 43 34 25 16 7 ‒ 2 
 
a) Classifique o movimento como progressivo ou 
retrógrado no intervalo 0 s a 10 s. 
b) Classifique o movimento como progressivo ou 
retrógrado no intervalo de 10 s a 20 s. 
 
9.6 Função Linear 
 Dada à função polinomial do 1° grau 
f(x) = ax + b quando b = 0 a função é chamada 
função linear. Geometricamente, 
 
f(x) = 2x f(x) = ‒ 2x 
 
 
 
Observações: 
 O gráfico da função linear passa sempre pela 
origem (0,0). 
 Se a função não for linear é chamada função 
afim. 
 Existe uma função linear especial, chamada 
função identidade. Veremos no próximo tópico. 
 
9.7 Função identidade 
 Dada à função polinomial do 1° grau f(x) = 
ax + b quando b = 0 e a = 1 a função é chamada 
função identidade. Geometricamente, 
 
f(x) = x ou y = x 
 
 
 
Observe que pela definição, função identi-
dade é um caso particular de função linear. 
 
9.8 Função constante 
A partir da função f(x) = ax + b, quando a = 
0 a função é chamada função constante. Obser-
ve, pela definição, que a função constante não é 
função polinomial do 1º grau. Geometricamente, 
 
f(x) = 2 f(x) = ‒ 2 
 
 
 
O gráfico da função constante é uma reta 
paralela ao eixo de x. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
61) Construa o gráfico de cada uma das seguin-
tes funções e diga se é função é crescente, de-
crescente ou constante; linear ou afim: 
 
a) f(x) = 2x c) f(x) = ‒ 3x e) h(x) = 3 
 
b) f(x) = 3x – 1 d) y = x f) f(x) = ‒ 2 
 
62) Construa o gráfico de cada uma das seguin-
tes funções e diga se é função é crescente, de-
crescente ou constante; linear ou afim: 
 
a) f(x) = x + 6 d) g(x) = 5 g) f(x) = x 
R: crescentes e afim R: constante R: crescente e linear (essa 
chamada identidade) 
 
b) f(x) = 5x e) h(x) = ‒ 5x h) f(x) = ‒ 3 
R: crescente e linear R: decrescente e linear R: constante 
 
c) y = 5x + 1 f) f(x) = ‒ 5 
R: crescente e afim R: constante 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
63) Observe o gráfico abaixo: 
 
 
 
Responda: 
a) De que trata o gráfico? Identifique as variáveis 
envolvidas. R: menor crescimento da população e tempo (em anos) 
b) Qual o período em que a taxa de fecundidade 
se manteve praticamente constante? R: 1940 a 1960 
c) A partir de que data a função é decrescente? 
R: 1960 
d) Entre que período a taxa de fecundidade redu-
ziu em 50%? R: 1960 a 1991 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
64)(Enem-2017) Os congestionamentos de 
trânsito constituem um problema que aflige, todos 
os dias, milhares de motoristas brasileiros. O grá-
fico ilustra a situação, representando, ao longo de 
um intervalo definido de tempo, a variação da ve-
 
12 
locidade de um veículo durante um congestiona-
mento. 
 
 
 
Quantos minutos o veículo permaneceu 
imóvel ao longo do intervalo total analisado? 
 
(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1 (e) 0 
R: (c) 
65)(Enem-2016) Um reservatório com água por 
uma torneira e um ralo faz a drenagem da água 
desse reservatório. Os gráficos representam as 
vazões Q, em litros por minuto, do volume de 
água que entra no reservatório pela torneira e do 
volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, 
em minutos. 
 
 
 
Em qual intervalo de tempo, em minuto, o 
reservatório tem vazão constante de enchimento? 
 
(a) De 0 a 10. (c) De 5 a 15. (e) De 0 a 25. 
 
(b) De 5 a 10. (d) De 15 a 25. R: (b) 
 
66)(Enem-2012) O dono de uma farmácia 
resolveu colocar à vista do público o gráfico 
mostrado a seguir, que apresenta a evolução do 
total de vendas (em Reais) de certo medicamento 
ao longo do ano de 2011. 
 
De acordo com o gráfico, os meses em que 
ocorreram, respectivamente, a maior e a menor 
venda absolutas em 2011 foram 
 
(a) março e abril (d) junho e setembro 
 
(b) março e agosto (e) junho e agosto 
 
(c) agosto e setembro R: (e) 
 
67)(Enem-2012) O gráfico mostra a variação da 
extensão média de gelo marítimo, em milhões de 
quilômetros quadrados, comparando dados dos 
anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados 
correspondem aos meses de junho a setembro. O 
Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o 
verão, em meados de setembro. O gelo do mar 
atua como o sistema de resfriamento da Terra, 
refletindo quase toda a luz solar de volta ao 
espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, 
absorvem a luz solar e reforçamo aquecimento do 
Ártico, ocasionando derretimento crescente do 
gelo. 
 
 
 Com base no gráfico e nas informações do 
texto, é possível inferir que houve maior aqueci-
mento global em 
 
(a) 1995 (b) 1998 (c) 2000 (d) 2005 (e) 2007 
R: (e) 
68)(Enem-MEC) Um estudo sobre o problema do 
desemprego na Grande São Paulo, no período 
1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresen-
tou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego. 
 
 
 
Pela análise do gráfico, é correto afirmar 
que, no período considerado, 
(a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. 
(b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a 
menor do período. 
(c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi 
decrescente. 
(d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego 
esteve entre 8% e 16%. 
(e) a taxa de desemprego foi crescente no período 
compreendido entre 1988 e 1991. R: (d) 
 
69)(Enem-MEC) Para convencer a população 
local da ineficiência da Companhia Telefônica Vila-
tel na expansão da oferta de linhas, um político 
publicou no jornal local o gráfico I, representado a 
seguir. A Companhia Vilatel respondeu publicando 
dias depois o gráfico II, através do qual pretende 
justificar um grande aumento na oferta de linhas. 
O fato é que, no período considerado, foram insta-
ladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas. 
Analisando os gráficos, pode-se concluir que: R: (d) 
 
 
13 
 
 
 
 
(a) o gráfico II representa um crescimento real 
maior do que o do gráfico I. 
(b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sen-
do o II Incorreto. 
(c) o gráfico II apresenta o crescimento real, 
sendo o I incorreto. 
(d) a aparente diferença de crescimento nos dois 
gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. 
(e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam 
escalas diferentes. 
 
70)(Enem-2016) O cultivo de uma planta rara 
só é viável se do mês do plantio para o mês sub-
sequente o clima da região possuir as seguintes 
peculiaridades: 
 A variação do nível de chuva (pluviosidade), 
nesses meses não for superior a 50 mm; 
 A temperatura mínima, nesses meses, for su-
perior a 15 °C; 
 Ocorrer, nesse período, um leve aumento não 
superior a 5 °C na temperatura máxima. 
Um floricultor, pretendendo investir no plantio 
dessa flor em sua região, fez uma consulta a um 
meteorologista que lhe apresentou o gráfico com 
as condições previstas para os 12 meses seguintes 
nessa região. 
 
 
 
 Com base nas informações dos gráficos, o 
floricultor verificou que poderia plantar essa planta 
rara. O mês escolhido para o plantio foi 
 
(a) janeiro (c) agosto (e) dezembro 
 
(b) fevereiro (d) novembro R: (a) 
 
71)(UEPA-2010) O gráfico abaixo representa o 
número de notificações relacionadas a fraudes, 
invasões e tentativas de invasão sofridas por 
usuários de computador. 
 
 
 
Analisando o gráfico, observa-se que: 
(a) as notificações foram decrescentes entre 2006 
e 2008. 
(b) em 2006 aconteceu o maior número de 
notificações. 
(c) a razão de notificações entre 2004 e 2005 é 
37863/34000. 
(d) em 2008 houve o maior número de 
notificações. 
(e) em 2006 as notificações duplicaram em relação 
às notificações de 2005. R: (d) 
 
72)(UEPA-2009) O gráfico abaixo mostra a va-
riação do consumo de gasolina em função da cilin-
drada do motor. 
 
 
Fonte: Veja, 20/08/08 
 
Sobre o gráfico acima, é correto afirmar que: 
(a) é gráfico de uma função linear crescente. 
(b) é gráfico de uma função linear decrescente. 
(c) quanto maior a cilindrada maior o consumo de 
gasolina. 
(d) é gráfico de uma função quadrática com con-
cavidade voltada para cima. 
(e) quanto maior a cilindrada menor o consumo 
de gasolina. R: (e) 
 
73)(UFPA–2007) Em um jornal de circulação 
nacional foi publicada uma pesquisa, realizada no 
Brasil, com os percentuais, em função do ano, de 
famílias compostas por pai, mãe e filhos, chama-
 
14 
das famílias nucleares, e de famílias resultantes de 
processos de separação ou divórcio, chamadas 
novas famílias. Sabendo-se que os gráficos abaixo 
representam, a partir de 1987, a variação percen-
tual desses dois tipos de família, com suas respec-
tivas projeções para anos futuros, 
 
 
 
é correto afirmar: 
(a) No ano 2030, o número de novas famílias será 
igual ao de famílias nucleares. 
(b) No ano 2030, o número de novas famílias será 
menor do que o de famílias nucleares. 
(c) No ano 2030, o número de novas famílias será 
maior do que o de famílias nucleares. 
(d) No ano 2015, o número de novas famílias será 
igual ao de famílias nucleares. 
(e) No ano 2012, o número de famílias nucleares 
será menor do que a de novas famílias. R: (c) 
 
74)(UFPA–2010) O gráfico abaixo apresenta a 
incidência de tuberculose, de 1990 a 2006, em 
quatro países lusófonos, Angola, Brasil, 
Moçambique e Portugal, segundo dados da 
Organização Mundial de Saúde. 
 
 
 
Com base neste gráfico, é INCORRETO afirmar: 
(a) Brasil e Portugal apresentaram 
comportamentos parecidos, com queda 
aproximadamente linear em seus índices. 
(b) No período de 1990 a 2006, dos quatro países, 
Moçambique foi o que apresentou maior 
crescimento de incidência relativa de tuberculose. 
(c) Nos últimos três anos do levantamento, de 
2004 a 2006, Brasil e Portugal apresentaram 
diminuição da incidência relativa de casos de 
tuberculose, enquanto Angola e Moçambique 
apresentaram crescimento do índice. 
(d) No início do período estudado, dos quatro 
países, Angola era o país que apresentava maior 
índice de incidência, mas foi largamente 
ultrapassado por Moçambique, cujo índice 
aproximadamente dobrou na década de 90. 
(e) Em 2006, o índice de incidência de tuberculose 
em Angola era superior ao quíntuplo do índice 
brasileiro, enquanto o índice de Moçambique era 
superior a oito vezes o índice do Brasil. 
 
9.9 Coeficiente linear 
 
 
 
Dada à função polinomial do 1° grau 
f(x) = ax + b, o coeficiente b da função é chamado 
coeficiente linear. Quando x = 0 ⟹ (0,b), isto é 
no plano cartesiano o coeficiente linear é a orde-
nada do ponto onde o gráfico corta o eixo y. Geo-
metricamente, 
 
 
Exemplos: 
a) Marcar o ponto no plano cartesiano do coefici-
ente linear da função f(x) = 2x + 3. 
 
Resolução: 
 
 
b) Marcar o ponto no plano cartesiano do coefici-
ente linear da função f(x) = 2x ‒ 3. 
 
Resolução: 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
75) Dada a função f(x) = 2x ‒ 6. Determine: 
a) a função é crescente ou decrescente? 
b) a raiz da função; 
c) o coeficiente linear; 
d) A partir da representação da raiz e o coeficien-
te linear no plano cartesiano, construa o gráfico da 
função. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
76)(Enem-2009) Uma empresa produz jogos 
pedagógicos para computadores, com custo fixo 
 
15 
de R$ 1.000,00 e custos variáveis de R$ 100,00 por 
unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo 
total x jogos produzido é dado por C(x) = 1 + 0,1x 
(em R$ 1.000,00). A gerência da empresa determi-
na que o preço de venda do produto seja de R$ 
700,00. Com isso a receita bruta para x jogos é 
dada por R(x) = 0,7x (em R$ 1.000,00). O lucro lí-
quido, obtido pela venda de x unidades de jogos, é 
calculado pela diferença entre a receita bruta e os 
custos totais. O gráfico que modela corretamente 
o lucro líquido dessa empresa, quandosão produ-
zidos x jogos, é 
 
(a) (d) 
 
 (b) (e) 
 
 
 
(c) 
 
 
 
77)(UEPA-2011) Uma fábrica apresenta um 
gasto fixo de R$ 11 000 na produção de papel reci-
clado e R$ 0,06 na produção de cada folha. O gráfi-
co que representa o custo total que a fábrica tem 
por mês na produção de folha de papel reciclado 
será: 
(a) Uma curva que passa pela origem do sistema 
de coordenadas. 
(b) Uma reta de origem no ponto (0, 11 000). 
(c) Uma reta de origem no ponto (6 600, 11 000). 
(d) Uma reta de origem no ponto (11 000, 327). 
(e) Uma reta de origem no ponto (6, 11 000). R: (b) 
 
78)(UFPA–2008) Um fornecedor A oferece a um 
supermercado, um certo produto com os seguintes 
custos: R$ 210,00 de frete mais R$ 2,90 por cada 
kilograma. Um fornecedor B oferece o mesmo 
produto, cobrando R$ 200,00 de frete mais R$ 3,00 
por cada kilograma. O gráfico que representa os 
custos do supermercado com os fornecedores, em 
função da quantidade de kilogramas é: 
 
(a) (d) 
 
 (b) (e) 
 
 (c) 
 R: (a) 
 
79)(UFPA-00) Uma loja no centro de Belém alu-
ga microcomputadores para usuários que desejam 
navegar pela Internet. Para utilizar esse serviço, o 
usuário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de 
R$ 3,00 por hora de utilização da máquina. O gráfi-
co que melhor representa o preço desse serviço é: 
 
(a) (d) 
 
 
 
 
(b) (e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
(c) 
 R: (c) 
 
80)(UEPA-2012) O treinamento físico, na 
dependência da qualidade e da quantidade de 
esforço realizado, provoca, ao longo do tempo, 
aumento do peso do fígado e do volume do 
coração. De acordo com especialistas, o fígado de 
uma pessoa treinada tem maior capacidade de 
armazenar glicogênio, substância utilizada no 
metabolismo energético durante esforços de longa 
duração. De acordo com dados experimentais 
realizados por Thörner e Dümmler (1996), existe 
uma relação linear entre a massa hepática e o 
volume cardíaco de um indivíduo fisicamente 
treinado. Nesse sentido, essa relação linear pode 
ser expressa por y = ax + b, onde “y” representa o 
volume cardíaco em mililitros (ml) e “x” representa 
a massa do fígado em gramas (g). A partir da 
leitura do gráfico abaixo, afirma-se que a lei de 
formação linear que descreve a relação entre o 
volume cardíaco e a massa do fígado de uma 
pessoa treinada é: 
 
 
(fonte: Cálculo Ciências Médicas e Biológicas, Editora Harbra Ltda, São Paulo,1988 – 
Texto Adaptado) 
 
(a) y = 0,91∙x – 585 (d) y = ‒ 0,94∙x + 585 
 
(b) y = 0,92∙x + 585 (e) y = 0,95∙x – 585 
 
(c) y = ‒ 0,93∙x – 585 R: (e) 
 
81)(UEPA-2011) 
 
 
 
O Produto Interno Bruto (PIB) representa a 
soma de todas as riquezas produzidas em um 
país. O crescimento do PIB é uma forma de 
garantir a melhoria da qualidade de vida da 
população. O gráfico acima mostra a variação 
anual do PIB no Brasil. O crescimento do PIB de 
2005 para 2007, em porcentagem foi de: 
 
(a) 15,5 (b) 20,8 (c) 47,6 (d) 65,4 (e) 87,5 
R: (e) 
82)(UEPA-2010) No processo de geração de um 
sinal de vídeo por meio dos sensores CCD/CMOS, 
quanto maior a quantidade de luz recebida por um 
determinado pixel, mais intensa a corrente elétrica 
gerada (efeito fotoelétrico na superfície foto-
sensível do pixel) e, portanto, maior a carga con-
centrada nos acumuladores individuais associados 
a cada pixel. Em outras palavras, quanto maior a 
luminosidade maior será a corrente gerada. Essa 
relação no sensor é sempre diretamente proporci-
onal. O gráfico abaixo que melhor representa a 
relação da luminosidade com a voltagem é: 
Fonte: Texto adaptado de www.fazendovideo.com.br/vtsin3.asp 
 
(a) (d) 
 
 
(b) (e) 
 
(c) 
 R: (c) 
 
83)(UEPA-2009) O gráfico abaixo ilustra a área 
desmatada na Amazônia, mês a mês, conforme 
dados do Instituto Nacional de Pesquisas Espaci-
ais: 
 
 
 
Sobre o gráfico acima, é correto afirmar que: 
(a) o período de agosto a novembro de 2007 re-
presenta uma função sempre crescente. 
(b) no período de abril a julho de 2008 houve ape-
nas tendência de queda na área desmatada. 
 
17 
(c) no período de março a abril de 2008 houve 
uma tendência de crescimento de 67,45 %. 
(d) no segundo semestre de 2007 houve apenas 
tendência de queda na área desmatada. 
(e) o período de janeiro a março de 2008 repre-
senta uma função sempre decrescente. R: (b) 
 
84)(UEPA-2006) 
 
A aquicultura e a pesca artesanal 
Em 2001, a aquicultura (criação de animais 
e plantas aquáticas) nacional produziu, aproxima-
damente, 210.000 toneladas/ano, incluindo peixes, 
moluscos e crustáceos, valor extremamente baixo 
quando comparado ao real potencial do setor. De 
acordo com as previsões feitas em 2001 pelo De-
partamento de Pesca e Aquicultura – DPA do Mi-
nistério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento, 
caso sejam mantidas as taxas atuais de cresci-
mento da aquicultura de 15% ao ano, é possível 
que o Brasil, em poucos anos, alcance uma boa 
produção. Dessa produção, os peixes de água do-
ce – concentrados em carpas, tilápias e bagres – 
contribuem com aproximadamente 85% do total 
cultivado. Os restantes correspondem basicamente 
a camarões marinhos e mexilhões. Contudo, há 
uma tendência de aumento do consumo, princi-
palmente, através de produtos beneficia-
dos/industrializados, tais como filés e empanados. 
De todos os setores de produção animal, a 
aquicultura é a atividade que cresce mais rapida-
mente. Desde 1970 a aquicultura cresceu a taxas 
médias de 9,2% ao ano. Em relação à pesca arte-
sanal, estima-se que existam hoje 200 mil pesca-
dores artesanais no Estado do Pará, que susten-
tam as suas famílias com essa atividade. O volume 
médio mensal de produção por cada pescador é 
aproximadamente igual a 120 quilos de peixe. O 
Estado do Pará possui 100 embarcações para a 
captura de camarão, 48 barcos para a pesca da 
piramutaba e para o pargo. 
Supondo que as embarcações de camarão 
capturam x toneladas de camarão ao ano, as de 
piramutaba pescam y toneladas de piramutaba ao 
ano e as de pargo z toneladas de pargo ao ano, 
sendo x > y > z > 0. O gráfico que melhor represen-
ta o número de embarcações (linhas de 34 a 36), 
em função das toneladas/ano, é: 
 
(a) (d) 
 
 
 
(b) (e) 
 
 (c) 
 
 
 
85)(UEPA-2005, modificada) 
 
AÇAÍ 
(...) Hoje já existem projetos que pagam aos ribei-
rinhos R$ 10,00 a lata rasa de 14 kg, para uma 
produção de até 20 latas diárias. Para produção 
acima de 20 latas se paga 10% a mais por lata. A 
expressão matemática que representa a receita R 
do ribeirinho, em reais, em função do número x de 
latas vendidas diariamente, é: 
 
(a) R(x) = {
10x ; 0 ≤ x ≤ 20
10x + 1; 20 < x 
 
 
(b) R(x) = {
14x ; 0 ≤ x ≤ 20
14x + 1; 20 < x 
 
 
(c) R(x) = {
10x ; 0 ≤ x ≤ 20
11x ; 20 < x 
 
 
(d) R(x) = {
14x ; 0 ≤ x ≤ 20
15,4x ; 20 < x 
 
 
(e) R(x) = {
10x ; 0 ≤ x ≤ 20
10x + 10; 20 < x 
 
R: (c) 
 
86)(UEPA-2004) Nas feiras de artesanato de 
Belém do Pará, é comum, no período natalino, a 
venda de árvores de natal feitas com raiz de 
patchouli. Um artesão paraense resolve incremen-
tar sua produção, investindo R$ 300,00 na compra 
de matéria prima para confecciona-las ao preço de 
custo de R$ 10,00 a unidade. Com a intenção de 
vender cada árvore ao preço de R$ 25,00, quantas 
deverá vender para obter lucro? 
(a) mais de 8 e menos de 12 árvores. 
(b) mais de 12 e menos de 15 árvores.(c) mais de 15 e menos de 18 árvores. 
(d) mais de 18 e menos de 20 árvores. 
(e) mais de 20 árvores. R: (e) 
 
87)(UFPA–2010) Em uma viagem terrestre, um 
motorista verifica que, ao passar pelo quilômetro 
300 da rodovia, o tanque de seu carro contém 45 
litros de combustível e que, ao passar pelo 
quilômetro 396, o marcador de combustível 
assinala 37 litros. Como o motorista realiza o 
 
18 
trajeto em velocidade aproximadamente 
constante, o nível de combustível varia 
linearmente em função da sua localização na 
rodovia, podendo portanto ser modelado por uma 
função do tipo C(x) = ax + b, sendo C(x) o nível de 
combustível quando o automóvel se encontra no 
quilômetro x da rodovia. Baseado nessas 
informações, é correto afirmar que, com o 
combustível que possui, o automóvel chegará, no 
máximo, até o quilômetro: 
 
(a) 800 (b) 840 (c) 890 (d) 950 (e) 990 
R: (b) 
88)(UFPA-2009) Na semana de 15 a 21 de se-
tembro de 2008 o governo dos Estados Unidos da 
América divulgou um plano de socorro às institui-
ções financeiras em crise. O Índice da Bolsa de 
Valores de São Paulo (IBOVESPA) teve forte varia-
ção e obteve, no fechamento de cada dia da se-
mana, os seguintes valores: 
 
Dia 15 16 17 18 19 
Índice 48909 48989 47348 48484 52718 
 
O gráfico que representa essa variação é: 
 
(a) (d) 
 
 
(b) (e) 
 
 
(c) 
 R: (c) 
 
89)(UFPA-2006) Uma locadora de veículos 
apresenta, para aluguel de certo tipo de carro, a 
seguinte tabela: 
 
 
 
Em uma diária, com percurso não superior 
a 100 km, para que a 2ª opção seja menor em 
reais, é necessário que o número de quilômetros 
percorridos pelo locatário pertença ao intervalo 
 
(a) [60,100] (c) ]60,100] (e) [0,60[ 
 (b) ]60,100[ (d) [0,60] R: (e) 
 
 
90)(UFPA–2004) Texto para questões 87 e 
88 
Um professor estava assistindo ao progra-
ma Zorra Total e ao ouvir a frase “VOU BEIJAR 
MUUUUIIITO”, no quadro da Tália, teve a ideia de 
fazer uma pesquisa nas escolas onde leciona, rela-
cionando idade dos alunos com média de bei-
jos/dia. O professor apresentou aos seus alunos os 
dados obtidos na pesquisa, na forma do gráfico 
abaixo, 
 
 
 
Analizando o gráfico, a alternativa que co-
rresponde, respectivamente, ao intervalo da idade 
utilizada na pesquisa e ao da média de beijos/dia 
encontrados é a: 
 
(a) [0, 12]; [0, 4] (d) [0, 18]; [0, 16] 
 (b) [12, 18]; [4, 16] (e) [4, 18]; [12, 16] 
 (c) [4, 12]; [16, 18] R: (b) 
 
91) O resultado da pesquisa pode ser representa-
do por uma função matemática. Essa função e a 
média de beijos/dia dos alunos de 15 anos são, 
respectivamente, 
 
(a) y = 
2
3
x + 2 e 12 (d) y = 2x ‒ 20 e 10 
 
(b) y = x2 ‒ 16x + 23 e 8 (e) y = x ‒ 5 e 10 
 
(c) y = 2x−12 e 8 R: (d) 
 
92)(UFPA) Mensalmente, pago pela prestação de 
minha casa 1/5 do meu salário; metade do resta 
gasto em alimentação e 1/3 do que sobra coloco 
na poupança, restando-me ainda R$ 800,00 para 
gastos diversos. O valor colocado na poupança é 
de: 
 
(a) R$ 800,00 (c) R$ 400,00 (e) R$ 100,00 
 (b) R$ 650,00 (d) R$ 250,00 R: (c) 
 
93)(CEFET–2008) Segundo fonte da Embrapa 
Amazônia Oriental, a produção de frutos do açai-
zeiro no Estado do Pará cresceu de cerca de 90 mil 
toneladas, em 1994, para cerca de 150 mil em 
2000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
Se essa tendência de crescimento, mostra-
da no gráfico, se manteve até 2004, a produção 
nesse ano teve um aumento, em relação a 1994, 
de aproximadamente: 
 
(a) 100% (b) 200% (c) 111% (d) 211% (e) 98% 
R: (c) 
94)(UFPE) Um provedor de acesso à internet 
oferece dois planos para seus assinantes: plano A 
– Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 por 
cada minuto de conexão durante o mês. Plano B – 
Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02 por 
cada minuto de conexão durante o mês. Acima de 
quantos minutos de conexão por mês é mais eco-
nômico optar pelo plano B? 
 
(a) 160 (b) 180 (c) 200 (d) 220 (e) 240 
R: (c) 
95)(Furb-SC) O gráfico abaixo é formado por 
segmentos de reta e relaciona o valor de uma con-
ta de água e o correspondente volume consumido. 
 
 
 
 O valor da conta, quando o consumo for de 
40 m
3
 será de: 
 
(a) R$ 50,00 (c) R$ 27,50 (e) R$ 26,50 
 
(b) R$ 28,00 (d) R$ 26,00 R: (c) 
 
96)(FETEC) Na figura a seguir tem se o gráfico 
da função f, onde f(x) representa o preço pago em 
reais por x cópias de um mesmo original, na Copi-
adora Reprodux. De acordo com o gráfico, é ver-
dade que o preço pago nessa copiadora por: 
 
 
 
(a) 228 cópias de um mesmo original é R$ 22,50. 
(b) 193 cópias de um mesmo original é R$ 9,65. 
(c) 120 cópias de um mesmo original é R$ 7,50. 
(d) 100 cópias de um mesmo original é R$ 5,00. 
(e) 75 cópias de um mesmo original é R$ 8,00. R: (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 . FUNÇÃO INVERSA 
 
 
Dada uma função f: A → B, bijetora, denomina-
se função inversa de f a função g: B → A tal que 
∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B, se f(a) = b, então g(b) = a. 
 
 
10.1 Em diagramas 
 
Exemplo 1: 
 
f: A → B g: B → A 
 
 
 f é função inversa de g, pois 
 
f(1) = 6 e g(6) = 1 
 
f(3) = 8 e g(8) = 3 
 
f(4) = 9 e g(9) = 4 
 
Observação: f e g são bijetoras. 
 
Exemplo 2: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 7} e 
B = {4, 8, 12, 28}, f: A → B, g: B → A, definidas por 
f(x) = 4x e g(x) = 
x
4
. 
 
f:A → B g: B → A 
 
 
f(x) = 4x g(x) = 
x
4
 
 
D
f
 = {1, 2, 3, 7} Dg = {4, 8, 12, 28} 
 
Im
f
 = {4, 8, 12, 28} Img = {1, 2, 3, 7} 
 
f é função inversa de g. 
 
Observação: f e g são bijetoras. 
 
10.2 Processo para determinar a função 
inversa 
 Na situação que acabamos de ver (Exemplo 
2 do Tópico 10.1), dada a função bijetora cuja lei é 
f(x) = 4x, a função 𝑓−1 inversa de f, tem como lei 
𝑓−1 = 
x
4
. 
 Vejamos como a partir de f chegar a 𝑓−1: 
 Escrevemos a f(x) = 4x na forma y = 4x; 
 Em y = 4x trocamos y por x e x por y, obtendo 
x = 4y; 
 Em x = 4y, isolamos y, obtendo y = 
x
4
; 
 Escrevemos y = 
x
4
 na forma 𝑓(x)−1 = 
x
4
, que é a 
função inversa de f. 
Valor da 
Conta (R$) 
 
 
 40 
 
 
 
 15 
 
 
 
 30 50 volume 
consumido(m
3
) 
 
20 
Veja o esquema abaixo: 
y = 4x 
 ↓ ↓ 
 
x = 4y 
⇕ 
y =
x
4
 , que escrevemos na forma 𝑓(x)−1 = 
x
4
 
 
Observação: 
 
 
Uma função f é invertível se, e somente se, f é 
bijetora. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
97) Determine a função inversa das seguintes 
funções bijetoras de ℝ em ℝ: 
 
a) f(x) = x ‒ 6 c) f(x) = 3x + 4 
 
b) f(x) = 1 ‒ 2x d) f(x) = 3x 
 
98) Determine a função inversa de cada função: 
a) y = x ‒ 3 R: y = x + 3 
 
b) y =
x + 2
4
 R: y = 4x ‒ 2 
 
c) y =
3x − 2
4x − 3
, (x ≠
3
4
) R: y =
3x−2
4x−3
 (x ≠
3
4
) 
 
d) y =
x + 5
2x − 3
 , cujo domínio é D = ℝ ‒ {
3
2
}. 
R: y = 
3x+5
2x−1
 (x ≠
1
2
) 
 
99) Sejam os conjuntos A = {‒ 2, ‒ 1, 1, 2, 3} e 
B = {2, 5, 10} e a função f: A → B tal que f(x) = x2 + 
1. 
a) Construa o diagrama de flechas representando 
a função f. 
b) Construa o diagrama de flechas representando 
a função 𝑓−1. 
c) A relação 𝑓−1 é função? 
d) A função f é invertível? 
 
100) Sejam os conjuntos A = {9, 4, 1, 0} e B = {3, 
2, 1, 0} e a função f: A → B tal quef(x) = √x. 
a) Construa o diagrama de flechas representando 
a função f. 
b) Construa o diagrama de flechas representando 
a função 𝑓−1. 
c) A relação 𝑓−1 é função? 
d) A função f é invertível? Por quê? 
 
101) Seja a função invertível f: ℝ → ℝ dada por 
f(x) = x3. Determine 𝑓−1(x). R: y = √x3 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
102)(UFPA-2008) O custo C de produção de 
uma peça em função do número n de produtos é 
dado pela fórmula C(n) = 
1
1+n2
. A função inversa 
desta fórmula é 
 
(a) n = 1/√1 + C2 (d) n = 1/√(1 + C)/C 
 
(b) n = 1/(1 − C2) (e) n = 1/√(1 + C2)/C 
 
(c) n = 1/√(1 − C)/C R: (c) 
 
103)(Mackenzie-SP) Dada à função f: ℝ → ℝ, 
definida por f(x) = x3 + 1, sua inversa 𝑓−1: ℝ → ℝ é 
definida por: 
 
(a) 𝑓−1(x) = √x3 + 1
3
 (d) 𝑓
−1(x) = 
1
√x3+1
3 
 
(b) 𝑓−1(x) = 
1
x3+1
 (e) n.d.a. 
 
(c) 𝑓−1(x) = √x − 1
3
 R: (c) 
 
10.3 O gráfico de função inversa 
 Vamos observar, através de exemplos, co-
mo ficam dispostos os gráficos de uma função f e 
da sua inversa 𝑓−1 em um mesmo sistema de ei-
xos. 
a) Seja a função f dada por f(x) = x + 2 e a sua 
inversa dada por 𝑓−1(x) = x ‒ 2. 
 
 
 
b) Seja a função bijetora f: ℝ+ → ℝ+ dada por 
f(x) = x2 e a sua função inversa 𝑓−1: ℝ+ → ℝ+, dada 
por 𝑓−1(x) = √x. 
 
 
 
Os exemplos dados mostram que o gráfico 
de uma função f e o gráfico da sua função inversa 
 
21 
𝑓−1 são simétricos em relação à reta y = x que re-
presenta a bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Isso 
ocorre em todos os casos de função inversa. 
 Veja que a função exponencial é a função 
inversa da função logarítmica na Apostila de Fun-
ção Logarítmica. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
104) Seja f:ℝ → ℝ a função definida por 
f(x) = ‒ 6x + 2. 
a) Determine 𝑓−1(x). 
b) Construa os gráficos de f e 𝑓−1 no mesmo sis-
tema de eixos. 
 
EXERCÍCIOS ANALÍTICOS-DISCURSIVOS 
DE VESTIBULARES 
105)(UEPA-2004) Foi criado pelo Estado o tri-
buto Pessoa Natural para facilitar a legalização de 
algumas empresas, desde que seu faturamento 
anual esteja dentro de determinada faixa. Com 
esse imposto, o beneficiado passa a usar notas 
fiscais padronizadas pela Secretaria de Fazenda, 
sem a necessidade do Cadastro Nacional da Pes-
soa Jurídica (CNPJ), tendo apenas que recolher 
mensalmente a importância de R$ 10,00 aos cofres 
públicos. O proprietário de uma fabrica de vassou-
ras de piaçava, incluído no programa Pessoa Natu-
ral, gasta R$ 0,60 por vassoura produzida. Pede–
se: 
(a) A expressão que fornece o custo mensal C, 
tomando como dados, o imposto e o custo por x 
vassouras produzidas. R: C = 0,60x + 10,00 
(b) O número de vassouras produzidas no mês 
em que o custo mensal foi de R$ 1 090,00. 
R: 1 800 vassouras 
106)(UEPA-2001) Para produzir um determina-
do artigo, uma indústria tem dois tipos de despe-
sas: uma fixa e uma variável. A despesa fixa foi 
estima em R$ 90,00 (noventa reais), e a variável 
deverá corresponder a 30% do total das vendas. 
Se, para o mês de março de 2001, pretende-se 
que o lucro em relação ao produto represente 20% 
do total das vendas, qual deve ser, em reais, o 
volume de vendas e de quanto será o lucro? 
R: venda R$ 180,00; lucro R$ 16,00 
107) (UEPA-00) O empregado de uma empresa 
ganha mensalmente x reais. Sabe-se que ele paga 
de aluguel R$ 120,00 e gasta 3/4 de seu salário em 
sua manutenção, poupando o restante. Então: 
a) Encontre uma expressão matemática que defi-
na a poupança p em função do salário x. 
b) Para poupar R$ 240,00, qual deverá ser o seu 
salário mensal? R: a) x
4
 ‒ 120; b) R$ 1 440,00 
 
108)(UEPA-98) Um marreteiro compra diaria-
mente objetos por R$ 3,00 e os revende por R$ 
5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se x é a 
quantidade vendida e y o lucro diário do marretei-
ro, então escreva a lei que determina este lucro. 
R: L = 2,00x ‒ 100 
EXERCÍCIOS EXTRAS 
109) Os gráficos abaixo mostram como tem au-
mentado a expectativa de vida do brasileiro, desde 
a década de 50, e como tem caído a taxa de mor-
talidade infantil. 
 
 
 
 
 
a) De 1950 a 1980, qual foi o período em que hou-
ve um aumento maior na expectativa de vida do 
brasileiro? 
b) Qual é o aumento percentual esperado, na ex-
pectativa de vida, de 1998 para 2020? 
c) Qual o período em que a mortalidade infantil 
teve uma diminuição maior: de 1950 a 1970 ou de 
1970 a 1991? 
d) Pense e discuta com os colegas na classe se há 
alguma relação entre aumento da expectativa de 
vida e queda da mortalidade infantil. 
 
110) Uma barra de ferro aquecida até uma tem-
peratura de 30
°
C e a seguir resfriada até uma 
temperatura de 6
°
C no intervalo de tempo de 0 a 6 
min. 
a) Esboce o gráfico da temperatura em função do 
tempo. 
b) Em que intervalo de tempo a temperatura es-
teve negativa? 
 
111) O gráfico mostra a temperatura de uma 
região do Rio Grande do Sul desde 5 h até 11 h. 
 
 
 
a) Em que horário desse período a temperatura 
atingiu 0°C? R: 6h 
b) Entre que horas desse período a temperatura 
esteve negativa? R: [5 h, 6 h) 
c) Entre que horas desse período a temperatura 
esteve positiva? R: (6 h, 11 h] 
 
112) O valor de um determinado carro decresce 
linearmente com o tempo, devido ao desgaste. 
Sabendo-se que hoje ele vale dez mil dólares e, 
 
22 
daqui a cinco anos, quatro mil dólares, qual será 
o seu valor daqui a três anos? R: R$ 6 400,00 
 
113) Seu Joaquim comprou, em 1988, uma casa 
no valor de R$ 2 000,00. Após dois anos, um corre-
tor avaliou a casa em R$ 24 000,00. Supondo que o 
valor da casa em função do tempo seja descrito 
por uma função do 1º grau e que o tempo 0 seja o 
ano de compra da casa: 
a) Determine a expressão do valor da casa em 
função do tempo; 
b) Determine o valor mínimo da venda da casa; 
c) Cite o ano de construção da casa, sabendo que 
o terreno onde ela foi construída tem o valor fixo 
de R$ 8 000,00. 
 
114) O salário fixo mensal de um segurança é de 
R$ 560,00. Para aumentar sua receita, ele faz plan-
tões noturnos em boate, onde recebe R$ 60,00 por 
noite de trabalho. 
a) Se em um mês o segurança fizer 3 plantões, 
que salário receberá? 
b) Qual é o salário final y quando ele realiza x 
plantões? 
c) Qual é o número mínimo de plantões necessá-
rios para gerar uma receita superior a 
R$ 850,00? 
 
115) Um vendedor recebe mensalmente um salá-
rio composto de duas partes: uma parte fixa, no 
valor de R$ 900,00, e uma variável, que correspon-
de a uma comissão de 8% do total de vendas que 
ele fez durante o mês. 
a) Expresse a lei da função que representa seu 
salário mensal. 
b) Calcule o salário do vendedor sabendo que du-
rante um mês ele vendeu R$ 50 000,00 em produ-
tos. 
 
116) Uma companhia de telefones celulares ofe-
rece a seus clientes duas opções: na 1ª opção, 
cobra R$ 38,00 pela assinatura mensal e mais 
R$ 0,60 por minuto de conversação; na 2ª opção 
não há taxa de assinatura, mais o minuto de con-
versação custa R$ 1,10. 
a) Qual é a opção mais vantajosa para 1 hora de 
conversação mensal? 
b) A partir de quanto tempo deve-se optar pela 1ª 
opção? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Você constrói a sua vitória.” 
“A perseverança alimenta a esperança.” 
 
 
 
Nunca deixe que lhe digam: 
Que não vale a pena 
Acreditar no sonho que se tem 
Ou que seus planos 
Nunca vão dar certo 
Ou que você nunca 
Vai ser alguém... 
 Renato Russo 
 
 
Atualizada em 10/11/2018 
 
 
Gostou da Apostila? Você a encontrano site: 
http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilas-
de-matematica 
Link! Dê uma olhada. 
 
 
Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.1. 
 
GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R. Matemática 1: Uma nova 
abordagem. São Paulo: FTD, 2000, v.1. 
 
Lima, E.L. Curso de Análise. 11. Ed. Rio de Janeiro: Associa-
ção Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2004, 
v.1. (Projeto Euclides). 
 
PAIVA, M. Matemática. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 1999, 
v.único. (Coleção base).