Valor Absoluto e Desigualdades

1. N Ú M E RO S R E A IS C Á L C U L O 1 - 2018.2 1. 1 V al or A b so lu t o & De si gu a ld a de s 1. Estude o sinal de cada uma das expressões abaixo. (a) x \ue000 1 x \ue000 2 (b) (2 x + 1) ( x \ue000 2) (c) 2 \ue000 3 x x + 2 (d) x ( x \ue000 1) (2 x + 3) (e) (2 x \ue000 1) \ue000 x 2 + 1 \ue001 (f ) x \ue000 x 2 + 3 \ue001 (g) x 6 \ue000 x 2 + 3 \ue001 (h) \ue000 x \ue000 x 2 \ue000 4 \ue001 : 2. Resolv a as desigualdades. (a) x 2 \ue000 4 > 0 (b) x 2 \ue000 1 \ue014 0 (c) x 2 \ue014 4 (d) x 2 > 1 (e) ( x \ue000 a ) 2 r 2 ; r \ue015 0 : 3. Resolv a as equações. (a) j x j = 2 (b) j x + 1 j = 3 (c) j 2 x \ue000 1 j = 1 (d) j x \ue000 2 j = \ue000 1 (e) j 2 x + 3 j = 0 (f ) j x j = 2 x + 1 (g) j 1 \ue000 2 x j = j 3 x + 5 j (h) q ( x \ue000 4) 2 = \ue000 1 (i) q ( x \ue000 1) 2 = 5 (j) q (2 \ue000 x ) 2 = 4 (k) \ue00c \ue00c \ue00c \ue00c x 1 \ue000 5 x \ue00c \ue00c \ue00c \ue00c = 4 (l) x = q ( \ue000 4) 2 4. As desigualdades abaixo, en v olv e ndo pro dutos e quo cientes, p o dem ser resolvidas p or meio do estudo do sinal, como no Exercício 9 da Seção 1.1. (a) (4 x + 7) 20 (2 x + 8) 0 (b) x (2 x \ue000 1) ( x + 1) > 0 (c) 3 p x 2 \ue000 1 \ue014 0 (d) 2 x \ue000 1 x \ue000 3 > 5 (e) x 2 x \ue000 3 \ue014 3 (f ) (2 x \ue000 1) ( x + 3) 0 (g) 2 x \ue000 1 x + 1 0 (h) 3 x \ue000 2 2 \ue000 x \ue014 0 (d) x 2 \ue000 9 x + 1 0 (j) (2 x \ue000 1) \ue000 x 2 \ue000 4 \ue001 \ue014 0 x \ue000 3 x 2 + 1 > 5 (i) x 2 \ue000 4 x 2 + 4 > 0 : 5. Resolv a as Desigualdades. (a) x 2 \ue000 3 x + 2 0 (b) x 2 + x + 1 \ue014 0 (c) 3 x 2 + x \ue000 2 > 0 (d) 4 x 2 \ue000 4 x + 1 \ue014 0 (e) x 2 + 3 > 0 (f ) x 2 + x + 1 > 0 (g) x 2 \ue000 5 x + 6 \ue015 0 (h) x 2 + 5 \ue014 0 (i) ( x \ue000 2) ( x + 3) (1 \ue000 x ) > 0 (j) x 2 + 1 3 x \ue000 x 2 \ue000 3 (k) x ( x + 4) 2 ( x \ue000 2) \ue000 4 0 (l) \ue000 x 2 \ue000 4 \ue001 \ue000 x 2 \ue000 3 x + 2 \ue001 \ue014 0 6. Dê o conjun to solução de cada uma das inequações mo dulares abaixo. (a) j x j \ue014 1 (b) j 2 x \ue000 1 j 3 (c) j x j > 3 (d) j 3 x + 3 j \ue014 1 = 3 (e) \ue00c \ue00c 2 x 2 \ue000 1 \ue00c \ue00c 1 (f ) j 3 x \ue000 1 j \ue000 2 (g) j x + 3 j \ue015 1 (h) j 2 x \ue000 1 j (i) j x + 1 j j 2 x \ue000 1 j (j) j x \ue000 2 j\ue000j x \ue000 5 j > x (k) \ue00c \ue00c \ue00c ( x \ue000 1) 3 \ue00c \ue00c \ue00c 1 (l) j x \ue000 1 j + j x + 3 j j 4 x j 2 C Á L C U L O D E U M A V A R I Á V E L M A R I V A LD O P . M ATO S 7. Duas desigualdades são ditas e quivalentes , se p ossuem o mesmo conjunto de soluções. Com base nesta de\u2026 nição, classi\u2026 que os pares de desigualdades abaixo. (a) p x \ue000 1 p 2 \ue000 x e x \ue000 2 1 \ue000 x (b) x 2 > 1 e 1 + 2 x \ue000 1 > 0 : 8. Resolv a os sistemas de inequações. (a) ( 8 x \ue000 2 x \ue000 1 2 x 2 \ue000 x \ue014 1 (b) ( 4 x 2 \ue000 4 x \ue000 3 0 1 =x 2 \ue015 1 9. Mostre que: x + 1 x \ue015 2 ; 8 x > 0 : 10. Mostre que não existem n úmeros reais x e y , tais que: 1 x + 1 y = 1 x + y : R E S P O S T A S & S U G E S T Õ E S : :: : : : :: : :: : : E X E R C ÍC I O S : :: & : :: : : : :: : :: : : : :: : :: C O M P L E M E N T O S : :: : 1.1 1. Como ilustração, v eja na Figura abaixo como se obtém o sinal da expressão ( x \ue000 1) ( x \ue000 2) : V emos que a expressão ( x \ue000 1) ( x \ue000 2) é p ositiv a se x 1 ou x > 2 e é negativ a se 1 2 : p ositiv a negativ a zero inde\u2026 nida (a) ( \ue0001 ; 1) [ (2 ; + 1 ) (1 ; 2) f 1 g x = 2 (b) ( \ue0001 ; \ue000 1 = 2) [ (2 ; + 1 ) ( \ue000 1 = 2 ; 2) f\ue000 1 = 2 ; 2 g (c) ( \ue000 2 ; 2 = 3) ( \ue0001 ; \ue000 2) [ (2 = 3 ; + 1 ) f 2 = 3 g x = \ue000 2 (d) ( \ue000 3 = 2 ; 0) [ (1 ; 1 ) ( \ue0001 ; \ue000 3 = 2) [ (0 ; 1) f 0 ; 1 ; \ue000 3 = 2 g (e) (1 = 2 ; + 1 ) ( \ue0001 ; 1 = 2) f 1 = 2 g (f ) (0 ; + 1 ) ( \ue0001 ; 0) f 0 g C O M P L E M E N T O S 1 N Ú M E RO S R E A I S 3 2. (a) x 2 > 4 , j x j > 2 , x > 2 ou x \ue000 2 : (b) x 2 \ue014 1 , j x j \ue014 1 , \ue000 1 \ue014 x \ue014 1 : (c) x 2 \ue014 4 , j x j \ue014 2 , \ue000 2 \ue014 x \ue014 2 : (d) x > 1 ou x \ue000 1 : (e) ( x \ue000 a ) 2 r 2 ) j x \ue000 a j , a \ue000 r + r: 3. Decorre da de\u2026 nição de V alor Absoluto que j \ue003 j = a , \ue003 = \ue006 a: Esta é a propriedade a ser usada. (a) x = \ue006 2 (b) x = 2 ou x = \ue000 4 (c) x = 0 ou x = 1 (d) ? (e) x = \ue000 3 = 2 (f ) x = \ue000 1 = 3 (g) x = \ue000 4 = 5 ou x = \ue000 6 (h) ? (i) x = 6 ou x = \ue000 4 (j) x = \ue000 2 ou x = 6 (k) x = 4 = 21 ou x = 4 = 19 (l) x = 4 4. Expressemos as resp ostas na forma de interv alo. (a) Na expressão (4 x + 7) 20 (2 x + 8) v emos que o primeiro fator é p ositiv a e a expressão será negativ a quando 2 x \ue000 8 0 , isto é, x \ue000 4 . (b) \ue000 1 0 ou x > 1 = 2 . Na forma de interv alo, temos ( \ue000 1 ; 0) [ (1 = 2 ; + 1 ) : (c) [ \ue000 1 ; 1] : (d) (3 ; 14 = 3) : (e) ( \ue000 3 ; 1 = 2) : (f ) ( \ue0001 ; 3 = 2) [ (9 = 5 ; + 1 ) : (g) ( \ue000 1 ; 1 = 2) : (h) ( \ue0001 ; 2 = 3] [ (2 ; + 1 ) : 5. No estudo do sinal do trinômio do segundo grau ax 2 + bx + c; a 6 = 0 , ressaltamos alguns fatos: \ue00f Se o discriminan te \ue001 = b 2 \ue000 4 ac for negativ o, en tão o trinômio terá o mesmo sinal do co e\u2026 cien te a , seja qual for o v alor que se atribua a x: \ue00f Se \ue001 > 0 , en tão o trinômio terá duas raízes reais e distin tas x 1 e x 2 e o sinal será o mesmo do coe\u2026 ciente a , se o x não estiv er entre as raízes x 1 e x 2 ; ele terá sinal con trário ao de a , se o x estiv er en tre as raízes \ue00f Se \ue001=0 , o trinômio terá uma única raiz real x 0 e o sinal coincide com sinal de a , se x 6 = x 0 . 4 C Á L C U L O D E U M A V A R I Á V E L M A R I V A L D O P. M A T O S Na \u2026 gura abaixo ilustramos algumas situações. (a) x 2 \ue000 3 x + 2 0 ; \ue001=1 > 0 : As raízes são x 1 = 2 e x 2 = 1 e o trinômio será 0 quando 1 2 : O conjun to solução é S = (1 ; 2) ou S = f x 2 R : 1 2 g : V eja a ilustração na \u2026 gura abaixo. (b) x 2 + x + 1 \ue014 0 ; \ue001 = \ue000 3 0 : Conjun to solução S = ? (conjun to v azio). (c) 3 x 2 + x \ue000 2 > 0 ; \ue001 = 25 > 0 : Conjun to solução S = ( \ue0001 ; \ue000 1) [ (2 = 3 ; + 1 ) : (d) 4 x 2 \ue000 4 x + 1 \ue014 0 ; \ue001=0 : Conjun to solução S = f 1 = 2 g (conjun to unitário). (e) x 2 + 3 > 0 ; \ue001 = \ue000 12 0 : Conjun to solução S = R ou S = ( \ue0001 ; + 1 ) . (f ) x 2 + x + 1 > 0 ; \ue001 = \ue000 3 0 : Conjun to solução S = R ou S = ( \ue0001 ; + 1 ) . (g) x 2 \ue000 5 x + 6 \ue015 0 ; \ue001=1 > 0 : Conjun to solução S = ( \ue0001 ; 2] [ [3 ; + 1 ) . (h) x 2 + 5 \ue014 0 ; \ue001 = \ue000 20 0 : Conjun to solução S = ? (conjun to v azio). (i) ( x \ue000 2) ( x + 3) (1 \ue000 x ) > 0 : P ara começar, v eja a ilustração na \u2026 gura abaixo. O conjun to solução é S = ( \ue0001 ; \ue000 3) [ (1 ; 2) . (j) A desigualdade prop osta é equiv alente a 2 x 2 \ue000 3 x + 4 0 ; onde temos a = 2 e \ue001 = \ue000 23 0 : O trinômio será sempre p ositivo ( tem o mesmo sinal de ) O conjunto solução S = ? : C O M P L E M E N T O S 1 N Ú M E RO S R E A I S 5 (k) O termo ( x + 4) 2 ( x \ue000 2) \ue000 4 é não negativ o, exceto quando x = 2 . O sinal de x ( x + 4) 2 ( x \ue000 2) \ue000 4 dep ende tão somente do sinal de x: Assim, x ( x + 4) 2 ( x \ue000 2) \ue000 4 0 , x 0 e o conjun to solução é S = ( \ue0001 ; 0) : (l) V eja na \u2026 gura os sinais dos trinômios x 2 \ue000 4 e x 2 \ue000 3 x + 2 e deduza que o conjunto solução é S = [ \ue000 2 ; 1] [ f 2 g : 6. En unciado (a) S = [ \ue000 1 ; 1] ou S = f x 2 R : \ue000 1 \ue014 x \ue014 1 g : (b) S = ( \ue000 1 ; 2) ou S = f x 2 R : \ue000 1 2 g : (c) S = ( \ue0001 ; \ue000 3) [ (3 ; + 1 ) ou S = f x 2 R : x \ue000 3 ou x > 3 g : (d) S = [ \ue000 10 = 9 ; \ue000 8 = 9] ou S = f x 2 R : \ue000 10 = 9 \ue014 x \ue014 \ue000 8 = 9 g : (e) S = ( \ue000 1 ; 0) [ (0 ; 1) ou S = f x 2 R : \ue000 1 1 e x 6 = 0 g : (f ) S = ? (conjun to v azio). (g) S = ( \ue0001 ; \ue000 4] [ [ \ue000 2 ; + 1 ) ou S = f x 2 R : x \ue014 \ue000 4 ou x \ue015 \ue000 2 g : (h) S = (1 = 3 ; 1) ou S = f x 2 R : 1 = 3 1 g : (i) S = ( \ue0001 ; 0) [ (2 ; + 1 ) ou S = f x 2 R : x 0 ou x > 2 g : (j) S = ( \ue0001 ; \ue000 3) ou S = f x 2 R : x \ue000 3 g : (k) S = (0 ; 2) ou S = f x 2 R : 0 2 g : (l) S = ( \ue0001 ; \ue000 1) [ (1 ; + 1 ) ou S = f x 2 R : x \ue000 1 ou x > 1 g : (a) não equiv alen tes (b) equiv alen tes. 7. En unciado (a) S = [ \ue000 1 2 ; 1 7 ) ou S = f x 2 R : \ue000 1 = 2 1 = 7 g : 6 C Á L C U L O D E U M A V A R I Á V E L M A R I V A L D O P. M A T O S (b) S = [ \ue000 1 2 ; 0) [ (0 ; 1] ou S = f x 2 R : \ue000 1 = 2 \ue014 x 0 ou 0 \ue014 1 g : 8. En unciado (a) Basta observ ar que se x > 0 , en tão x + 1 x \ue015 2 , x 2 \ue000 2 x + 1 \ue015 0 e esta última desigualdade é v álida seja qual for o v alor real que se atribua a x: (b) Se existissem tais n úmeros x e y satisfazendo 1 x + 1 y = 1 x + y teríamos x 2 + xy + y 2 = 0 (1.1) e, olhando ( 1.1 ) como uma equação do segundo grau em x , v emos que \ue001 = \ue000 3 y 2 0 e a equação não tem solução.

Valor Absoluto e Desigualdades

Cálculo I

UFPB

Cálculo I

Continue navegando

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Mediante el módulo de un número real expresamos la percepción intuitiva de tamaño o distancia al 0. Si x es un número real, denotaremos por IxI su ...

Dada a função f(x)=x³+x²-x+1, encontre os extremos absolutos de f em A Valor máximo absoluto: (-2, 3) Valor mínimo absoluto: (-4, -2) B Valor máx...

Questão 2/5 - Cálculo Diferencial e Integral a uma Variável Dada a função f(x)=x³+x²-x+1, encontre os extremos absolutos de f em Nota: 20.0 A Valor...

Dada a função f(x)=x³+x²-x+1, encontre os extremos absolutos de f em A Valor máximo absoluto: (-2, 3) Valor mínimo absoluto: (-4, -2) B Valor máxi...

Outros materiais