Lista de Exercícios - 02

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CAMPUS SA˜O CRISTOVA˜O
2a. LISTA DE EXERCI´CIO
Questa˜o 1. Verdadeiro ou falso, justifique sua resposta.
a) ~u.~u = 0⇔ ~u = ~0,
b) ~u.~v = 0⇒ ~u = ~0 ou ~v = ~0
c) ~u.(~v − ~w) = ~u.~v − ~u.~w,
d) ~u = −~v ⇒ ~u.~v ≤ 0
Questa˜o 2. Dados os vetores ~u = (1, a,−2a− 1), ~v = (a, a− 1, 1) e ~w = (a,−1, 1), determinar a de modo
que ~u · ~v = (~u+ ~v) · ~w.
Questa˜o 3. Decomponha o vetor ~v = (1,−1, 2) de maneira que uma de suas componentes esteja na direc¸a˜o
do vetor ~u = (3,−1, 1).
Questa˜o 4. Sa˜o dados os nu´meros reais positivos a e b, e o vetor ~u de norma a. Dentre os vetores de
norma b, qual e´ o que torna ma´ximo o produto escalar ~u.~v? E mı´nimo? Quais sa˜o esses valores ma´ximo
e mı´nimo?
Questa˜o 5. Dados os pontos A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determinar o vetor ~x tal que 2~x− ~AB =
~x+ ( ~BC · ~AB) ~AC.
Questa˜o 6. Determinar o valor de n para que o vetor ~v =
(
n, 2
5
, 4
5
)
seja unita´rio.
Questa˜o 7. Seja o vetor ~v = (m+ 7)~i+ (m+ 2)~j + 5~k. Calcular m para que |~v| = √38.
Questa˜o 8. Calcular o per´ımetro do triaˆngulo de ve´rtices A(0, 1, 2), B(−1, 0,−1) e C(2,−1, 0).
Questa˜o 9. Os pontos A, B e C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero cujo lado mede 10cm. Calcular
o produto escalar dos vetores ~AB e ~AC.
Questa˜o 10. Os lados de triaˆngulo retaˆngulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular ~AB · ~AC +
~BA · ~BC + ~CA · ~CB.
Questa˜o 11. Sabendo que o aˆngulo entre os vetores ~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1,m + 2) e´ pi
3
, determinar
m.
Questa˜o 12. Sendo ~u e ~v vetores unita´rios, ‖~w‖ = 4, ~u.~w = −2, ~v.~w = −4 e ang(~u,~v) = pi/3 radianos,
calcule:
a) (5~u− ~w).(~w − 2~u)
b) (2~u− ~v + ~w).(−~u+ ~v),
c)
~u.~v
~u.~w
.
Questa˜o 13. Determine x de modo que ~u e ~v sejam ortogonais:
a) ~u = (x, 0, 3), ~v = (1, x, 3).
b) ~u = (x+ 1, 1, 2), ~v = (x− 1,−1,−2).
Questa˜o 14. Determine um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2~u + ~v e ~v − ~u sendo ~u =
(3,−1,−2), ~v = (1, 0,−3). E um vetor unita´rio simultaneamente ortogonal?
Questa˜o 15. Desenhe o representante dos seguintes produtos vetoriais
a) ~j × 2~i,
b) 3~j × 2~k.
Questa˜o 16. Determinar o vetor ~v ortogonal ao vetor ~u = (2,−3,−12) e colinear ao vetor ~w = (−6, 4,−2).
1
2
Questa˜o 17. Determine o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (1,−1, 2), tal que ~v.~u = −18.
Questa˜o 18. Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3,−2, 1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo
retaˆngulo.
Questa˜o 19. Qual o valor de α para que os vetores ~a = α~i + 5~j − 4~k e ~b = (α + 1)~i + 2~j + 4~k sejam
ortogonais?
Questa˜o 20. Verificar se existe aˆngulo reto no triaˆngulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).
Questa˜o 21. Determinar um vetor unita´rio ortogonal ao vetor ~v = (2,−1, 1).
Questa˜o 22. O vetor ~v e´ ortogonal aos vetores ~u = (2,−1, 3) e ~w = (1, 0,−2) e forma aˆngulo agudo com
o vetor ~j. Calcular ~v, sabendo que |~v| = 3√6.
Questa˜o 23. Determinar o vetor ~v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condic¸o˜es ~v·~v1 = 10 e ~v·~v2 = −5,
sendo ~v1 = (2, 3,−1) e ~v2 = (1,−1, 2).
Questa˜o 24. Determinar o vetor projec¸a˜o do vetor ~u = (1, 2,−3) na direc¸a˜o de ~v = (2, 1,−2).
Questa˜o 25. Qual o comprimento do vetor projec¸a˜o de ~u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x?
Questa˜o 26. Calcular o mo´dulo dos vetores ~u+ ~v e ~u− ~v, sabendo que |~u| = 4, |~v| = 3 e o aˆngulo entre
~u e ~v e´ de pi
3
.
Questa˜o 27. O vetor ~v e´ ortogonal aos vetores ~a = (1, 2, 0) e ~b = (1, 4, 3) e forma aˆngulo agudo com o
eixo dos x. Determinar ~v, sabendo que |~v| = 14.
Questa˜o 28. Dados os vetores ~u = (2,−1, 1), ~v = (1,−1, 0) e ~w = (−1, 2, 2), calcular:
a) ~w × ~v e ~v × ~w
b) ~v × (~w − ~u)
c) (~u+ ~v)× (~u− ~v)
d) ( ~2u)× ( ~3v)
e) (~u× ~v) · (~u× ~v)
f) (~u× ~v) · ~w e ·~u(~v × ~w)
g) (~u× ~v)× ~w e ~u× (~v × ~w)
h) (~u+ ~v) · (~u× ~w)
Questa˜o 29. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2~a + ~b e ~b − ~a, sendo ~a =
(3,−1,−2) e ~b = (1, 0,−3).
Questa˜o 30. Determinar o valor de m para que o vetor ~w = (1, 2,m) seja simultaneamente ortogonal aos
vetores ~v1 = (2,−1, 0) e ~v2 = (1,−3,−1).
Questa˜o 31. Calcular a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices
a) A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3)
b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0)
c) A(2, 3,−1), B(3, 1,−2) e C(−1, 0, 2)
d) A(−1, 2,−2), B(2, 3,−1) e C(0, 1, 1)
Questa˜o 32. Calcular a a´rea do paralelogramo que tem ve´rtice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de
extremidades B(1, 1,−1) e C(0, 1, 2).
Questa˜o 33. Dado o triaˆngulo de ve´rtices A(0, 1,−1), B(−2, 0, 1) e C(1,−2, 0), calcular a medida da
altura relativa ao lado BC.
Questa˜o 34. Demonstrar que o segmento cujos extremos sa˜o os pontos me´dios de dois lados de um
triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e igual a` sua metade.
Questa˜o 35. (PRODUTO MISTO) Sejam ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3) vetores.
Definimos o produto ~u · (~v × ~w) o qual denominamos por PRODUTO MISTO da seguinte maneira
~u · (~v × ~w) = det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3

3
Tendo em vista a definc¸a˜o de produto misto acima responda
a) Em quais casos podemos ter ~u · (~v × ~w) = 0?
b) O produto misto independe da ordem dos vetores? (dizendo de outra forma ~u·(~v× ~w) = ~v ·(~u× ~w) =
~u · (~w × ~v) = ~w · (~v × ~u)?)
Conclua que: se o produto misto ~u · (~v × ~w) e´ nulo enta˜o os vetores ~u, ~v e ~w sa˜o coplanares.
Questa˜o 36. Usando o exerc´ıcio anterior, verifique se sa˜o coplanares os seguintes vetores:
a) ~u = (3,−1, 2), ~v = (1, 2, 1) e ~u = (−2, 3, 4)
b) ~u = (2,−1, 0), ~v = (3, 1, 2) e ~u = (7,−1, 2)
Questa˜o 37. Verificar se sa˜o coplanares os pontos:
a) A(1, 1, 1), B(−2,−1,−3), C(0,−2, 2) e D(−1, 0,−2)
b) A(1, 0, 2), B(−1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(−1,−2, 2)
c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1,−1,−1) e D(0, 1,−1)
Questa˜o 38. • Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2,−2,−3), C(5,−1, 1) e D(3,−2,−2)
sa˜o coplanares?
• Determine o valor de k para que os vetores ~u = (2, 1, 0), ~v = (1, 1,−3) e ~w = (k, 1,−k) sejam
coplanares.
Questa˜o 39. Sejam os vetores ~u = (1, 1, 0), ~v = (2, 0, 1), ~w1 = 3~u − 2~v, ~w2 = ~u + 3~v e ~w3 = ~i +~j − 2~k.
Determinar o volume do paralelep´ıpedo definido por ~w1, ~w2 e ~w3.
Questa˜o 40. a) Dados os vetores ~u = (x, 5, 0), ~v = (3,−2, 1) e ~w = (1, 1,−1), calcular o valor de x
para que o volume do paralelep´ıpedo determinado por ~u,~v e ~w seja 24.
b) Calcular o valor de m para que o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores ~v1 = 2~i−~j,
~v2 = 6~i+m~j − 2~k e ~v3 = −4~i+ ~k seja igual a 10.
Questa˜o 41. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:
a) A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e D(4, 2, 7).
b) A(−1, 3, 2), B(0, 1,−1), C(−2, 0, 1) e D(1,−2, 0). Para este calcular tambe´m a medida da altura
trac¸ada do ve´rtice A.