Raízes complexas

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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Polinômios. 
Raízes complexas. 
 
QUESTÃO 1 
Considere a expressão x
4
 – x
3
 – 5x
2
 – x – 6. Pede-
se: 
 
A) encontrar o valor numérico da expressão para x = 
– 2. 
B) obter todas as raízes complexas do polinômio 
p(x) = x
4
 – x
3
 – 5x
2
 – x – 6. 
QUESTÃO 2 
Considere o polinômio p(x) = x
3 
− 9x
2 
+ 25x − 25. 
Sabendo-se que o número complexo z = 2 + i é uma 
raiz de p, o triângulo, cujos vértices são as raízes de 
p, pode ser representado, no plano complexo, pela 
seguinte figura: 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 
Considere o polinômio p(x) = x
4
 + 2x
3
 + 3x
2
 + 2x + 
2. 
 
a) Verifique se o número complexo i é raiz de p(x). 
 
b) Calcule todas as raízes complexas de p(x). 
QUESTÃO 4 
Determine: 
 
a) as raízes complexas da equação x
3
 + 8 = 0. 
 
b) o polinômio p(x) de grau 5, sabendo que as 
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raízes complexas da equação x
3
 + 8 = 0 são 
também raízes do polinômio, que p(0) = −8, que a 
soma das raízes de p(x) é 1 e que o produto das 
mesmas é 16. 
QUESTÃO 5 
Sabe-se que o polinômio p(x) = x
5
 – a x
3
 + a x
2
 – 1; 
a Є ; admite a raiz –i. 
 
Considere as seguintes afirmações sobre as raízes 
de p: 
 
I. Quatro das raízes são imaginárias puras. 
II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. 
III. Apenas uma das raízes é real. 
 
Destas, é (são) verdadeira(s) apenas 
 
A ( ) I. 
B ( ) II. 
C ( ) III. 
D ( ) I e III. 
E ( ) II e III. 
QUESTÃO 6 
A equação 3x
4
 – 7x
3
 + 14x
2 
– 28x + 8 = 0 tem uma 
raiz inteira e duas raízes complexas imaginárias 
puras. 
 
Sua quarta raiz é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 7 
Se o polinômio p(x) = x
4
 + 2x
3
 + x
2
 + 8x −12 
apresenta o número complexo z = 2i como um dos 
seus zeros, então é correto afirmar que 
 
01) a equação p(x) = 0 apresenta 3 raízes reais. 
 
02) a soma das raízes de p(x) = 0 é −2 e o produto é 
−12. 
 
04) dois dos zeros de p(x) são soluções da equação 
x
2
 + 2x − 3 = 0. 
 
08) p(x) é divisível por x
2
 − 4. 
 
16) os gráficos dos polinômios −p(x) e p(x) 
apresentam as mesmas interseções com os eixos 
coordenados. 
QUESTÃO 8 
Sendo A(x) e B(x) polinômios com coeficientes reais 
tais que 
• é divisível 
por ; 
• 
 tem uma raiz em comum com ; 
• ; 
• , 
calcule A(0) + B(1). 
QUESTÃO 9 
Sobre a equação 
polinomial , 
sabemos que os coeficientes a, b, c são reais, duas 
de suas raízes são inteiras e distintas e 1/2 – i/2 
também é sua raiz. Então, o máximo de a, b, c é 
igual a 
 
A) –1 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
E) 4 
QUESTÃO 10 
Suponha que os coeficientes reais a e b da 
equação são tais 
que a equação admite solução não 
real com . Das seguintes afirmações: 
 
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I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo 
todas não reais. 
II. As raízes podem ser duplas. 
III. Das quatro raízes, duas podem ser reais. 
 
é (são) verdadeira(s) 
 
A ( ) apenas I. 
B ( ) apenas II. 
C ( ) apenas III. 
D ( ) apenas II e III. 
E ( ) nenhuma. 
QUESTÃO 11 
A figura mostra o gráfico da função f(x) = 1+ x – 2x
3 
 
 
A) Determine as soluções que não são números 
reais da equação f(x) = 0. 
B) Resolva a inequação: f(x) 1. 
QUESTÃO 12 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. Para todos os números reais a e b tem-se 
. 
02. O resto da divisão do polinômio P(x) = x
72
 + 
3x
60
 – 2x
15
 + x
10
 – 2x
5
 + 1 por Q(x) = x + 1 é 10. 
 
04. O conjunto solução da equação 
 no conjunto R é S = {7, –2}. 
08. O conjunto solução da 
inequação no conjunto R é 
. 
16. Sejam b, c, α e β números reais, com e 
 raízes da equação x
2
 – x + c = 0. Se + 1 e + 
1 são as raízes da equação x
2
 – bx + 2 = 0, então b 
+ c = 3. 
 
32. O polinômio P(x) = x
15
 – 3x
3
 + 3x
2
 – x + 1 
admite pelo menos uma raiz real. 
QUESTÃO 13 
Considere um polinômio p(x), de grau 5, com 
coeficientes reais. Sabe-se que –2i e i – são 
duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-
se p(x) pelo polinômio q(x) = x – 5 obtém-se resto 
zero e que p(1) = 20 · (5 + 2 ). Então, p(–1) é 
igual a 
A) . 
B) . 
C) . 
D) . 
E) . 
QUESTÃO 14 
O polinômio p(x) = x
4
 + ax
3
 + bx
2
 + cx – 8, em que 
a, b, c são números reais, têm o número complexo 1 
+ i como raiz, bem como duas raízes simétricas. 
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x). 
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e 
determine todos os polinômios com coeficientes 
reais, de menor grau, que possuam esses novos 
valores como raízes. 
QUESTÃO 15 
Se o número complexo 3 + 2i é raiz da equação x
3
 – 
23x + c, com c sendo uma constante real, qual o 
valor de c? 
QUESTÃO 16 
Assinale, na coluna I, as afirmativas verdadeiras e, 
na coluna II, as falsas. 
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Analise as afirmações a seguir e conclua. 
 
I II 
0 0 Um polinômio de grau ímpar e coeficientes 
reais possui, necessariamente, pelo 
menos, uma raiz real. 
1 1 Se todos os coeficientes de um polinômio 
são reais, suas raízes serão, 
necessariamente, reais. 
2 2 Se um polinômio possui raízes complexas 
não reais, então seu grau é, 
necessariamente, um número par. 
3 3 Se um polinômio possui raízes complexas 
não reais, então seu grau é, 
necessariamente, um número ímpar. 
4 4 Se um polinômio possui raízes complexas, 
e todos seus coeficientes são números 
inteiros, então os conjugados complexos 
de cada raiz também são raízes do mesmo 
polinômio. 
QUESTÃO 17 
Com relação ao polinômio de coeficientes reais 
dado por P(x) = x
4
 +ax
3
 + bx
2
 + cx + d, sabe-se que 
P(2i) = P(2 + i) = 0, com i
2
 = –1. 
Nessas condições, a + b + c + d é igual a 
 
a) –2. 
b) –1. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 9. 
QUESTÃO 18 
Os vértices do quadrado na figura representam, no 
plano de Argand-Gauss (plano complexo), todas as 
raízes de um polinômio p(x) cujo coeficiente do 
termo de maior grau é 1. 
 
A) Determine a expressão do polinômio p(x) . 
B) Calcule o resto da divisão de p(x) pelo 
polinômio . 
QUESTÃO 19 
Sabe-se que o polinômio P(x), definido a seguir, tem 
duas raízes reais opostas e que P(1 – i) = 0. 
 
P(x) = 9x
4
 + ax
3
 + bx
2
 + cx – 90 
 
Então qual é o valor da soma (a + b + c)? 
QUESTÃO 20 
Se o número complexo 1 + i é uma das raízes da 
equação x
4
 – 5x
3
 + 10x
2
 – 10x + 4 = 0 então a 
soma das raízes reais desta equação é 
 
A) 1. 
B) 2. 
C) 3. 
D) 4. 
QUESTÃO 21 
Se x, y, z e w são as raízes da equação x
4 
+ 2x
2
 + 1 
= 0, então log2|x| + log2|y|+ log2|z|+ log2|w| é igual 
a 
 
A) 0. 
B) 1. 
C) –1. 
D) 2. 
QUESTÃO 22 
Uma sequência de três números não nulos (a, b, c) 
está em progressão harmônica se seus 
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inversos , nesta ordem, formam uma 
progressão aritmética. As raízes da equação a 
seguir, de incógnita x, estão em progressão 
harmônica. 
 
x
3
 + mx
2
 + 15x – 25 = 0 Considerando o conjunto 
dos números complexos, apresente todas as raízes 
dessa equação. 
QUESTÃO 23 
Utilizando-se um hemograma e outros exameslaboratoriais complementares, detectou-se 
intoxicação por um composto orgânico, cuja forma 
geométrica é aquela do polígono regular descrito 
pelas raízes complexas do polinômio 
 
 
 
Considerando-se o exposto, conclui-se que o 
composto detectado é o 
 
a) pireno. 
b) naftaleno. 
c) fenantreno. 
d) benzeno. 
e) antraceno. 
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QUESTÃO 1 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
A questão explora conhecimentos sobre 
aritmética, álgebra elementar, números 
complexos e polinômios. 
 
A) A substituição direta fornece 
(–2)4 – (–2)3 – 5(–2)2 – (–2) – 6 = 16 – (–8) 
– 5 x 4 + 2 – 6 
= 16 + 8 – 20 + 2 – 6 = 0. 
 
B) Pelo item A), uma das raízes de p(x) é – 
2. Portanto p(x) é divisível por x – (–2) = x + 
2, e, efetuando tal divisão, obtemos 
p(x) = (x + 2)(x3 – 3x2 + x – 3). 
 
A partir disso, há duas abordagens 
possíveis. 
 
i. Observando que 
x3 – 3x2 + x – 3 = (x3 + x) – (3x2 + 3) 
= x(x2 + 1) – 3(x2 + 1) 
= (x2 + 1)(x – 3), 
concluímos que as demais raízes de p(x) 
são as raízes complexas dos polinômios x2 
+ 1 ou x – 3, isto é, são ± i e 3. 
 
ii. Aplicando o critério de pesquisa de 
raízes racionais ao polinômio q(x) = x3 – 
3x2 + x – 3, concluímos que suas possíveis 
raízes racionais são da forma , em que a 
e b são inteiros tais que a é divisor de 3 e b 
é divisor de 1. Portanto, as possíveis raízes 
racionais de q(x) são –3, –1, 1 ou 3. 
Testando tais possibilidades, concluímos 
que 3 é raiz de q e então obtemos q(x) = 
(x2 + 1)(x – 3). 
O resto se dá como em (i). 
 
QUESTÃO 2 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Como o polinômio tem coeficientes reais, podemos 
afirmar que 2 – i também é raiz. 
 
Pelas relações de Girard, encontramos a terceira 
raiz: 
2 + i + 2 – i + x3 = 9 ⇒x3 = 5 
 
Portanto, o referido triângulo tem vértices nos 
pontos (2, –1), (2, 1) e (5, 0), como mostra o gráfico 
da alternativa (A). 
 
QUESTÃO 3 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) Como p(i) = i4 + 2i3 + 3i2 + 2i + 2 = 1− 2i 
− 3 + 2i + 2 = 0, segue-se que i é uma raiz 
de p(x). 
 
b) Como i é raiz de p(x), −i também é. 
Portanto, o polinômio p(x) é divisível por (x 
− i)(x + i) = x2 + 1. Dividindo-se p(x) por x2 
+1, obtemos x2 + 2x + 2. Portanto, p(x) = 
(x2 +1)(x2 + 2x + 2). 
 
Para determinarmos as outras raízes de 
p(x), basta resolver a equação x2 + 2x + 2 = 
0. Logo, as raízes de p(x) são i , −i, −1, +i e 
−1 −i. 
 
QUESTÃO 4 
GABARITO: 
a) . 
Dividindo o polinômio por (x + 2), temos: 
 
 
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Assim, 
 
Fazendo x
2
 − 2x + 4 = 0, encontramos as outras 
duas raízes complexas da equação: 
 
 
b) Para p(x), temos: 
 
 
 
 
Isolando x2 na primeira equação e substituindo na 
segunda, encontramos x1 = −1 e x2 = 2. 
 
Se p(x) é da forma ax
5
 + bx
4
 + cx
3
 + dx
2
 + ex + 
f, temos que: 
 
 
Como o produto das raízes é igual a 16, temos: 
 
 
Portanto, pelo teorema da decomposição, 
encontramos o polinômio: 
 
 
QUESTÃO 5 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Se –i é raiz, i também é. Temos: 
 
Assim, 
 
Como x = 1 é raiz, o polinômio pode ser escrito 
como: 
 
Na expressão x
2
 + x + 1 = 0, 
encontramos portanto 
as outras duas raízes são complexas não reais 
(porém não são imaginárias puras). 
 
Assim: 
I. Falsa 
II. Falsa 
III. Verdadeira 
 
QUESTÃO 6 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja bi uma raiz complexa da equação. Então –bi 
também é raiz. Assim, 
 
x1 = bi → 3(bi)
4
 – 7(bi)
3
 + 14(bi)
2
 – 28bi + 8 = 0 → 
3b
4
 + 7b
3
i – 14b
2
i – 28bi + 8 = 0 
 
x2 = –bi → 3(–bi)
4
 – 7(–bi)
3
 + 14(–bi)
2
 + 28bi + 8 = 
0 → 3b
4
 – 7b
3
i – 14b
2
i + 28bi + 8 = 0 
 
Portanto, 
 
3b
4
 + 7b
3
i – 14b
2
i – 28bi + 8 = 3b
4
 – 7b
3
i – 14b
2
i + 
28bi + 8 → 14b
3
i – 56bi = 0 → bi(14b
2
 – 56) = 0 
 
Então: 
 
b = 0 (não convém) 
 
14b
2
 – 56 = 0 → b
2
 = 4 → b = ± 2 
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Logo, as duas raízes são x1 = –2i e x2 = 2i. 
 
Dividindo o polinômio por (x – 2i)(x + 2i) = x
2
 + 
4, encontra-se quociente 3x
2
 – 7x + 2. Pode-se 
então escrever o polinômio como: 
 
3x
4
 – 7x
3
 + 14x
2
 – 28x + 8 = (x
2
 + 4)(3x
2
 – 7x + 2) 
= 0 
 
Portanto, 3x
2
 – 7x + 2 = 0 → x3 = 2 e x4 = (que é 
a quarta raiz solicitada). 
 
QUESTÃO 7 
06 
 
RESOLUÇÃO: 
02 + 04 = 06 
 
01) Falsa. Se 2i é raiz do polinômio p, 
sabemos que, pelo teorema das raízes 
complexas, seu conjugado também será 
raiz, portanto nos restam duas raízes que 
podem ser reais ou complexas. 
 
02) Verdadeira. Das relações de Girard, 
temos que: 
 A soma das raízes de p(x) 
é: 
 O produto das raízes de p(x) 
é: 
04) Verdadeira. 
x2 + 2x − 3 = 0 ⇒ x = –3 e x = 1 
p(–3) = (–3)4 + 2 × (–3)3 + (–3)2 + 8 × (–3) 
− 12 = 81 – 54 + 9 – 24 – 12 = 0 
p(1) = 14 + 2 × 13 + 12 + 8 × 1 − 12 = 1 + 2 
+ 1 + 8 – 12 = 0 
 
Portanto, as raízes de x2 + 2x − 3 = 0 são 
raízes de p(x). 
 
08) Falsa. p(x) não é divisível por x2 − 4, 
pois suas raízes não são raízes de p(x). 
 
16) Falsa. p(x) intercepta o eixo y em (0, –
12) e –p(x) intercepta o eixo y em (0, 12), 
portanto não apresentam as mesmas 
intersecções com os eixos coordenados. 
 
QUESTÃO 8 
GABARITO: 
• Dividindo-se o 
polinômio por 
 , usando o algoritmo da divisão, 
obtém-se quociente igual a x + 1 e resto 
igual a . 
 
Uma vez que A(x) é divisível por x² + x + 1, 
o resto é zero e pode-se escrever 
A(x) = (x² + x +1) (x +1), cujas raízes são 1 
e . 
 
• B(x) é tal que B(i) = 0 e B(1 + i) = 0 o que 
equivale a afirmar que i e 1 + i são raízes 
de B e, portanto, os conjugados –i e 1 – i 
também são raízes, uma vez que B(x) tem 
coeficientes reais. 
 
Sendo B(x) um polinômio de grau 5, a raiz 
em comum que B(x) tem com A(x) é x = –1, 
pois as outras raízes de x² + x +1 não são 
números reais. 
 
Logo, B(x) = (x – i) (x + i) (x – 1 – i) (x – 1 + 
i) (x + 1) = (x² + 1) (x² – 2x + 2) (x + 1). 
 
Conclui-se, então que A(0) = 1, B(1) = 2 · 1 
· 2 = 4 e A(0) + B(1) = 5. 
 
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QUESTÃO 9 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Pelo teorema das raízes complexas, se os 
coeficientes do polinômio são reais 
e é raiz, então seu conjugado, ou 
seja, , também será. 
Sendo assim, pelas relações de Girard, 
temos que , 
em que x1 e x2 são as demais raízes 
inteiras da equação. 
Dessa 
forma, 
. Portanto, considerando x1 > x2, temos que 
x1 = 1 e x2 = –1. 
Sendo assim, pelo teorema da 
decomposição, podemos escrever a 
equação da seguinte forma: 
 
2x4 – 2x3 – x2 + 2x – 1 = 0 
Dessa forma, a = –2, b = –1 e c = 2. Assim, o maior 
entre eles é c. 
 
QUESTÃO 10 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja r = p + qi, com p2 + q2 ≠ 1 e q ≠ 0, a 
raiz não real da equação x4 + ax3 + bx2 + 
ax + 1 = 0, de coeficientes reais. 
 
Se r for raiz, então também será, 
pois 
 
. 
 
Porém, , pois 
p2 – q2 ≠ 1. Assim, já que a equação tem 
coeficientes reais, se r = p + qi 
e são raízes, então, p – qi 
e também serão raízes. 
 
A equação admite, portanto, quatro raízes distintas, 
sendo todas não reais. 
 
QUESTÃO 11 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
A) f(x) = (x –1) · (–2x
2
 – 2x –1) 
 
 
B) 
 
QUESTÃO 12 
02 + 16 + 32 = 50 
 
RESOLUÇÃO: 
01. Incorreta. Se a < 0 e b < 0,a igualdade 
deixa de ser verdadeira. 
 
02. Correta. Considerando como R o resto 
da divisão de P(x) por Q(x), temos: 
 
P(–1) = R 
Substituindo x por –1 obtemos: 
P(–1) = (–1)72 + [3 · (–1)60] – [2 · (–1)15] + 
(–1)10 – [2 · (–1)5] + 1 
P(–1) = R = 10 
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04. Incorreta. Resolvendo a equação em R 
obtemos: 
 
2 = (x – 1)2 
3x + 15 = x2 – 2x + 1 
x2 – 5x – 14 = 0 
 
Determinando as raízes para essa equação 
obtemos: 
 
x1 = –2 (não convém) e x2 = 7. 
 
Assim, o conjunto solução é S = {7}. 
 
08. Incorreta. 
 1 
 0 
Resolvendo a inequação, obtemos: 
 
O conjunto solução para essa inequação é 
dado por: 
S = {x R / x < 0 ou 2 – x 2 + 
} 
 
16. Correta. Usando as relações de Girard, 
obtemos: 
 
x2 – x + c = 0 ( e são raízes) 
 = 1 (I) 
 = c (II) 
 
Assim, na equação x2 – bx + 2 = 0 as 
raízes são + 1 e + 1, o que leva a mais 
um sistema: 
 
 
A partir de (I) e (II) obtemos b = 3. 
 
Desenvolvendo (IV), temos: 
 
αβ + α + β + 1 = 2 ⇒ αβ = 0 ⇒ c = 0 
 
Assim, podemos deduzir que b + c = 3. 
 
32. Correta. Com base no teorema das 
raízes complexas, a ± bi. 
 
QUESTÃO 13 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o polinômio é divisível por x – 5, então p(5) = 0 e 
a quinta raiz é x5 = 5. 
Se (–2i) é raiz, então seu conjugado (2i) também o 
será e analogamente (i + ), conjugado de (i – 
). 
Dessa forma: 
p(x) = a · (x + 2i) · (x – 2i) · (x + + i) · (x + – 
i) · (x – 5). 
Dado que: p(1) = 20 · (5 + 2 ), substituindo x por 
1, vem 
a · (1 + 2i) · (1 – 2i) · (1 + – i) · (1 + + i) · (1 
– 5) = 20 . (5 + 2 ) 
Achamos a = –1 
Assim, para x = –1 , teremos que 
p(–1) = (–1) · (–1 + 2i) · (–1 – 2i) · (–1+ – i) · (–1 
+ + i) · (–1 – 5) = 30 · (5 – 2 ). 
 
QUESTÃO 14 
GABARITO: 
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a) Se 1 + i é raiz de p(x), com coeficientes reais, 
então 1 – i, α e –α também são raízes de p(x), 
sendo α e –α raízes simétricas. 
Usando as relações de Girard, temos: 
 
 
Logo, a = –2, b = –2 e c = 8 e as raízes são 1 – i, 1 
+ i, 2 e –2. 
b) Sendo as raízes de p(x) 1 + i, 1 – i, 2 e –2 e 
subtraindo 1 de cada uma dessas raízes, temos: i, –
i, 1 e –3. 
p'(x) = k(x – i)(x + i)(x – 1)(x + 3) 
p(x) = k(x
4
 + 2x
3
 – 2x
3
 + 2x – 3), com k R. 
 
QUESTÃO 15 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
3 + 2i é raiz da equação x2 – 6x + 13 e, 
dividindo x3 – 23x + c por este polinômio 
obtemos quociente x + 6 e resto c – 78. 
Para o resto ser zero devemos tomar c = 
78. 
 
QUESTÃO 16 
GABARITO: 
I. 0 e 4 
II. 1, 2 e 3 
RESOLUÇÃO: 
0 e 4: verdadeiras; de acordo com o teorema das 
raízes complexas, se um polinômio (que apresente 
coeficientes reais) admite a + bi como raiz, a – bi 
também é raiz do mesmo polinômio. Se o polinômio 
apresenta grau ímpar, é necessário que haja pelo 
menos uma raiz real. 
1: falsa; polinômios com coeficientes reais 
podem apresentar raízes complexas. 
 
2 e 3: falsas; polinômios de grau par e de 
grau ímpar podem apresentar mistura de 
raízes reais e raízes complexas. 
 
QUESTÃO 17 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Se os coeficientes de P(x) são números reais, pelo 
Teorema das Raízes Complexas tem-se: 
P(2i) = P(2 + i) = P(–2i) = P(2 – i) = 0. 
Assim, P(x) = x
4
 + ax
3
 + bx
2
 + cx + d = (x – 2i) · (x + 
2i) · (x – 2 – i) ⇒ P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d = x4 
– 4x
3
 + 9x
2
 – 16x + 20 ⇒ 
a = –4; b = 9; c = –16 e d = 20. 
Logo, a + b + c + d = 9. 
 
QUESTÃO 18 
GABARITO: 
A) 
 
 
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B) 
 
 
QUESTÃO 19 
GABARITO: 
Se P(1 + i) = 0, temos que P(1 – i) = 0. As raízes do 
polinômio são: 
x1 = 1 – i 
x2 = 1 + i 
x3 = m 
x4 = – m 
 
Pelas relações de Girard, temos: 
 
Sabendo-se que (1 – i)
2
 = 1
2
 – i
2
 = 2, faremos P(1 – 
i) = 0: 
 
 
Portanto, a + b + c = – 18 + 27 + 36 = 45. 
 
QUESTÃO 20 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Como a equação tem coeficientes reais, podemos 
afirmar que 1 – i também é uma raiz. 
Pelas relações de Girard, temos: 
 
 
 
Assim, as outras raízes da equação são x3 = 1 e x4 
= 2. 
 
QUESTÃO 21 
A 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando de forma conveniente e 
substituindo na equação, temos: 
 
 
Assim, desfazendo a substituição, temos: 
 
 
 
Portanto, as quatro raízes são: i, –i, i e –i. 
 
Por fim, calculando: 
 
. 
 
QUESTÃO 22 
GABARITO: 
Se a, b e c são as raízes, 
então 
 
 
A equação x
2 – 2x + 5 = 0 possui raízes a e c, 
portanto, . 
Assim, as raízes são {5; 1 + 2i; 1 – 2i}. 
 
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QUESTÃO 23 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Como p(z) é um produto de polinômios, podemos 
encontrar suas raízes buscando as raízes de cada 
um desses fatores polinomiais. Para facilitar ainda 
mais a resolução, podemos fatorar ainda mais o 
polinômio p(z): 
 
p(z) = (z
2
 + z + 1)(z
4 
– z
3
 + z – 1) = [z
2
 + z + 
1]·[z
3
(z – 1) + (z – 1)] = (z
2
 + z + 1)(z
3 
+ 1)(z – 1) 
 
Encontrando as raízes dos fatores polinomiais: 
I. z
2
 + z + 1 = 0 
z = 
 
As formas polares dessas raízes são (1, 120°) e (1, 
240°). 
 
II. z
3 
+1 = 0 
z
3 
= –1 = (1, 180°) 
 
As raízes cúbicas de (1, 180°) são (1, 60°); (1, 180°) 
e (1, 300°). 
 
III. z – 1 = 0 
z = 1 
 
A forma polar da unidade é (1, 0°) 
 
Logo, os afixos de todas as raízes são (1, 0°); (1, 
60°); (1, 120°); (1, 180°); (1, 240°) e (1, 300°), que 
formam os vértices de um hexágono regular. 
 
O composto químico que tem a forma de um 
hexágono regular é o benzeno. 
 
 
 
	Exercícios de Polinômios.
	Raízes complexas.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 1
	Gabarito:
	Questão 2
	A
	Resolução:
	Questão 3
	Gabarito:
	Questão 4
	Gabarito:
	Questão 5
	C
	Resolução:
	Questão 6
	C
	Resolução:
	Questão 7
	06
	Resolução:
	Questão 8
	Gabarito:
	Questão 9
	C
	Resolução:
	Questão 10
	A
	Resolução:
	Questão 11
	Gabarito:
	Questão 12
	02 + 16 + 32 = 50
	Resolução:
	Questão 13
	C
	Resolução:
	Questão 14
	Gabarito:
	Questão 15
	Gabarito:
	Questão 16
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 17
	E
	Resolução:
	Questão 18
	Gabarito:
	Questão 19
	Gabarito:
	Questão 20
	C
	Resolução:
	Questão 21
	A
	Resolução:
	Questão 22
	Gabarito:
	Questão 23
	D
	Resolução: