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ATIVIDADE 1 e 2 - APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
Problema 1: 
 De acordo com a lei de arrefecimento de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância 
numa corrente de ar é proporcional à diferença de temperatura da substância e a do ar. 
Sendo a temperatura do ar 30°C e resfriando a substância de 120ºC para 80ºC em 20 minutos, 
achar o momento em que a temperatura desta substância será 50ºC . 
 
 Solução: 
Seja: 
 T a temperatura da substância. 
 t o tempo. 
 Tm a Temperatura ambiente 
 E sabendo que Tm = 30, a equação pode se rescrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Integrando entre os limites t variando de 0 a 20 minutos e T variando de 120ºC a 80ºC , 
obtém-se: 
 
∫
 
 
 ∫ 
 
 
 ( )
 
 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
Integrando entre os limites T variando de 120 °C a 50ºC , t variando de 0 a t minutos, 
consegue-se o instante exato em que a temperatura será 50°C. 
 
∫
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando ambos os membros por 20 , tem-se ; 
 
 (
 
 
) 
Como 20k = 0 ,5878, isolando t tem-se: 
 
 ( )
 
 
 
t =51,1765021 ou 51 min e 11s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2: 
 Um bolo é retirado do forno a uma temperatura de 150°C, passados quatro minutos essa 
temperatura cai para 90°C . Quanto tempo levará para que o bolo resfrie até a temperatura 
de 30ºC, sabendo que a temperatura ambiente é de 25 °C? 
 
 Solução: 
Seja 
 T a temperatura do bolo , 
 Tm a temperatura ambiente e 
 t o tempo 
 Quando t = 0, T = 150 °C, usando a lei de variação de temperatura de Newton, tem -se 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 Sabendo que a temperatura ambiente é 25ºC, pode-se reescrever esta equação como a 
equação vista em (23). Integrando de acordo com os limites de variação, tem -se . 
 
 
 ( ) 
 
 
 
∫
 
 
 ∫ ( )∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 (
 
 
) 
Logo: 
4k = 0,754454793, isolando a variável k = 0,163481617 
 
Como o problema pede o exato momento em que o bolo chegará a temperatura de 30ºC , 
apenas deve se integrar a equação do PVI, agora com a temperatura variando de 150°C para 
30°C e o tempo variando de 0 a t. 
 
∫
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
Usando a regra da diferença de logaritmos e isolando o t, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Assim conclui-se que t = 19,68 minutos ou 19 min e 41 segundos.