Apostila de Cálculo II

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CÁLCULO II
ENGENHARIA
Prof. Esp. Evandro de Souza Nunes
1 INTEGRAÇÃO
1.1 ANTIDERIVADAS E INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Em estudos anteriores resolvemos problemas do tipo: Dada uma função f, determinar a derivada f'. Estudaremos agora um problema relacionado: Dada uma função f, achar uma função F tal que F' = f. Na próxima definição daremos a F um nome especial:
Uma função F é uma antiderivada de f em um intervalo I se F'(x) = f(x) para todo x em I.
Chamaremos também F(x) uma antiderivada de f(x). O processo de determinação de F, ou F{x), é chamado antidiferenciação.
Para ilustrar, F(x) = x2 é uma antiderivada de f(x) = 2x porque F'(x)=2x.
Há muitas outras antiderivadas de 2x, tais como x2 + 2, x2 - √3 e x2 + 100. De modo geral, se C é uma constante arbitrária, então x2 + C é uma antiderivada de 2x, porque
D'x{x2 + C) = 2x + 0 = 2x
Assim, há uma família de antiderivadas de 2x da forma F(x) = x2 + C, onde C é uma constante arbitrária. A Figura 1 é um esboço de vários membros desta família.
A notação 
 onde F'(x) - f(x) e C é uma constante arbitrária, denota a família de todas as antiderivadas de f (x) em um intervalo I.
O símbolo ʃ usado na notação é o sinal de integral. Chamamos ʃ f(x)dx a integral indefinida de f(x). A expressão f(x) é o integrando e C é a constante de integração. O processo de determinação de F(x) + C, quando ʃ f(x)dx é dada, é designado como integração indefinida, ou integrar f(x). Usa- se o adjetivo indefinida porque ʃ f(x)dx representa uma família de antiderivadas, e não uma função específica. Mais adiante, quando estudaremos as integrais definidas, daremos razões para o uso do sinal de integral e da diferencial dx que aparece à direita do integrando f(x). No momento não interpretaremos ʃ f(x)dxcomo o produto de f(x) pela diferencial dx encararemos dx simplesmente como um símbolo que especifica a variável independente x, que designamos como variável de integração. Utilizando uma variável de integração diferente, tal como f, escrevemos ʃ f(x)dx=F(x) + C onde F’(x)=f(x).
Exemplos: 
, pois 
, pois 
=
 = 
= 
, pois 
, pois 
, pois 
, pois 
, pois 
Teorema:
i) 
ii) 
iii) 
Exemplos:
1) Calcule 
Solução: 
=
 
=
 
=
 
 
, onde 
2) Calcule 
Solução: 
=
 
=
 
3) Calcule 
Solução: 
=
=
 
=
=
 
As identidades trigonométricas são freqüentemente utilizadas quando calculamos integrais envolvendo funções trigonométricas. As oito identidades a seguir são crucias:
		
	
	
	sen2(x) + cos2(x) = 1
tg2(x) + 1 = sec2(x)		cotg2(x) + 1 = cosec2(x)
Integrais trigonométricas:
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
As fórmulas para integrais estudadas até então têm objetivo limitado, porque não podemos usá-las diretamente para calcular integrais como 
 ou 
.
Veremos um método simples mas poderoso para mudar a variável de integração de modo que essas integrais (e muitas outras) possam ser calculadas por meio das fórmulas já conhecidas.
Este método é para ser usado quando temos uma integral em que uma parte do integrado é a derivada de uma outra parte, exceto por um fator constante. E chama-se integração por substituição porque depende de uma substituição de variável para simplificar o problema.
Exemplos:
1) Calcular 
SOLUÇÃO: Façamos u = 5x + 7 e calculemos du: 
u = 5x + 7, du = 5 dx
Como du contém o fator 5, integral não está na forma 
 podemos introduzir o fator 5 no integrando, desde que multipliquemos por 
.
=
=
Fazemos agora substituição e usamos a regra da potência para integração:
=
=
=
2) 
SOLUÇÃO: fazendo u = x² - 3, temos du = 2x dx 
 dx = 
 então
 
dx = 
 = 
 = 
3) 
SOLUÇÃO: u = x² + 4 
 du = 2x dx 
 = 
 = 
 = 
 = 
4) 
SOLUÇÃO: u = x3 - 1 
 du = 3x2 dx 
= 
= 
= 
INTEGRAL DEFINIDA
Seja f uma função tal que f é contínua no intervalo fechado [a, b] e f(x) ≥0, para todo x ϵ [a, b].
Seja R a região limitada pela curva y = f (x) , as retas x = a e x = b e o eixo x . 
Vamos calcular a área da região R. 
Para isto, vamos fazer uma partição do intervalo [a, b] em n subintervalos escolhendo n – 1 pontos entre a e b. 
a = x 0 < x 1 < x 2 < ··· < x n – 1 < x n = b 
Em cada subintervalo [x k – 1, x k], k = 1 , 2 , 3, ... , n vamos escolher um ponto t k. 
Para cada k = 1, 2, ..., n, seja Δ k x = x k – x k – 1 , o comprimento do subintervalo [x k – 1, x k ] e seja Rk o retângulo com altura f (tk ) e largura Δk x . 
Vamos encontrar um valor aproximado para a área que desejamos calcular somando as áreas dos retângulos Rk. 
Observe, que quanto maior for o valor de n mais próxima da área da região R estará à soma das áreas dos retângulos. 
Seja || Δ || o comprimento do maior subintervalo, isto é, 
|| Δ || = Max {Δ k x, 1 ≤ k ≤ n} . 
Quanto mais próximo || Δ || estiver de 0 , mais próxima estará a soma das áreas dos retângulos da área da região R . 
Logo, 
 
Soma de Riemann 
INTEGRAL DEFINIDA
Se f uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A integral definida de f de a até b, denotada por: 
, é dada por:
 = 
, desde que o limite existe.
Propriedades da integral definida
Se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo de integração [a, b] e c é uma constante qualquer, então:
i) 
ii) 
iii) 
 para a < c < b
iv) 
, se a > b.
1.4.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Se f(x) é uma função contínua no intervalo de integração [a, b] e se g(x) é uma primitiva dessa função, então:
 
Exemplos:
1)
Solução: 
 
 = 
]
 = 
 = 
2) 
Solução:
Calculando a integral:
Fazendo u = x² + 1 
 du = 2x dx 
 dx = 
 = 
 = 
 = 
]
 = 
 = 
3) 
 
Solução:
 = [
]
 = 
 = 
1.5 CÁLCULO DE ÁREAS
Com a integral definida podemos calcular áreas. Podemos então considerar 4 casos do uso da integral definida para calcular áreas :
1º) A área está toda acima do eixo x ou seja f(x) ( 0 para todo x ( [a, b] , então 
2º) A área está toda abaixo do eixo x ou seja f(x) ( 0 para todo x ( [a, b] , então 
Neste caso, a área assinalada será calculada por:
3º) A área está abaixo e acima do eixo x, ou seja f(x) ( 0 e f(x) ( 0 para todo x ( [a, b]. Então se calcula a(s) raiz(es) de f(x) e se estas estão no interior do intervalo de integração teremos:
 .
X1 é a raiz da f(x) neste exemplo. 
4º) A região cuja área queremos calcular, está situada entre duas curvas. 
Como se vê, f(x) ( g(x), ( x ( [a, b], logo f(x) – g(x) ( 0. 
Portanto, a função F(x) = f(x) – g(x) encaixa–se no 1.º caso: 
Exemplos: Encontre a área da região limitada pelas curvas:
1) 
e 
Solução: As intersecções ocorrem em x = 0 e x = 2. Portanto:
2) 
e o eixo dos x.
Solução: A curva 
intercepta o eixo x nos pontos -2 e 2. No intervalo [-2, 2], f(x) ≤ 0. Portanto:
=
3) 
e 
Solução: As intersecções ocorrem em x = -1, 0 e 1. Portanto:
Exercícios:
1) Calcule as integrais trigonométricas abaixo:
a) 
 R: 
b) 
 R: 
c) 
 R: 
 
d) 
 R: 
e) 
 R: 
 
f) 
 R: 
g) 
 R: 
h) 
 R: 
2) Calcule as integrais definidas abaixo:
		 R : 
		 R :R : 0
	 R : - 6,667
		 R : 8,667
		 R : 8
		 R : 
Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4 ; y = 0 ; x = 0 e x = 5. 
 R: 
Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às abcissas x = 0 e x = 2. 
R: 
Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções
 ; y = 0 e a reta x = 4 
R: 
Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 1. 
R: 23,2 u. a.
Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1]. 
R: 
8) Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = x – 3 . 
R: 1,86 u.a.
O LOGARÍTMO NATURAL
Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há uma que é mais conveniente para os propósitos do cálculo. Quando queremos determinar uma base para a função exponencial de modo que a tangente a curva da função no ponto (0,1) seja exatamente 1 esta base será o número irracional e (2,71828).
Quando em um logaritmo usamos como base o número e chamamos este logaritmo de Logaritmo natural (ln).
Propriedades:
1) 
2) Se 
, então 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) Se 
, então 
10) Se 
, então 
A regra da exponencial: 
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
1.6 INTEGRAÇÃO POR PARTES
A integração por partes é uma técnica de integração baseada na regra do produto para derivadas.
Se duas funções u e v são diferenciáveis então:
 
 = uv - 
Para determinar uma integral 
 usando a fórmula de integração por partes escolha funções u e v tais que 
. Procure escolher u de tal forma que du seja mais simples que u e um dv seja fácil de integrar.
 
Exemplos:
1)
Solução: 
Fazendo u = x 
 du = dx
dv = e
dx 
 v = 
 
 v = e
, substituindo na fórmula:
 = x.e
 - 
 = x.e
 - e
 = e
( x – 1) + C
2)
Solução:
Fazendo u = x, temos du = dx e 
dv = senx dx têm-se v = 
�� EMBED Equation.3 v = - cosx
Substituindo na fórmula 
 = uv - 
 , temos :
 = x.(-cosx) - 
 = -x cosx + 
 então:
 = -x cosx + senx + C
3)
Solução: 
Fazendo u = x 
 du = dx
dv = e
dx 
 v = 
 
 v = 
e
, substituindo na fórmula:
 = x. 
e
 - 
 = 
xe
 - 
+ C
2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Quando dizemos que a medida do volume de um paralelepípedo retângulo depende das medidas das suas dimensões, queremos dizer que: conhecidas as medidas das arestas a, b e c, podemos determinar o seu volume V, através da expressão V = abc.
A equação V = abc define V como função de a, b e c, pois dados os valores das variáveis independentes a, b e c, existe em correspondência um único valor para a variável dependente V. Uma relação deste tipo é denominada de função de três variáveis.
Uma função de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais 
 faz corresponder um único número real.
Quase todo nosso trabalho será feito com função de duas variáveis, que, como veremos, podem ser representadas no espaço tridimensional.
Definição: Uma função f de duas variáveis independentes x e y é uma regra que atribui a cada par ordenado (x, y) pertencente a um dado conjunto D (o domínio de f ) um e apenas um número real, representado pelo símbolo f (x, y).
O domínio de f é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) para os quais a expressão f (x, y) é definida.
Exemplos:
1) Dada a função 
 calcule o domínio de f e f (1,-2).
Solução:
Como o denominador desta função não pode ser zero temos, a função dada pode ser calculada por qualquer par ordenado (x, y) desde que 
 ou 
.
2) Seja a função dada 
, calcule f (1,2).
Solução:
3) Dada a função de 3 variáveis 
, calcule f (-1, 2, 5).
Solução:
2.1 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
O gráfico de uma função de duas variáveis 
, é o conjunto de todos os grupos três números 
 tais que o par 
pertença ao domínio de f e 
. Para poder visualizar um gráfico deste tipo, precisamos definir um sistema de coordenadas tridimensional, acrescentando um eixo z perpendicular aos eixos x e y usados nos gráficos bidimensionais.
O gráfico para a função 
 é a parabolóide abaixo:
2.2 CURVAS DE NÍVEL
Em geral não é fácil traçar o gráfico de uma função de duas variáveis. Quando o plano z intercepta a superfície 
, o resultado é uma curva no espaço. O conjunto de pontos 
no plano xy que satisfaz à equação 
 é chamado de curva de nível em C. Fazendo C variar o valor de C, é possível gerar uma família no plano xy, obtemos uma forma aproximada da superfície 
.
Seja a função dada por 
.
As curvas de nível para z = 0 , z =1 , z = 2 e z = 4 são :
 (x = y = 0)
 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1 )
(circunferência de centro C(0,0) e raio 
)
 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 )
3. DERIVADAS PARCIAIS
Em muitos problemas que envolvem funções de duas variáveis, o objetivo é determinar a taxa de variação da função com uma das variáveis, o objetivo é determinar a taxa de variação da função com uma das variáveis enquanto a outra é mantida constante.
Exemplo:
Um estudo realizado em uma construção revelou que 
metros quadrados de construção são realizados com x operários especializados e y operários não especializados. Se o número de operários não especializados permanece constante, a taxa de variação da produção com o número de operários especializados pode ser obtida derivando M (x,y) em relação a x.
Definição: Se 
, a derivada parcial de f em relação x é representada por 
ou 
e a função é obtida derivando f em relação a x enquanto y é tratada como constante. A derivada parcial de f em relação y é representada por 
 ou 
e a função é obtida derivando f em relação a y enquanto x é tratada como constante.
Exemplos:
1)
2) 
3) 
3.1 DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
As derivadas parciais podem ser novamente derivadas. As funções resultantes recebem o nome de derivadas parciais de segunda ordem.
Se 
, a derivada parcial de 
em relação a x é 
ou 
A derivada parcial de 
em relação a y é
ou 
A derivada parcial de 
em relação a x é
ou 
A derivada parcial de 
em relação a y é
ou 
Calcule as quatro derivadas parciais de segunda ordem da função 
Solução:
Como
temos 
e 
Como 
 temos 
e 
3.2 REGRA DA CADEIA PARA FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Suponha que z seja uma função de x e y e que x e y sejam funções de t. Nesse caso, z também é função de t e 
, onde 
= taxa de variação de z com t para y constante e 
= taxa de variação de z com t para x constante.
Exemplo:
Uma loja de produtos naturais vende dois tipos de remédios, marca A e marca B. As pesquisas de mercado mostram que, se um vidro da marca A for vendido por x reais e um vidro da marca B for vendido por y reais, a demanda da marca A será 
vidros por mês. Estima-se que daqui a t meses o preço de um vidro da marca A será 
e o preço da marca B será 
.
Qual será a taxa de variação da demanda da marca A daqui a 4 meses?
Solução: 
Estamos interessados em calcular 
para t = 4. Usando a regra da cadeia temos:
Para t = 4 temos 
e portanto 
Daqui a 4 meses a demanda da marca A estará diminuindo à taxa de 3,65 vidros por mês.
3.3 OTIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Suponha que um fabricante produza dois modelos de DVD player, o modelo de luxo e o modelo padrão, e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padrão seja dado pela função C(x, y). Como determinar o nível de produção x = a e y = b para o qual o custo é mínimo?
Suponha que a produção de uma certa fábrica seja dada por uma função Q(K, L), onde K é a capitalimobilizado e L o volume da mão-de-obra. Para que valores K = K0 L = L0 a produção será máxima?
Para funções de uma variável usávamos f´(x) para determinar os valores máximos e mínimos da uma função de uma variável f(x). Agora vamos discutir o uso de métodos semelhantes no caso de funções de duas variáveis, f(x,y).
Entremos Relativos • Dizemos que uma função f(x,y) possui, um máximo relativo em um ponto P(a, b) do domínio de f se f(a,b) ≥ f(x,y) para todos os pontos (x,y) situados no interior de um disco circular com centro no ponto P. Analogamente, se f(c,d) ≤ f(x,y) para todos os pontos (x,y) situados no interior de um disco circular com centro no ponto Q(c, d), f(x,y) possui um mínimo relativo no ponto Q.
Pontos Críticos
Um ponto (a, b) do domínio de uma função f(x,y) no qual as derivadas parciais fx e fy existem é chamado ponto crítico de f se fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0.
Teste das Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Vamos apresentar a seguir um método, baseado nas derivadas parciais de segunda ordem, para determinar se um ponto crítico é um máximo relativo, ou mínimo relativo ou um ponto de sela (um ponto crítico que é um máximo relativo em uma direção e um mínimo relativo em outra direção).
3.4 TESTE DAS DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
Seja f(x, y) uma função de x e y cujas derivadas parciais e que existam as derivadas de segunda ordem, e seja D(x, y) a função 
 
1º passo: Determine todos os pontos críticos f(x,y), ou seja, todos os pontos (a, b) tais que fx(a,b) = 0 e fy(a,b) = 0.
2º passo: Para cada ponto crítico (a, b) determinado no item l, calcule o valor de D(a, b).
3º passo: Se D(a, b) < 0 existe um ponto de sela em (a, b).
4º passo: Se D(a,, b) > 0, calcule 
.
 Se 
 > 0, existe um mínimo relativo em 
 Se 
 < 0, existe um máximo relativo em 
Se D = 0 o teste não pode ser aplicado; f pode assumir um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela no ponto 
.
Observe que só existe um ponto de sela no ponto crítico (a, b) quando o parâmetro D do teste das derivadas parciais de segunda ordem é negativo. Quando D é positivo, existe um máximo relativo ou um mínimo relativo em todas as direções. Para verificar qual destas possibilidades é a verdadeira, basta nos concentrarmos em uma direção (a direção x, digamos) e usarmos o sinal da derivada parcial de segunda ordem 
 exatamente da mesma forma como a derivada segunda é usada no teste da derivada segunda para funções de uma variável. f(x, y) é:
um mínimo relativo se 
 > O
um máximo relativo se 
 < O
As conclusões do teste de derivadas parciais de segunda ordem estão resumidas na tabela abaixo:
	Sinal de D
	Sinal de fxx
	Comportamento em (a, b)
	+
	+
	Mínimo relativo
	+
	+
	Máximo relativo
	-
	
	Ponto de sela
Exemplo:
Determine todos os pontos críticos da função 
e classifique cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela.
Solução: 
Como 
 e 
o único ponto crítico de f é o ponto (0,0). Para verificar qual é a natureza deste ponto, usamos as derivadas parciais de segunda ordem
, 
, 
Para formar a expressão
=
Assim, como 
 para qualquer ponto (x, y) e, em particular 
.
Isto significa que f possui um extremo relativo no ponto (0,0). Além disso, como
sabemos que o extremo relativo no ponto (O, 0) é um mínimo.
 Mínimo relativo
Determine todos os pontos críticos da função 
 e classifique cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela.
Solução:
Como 
Como 
 e 
Podemos obter os pontos críticos resolvendo o sistema de equações 
 
De acordo com a segunda equação, y = 0; de acordo com primeira 
, 
ou 
Assim, existem dois pontos críticos, (2, 0) e (-2, 0).
Para determinar a natureza destes pontos, usamos as derivadas de segunda ordem
, 
, 
Para formar a expressão 
= , 
Aplicando o teste das derivadas parciais de segunda ordem aos dois pontos críticos, obtemos
 e 
o que significa que existe um máximo relativo em (2,0) e um ponto de sela em (-2,0). 
4. COORDENADAS POLARES
Até o presente momento, localizamos um ponto no plano por meio de suas coordenadas cartesianas retangulares. Existem outros sistemas de coordenadas. Um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas polares.
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distân​cia e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semireta fixa.
O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem. A semireta fixa OA é chamada eixo polar.
O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, θ), onde 
 representa a distância entre a origem e o ponto P, e θ representa a medida, em radianos, do ângulo orientado AÔP.
Usaremos as seguintes convenções:
Se o ângulo AÔP for descrito no sentido anti-horário, então θ > 0. Caso contrário, teremos θ < 0.
Se r < 0, o ponto P estará localizado na extensão do lado terminal do ângulo AÔP.
O par ordenado (0, θ), θ qualquer, representará o pólo. 
Observamos que, muitas vezes, o segmento OP é chamado raio.
Exemplos
Representar num sistema de coordenadas polares os seguintes pontos:
a) P1 (2, π/4)	b) P2{-2, π/4)
c) P3 (-2, -π/4)	d) P4 (2, - π/4).
A Figura (a) e (b) representam os pontos P1 e P2, respectivamente.
A Figura (a) e (b), mostra os pontos P3 e P4, respectivamente.
O ponto P, tem um número ilimitado de pares de coordenadas polares.
ou 
4.1 RELAÇÃO ENTRE O SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULARES E O SISTEMA DE COORDENADAS POLARES.
Em várias situações, surge a necessidade de nos referirmos a ambas, coorde​nadas cartesianas e coordenadas polares de um ponto P. Para viabilizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e oraio para o qual θ = π/2 com o eixo positivo dos y.
Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coorde​nadas polares (r, θ), vamos analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante.
A figura (a) e (b) ilustra o caso para r > 0 e r < 0, respectivamente.
Figura a
Figura b
Podemos observar que:
Para r > 0, temos 
e 
Para r < 0, temos 
e 
Portanto:
 e 
Exemplos:
Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são (- 4, 7π/6).
Temos:
 e 
 e 
 e 
 e 
4.3 GRÁFICOS DE EQUAÇÕES EM COORDENADAS POLARES.
O gráfico de F(r, θ) = 0 é formado por todos os pontos cujas coordenadas polares satisfazem a equação. E comum apresentarmos a equação numa forma explí​cita, isto é, r = f(θ).
Na prática, os seguintes procedimentos poderão nos auxiliar no esboço do 	gráfico:
Calcular os pontos de máximos e/ou mínimos;
Encontrar os valores de θ para os quais a curva passa pelo pólo;
Verificar simetrias. Se,
a equação não se altera quando substituirmos r por - r, existe simetria em relação à origem;
a equação não se altera quando substituirmos θ por - θ, existe simetria em relação ao eixo polar (ou eixo dos x)
a equação não se altera quando substituirmos θ por π - θ, existe simetria em relação ao eixo θ = π/2 ( eixo dos y).
Exemplos
1) Esboçar a curva r = 2 (1 - cos θ).
Como a equação não se altera ao substituirmos θ por - θ, isto é, r = 2 (1 - cos θ) = 2 (1 - cos (-θ)),
concluímos que existe simetria em relação ao eixo polar. Logo, basta analisar valores de θ tais que 0 ≤ θ ≤ π.
Para 0 ≤ θ ≤ π, encontramos um ponto de máximo (4, π) e um ponto de mínimo (0, 0). 
A Tabela abaixo mostra alguns pontos da curva, cujo esboço é mostrado na figura ao lado.
	Θ
	r
	0
	0
	π/3
	1
	
	
	π/2
	2
	
	
	2π/3
	3
	
	
	Π
	4
Esboçara curva r = 2.cos 2θ.
Analisando as simetrias, temos que:
A curva é simétrica em relação ao eixo dos x, pois r = 2.cos (-2θ) = 2.cos 2θ.
(b) A curva é simétrica em relação ao eixo dos y, pois r = 2 cos [2(π - θ)] = 2 cos (2π - 2θ) = 2 cos 2θ.
Logo, basta fazer uma tabela para 0 ≤ θ ≤ π/2.
Em 0 ≤ θ ≤ π/2 curva passa pelo pólo quando θ = π/4, pois 
Podemos ainda verificar que, para 0 ≤ θ ≤ π/2, temos um ponto de máximo (2, 0) e um ponto de mínimo (- 2, π/2) .
	θ
	R
	0
	2
	π/6
	1
	
	
	π/4
	0
	
	
	π/3
	-1
	
	
	π/2
	-2
4.4 ALGUMAS EQUAÇÕES EM COORDENADAS POLARES E SEUS RESPECTIVOS GRÁFICOS.
(1) Equações de retas.
(a) θ = θ O ou θ = θO ± nπ, n ϵ Z é uma reta que passa pelo pólo e faz um ângulo de θ = θ O ou θ = θO ± nπ radianos com o eixo polar.
(b) 
 e 
, a, b ϵ R, são retas paralelas aos eixos polar e π/2.
(2) Circunferências
a) r = c,c ϵ R é uma circunferência centrada no pólo e raio 
.
(b) 
é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo θ = π/2.
se a > 0, o gráfico está à direita do pólo;
se a < 0, o gráfico está à esquerda do pólo;
(c) 
 é uma circunferência de centro no eixo π/2 e que tangencia o eixo polar:
se b > 0, o gráfico está acima do pólo;
se b < 0, o gráfico está abaixo do pólo;
(3) Limaçons.
 ou 
 onde a e b ϵ R são limaçons.
se b = a, então o gráfico tem o formato de um coração, por isso é conhecido como Cardióide.
 r= a(1 + sen θ)	 r=a(1-senθ)
se b < a, então o gráfico não tem laço.
(4) Rosáceas.
 ou 
, onde a ϵ R são rosáceas:
se n é par temos uma rosácea de 2n pétalas
se n é ímpar temos uma rosácea de n pétalas
(5) Lemniscatas.
 ou 
r2, onde a ϵ R são lemniscatas.
 
 
(6) Espirais.
As equações seguintes representam algumas espirais:
, a > 0 - espiral hiperbólica;
, a > 0 - espiral de Arquimedes;
, - espiral Logarítmica;
, - espiral hiperbólica;
 
 
 
 
4.5 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA DADA EM COORDENADAS POLARES
Seja uma curva C dada pelas sua equação polar 
, o comprimento do arco é dado por
Exemplo: Calcular o comprimento da cardióide 
.
Solução: Como o gráfico é simétrico em relação ao eixo polar, calculamos então o comprimento da curva somente para 
.
Temos,
S =
S =
S =
S =
S =
S =
S =
S =4 unidades de comprimento (u.c.). Portanto o comprimento do arco é 8 u.c.
4.5 ÁREA DE FIGURAS PLANAS EM COORDENADAS POLARES
Queremos encontrar a área A, da figura delimitada pelas retas 
e 
e pela curva 
.
Seja f uma função contínua e não negativa em 
. Consideremos uma partição P de 
 dada por 
A figura abaixo exemplifica esta partição para n = 4.
Para cada 
,i=1,...,n, vamos considerar um setor circular de raio 
e ângulo central 
, onde 
 e 
.
A área do i-ésimo setor circular é dada por 
. Logo a área A é aproximadamente a An , sendo	
.
Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada 
torna-se muito pequeno, An aproxima-se do que intuitivamente entendemos como a área da região delimitada por 
e 
e pela curva 
.
Portanto, escrevemos
 ou,
Exemplo: Encontrar a área da região S, limitada pelo gráfico de 
.
Solução: A figura mostra a região S, limitada pelo gráfico de 
e observando a simetria em relação ao eixo π/2 podemos escrever 
.
Exemplo 2: Calcular a área limitada pela lemniscata r2 = 4.cos(2).
Solução: Como  deve ser tal que cos(2) >0, então, na 1a volta, 
. Devido a simetria dos semi-laços, basta calcular a área de um deles e multiplicar por 4. 
5. INTEGRAL DUPLA
Neste capítulo, vamos estudar a integral dupla, que constitui uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Por meio dela, analisaremos diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes e determinaremos algumas grandezas físicas, tais como massa e momento de inércia.
Vamos considerar uma função 
definida em uma região fechada e limitada R do plano xy como mostra a figura
Traçando retas paralelas aos eixos dos x e dos y, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos retângulos.
Consideremos somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em R, numerando-os de 1 até n. Em cada retângulo Rk, escolhemos um ponto
e formamos a soma 
,
onde 
.
Suponhamos, agora, que mais retas paralelas aos eixos dos x e dos y são traçadas, tornando as dimensões dos retângulos cada vez menores. Fazemos isso de tal maneira que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito. Nessa situação, se 
existe, ele é chamado de integral dupla de 
sobre a região R.
Denotamos 
ou 
.
Interpretação Geométrica da Integral Dupla
Suponhamos que 
 seja maior ou igual a zero sobre R. Observando a figura, vemos que o produto 
 representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retãngulo Rk e cuja altura é
.
A soma de Riemann representa uma aproximação do volume da porção do espaço compreendida abaixo do gráfico de 
e acima região R do plano xy.
Assim, quando 
 a 
 nos dá o volume do sólido delimitado superiormente gráfico dc 
e inferiormente pela região R e lateralmente pelo “cilindro” vertical cuja base é o contorno de R.
Propriedades da Integral Dupla
Para enunciar as propriedades que seguem, estamos supondo que a fronteira da região de integração R é formada um número finito de arcos de curvas suaves e que as funções 
e 
são contínuas sobre a região R. Desta forma, temos a garantia da existência das integrais duplas envolvidas.
Proposição
a) 
=
, para todo k real.
b) 
=
.
c) Se 
�� EMBED Equation.3 para todo 
 , então 
. 	
d) 
0 para todo 
, pertencente a região R então 
.
e) Se a região R é composta de duas sub-regioes 
 e 
que nao tem pontos em comum, exceto possivclmente nos pontos de suas fronteiras, então 
=
.
Cálculo das Integrais Duplas
Quando Temos uma região de integração de um dos seguintes tipos: 
Tipo I: 
, com
 e 
contínuas em [a,b]
Tipo II: 
, com 
 e 
contínuas em [c,d],
podemos calcular as integrais duplas de uma forma bastante simples, por meio de duas integrações sucessivas.
1º Caso: R é do Tipo I.
Nesse caso, a integral dupla 
 é calculada por meio da seguinte integral, dita iterada:
2º Caso: R é do Tipo II.
Nesse caso, a integral dupla 
 é calculada de modo análogo ao 1º caso:
Exemplos: Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de 
, inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0e 
 e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o con​torno de R.
Solução: Como vimos na interpretação geométrica da integral dupla, o volume desse sólido é dado por
V=
. A região R que é ilustrada na figura, é uma região do Tipo 1 que pode ser descrita por 
R=
Temos então 
=
=
2) Calcular a integral 
onde R é a região limitadapor 
 e 
.
Solução:
=
=
= 
Procedimentos para encontrar os limites de integração
Para calcular 
 sobre uma região R, integrando primeiro em relação a y e depois relação a x, execute os seguintes passos:
1) Esboce a região de integração e identifique as curvas limitantes.
2) Os limites de integração de y. Imagine uma reta vertical L que corta R na direção de valores de y crescente. Marque os valores de y onde L entra e sai de R. Estes são os limites de integra​ção de y e geralmente são funções de x (em vez de constantes).
3) Os limites de integração de x. Escolha limites de integração de x que incluam todas as retas verticais através de R. A integral é 
Para calcular a mesma integral dupla como uma integral iterada com a ordem de integração invertida, use retas horizontais em vez de retas verti​cais. 
A integral é 
.
Exemplo: Inverta a ordem de integação e calcule 
.
Solução: Inicialmente, devemos fazer a figura com a região de integração. Temos que y varia no intervalo [0, 1] e x varia entre 
 e 1. A curva 
é a mesma que 
.
=
=
=
5.1 INTEGRAIS EM COORDENADAS POLARES
As integrais algumas vezes são mais fáceis de calcular se mudarmos para coor​denadas polares. Quando definimos a integral dupla de uma função sobre uma região R no plano xy, começamos cortando R em retângulos cujos lados eram paralelos aos eixos coordenados. Estes eram os formatos naturais para usar porque seus lados têm valores constantes de x ou y. Em coordenadas polares, o formato natural é um 'retângulo polar' cujos lados têm valores constantes de r e θ.
Suponha que uma função 
 seja definida sobre uma região R que é limitada pelos raios 
 e 
e pelas curvas contínuas 
 e 
. Suponha também que 
 para todo valor de 
θ entre 
e 
. Então R está em uma região com formato de leque Q definida pelas desigualdades 
 e 
.
 
A região 
 e 
 está contida na região em formato de leque Q:
 e 
. A divisão de Q por arcos circu​lares e raios induz uma divisão de R.
Cobrimos Q com uma grade de arcos circulares e raios. Os arcos são corta​dos de circunferências centradas na origem, com raios 
,Ar, 2
. ..., m
onde 
=a/m.. Os raios são dados por 
, 
,
,......, 
onde 
.. Os arcos e os raios dividem Q em pequenos pedaços chamados de 'retângulos polares'.
0= oL + m' A0 = jS,
Numeramos os retângulos polares que estão dentro de R (a ordem não importa), chamando suas áreas de 
 
....,
.
(1)
Seja 
o centro do retângulo polar cuja área é 
. Por 'centro' quere​mos dizer o ponto que está na metade do caminho entre os arcos circulares sobre o raio que é bissetriz deles. Então formamos a soma
. (1)
Se f for contínua em R, essa soma aproximará um limite quando refinarmos a grade para fazer 
e 
 tenderem a zero. O limite é chamado de integral dupla de f sobre R. Em símbolos,
Para calcularmos esse limite, primeiro temos que escrever a soma Sn de uma maneira que expresse 
termos de 
 e 
. O raio do arco interno que limita 
é 
. O raio do arco externo é
. As áreas dos setores circulares subtendidos por esses arcos na origem são:
Raio interno: 
Raio externo: 
 
Portanto,
 = área da seção maior - área da seção menor. 
= 
=
 Combinando esse resultado com a equação (1), temos
Uma versão do Teorema de Fubini agora diz que o limite aproximado por essas somas pode ser calculado por repetidas integrações simples em relação a r e 
 quando
Encontrando Limites de Integração
O procedimento para encontrar limites de integração em coordenadas cartesia​nas também funciona para coordenadas polares.
Como Integrar em Coordenadas Polares
Para calcular 
 sobre uma região R em coordenadas polares, integrando primeiro em relação a r e depois em relação a 
, siga os passos indicados.
1) Esboce a região e identifique as curvas limitantes.
2) Os limites de integração de r. Imagine um raio L a partir da ori​gem cortando R no sentido de r cres​cente. Marque os valores de r onde L entra e sai de R. Estes são os limites de integração de r. Eles geralmente dependem do ângulo 
 que L forma com o eixo x positivo.
3) Os limites de integração de 
. Encontre o menor e o maior valor de 
 que limitam R. Estes são os limi​tes de integração de 
.
A intergral é 
Exemplo: Encontre os limites de integração para integrar 
sobre a região R que está dentro da cardióide 
 e fora da circunferência r = 1.
Solução: 
Passo 1 : Um esboço. Esboçamos a região e identificamos as curvas limitan​tes
Passo 2: Os limites de integração de r. Um raio típico a partir da origem entra em R onde r = 1 e sai onde 
.
Passo 3: Os limites de integração de 
. Os raios a partir da origem que apre​sentam intersecção com R variam de 
 e 
.
A integral é
Mudando Integrais Cartesianas para Integrais Polares
O procedimento para mudar uma integral cartesiana 
para uma integral polar é composto de dois passos:
Passo 1: Substitua 
 e 
 e troque dxdy por 
 na inte​gral cartesiana.
Passo 2: Estabeleça os limites polares de integração para a fronteira de R. A integral cartesiana então se torna 
 , onde G denota a região de integração em coordenadas polares. 
Exemplo: Calcular 
, sendo R o círculo de centro na origem e raio 2.
Solução: Para resolver esta integral, vamos utilizar as coordenadas polares. Para isso, devemos identificar a região R´ no plano 
, que está em correspondência com a região R, no plano xy.
																																																						R´:
=
=
=
=
Exemplo 2: Calcular a integral 
, onde R é a região do plano xy delimitada por 
=4 e 
=9.
Solução:
Em coordenadas polares, as equações das circunferências que delimitam R são dadas por r = 2 e r = 3, respecti​vamente.
Temos, então. 
R´:
Portanto,
=
=
=
=
.
Referências:
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A Funções , limite, derivada e integração. 6.ed.São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
GONCALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva Marilia. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. 2. ed. rev. e ampl. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica. v.1. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1994. 	
THOMAS, George B. Cálculo - Volume 2. Tradução: Cláudio Hirofume. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2003.
y
 f(x)
 g(x)
 				X
 a b
y
 a X
		 x1	 b
y
a b X
y
 X
a b 
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