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31/01/2019
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Professor: Fernando Braga
AULA 10
O projeto de um elemento estrutural deve satisfazer
requisitos a respeito de resistência, deflexão e
estabilidade.
Os métodos para cálculo de tensão e deformação que nós
aprendemos em resistência dos materiais levam em
consideração que o elemento estrutural em questão está
sempre em equilíbrio estável.
Todavia, alguns elementos estruturais podem estar
sujeitos a cargas de compressão e, se forem compridos e
esbeltos, a carga poderá ser grande o suficiente para
provocar uma deflexão ou uma oscilação lateral.
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Estes elementos nós chamamos especificamente de
colunas, e a deflexão lateral que ocorre é denominada
flambagem.
Com muita frequência a flambagem de uma coluna pode
resultar em uma falha repentina e dramática de uma
estrutura ou mecanismo.
A carga axial máxima que uma coluna pode suportar
quando está na iminência de sofrer flambagem é
denominada carga crítica, Pcr . Qualquer carga adicional
provocará flambagem na coluna e, portanto, deflexão
lateral.
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Para entender melhor a natureza da instabilidade em
colunas, vamos considerar um mecanismo composto por
duas barras sem peso, rígidas e conectadas por pinos nas
extremidades.
Quando as barras estão na posição vertical, a mola, de
rigidez k, não está tensionada e uma pequena força
vertical P é aplicada ao topo de uma delas. Podemos
perturbar essa posição de equilíbrio deslocando o pino
em A até uma pequena distância ∆ .
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Como mostra o diagrama de corpo livre do pino, quando
as barras são deslocadas a mola produz uma força de
recuperação F=k ∆ , enquanto a carga aplicada P
desenvolve duas componentes horizontais, Px = Ptg� ,
que tendem a empurrar o pino (e as barras) ainda mais
para fora da posição de equilíbrio.
Visto que � é pequeno, ∆ = �(L/2)
e tg � = �. Assim, a força de restauração
da mola torna-se F = k �	L/2,
e a força perturbadora 2P �.
Diagrama de Corpo Livre
Se a força de restauração for maior que a força
perturbadora, podemos resolver P e teremos:
Se a força de restauração for menor que a força
perturbadora, se essa carga P for aplicada e ocorrer um
leve deslocamento em A, o mecanismo tenderá a sair do
equilíbrio e não retornar a sua posição original, podemos
resolver P e teremos:
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O valor intermediário de P, definido como carga critica é
dado por:
Essa carga representa um caso de mecanismo que está
em equilíbrio neutro. Como Pcr é independente do
(pequeno) deslocamento θ das barras, qualquer leve
perturbação aplicada ao mecanismo não fará com que ele
se afaste mais do equilíbrio, nem que retorne a sua
posição original. Em vez disso, as barras permanecerão
na posição defletida.
Em termos físicos, Pcr representa a carga sob a qual o
mecanismo está na iminência de sofrer flambagem. É
bastante válido determinar esse valor considerando
pequenos deslocamentos como fizemos aqui.
Assim como ocorre com o mecanismo de duas barras que
acabamos de discutir, podemos obter as cargas de
flambagem críticas para colunas suportadas de vários
modos.
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Tipos de Extremidades de Colunas
A definição de coluna é aquela perfeitamente reta antes
da carga, feita de material homogêneo e na qual a carga é
aplicada no centroide da seção transversal.
Consideramos ainda que o material comporta-se de uma
maneira linear elástica e que a coluna sofre flambagem ou
flexão em um único plano.
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A fórmula da carga critica (carga critica de Euler) é dada por:
Onde:
Pcr = carga crítica ou carga axial máxima na coluna
imediatamente antes do início da flambagem.
E = módulo de elasticidade para o material
I = menor momento de inércia para a área da seção
transversal da coluna
Le = comprimento efetivo da coluna
��� �
�
	
�
�
	
Devemos observar que a carga crítica é independente da
resistência do material; mais exatamente, ela depende
somente das dimensões da coluna (I e L) e da rigidez ou
do módulo de elasticidade do material, E.
Por essa razão, no que diz respeito à flambagem elástica,
colunas feitas, por exemplo, de aço de alta resistência,
não oferecem nenhuma vantagem em relação às feitas de
aço de resistência mais baixa, uma vez que o módulo de
elasticidade para ambos os materiais é aproximadamente
o mesmo.
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A capacidade de carga de uma coluna aumentará à
medida que o momento de inércia da seção transversal
aumentar.
Colunas eficientes são projetadas de modo que a maior
parte da área da seção transversal da coluna esteja
localizada o mais longe possível dos eixos principais do
centroide da seção.
As seções ocas como tubos são mais eficientes do que as
maciças. Além do mais, as seções de abas largas e
colunas 'construídas' com perfis em U, cantoneiras, placas
etc. são melhores do que as maciças e retangulares.
É importante entender que uma coluna sofrerá
flambagem em torno do eixo principal da seção
transversal que tenha o menor momento de inércia (o
eixo menos resistente).
Por exemplo, uma coluna de seção
transversal retangular, como uma
barra de medição, sofrerá flambagem
em torno do eixo a-a e não do eixo b-b.
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O resultado é que os engenheiros normalmente tentam
conseguir um equilíbrio mantendo os mesmos momentos
de inércia em todas as direções.
Então, em termos geométricos, tubos dariam excelentes
colunas. Além disso, tubos quadrados ou formas para as
quais Ix = IY também constituem formas constantemente
selecionadas para colunas.
A fórmula de Euler foi desenvolvida para o caso de uma
coluna com extremidades presas por pinos ou livres para
girar.
O comprimento efetivo Le na equação representa a
distância sem apoio entre os pontos de momento nulo. Se
a coluna for apoiada de outros modos, então a fórmula de
Euler poderá ser usada para determinar a carga crítica,
desde que 'L‘ represente a distância entre pontos de
momento nulo.
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O comprimento efetivo é dado por:
onde:
L – é o comprimento da coluna
K – é o fator de comprimento efetivo
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A relação geométrica Le/r da coluna é conhecida como
índice de esbeltez. É uma medida da flexibilidade da
coluna e, serve para classificar colunas como compridas,
intermediárias ou curtas.
Onde:
r – é o menor raio de giração da coluna, determinado
por	� �
�
�
�
, onde I é o menor momento de inércia da área
da secção transversal da coluna, A.
Uma maneira de se estimar o índice de esbeltez de uma
coluna é utilizar a relação:
�
�
�
1
�
�	
��
�
onde:
E – módulo de elasticidade da coluna - (GPa)
�� - tensão de escoamento da coluna – (MPa)
K – é o fator de comprimento efetivo
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Se o índice de esbeltez for maior que a relação mostrada
anteriormente, podemos classificar a coluna como esbelta
e a fórmula de Euler pode ser usada para determinar a
carga de flambagem, visto que a tensão na coluna
permanece elástica.
A flambagem sempre ocorrerá em torno do eixo da
coluna que tenha o maior índice de esbeltez.
Se o índice de esbeltez for menor que a relação mostrada
a coluna pode ser classificada como intermediária ou
curta.
Colunas intermediárias falham devido a instabilidade
inelástica, o que significa que a tensão de compressão na
falha é maior do que o limite de proporcionalidade do
material.
E as colunas curtas, às vezes denominadas postes, não se
tornam instáveis; mais exatamente, o material
simplesmente escoa ou sofre ruptura.
Em ambos os casos deve ser utilizado uma outra
metodologia de cálculo.
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A tensão crítica de flambagem , que é uma tensão de
compressão média na coluna imediatamente antes da
flambagem. Essa é uma tensão elástica e, portanto, deve
ser menor que o escoamento ou uma tensão admissível. E
pode ser calculada da seguinteforma.
��� �
�
	
��
�
	
�
���
�
Exercício 1:
O elemento estrutural W200 x 46 de aço A-36 mostrado
na figura deve ser usado como uma coluna acoplada por
pinos. Determine a maior carga axial que ele pode
suportar antes ele começar a sofrer flambagem ou antes
que o aço escoe.
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Exercício 2:
A coluna de alumínio está presa na base e seu topo está
ancorado em cabos de modo a impedir o topo se movimente ao
longo de x. Se considerarmos que ela está fixa na base,
determine a maior carga P que pode ser aplicada. Use um fator
de segurança para flambagem = 3,0. Considere Ea1 = 70 GPa,
�
= 215 MPa, A = 7,5(10-3)m2, Ix = 61,3(10-6)m4, Iy = 23,2(10-
6)m4.
Exercício 3:
Encontre a espessura mínima necessária tmin para uma coluna
tubular de aço de comprimento L = 3,6 m com diâmetro
externo d = 160 mm que deve suportar um carregamento axial
P = 450 kN .A coluna está engastada na base com extremidade
livre no topo. (Use E = 200 GPa e �
 = 250 MPa.)