AL_CAP_06

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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
CAPÍTULO 6 
 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
1 Introdução 
Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a 
maneira como certos dados de entrada são transformados em dados de saída. 
Em geral, o estudante está familiarizado com funções, tais como funções reais de uma variável 
real, as quais têm por domínio e contradomínio o conjunto ℜ dos números reais (ou 
subconjuntos de ℜ ), como, por exemplo, a função f indicada a seguir: 
( ) 3xxfx
 :f
=
ℜ→ℜ
a
 . 
Essa função transforma um número real x qualquer em outro número real, no caso, seu cubo, 
isto é, 3x . 
Estudam-se, ainda, funções com outros domínios e contradomínios, como, por exemplo: 
( ) ( ) 22
2
yxy,xfy,x
 A:f
+=
ℜ→ℜ⊂
a
 . 
Neste capítulo, serão estudadas funções cujos conjuntos domínio e contradomínio são espaços 
vetoriais. Como os elementos de um espaço vetorial são chamados, de modo geral, de 
vetores, essas funções associarão vetores do conjunto domínio com vetores do conjunto 
contradomínio. 
Definição: Dados dois espaços vetoriais V e W, sendo φ≠V , uma função ou transformação T 
de V para W é uma lei que associa a todo vetor x de V um único vetor em W, denotado por 
( )xT . 
O vetor ( )xT de W é chamado imagem de Vx ∈ pela transformação T. 
Exemplo: considerando-se os espaços vetoriais reais 3ℜ=V e 2ℜ=W e a transformação 
definida por: 
( ) ( ) ( )zy,yxz,y,xTz,y,x
 :T
−+=
ℜ→ℜ
a
23
, 
vê-se que T leva o vetor ( ) 3110 ℜ∈−,, no vetor: 
( ) ( )( ) ( ) 2211110110 ℜ∈=−−+=− ,,,,T . 
2 Transformação Linear 
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Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma função WV:T → é 
uma transformação linear se: 
(a) ( ) ( ) ( ) Vv,v,vTvTvvT ∈∀+=+ 212121 
(b) ( ) ( ) K,Vv,vTvT ∈∀∈∀= ααα 
Observações: 
1) Na transformação linear WV:T → , V é chamado espaço de saída e W é chamado espaço 
de chegada da transformação. 
2) A transformação linear WV:T → é também chamada de aplicação linear; ela preserva a 
adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar. 
3) A transformação linear VV:T → (isto é, VW = ) é chamada de operador linear. 
Exemplos: 
1) Considere-se a aplicação definida por: 
( ) ( ) ( )y,xy,xTy,x
:T
−=
ℜ→ℜ
a
22
. 
T é uma transformação linear (ou operador linear), como se mostrará a seguir. 
(a) sejam ( )111 y,xv = e ( )222 y,xv = dois vetores do 2ℜ ; tem-se: 
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] =++=+=+ 2121221121 yy,xxTy,xy,xTvvT 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21221121212121 vTvTy,xy,xyy,xxyy,xx +=−+−=+−−=++− 
(b) considerando-se um vetor ( ) 2ℜ∈= y,xv e um número real α , tem-se: 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vTy,xTy,xy,xy,xTy,xTvT ααααααααα ==−=−=== 
 
FIGURA 9 
É possível visualizar geometricamente a ação da transformação linear T no plano de 
coordenadas cartesianas ortogonais, que representa geometricamente o espaço vetorial real 
2ℜ . Considerando-se, por exemplo, o vetor ( )43,v = , que é o vetor-posição do ponto ( )43, , 
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tem-se: 
( ) ( ) ( )4343 ,,TvT −== . 
Vê-se, na Figura 9, que a transformação promove uma rotação do vetor em torno do eixo Oy. 
2) Seja 23 ℜ→ℜ:T , definida por ( ) ( )zy,zxz,y,xT −+= 2 . Mostrar que T é uma 
transformação linear. 
Mostrar-se-á que são satisfeitas as condições da definição: 
(a) Sejam ( )1111 z,y,xv = e ( )2222 z,y,xv = dois vetores do 3ℜ . Então: 
( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) =+++=+=+ 21212122211121 zz,yy,xxTz,y,xz,y,xTvvT 
( ) ( ) ( ) ( )( ) =+−++++= 21212121 2 zzyy,zzxx 
( ) =−−++++= 21212121 22 zzyy,zzxx 
( ) ( ) =−++−+= 22221111 22 zy,zxzy,zx 
( ) ( ) ( ) ( )21222111 vTvTz,y,xTz,y,xT +=+= 
(b) Sejam ( ) 3ℜ∈= z,y,xv e ℜ∈α . Tem-se: 
( ) ( )[ ] ( ) ( )zy,zxz,y,xTz,y,xTvT ααααααααα −+=== 2 
( ) ( ) ( )vTz,y,xTzy,zx ααα ==−+= 2 . 
3) Sejam WV: →0 a aplicação nula, definida por ( ) 00 =v , Vv ∈∀ , e VV:Id → a aplicação 
identidade, definida por ( ) vvId = , Vv ∈∀ . O leitor poderá verificar que essas transformações 
são lineares. 
4) Seja 32 ℜ→ℜ:T , definida por ( ) ( )2,y,xy,xT = . Mostrar que T não é uma transformação 
linear. 
Deve-se mostrar que pelo menos uma das condições da definição não é satisfeita. Tem-se: 
(a) Sejam ( )111 y,xv = e ( )222 y,xv = dois vetores do 2ℜ . Tem-se: 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) =++=+=+ 2121221121 yy,xxTy,xy,xTvvT 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2122112121 022 vTvT,y,x,y,x,yy,xx +≠+=++= 
Conclui-se, assim, que T não é transformação linear. 
5) As seguintes transformações apresentam uma visão geométrica: 
(a) Expansão: 
( ) ( ) ( )y,xy,xTy,x
:T
α=
ℜ→ℜ
a
22
, sendo ℜ∈α . 
Na Figura 10, mostram-se, para exemplificar, o vetor ( )21,v = e o vetor ( ) vvT 2= , ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( )4221221 ,,,TvT === , onde se considerou 2=α . 
(b) Reflexão em torno do eixo Ox: 
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( ) ( ) ( )y,xy,xTy,x
:T
−=
ℜ→ℜ
a
22
. 
Considerando-se, por exemplo, o vetor ( )32 −= ,v , tem-se que ( ) ( ) ( )3232 ,,TvT =−= . Esses 
vetores são mostrados na Figura 11. 
 
FIGURA 10 
 
FIGURA 11 
(c) Reflexão na origem: 
( ) ( ) ( )y,xy,xTy,x
:T
−−=
ℜ→ℜ
a
22
. 
A imagem do vetor ( )32,v = por essa transformação T é ( ) ( ) ( )3232 −−== ,,TvT , conforme se 
vê na Figura 12. 
d) Rotação de um ângulo θ no sentido anti-horário: 
( ) ( ) ( )θθθθ xsencosy,ysencosxy,xTy,x
:T
+−=
ℜ→ℜ
a
22
. 
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Tomando-se, novamente, o vetor ( )32,v = e considerando-se um ângulo de rotação 060=θ , 
tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0000 602603603602 sencos,sencosy,xT +−= , ou seja, tem-se o vetor 
( )








+−= 3
2
3
2
33
132 ,,T , mostrado na Figura 13. 
 
FIGURA 12 
 
FIGURA 13 
(e) Reflexão em torno da reta xy = : 
( ) ( ) ( )x,yy,xTy,x
:T
=
ℜ→ℜ
a
22
. 
Considerando-se, agora, o vetor ( )13,v = , obter-se-á, pela transformação T, o vetor 
( ) ( )31,vT = , os quais são simétricos em relação à reta xy = , como mostra a Figura 14. 
6) Sejam: ( )ℜnM o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n sobre o corpo ℜ e 
( )ℜ∈ nMB uma matriz fixa. Verificar se é linear a transformação 
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( ) ( )
( ) BAABATA
MM:T nn
−=
ℜ→ℜ
a
. 
Verificar-se-á se são satisfeitas as condições da definição. 
(a) Sejam A e C duas matrizes de ( )ℜnM . Tem-se: 
( ) BAABAT −= e ( ) BCCBCT −= ; 
então: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CTATBCCBBAABBCBACBABCABBCACAT +=−+−=−−+=+−+=+ 
(b) Sejam ( )ℜ∈ nMA e ℜ∈α . Tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ATBAABBAABABBAAT ααααααα =−=−=−= 
Conclui-se, de (a) e (b), que T é uma transformação linear. 
 
 Figura 14 
7) Considere-se a aplicação ( ) ( )ℜ→ℜ 22 MP:T , definida por: 
( ) 





−
+
=++
211
2102
210
aaa
aaa
tataaT . 
Mostrar que T é uma transformação linear. 
Deve-se mostrar que são satisfeitas as condições da definição. 
(a) Sejam ( ) 22101 tataatp ++= e ( ) 22102 tbtbbtp ++= dois elementos de ( )ℜ2P . Então: 
( ) ( )( ) ( ) =+++++=+ 2210221021 tbtbbtataaTtptpT ( ) ( ) ( )[ ] =+++++= 2221100 tbatbabaT 
=





−−++
++++
=
221111
221010
bababa
babbaa
=




−
+
+





−
+
211
210
211
210
bbb
bbb
aaa
aaa
 
( )( ) ( )( )tpTtpT 21 += 
Assim, ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )tpTtpTtptpT 2121 +=+ 
(b) Sejam ( ) 2210 tataatp ++= um elemento de ( )ℜ2P e ℜ∈α . Tem-se: 
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( )( ) ( ) =





−
+
=++=
211
2102
210
aaa
aaa
tataaTtpT
ααα
ααα
αααα 
( )( )tpT
aaa
aaa
αα =





−
+
=
211
210 . 
De (a) e (b), conclui-se que T é uma transformação linear. 
Teorema: Sejam V e W dois espaços vetoriais reais e { }nv,,v,vB L21= uma base ordenada 
de V. Dados nw,,w,w L21 elementos arbitrários de W, existe uma única transformação linear 
WV:T → tal que ( ) 11 wvT = , ( ) 22 wvT = , ..., ( ) nn wvT = . 
Demonstração: 
Hipóteses: { }nv,,v,vB L21= é base de V; nw,,w,w L21 são elementos arbitrários de W 
Tese: existe uma única transformação linear WV:T → tal que ( ) 11 wvT = , ( ) 22 wvT = , ..., 
( ) nn wvT = 
(i) Existência 
Seja Vv ∈ . Então, existem números reais n,,, ααα L21 tais que: 
nnvvvv ααα +++= L2211 . 
Define-se a seguinte transformação: 
( ) nnwwwvTv
W V:T
ααα +++=
→
La 2211
 . 
Observe-se que T está bem definida, pois n,,, ααα L21 são únicos. Além disso, tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn vTvTvTvvvTvT αααααα +++=+++= LL 22112211 ; 
conclui-se, assim, que, para n,,,i L21= , tem-se ( ) ii wvT = . 
(ii) Unicidade 
Suponha-se que existe uma transformação linear WV:T →′ tal que ( ) ii wvT =′ , para 
n,,,i L21= . Então, vem: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =′++′+′=+++′=′ nnnn vTvTvTvvvTvT αααααα LL 22112211 
( )vTwww nn =+++= ααα L2211 , 
de onde se segue que TT =′ . 
Observação: com este teorema, pode-se afirmar que as transformações lineares são 
determinadas conhecendo-se apenas seu valor nos elementos de uma base de seu espaço de 
saída. 
3 Propriedades das Transformações Lineares 
Para toda transformação linear WV:T → , são válidas as seguintes propriedades: 
( )1P ( ) 00 =T 
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De fato, tem-se: 
( ) ( ) ( ) 0000 =⋅=⋅= vTvTT , Vv ∈∀ . 
( )2P ( ) ( )vTvT −=− , Vv ∈∀ 
De fato, tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( )vTvTvTvT −=⋅−=⋅−=− 11 
( )3P ( ) ( ) ( )2121 vTvTvvT −=− , Vv,v ∈∀ 21 
Com efeito, tem-se: 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )21212121 vTvTvTvTvvTvvT −=−+=−+=− 
( )4P ( )∑∑
==
=









 n
i
ii
n
i
ii vTvT
11
αα , Vv i ∈∀ , Ki ∈∀α ; n,,,i L21= . 
De fato, tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) =+++=+++=










∑
=
2222112211
1
vTvTvTvvvTvT nn
n
i
ii ααααααα LL 
( ) ( ) ( ) ( )∑
=
=+++=
n
i
iinn vTvTvTvT
1
2211 αααα L 
( )5P Se VU ⊂ como subespaço vetorial, então ( ) WUT ⊂ como subespaço vetorial. 
Sugere-se demonstrar a afirmação. 
Observações: 
1) Da 1ª propriedade, decorre que, se uma transformação T é tal que ( ) 00 ≠T , então T não é 
linear. Ressalte-se, no entanto, que a condição de que ( ) 00 =T não é suficiente para que T 
seja linear. 
2) A 4ª propriedade mostra que a transformação linear preserva combinações lineares. Diz-se, 
então, que a transformação linear satisfaz o princípio de superposição. 
Exemplo: considere-se uma transformação linear ( )ℜ→ℜ 23 P:T satisfazendo as seguintes 
condições: ( ) t,,T 32111 −= , ( ) 21011 tt,,T −+= e ( ) 22001 tt,,T += . Determinar a expressão de 
T. 
De acordo com os espaços de saída e de chegada de T, esta transforma vetores do 3ℜ em 
polinômios de grau menor ou igual a 2, com coeficientes reais. Para que seja possível construir 
a expressão de T aplicada em um vetor ( ) 3ℜ∈z,y,x , é preciso conhecê-la aplicada nos 
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vetores de uma base do seu espaço de saída, no caso, o 3ℜ . 
É possível mostrar que o conjunto ( ) ( ) ( ){ }001011111 ,,,,,,,,B = é uma base deste espaço e, 
portanto, são conhecidas as imagens desses vetores, pela transformação T. 
Tomando um vetor genérico ( ) 3ℜ∈z,y,x , este é uma combinação linear dos vetores da base 
B e, portanto, pode-se escrever: 
( ) ( ) ( ) ( )001011111 ,,c,,b,,az,y,x ++= , 
ou seja, 
( ) ( )a,ba,cbaz,y,x +++= , 
de onde se segue que 





=
+=
++=
az
bay
cbax
, 
e, portanto, 





−=
−=
=
yxc
zyb
za
. 
Logo, pode-se escrever: 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )001011111 ,,yx,,zy,,zz,y,x −+−+= . 
Aplicando-se a transformação em ambos os lados desta igualdade, vem: 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )001011111 ,,yx,,zy,,zTz,y,xT −+−+= . 
Pela propriedade ( )3P , tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+−+= 001011111 ,,Tyx,,Tzy,,zTz,y,xT 
( ) ( )( ) ( )( )22 2132 ttyxttzytz +−+−+−+−= 
( ) ( ) ( ) 2324 tzyxtzxzy +−+−++= . 
Assim, para qualquer vetor ( ) 3ℜ∈z,y,x , tem-se que 
( ) ( ) ( ) ( ) 2324 tzyxtzxzyz,y,xT +−+−++= , 
que é a expressão procurada da transformação T. 
4 Núcleo e Imagem 
Definição: O conjunto imagem de uma transformação linear WV:T → é o conjunto: 
( ) ( ){ }wvT/Vv;WwTIm =∈∃∈= . 
Assim, a imagem de T é constituída dos vetores de W que são imagem de pelo menos um 
vetor de V, através da aplicação T. É claro que, de maneira geral, tem-se que ( ) WTIm ⊂ ; 
pode ocorrer, entretanto, que ( ) WTIm = . 
Definição: O núcleo de uma transformação linear WV:T → é o conjunto: 
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( ) ( ){ }0=∈= vT/VvTKer . 
Observações: 
1) A notação ( )TKer para núcleo de T deve-se à palavra inglesa kernel, que significa núcleo. 
2) O núcleo de T é um subconjunto de V, isto é, ( ) VTKer ⊂ . 
3) Também se pode fazer referência ao núcleo de T como nulidade de T, com a notação 
( )TNul . 
4) Quando se consideram funções da forma: 
( )xfyx
BA:f
=
ℜ⊆→ℜ⊆
a
 , 
ou seja, funções reais de uma variável real, o conjunto dos elementos de A tais que ( ) 0=xf é 
o conjunto dos zeros da função f, ou seja, das raízes reais da equação ( ) 0=xf . Esses são os 
valores da variável x que anulam a função f, de onde se origina a expressão nulidade da 
função. No caso de transformações lineares, não se utiliza a expressão zero da transformação 
para um vetor v tal que ( ) 0=vT . Diz-se, apenas, que v pertence ao núcleo de T e, portanto, é 
levado por ela ao vetor nulo do espaço de chegada. 
A Figura 15 mostra a representação gráfica de uma transformação linear WV:T → , com os 
conjuntos ( ) VTKer ⊂ , no qual se mostra um vetor u tal que ( ) 0=uT , e ( ) WTIm ⊂ , no qual se 
mostram os vetores w, imagem de um vetor Vv ∈ , e o vetor nulo 0 , imagem do vetor Vu ∈ . 
 
FIGURA 15 
Exemplos: 
1) Considere-se a transformação linear T, definida por: 
( ) ( ) ( )022
32
,yx,yxy,xTy,x
:T
−−=
ℜ→ℜ
a
. 
Determinar os conjuntos ( ) 2ℜ⊂TKer e ( ) 3ℜ⊂TIm . 
Para que um vetor ( )y,xv = pertença ao núcleo de T, é preciso que ( ) 0=vT , ou seja, deve-se 
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ter: ( ) ( )000 ,,y,xT = . Assim, vem: 
( ) ( )000022 ,,,yx,yx =−− , 
de onde se segue que xy 2= . Portanto, o núcleo de T é o conjunto: 
( ) ( ){ }xy/y,xTKer 22 =ℜ∈= , 
isto é, são os pares ordenados ( ) 2ℜ∈y,x que pertencem à reta de equação xy 2= . 
O conjunto imagem de T é: 
( ) ( ){ }wvT/v;wTIm =ℜ∈∃ℜ∈= 23 , 
ou seja, são as ternas ( ) 3ℜ∈z,y,x do tipo ( )022 ,yx,yx −− . 
Um sistema de geradores para o conjunto imagem é ( ) ( )[ ]011022 ,,,,,−− . Como esses dois 
vetores são LD, pois são múltiplos um do outro, pode-se retirar um deles, por exemplo, 
( )011 ,,−− . 
Então, conclui-se que ( ) ( )[ ]022 ,,TIm = , ou seja, ( ) ( ){ }03 ==ℜ∈= zexy/z,y,xTIm . A 
imagem geométrica desse conjunto é a reta do 3ℜ de equação: 



=
=
0z
xy
. 
Da análise efetuada, têm-se as seguintes conclusões: 
(1) os pares ordenados do 2ℜ que pertencem à reta xy 2= pertencem ao núcleo de T, isto é, 
são levados, por esta transformação, a elemento ( ) 3000 ℜ∈,, ; 
(2) os demais elementos do 2ℜ são levados, por T, à reta do 3ℜ de equação 



=
=
0z
xy
. 
Essas conclusões são mostradas na Figura 16. 
 
FIGURA 16 
2) Considere-se a transformação linear 
( ) ( ) ( )0
33
,y,xz,y,xTz,y,x
:T
=
ℜ→ℜ
a
. 
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Para que um vetor ( )z,y,xv = pertença ao núcleo de T, é preciso que ( ) 0=vT , ou seja, deve-
se ter: ( ) ( )000 ,,z,y,xT = . Assim, vem: 
( ) ( )0000 ,,,y,x = , 
de onde se conclui que 0== yx e z pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo de T é 
o conjunto: 
( ) ( ){ }ℜ∈= z/z,,TKer 00 . 
O conjunto imagem de T é: 
( ) ( ){ }wvT/v;wTIm =ℜ∈∃ℜ∈= 33 , 
ou seja, são as ternas ( ) 3ℜ∈z,y,x do tipo ( )0,y,x . 
Portanto, ( ) ( ){ }ℜ∈= y,x/,y,xTIm 0 . 
Teorema: Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e WV:T → uma transformação 
linear. Então: 
(a) ( )TKer é um subespaço vetorial de V. 
(b) ( )TIm é um subespaço vetorial de W. 
Demonstração: 
Hipótese: WV:T → uma transformação linear 
Teses: (a) ( )TKer é um subespaço vetorial de V 
(b) ( )TIm é um subespaço vetorial de W 
(a) Para provar que ( )TKer é um subespaço vetorial de V, devem-se mostrar que são 
verdadeiros os três axiomas da definição de espaço vetorial. De fato, tem-se: 
(1) como ( ) 00 =T , segue-se que ( )TKer∈0 . 
(2) sejam u e u’ dois elementos de ( )TKer . Então, ( ) 0=uT e ( ) 0='uT . Assim, sendo T uma 
transformação linear, vem: 
( ) ( ) ( ) 000 =+=+=+ 'uTuT'uuT 
e, portanto, ( )TKer'uu ∈+ . 
(3) sejam ( )TKeru ∈ e K∈α . Sendo u um elemento de ( )TKer , segue-se que ( ) 0=uT . Então, 
como T é uma transformação linear, vem: 
( ) ( ) 00 === ααα uTuT , 
de onde se conclui que ( )TKeru ∈α . 
De (1), (2) e (3), conclui-se que ( )TKer é um subespaço vetorial de V. Escreve-se: ( ) VTKer
se
⊂ . 
(b) Mostrar-se-á, agora, que ( )TIm é um subespaço vetorial de W. 
(1) Como ( ) 00 =T , segue-se que ( )TIm∈0 . 
(2) Sejam w e w’ dois elementos de ( )TIm . Então, existem elementos u e u’ em V tais que 
( ) wuT = e ( ) 'w'uT = . Assim, sendo T uma transformação linear, vem: 
( ) ( ) ( ) 'ww'uTuT'uuT +=+=+ 
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e, portanto, ( )TIm'ww ∈+ . 
(3) Sejam ( )TImw ∈ e K∈α . Se ( )TImw ∈ , segue-se existe um elemento Vu ∈ tal que 
( ) wuT = . Por hipótese, T é transformação linear; então: 
( ) ( ) wuTuT ααα == , 
de onde se conclui que ( )TImw ∈α . 
De (1), (2) e (3), conclui-se que ( )TIm é um subespaço vetorial de W. Escreve-se: ( ) WTIm
se
⊂ . 
Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. Define-se: 
● ( ) =TImdim posto de T; 
● ( ) =TKerdim nulidade de T. 
Exemplos: 
1) Considere-se a transformação linear ( ) 32 ℜ→ℜM:T , definida por: 
( )db,ca,cba
dc
ba
T ++−−=





352 . 
Determinar ( )TKer e ( )TIm , assim como as dimensões desses espaços. 
Seja ( )TKer
dc
ba
∈





. Por definição do núcleo de T, tem-se: 
( )000 ,,
dc
ba
T =





, 
ou seja, 
( ) ( )000352 ,,db,ca,cba =++−− , 
de onde vem que: 





=+
=+
=−−
0
0
0352
db
ca
cba
. 
Resolvendo-se esse sistema linear, obtêm-se: 





=
−=
−=
dc
db
da
. 
Assim: 
( ) ( )








ℜ∈∀=−==ℜ∈





= d,dcedba/M
dc
ba
TKer 2 , 
ou, equivalentemente, 
( ) ( )








ℜ∈ℜ∈




 −−
= d/M
dd
dd
TKer 2 . 
Encontrar-se-á uma base para esse espaço. 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
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Tomando-se um elemento ( )TKer
dd
dd
∈




 −−
, pode-se escrever: 





 −−
=




 −−
11
11
d
dd
dd
. 
Então, 













 −−
=
11
11
B é base de ( )TKer e, portanto, ( ) 1=TKerdim . 
Os elementos ( ) 3ℜ∈z,y,x que pertencem ao conjunto ( )TIm , pela própria definição de T, são 
do tipo ( )db,ca,cba ++−− 352 , onde a, b, c e d são os elementos da matriz 





dc
ba
. 
Para encontrar uma base para ( )TIm , escreve-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )100013105012352 ,,d,,c,,b,,adb,ca,cba +−+−+=++−− . 
Assim, ( ) ( ) ( ) ( ){ }100013105012 ,,,,,,,,,,,S −−= é um sistema de geradores para ( )TIm . Para 
encontrar uma base desse espaço, a partir desse sistema de geradores, conforme se viu 
anteriormente, constrói-se uma matriz com os vetores do conjunto de geradores e escalona-se 
a matriz. As linhas não nulas da matriz resultante do escalonamento serão vetores LI, os quais 
formarão a base procurada. Então: 














 →














 →














 →














−
− +−−+
+
000
200
250
012
100
200
250
012
100
050
250
012
100
013
105
012
432
1
3231
21
23
25
LLLLLL
LL
 
Então ( ) ( ) ( ){ }200250012 ,,,,,,,,'B = é base de ( )TIm e, portanto, ( ) 3=TImdim . 
2) Determinar um operador linear 33 ℜ→ℜ:T tal que ( ) ( ) ( )[ ]211112 ,,,,,TIm −= . 
Observe-se que os vetores ( )112 ,, e ( )211 ,,− são LI. Considere-se a base canônica { }321 e,e,e 
do 3ℜ e seja 33 ℜ→ℜ:T tal que ( ) ( )1121 ,,eT = , ( ) ( )2112 ,,eT −= e ( ) ( )0003 ,,eT = . Logo, 
tomando ( ) 3ℜ∈z,y,x , tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) 321100010001 zeyexe,,z,,y,,xz,y,x ++=++= . 
Então: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++=++=++= 321321321 ezTeyTexTzeTyeTxeTzeyexeTz,y,xT 
( ) ( ) ( ) ( )yx,yx,yx,,z,,y,,x 22000211112 +−+=+−+ . 
Assim, 
( ) ( )yx,yx,yxz,y,xT 22 +−+= . 
3) Seja 23 ℜ→ℜ:T a transformação linear definida por ( ) ( )zyx,yxz,y,xT +−+= 2 . 
(a) Determinar uma base e a dimensão de ( )TKer . 
Por definição, tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ){ }003 ,z,y,xT/z,y,xTKer =ℜ∈= . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
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Assim, ( )TKer é constituído dos vetores do 3ℜ da seguinte forma: 
( ) ( ) ( )002 ,zyx,yxz,y,xT =+−+= , 
ou seja, 



=+−
=+
02
0
zyx
yx
, 
de onde se conclui que xy −= e xz 3−= . Portanto, os vetores do 3ℜ que pertencem ao 
núcleo de T são da forma ( ) ℜ∈∀−− x,x,x,x 3 , isto é, 
( ) ( ){ } ( ){ } ( )[ ]3113113 −−=ℜ∈−−=ℜ∈−−= ,,x/,,xx/x,x,xTKer . 
Logo, ( ){ }311 −− ,, é uma base de ( )TKer e ( ) 1=TKerdim . 
(b) Determinar uma base e a dimensão de ( )TIm . 
Tem-se, por definição: 
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }ℜ∈+−+=ℜ∈+−+= z,y,x/,z,y,xz,y,x/zyx,yxTIm 1011212 . 
Assim, ( ) ( ) ( )[ ]101121 ,,,,,S −= é um sistema de geradores para ( )TIm . Para encontrar uma base 
desse espaço, a partir desse sistema de geradores, constrói-se uma matriz com os vetores do 
conjunto de geradores e escalona-se a matriz. As linhas não nulas da matriz resultante do 
escalonamento serão vetores LI, os quais formarão a base procurada. Então: 









 →










 →










 →










− −↔−
00
10
21
30
10
21
10
30
21
10
11
21
323221 3 LLLLLL 
Então ( ) ( ){ }1021 ,,,'B = é base de ( )TIm e, portanto, ( ) 2=TImdim . 
5 Operações com Transformações Lineares 
1) Adição 
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e WV:F → e WV:G → transformações 
lineares. Chama-se adição de F com G a aplicação WV:GF →+ tal que 
( )( ) ( ) ( ) Vv,vGvFvGF ∈∀+=+ . 
Propriedades: dadas as transformações lineares WV:F → , WV:G → e WV:H → , a 
operação de adição satisfaz as propriedades: 
a) Comutativa: FGGF +=+ 
b) Associativa: ( ) ( ) HGFHGF ++=++ 
c) Elemento Neutro: é a transformação linear nula WV:N → , definida por ( ) Vv,vN ∈∀= 0 , 
satisfazendo: FFNNF =+=+ . 
d) Elemento Oposto: considerada a transformação linear WV:F → , o elemento oposto da 
operação de adição é a transformação ( ) WV:F →− , definida por ( )( ) Vv,vvF ∈∀−=− , que 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
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satisfaz: ( ) ( ) NFFFF =+−=−+ . 
Proposição: Sejam: V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e WV:F → e WV:G → 
duas transformações lineares. Então GF + é uma transformação linear. 
Demonstração: 
Hipótese: F e G são transformações lineares 
Tese: GF + é transformação linear 
(a) Sejam u e v dois elementos de V. Tem-se, por definição, que: 
( )( ) ( ) ( )vuGvuFvuGF +++=++ 
Como, por hipótese, F e G são transformações lineares, pode-se escrever: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =+++=+++=++ vGuGvFuFvuGvuFvuGF 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )vGFuGFvGvFuGuF +++=+++= 
Assim, ( )( ) ( )( ) ( )( )vGFuGFvuGF +++=++ . 
(b) Sejam Vu ∈ e K∈α ; tem-se: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )[ ]uGFuGuFuGuFuGuFuGF +=+=+=+=+ ααααααα . 
De (a) e (b), conclui-se que GF + é uma transformação linear. 
2) Subtração 
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e WV:F → e WV:G → transformações 
lineares. Chama-se subtração das transformações F e G a aplicação WV:GF →− tal que 
( )( ) ( ) ( ) Vv,vGvFvGF ∈∀−=− . 
A subtração de F e G é a adição de F com a transformação oposta de G, ou seja, com G− ; 
assim, a subtração de F e G é obtida fazendo-se: 
( )GFGF −+=− 
É claro que esta operação satisfaz as mesmas propriedades da adição de transformações. 
Também é possível demonstrar que é verdadeira a proposição enunciada a seguir. 
Proposição: Sejam: V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e WV:F → e WV:G → 
duas transformações lineares. Então GF − é uma transformação linear. 
3) Multiplicação de uma transformação linear por um escalar 
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, WV:F → uma transformação linear e 
K∈α . Chama-se multiplicação da transformação F pelo número α a aplicação ( ) WV:F →α 
tal que ( )( ) ( ) Vv,vFvF ∈∀= αα . 
Propriedades: dadas as transformações lineares WV:F → e WV:G → e os escalares α e 
β , a operação de multiplicação por escalar satisfaz as propriedades: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
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a) ( ) ( ) ( )FFF αβαββα == 
b) ( ) GFGF ααα +=+ 
c) ( ) FFF βαβα +=+ 
d) FF =⋅1 
É possível demonstrar que é verdadeiro o resultado seguinte. 
Proposição: Sejam: V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, WV:F → e K∈α . Então 
Fα é uma transformação linear. 
4) Composição de Transformações Lineares 
Sejam: V, U e W espaços vetoriais sobre um corpo K e UV:F → e WU:G → 
transformações lineares. Chama-se transformação composta de G com F, denotada por FG o , 
a aplicação WV:FG →o , definida por: ( )( ) ( )( )vFGvFG =o , Vv ∈∀ . 
A representação gráfica é mostrada na Figura 17. 
 
FIGURA 17 
Assim, tem-se: 
 
FIGURA 18 
Observação: a composição de G com F, denotada por FG o , é lida G composta com F ou, 
então, G bola F. Não se trata, evidentemente, do produto de G por F, denotado por FG ⋅ . 
Além disso, tem-se, em geral, que ( )( ) ( )( )vGFvFG oo ≠ , ou seja, G composta com F é 
diferente, em geral, de F composta com G. Portanto, a composição de transformações lineares 
não é comutativa. 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
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Proposição: Sejam: V, U e W espaços vetoriais sobre um corpo K e UV:F → e WU:G → 
transformações lineares. Então, WV:FG →o é uma transformação linear. 
Demonstração: 
Hipótese: F e G são transformações lineares 
Tese: FG o é transformação linear 
(a) Sejam u e v dois elementos de V. Tem-se, por definição, que: 
( )( ) ( )( )vuFGvuFG +=+o . 
Como, por hipótese, F é uma transformação linear, pode-se escrever: 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )vFuFGvuFGvuFG +=+=+o . 
Por sua vez, G é uma transformação linear; então: 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )vFGuFGvFGuFGvFuFG oo +=+=+ 
Assim, ( )( ) ( )( ) ( )( )vFGuFGvuFG ooo +=+ . 
(b) Sejam Vu ∈ e K∈α ; tem-se: 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )uFGuFGuFGuFGuFG oo ααααα ==== 
De (a) e (b), conclui-se que FG o é uma transformação linear. 
Para o caso dos operadores lineares, são válidas as propriedades que se seguem. 
Propriedades: 
Sejam: V, um espaço vetorial sobre um corpo K; VV:F → , VV:G → e VV:H → 
operadores lineares. Então, são válidas as propriedades: 
a) Associativa: ( ) ( ) HGFHGF oooo = 
b) Elemento Neutro: é o operador linear identidade VV:Id → , definido por 
( ) Vv,vvId ∈∀= , satisfazendo: FFIdIdF == oo . 
c) Distributiva: 
- à esquerda: ( ) HFGFHGF ooo +=+ 
- à direita: ( ) FHFGFHG ooo +=+ 
d) Elemento Inverso: considerado o operador linear inversível VV:F → , o elemento inverso 
da composição de transformações é o operador VV:F →−1 tal que IdFFFF == −− oo 11 . 
Observação: as transformações lineares inversíveis serão estudadas no Capítulo 7. 
Exemplo: dadas as transformações lineares: 32 ℜ→ℜ:F , 23 ℜ→ℜ:G e 32 ℜ→ℜ:H , 
definidas por: 
( ) ( )x,yx,yxy,xF −+= , ( ) ( )zx,yxz,y,xG +−= e ( ) ( )yx,y,yxy,xH 22 +−= , determinar: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
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(a) HFR 23 += 
Tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yx,y,yxx,yx,yxy,xhy,xFy,xR 222323 +−+−+=+= 
( )yx,yx,yx 4537 +−+= 
(b) FG o 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )yx,yxyx,yxyxx,yx,yxGy,xFGy,xFG +=+++−+=−+== 22o 
(c) FFF o=2 
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) =−+=== x,yx,yxFy,xFFy,xFFy,xF o2 
( ) ( )yx,y,xyx,yxyx,yxyx +=++−+−++= 22 
Exercícios Propostos 
1) Seja ( )ℜnM o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n e B uma matriz fixa deste 
espaço. Mostrar que a aplicação ( ) ( )ℜ→ℜ nn MM:F , definida por: ( ) ( )ℜ∈∀= nMX,BXXF é 
um operador linear. 
2) Sabendo que T é um operador linear do 2ℜ tal que ( ) ( )1321 −= ,,T e ( ) ( )2110 ,,T = , 
determinar a expressão de ( )y,xT . R: ( ) ( )yx,yxy,xT 25 +−+= 
3) Considere-se a transformação linear definida por: 
( ) ( )tzx,tzyx,zyxt,z,y,xT −+−+−−+= 322 . 
Determinar uma base e a dimensão para ( )TIm e ( )TKer . 
R: Base de ( )TIm : ( ) ( ){ }110321 ,,,,, ; ( ) 2=TImdim 
 Base de ( )TKer : ( ) ( ){ }41013011 ,,,,,,, −− ; ( ) 2=TKerdim 
4) Determinar um operador do 3ℜ cujo núcleo é constituído pelos pontos da reta de equação 



=
=
0
2
z
xy
 
e cuja imagem é constituída pelos pontos do plano de equação 02 =++ zyx . 
R: ( ) ( )z,yx,zyxz,y,xT +−−−= 224 
5) Sendo ( ) ( )yx,yx,yxy,xT −+−= 23 e ( ) ( )zx,zyxz,y,xG −+−= 2 duas transformações 
lineares, determine a dimensão de ( )TGKer o e de ( )TGIm o . 
R: ( ) 0=TGKerdim o e ( ) 2=TGImdim o