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Matemática Superior - UVB
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Aula 07
Funções Marginais em Economia
Objetivos da Aula
Aplicar os fundamentos de derivadas, fazendo um estudo das 
teorias econômicas relativas as funções marginais: custo, receita, 
lucro e elasticidade da demanda.
Na Economia, costuma-se descrever a variação de uma quantidade y 
em relação a uma outra quantidade x, termos de dois conceitos, o de 
média e o de marginal. O conceito de média expressa a variação de 
y sobre uma faixa de valores de x. O conceito de marginal, por outro 
lado, refere-se à variação de y “na margem”, isto é, para variações 
muito pequenas de x ( x tendendo a zero) a partir de um dado valor.
A análise marginal é o estudo das taxas de variação das quantidades 
econômicas. Por exemplo, um economista está não apenas interessado 
no valor do produto interno bruto (PIB) de uma economia em um 
certo instante de tempo, mas também está igualmente preocupado 
com a taxa com a qual ele está aumentando ou diminuindo. Da 
mesma maneira, um produtor está não só interessado no custo total 
correspondendo ao um certo nível de produção de um bem, mas 
também está interessado na taxa de variação do custo total com 
relação ao nível de produção, e assim por diante. Vamos iniciar com 
um exemplo para explicar o significado do adjetivo marginal, tal como 
é usado pelos economistas.
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Funções Custo
Exemplo 1:
Suponha que o custo total semanal em dólares incorrido pela 
Companhia Polaraire para fabricação de x refrigeradores seja dado 
pela função custo total.
C(x) = 8000 + 200x – 0,2x 2 0 ≤ x ≤ 400)
a) Qual o custo total envolvido na fabricação do 251-ésimo 
refrigerador?
b) Determine a taxa de variação da função custo total com relação a 
x quando x = 250.
c) Compare os resultados obtidos nas partes (a) e (b).
Solução 
a) O custo atual envolvido na produção do 251-ésimo refrigerador 
é igual à diferença entre os custos de produção de 251 e 250 
refrigeradores:
C(251) – C(250) = [8000 + 200.(251) – 0,2.(251) 2] - [8000 + 200.(250) 
– 0,2.(250) 2]
C(251) – C(250) = 45.599,80 – 45.500
C(251) – C(250) = 99,8
ou seja de $ 99,80.
b) A taxa de variação do custo total C com relação a x é dada pela 
derivada de C, isto é, C’(x) = 200 – 0,4x. Assim, quando a produção é 
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de 250 refrigeradores, a taxa de variação do custo total com relação a 
x é dada por:
C’(250) = 200 – 0,4.(250)
C(250) = 100
ou seja, de $ 100,00.
c) A solução da parte (a) nos mostra que o custo envolvido na produção 
do 251-ésimo refrigerador é $ 99,80. Esta resposta é muito próxima da 
resposta dada na parte (b), de $ 100,00. Para ver porque, observe que 
a diferença C(251) – C(250) pode ser escrita na forma :
 
onde h = 1. Ou seja, a diferença C(251) – C(250) é dada exatamente 
pela taxa média da variação da função custo total C no intervalo [250 
, 251], ou, dito de outra forma, igual à declividade da reta secante que 
passa por (250 , 45.500) e (251 , 45.599,80). Note, porém, que C’(250) 
= 100 é igual à taxa de variação instantânea da função C em x = 250, 
ou, equivalente, igual à declividade da reta tangente ao gráfico de C 
no ponto x = 250.
Note que h é pequeno, a taxa média de variação da função C é uma 
boa aproximação para a taxa de variação instantânea da função C, ou, 
dito de outra maneira a declividade da reta secante que passa pelos 
pontos mencionados é uma boa aproximação da declividade da reta 
tangente que passa pelo ponto em questão. Assim, podemos esperar 
que:
 
 
que é exatamente o que acontece neste exemplo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
ChCCCCC 250250
1
2501250
1
250251 −+=−+=−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
ChCCC
CC
250250
1
250251
250251
−+=−=− 
 
( ) ( )=−+≈
→ h
ChC
h
250250
lim
0
( )250'=C 
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O custo real envolvido na produção de uma unidade adicional de 
um certo bem por uma fábrica que já opera com um certo nível de 
produção é chamado de custo marginal. O valor deste custo é muito 
importante para a gerência e suas tomadas de decisões. Como vimos 
no Exemplo 1, o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa 
de variação da função custo total em um ponto apropriado. Por esta 
razão, os economistas definiram a função custo marginal como sendo 
a derivada da função custo total correspondente. Em outras palavras, 
se C é a função custo total, então a função custo marginal é definida 
como sendo sua derivada C’. Assim, o adjetivo marginal é sinônimo de 
derivada de.
Exemplo 2:
Uma subsidiária da Companhia Eletrônica Elektra fabrica uma 
calculadora de bolso programável. A gerência determinou que o custo 
total diário (em dólares) para produzir essas calculadoras é dado por
C(x) = 0,0001x 3 – 0,08x 2 + 40x + 5000
onde x é igual ao número de calculadoras produzidas.
a) Determine a função custo marginal.
b) Qual é o custo marginal quando x = 200, 300, 400 e 600?
c) Interprete seus resultados
Solução 
a) A função custo marginal C’ é dada pela derivada da função custo 
total C. Assim, 
C = (x) = 0,0003x 2 – 0,16x + 40
b) O custo marginal quando x = 200, 300, 400 e 600 é dado por
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C’(200) = 0,0003.(200) 2 – 0,16.(200) + 40 = 20
C’(300) = 0,0003.(300) 2 – 0,16.(300) + 40 = 19
C’(400) = 0,0003.(400) 2 – 0,16.(400) + 40 = 24
C’(600) = 0,0003.(600) 2 – 0,16.(600) + 40 = 52
ou seja, $20,00; $19,00; $ 24,00 e $ 52,00; respectivamente.
 
c) Dos resultados da parte (b),vemos que o custo real da Companhia 
Elektra para produzir a 201-ésima calculadora é aproximadamente 
igual a $20,00. O custo real envolvido na produção de uma calculadora 
adicional quando o nível de produção já é de 300 calculadoras 
é aproximadamente igual a $19,00, e assim por diante. Observe 
que quando o nível de produção já é de 600 unidades, o custo de 
produção de uma unidade adicional é de aproximadamente $52,00. 
O custo mais elevado para produzir esta unidade adicional quando 
o nível de produção é de 600 unidades pode ser o resultado de 
vários fatores, entre eles, custos excessivos com horas extras e com 
manutenção, quebra de produção causada por estresse e por fadiga 
do equipamento e assim por diante. O gráfico da função custo total 
está mostrado na figura abaixo.
 y
x100
10.000
20.000
30.000
300 500 700
y = C(x)
O custo para produzir x calculadoras é dado por C(x).
 
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Funções Custo Médio
Veremos agora outro conceito marginal fortemente relacionado com 
o custo marginal. Seja C(x) o custo total envolvido na produção de x 
unidades de certo bem. O custo médio para produzir x unidades do 
bem é obtido dividindo o custo total de produção pelo número de 
unidades produzidas. Isto nos conduz à seguinte definição:
Suponha que C(x) seja a função custo total, então a função custo 
médio, denota por (leia-se “C barra de x”), é 
 
A derivada da função custo médio, chamada de função custo 
médio marginal, mede a taxa de variação da função custo médio com 
relação ao número de unidades produzidas.
Exemplo 3:
O custo total (em dólares) para produzir x unidades de um certo bem 
é dado por
C’(x) = 400 + 20x
a) Determine a função custo médio .
b) Determine a função custo médio marginal .
c) Interprete os resultados obtidos nas partes (a) e (b).
Solução 
( )xC___
( )
x
xC
( )xC___
___
C
___
C
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a)A função custo médio é dada por
b) A função custo médio marginal é igual a 
 
c) Como a função custo médio marginal é negativa para todos os 
valores admissíveis de x, a taxa de variação da função custo médio 
é negativa para todo x > 0, isto é, ( )xC
___
 diminui quando x aumenta. 
Entretanto, o gráfico de 
___
C está sempre acima da reta horizontal y = 
20, mas se aproxima desta reta, pois
 
 
Um esboço do gráfico da função ( )xC
___
 é mostrado ao lado. Este 
resultado é de esperar se considerarmos as implicações econômicas. 
Note que quando o nível de produção aumenta, o custo fixo por 
unidade de produção, representado pelo termo (400/x), diminui 
acentuadamente. O custo médio se aproxima do custo constante de 
uma unidade de produção, que é de $ 20,00 neste caso.
y
x20
20
60
100
60 100
y = C(x) = 20 + ____x
400
y = 20
_
Quando o nível de produção aumenta, o custo médio se aproxima de 
$ 20,00.
( ) ( ) =+==
x
x
x
xC
xC
20400___
x
400
20+ 
( )
2
___ 400
'
x
xC −=
( ) =



 += ∞→∞→ x
xC
xx
400
20limlim
___
20 
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Exemplo 4:
Consideremos mais uma vez a subsidiária da Companhia Eletrônica 
Elektra. O custo total diário para produzir calculadoras programáveis 
é de
C(x) = 0,0001x 3 – 0,08x 2 + 40x + 5000
dólares, onde x denota o número de calculadoras produzidas (veja o 
exemplo 2).
a) Determine a função custo médio 
___
C .
b) Determine a função custo médio marginal 
___
C ’ . Calcule 
___
C ’ (500) 
.
c) Esboce o gráfico da função 
___
C e interprete os resultados obtidos 
nas partes (a) e (b).
Solução 
a) A função custo médio é dada por
b) A função custo médio marginal é dada por 
Desta forma, 
 
c) Para esboçar o gráfico da função 
___
C , observe que se x é um 
número positivo pequeno, então ( )xC
___
 > 0. Além disto, ( )xC
___
 se torna 
arbitrariamente grande quando x se aproxima de zero pela direita, 
pois o termo (500/x) se torna arbitrariamente grande quando x se 
aproxima de zero. O resultado obtido na parte (b) nos 
diz que a reta tangente ao gráfico da função é horizontal no ponto 
(500,35) do gráfico. Podemos esboçar este gráfico (como mostra na 
( ) ( )
x
xx
x
xC
xC
5000
4008,00001,0 2
___
++−==
( )
2
___ 5000
08,00002,0'
x
xxC −−=
( ) ( ) ( ) =−−⋅= 2
___
500
5000
08,05000002,0500'C 0 
( ) 0500'___ =C
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figura ao lado) plotanto os pontos do gráfico que correspondem aos 
valores de x iguais a x = 100, 200, 300 . . . , 900. Como era de esperar o 
custo médio decai quando o nível de produção aumenta. Mas neste 
caso, em contraste com o caso do exemplo 3, o custo médio alcança 
um valor mínimo de $ 35,00, correspondendo ao nível de produção 
de 500 unidades, para depois aumentar.
 
y
x200
20
40
60
400 600 800 1000
80
100
y = C(x)
(500 , 35)
_
O custo médio alcança um mínimo de $ 35,00 quando são produzidas 
500 calculadoras.
Este fenômeno é típico de situações onde o custo marginal aumenta a 
partir de um ponto, quando a produção aumenta, como no exemplo 2. 
Esta situação se diferencia daquela do exemplo 3, onde a função custo 
marginal permanece constante para qualquer nível de produção.
Exemplo 5
Considere a função custo total
C(x) = 20 + 2x + 0,5x², onde C(x) denota o custo total e x a quantidade 
produzida. Determine o custo médio, o custo marginal, esboce o 
gráfico e faça uma análise.
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Solução:
O custo médio é dado por 
O custo total marginal é dado pela derivada do custo total ( C’(x) ), 
então:
C(x) = 20 + 2x + 0,5x²
C’(x) = 2 + x
Gráfico Custo total x Produção
C(x) = 20 + 2x + 0,5x²
C(x)
X
 Gráfico custo marginal x Produção
C’(x) = 2 + x
C'(x)
X
( ) ( ) x
xx
x
x
x
xx
xx
x
xC
xC 5,02
205,02205,0220 22___ ++=++=++==
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Gráfico custo médio x Produção
C(x)
x
X
Portanto, o custo total aumenta à medida que a produção aumenta; 
o custo médio por unidade diminui e, então, logo aumenta, à medida 
que a produção aumenta; e o custo marginal (taxa de aumento no 
custo total) aumenta à medida que a produção aumenta. 
Funções Receita
Outro conceito marginal, a função receita marginal, está associado 
com a função receita R, dada por
 
onde x é o número de unidades vendidas de um certo bem e p é o 
preço unitário de venda. Geralmente, no entanto, o preço unitário de 
venda p de um bem está relacionado com a quantidade de bens x 
vendida. Esta relação, p = f(x), é chamada de equação de demanda. 
Resolvendo a equação para p em termos de x, obtemos a função 
preço unitário f, dada por
 
( ) x
x
xC 5,02
20___ ++=
( ) pxxR =
( )xfp =
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Assim, a função receita R é dada por
onde f é a função preço unitário. A derivada R’ da função R, chamada 
de função receita marginal, mede a taxa de variação da função 
receita.
Exemplo 6:
Suponha que a relação entre o preço unitário p em dólares e 
quantidade demandada x do sistema de caixas de som Acrosonic é 
dada pela equação 
p = - 0,02x + 400 (0 ≤ x ≤ 20.000)
a) Determine a função receita R.
b) Determine a função receita marginal R’.
c) Calcule R’(2000) e interprete seus resultados.
Solução . 
a) A função receita R é dada por
R(x) = px = x.(-0,02x + 400) = - 0,02x 2 + 400x (0 ≤ x ≤ 20.000)
b) A função receita marginal R’ é dada por
R’(x) = -0,04x + 400
c) R’(2000) = -0,04.(2000) + 400 = 320
Assim, a receita real obtida na venda do 2001-ésimo sistema de caixas 
de som é de aproximadamente $ 320,00.
( ) ( )xxfpxxR ==
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Funções Lucro
Nosso último exemplo de função marginal é a função lucro. A função 
lucro P é dada por
P(x) = R(x) - C(x)
onde R e C são as funções receita e custo, e x é o número de unidades 
do bem produzidas e vendidas.
A função lucro marginal P’(x) mede a taxa de variação da função lucro 
P e nos fornece uma boa aproximação do lucro ou da perda real num 
momento da venda da (x + 1)-ésima unidade do bem (assumindo 
que a x-ésima unidade já tenha sido vendida).
Exemplo 7:
Reporte-se ao exemplo 5. Suponha que o custo de produção de x 
unidades do sistema de caixas de som Acrosonic seja de 
C(x) = 100x + 200.000 dólares
a) Determine a função lucro P.
b) Determine a função lucro marginal P’.
c) Calcule P’(2000) e interprete os seus resultados.
d) Esboce o gráfico da função P.
Solução 
a) Da solução do exemplo 5 (a) temos que
R(x) = - 0,02x 2 + 400x
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Assim, a função lucro desejada P é dada por
P(x) = R(x) – C(x)
P(x) = (-0,02x 2 + 400x) – (100x + 200.000) = - 0,02 2 + 300x – 200.000
b) A função lucro marginal P’ é dada por
P’(x) = - 0,04x + 300
c) P’(2000) = - 0,04(2000) + 300 = 220
Assim, o lucro real realizado na venda do 2001-ésimo sistema de caixas 
de som é de aproximadamente $ 220,00.
d) O gráfico da função lucro P está na figura abaixo.
 
 y
x2 4 6
200
400
600
800
-200
1000
108 161412
M
ilh
ar
es
de
dó
la
re
s
Milhares de unidades
y = P(x)
O lucro total obtido pela venda de x sistemas de caixas de som é dado 
por P(x).
 
Elasticidade da Demanda
Finalmente, vamos usar os conceitos marginais introduzidos nesta 
seção para obter um importante critériousado pelos economistas 
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para analisar a função de demanda: a elasticidade da demanda.
No argumento que se segue, será conveniente escrever a função de 
demanda f na forma x = f(p), isto é, vamos pensar na quantidade 
demandada de um certo bem como uma função de seu preço 
unitário. Como a quantidade demandada de um bem em geral 
decresce quando seu preço unitário aumenta, temos que a função f é 
tipicamente uma função decrescente de p (figura a).
p
f(p)
(a) Uma função demanda.
f(p)
pp p + h
f(p + h)
f(p)
(b) f(p + h) é a quantidade quando o preço unitário aumenta de p para 
p + h dólares.
Suponha que o preço unitário de um bem aumente h dólares de p 
dólares para (p + h) dólares (figura b). A quantidade demandada cai 
de f(p) unidades para f(p + h) unidades, isto é, uma variação de [f(p + 
h) – f(p)] unidades. A variação percentual no preço unitário é igual a 
( )100
p
h ( )100 
 Preço
 




p
Variação de preço unitário
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e a variação correspondente da quantidade demanda é igual a
Uma boa maneira para medir o efeito que uma variação percentual 
de preços produz na variação percentual da quantidade demandada, 
é olhar para a razão entre esta última variação e a primeira delas. 
Encontramos
 
Se f é diferenciável em p, então
quando h é pequeno.
Assim, se h é pequeno, a razão é aproximadamente igual a
 
Economistas chamam o negativo desta quantidade de elasticidade da 
demanda.
Observação:
Mostraremos mais adiante que se f é decrescente em um intervalo, 
então f’(p) < 0 para p neste intervalo. A explicação deste fato: vemos 
( ) ( )
( ) 


 −+
pf
pfhpf
 100 ( )100 
 preço pelo demandada Quantidade
demandada quantide da Variação




p
 
( ) ( )[ ]=−+=
p
h
pfhpf
100
100
unitário preço do percentual Variação
demandada quantidade da percentual Variação
( ) ( )
( )
p
pf
h
pfhpf −+
 ( ) ( )≈−+
h
pfhpf ( )pf ' 
( )
( )
( )
( )pf
ppf
p
pf
pf '' =
 Se f é u ma f unção demanda diferenciável definida por x = f(p), então a 
elasticidade da demanda para o preço p é dada por 
 
( ) ( )( )pf
ppf
pE
'−= 
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que p e f(p) são positivos, a quantidade é negativa. Como os 
economistas preferem trabalhar com um valor positivo, a elasticidade 
da demanda E(p) é definida como o negativo desta quantidade.
Exemplo 7:
Considere a equação de demanda 
P = - 0,02x + 400 (0 ≤ x ≤ 20.000)
que descreve a relação entre o preço unitário em dólares e a quantidade 
demandada x do sistema de caixas de som Acrosonic.
a) Determine a elasticidade da demanda E(p).
b) Calcule E(100) e interprete o resultado.
c) Calcule E(300) e interprete o resultado.
Solução 
a) Resolvendo a equação de demanda dada para x em termos de p, 
encontramos
b) , que é a elasticidade da demanda 
quando p = 100. Para interpretar este resultado, lembramos que E(100) 
é o negativo da razão entre a variação percentual da quantidade 
demandada e a variação percentual do preço unitário quando p = 100. 
( )
( )pf
ppf '
( ) 000.2050 +−== ppfx 
de onde vemos que 
( ) 50' −=pf 
Assim, 
( ) ( )( )
( ) =
+−
−−==
000.2050
50'
p
p
pf
ppf
pE
p
p
−400 
( ) =
−
=
100400
100
100E
3
1
 
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Desta forma, nosso resultado nos mostra que quando o preço unitário 
p de um sistema de caixas de som é de $ 100,00, então um aumento 
de 1% no preço unitário irá causar um aumento de aproximadamente 
0,33% na quantidade demandada.
c) , que é a elasticidade da demanda 
quando p = 300. O resultado nos diz que quando o preço unitário 
do sistema de caixas de som é de $ 300,00, um aumento de 1% no 
preço unitário irá causar um decréscimo de aproximadamente 3% na 
quantidade de demanda.
Economistas usam freqüentemente a seguinte terminologia para 
descrever em termos da elasticidade.
A demanda é dita elástica se E(p) > 1.
A demanda é dita unitária se E(p) = 1.
A demanda é dita inelástica se E(p)< 1.
Como uma ilustração, os cálculos do exemplo 7 mostraram que a 
demanda pelos sistemas de som Acrosonic é elástica quando 
 p = 300, mas inelástica quando p = 100. Estes cálculos confirmam 
que quando a demanda é elástica, uma pequena variação percentual 
no preço unitário irá resultar em uma grande variação percentual 
da quantidade demandada; e quando a demanda é inelástica, uma 
pequena variação percentual no preço unitário irá causar uma 
pequena variação percentual da quantidade demandada. Finalmente, 
quando a demanda é unitária, uma pequena variação percentual no 
preço unitário irá causar uma igual variação percentual da quantidade 
demandada. 
Podemos descrever a maneira pela qual a receita reage a variações 
no preço unitário usando a noção de elasticidade. Se a quantidade 
demandada de um certo bem se relaciona com seu preço unitário 
( ) =
−
=
300400
300
300E 3 
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pela equação x = f(p), então a receita obtida pela venda de x unidades 
do bem a um preço de p dólares é igual a
R(p) = px = pf(p)
A taxa de variação da receita com relação ao preço unitário é dada 
por
R’(p)= f(p) + pf’(p)
 
Assim, suponha que a demanda seja elástica quando o preço unitário 
é de a dólares. Neste caso E(a) > 1, e então 1 - E(a) < 0. Como f(p) é 
positiva para todos os valores de p, vemos que
R’(a) = f(a).[1 - E(a)] < 0
e, portanto, R(p) é decrescente quando p = a. Isto implica que um 
pequeno aumento do preço unitário quando p = a resulta em uma 
diminuição da receita, ao passo que um pequeno decréscimo do preço 
unitário irá resultar em um aumento da receita. Semelhantemente, 
podemos mostrar que se a demanda é inelástica quando o preço 
unitário é de a dólares, então um pequeno aumento do preço unitário 
irá causar um aumento da receita, e um pequeno decréscimo do 
preço unitário irá resultar em um decréscimo da receita. Finalmente, 
se a demanda é unitária quando o preço unitário é de a dólares, 
então E(a) = 1 e R’(a) = 0. Isto significa que um pequeno aumento 
ou decréscimo do preço unitário não irá provocar uma mudança na 
receita. As afirmações que se seguem resumem esta discussão.
1º) Se a demanda é elástica em p (E(p) > 1), então um pequeno aumento 
do preço unitário resulta em uma diminuição da receita, ao passo que 
um pequeno decréscimo do preço unitário irá causar um aumento da 
receita.
( ) ( ) ( )( ) =


 +⋅=
pf
ppf
pfpR
'
1' ( ) ( )[ ]pEpf −1 
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2º) Se a demanda é inelástica em p (E(p) < 1), então um pequeno 
aumento do preço unitário resulta em um aumento da receita, o passo 
que uma diminuição do preço unitário irá causar um decréscimo da 
receita.
3º) Se a demanda é unitária em p (E(p) = 1), então m pequeno aumento 
do preço unitário não produz nenhuma variação da receita.
Estes resultados estão ilustrados na figura abaixo.
 
E(p) = 1
E(p) > 1E(p) < 1
inelástica
Demanda Demanda
elástica
y = R(p)
y
p
A receita aumenta em um intervalo onde a demanda é inelástica, 
diminui em um intervalo onde a demanda é elástica e fica estacionária 
no ponto onde a demanda é unitária.
 
 Observação:
 
Como um auxílio para lembrar destes conceitos, note o seguinte:
1.) Se a demanda é elástica, então a variação da receita e a variação do 
preço unitáriose movem em direções opostas.
2.) Se a demanda é inelástica, então elas se movem na mesma 
direção.
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Exemplo 8:
 Reporte-se ao exemplo 7.
a) A demanda é elástica, unitária ou inelástica quando p = 100? E 
quando p = 300?
b) Se o preço é $ 100,00, então um pequeno aumento do preço 
unitário produz um aumento ou uma diminuição da receita?
Solução 
a) Dos resultados do exemplo 7 vemos que e que . De acordo com 
estes resultados, concluímos que a demanda é inelástica quando 
p = 100 e elástica quando p = 300.
b) Como a demanda é inelástica para p = 100, então um pequeno 
aumento do preço unitário irá provocar um aumento da receita.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: 
Thomson, 2001.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: 
Harbra,1988.
WEBER, JEAN E. Matemática Para Economia e Administração: São Paulo: 
Harbra, 1977.