pontos críticos e máximos e mínimos

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Aula 11
Pontos Críticos e Aplicações da 
Derivada
Objetivos da Aula
Fazer o estudo da variação de uma função por meio das derivadas, 
determinando os intervalos nos quais ela é crescente ou 
decrescente, os seus extremos, os pontos de inflexão e também 
mostrar algumas aplicações do cálculo de máximos e mínimos 
na resolução de problemas de otimização relacionados à área 
econômica e administrativa.
Funções Crescentes e Decrescentes
Uma função é crescente em um intervalo (a , b) se para quaisquer 
dois números e em (a , b), ( ) < que ( ), sempre que
 < (figura 1 abaixo).
Uma função é decrescente em um intervalo (a , b), se para quaisquer 
dois números e em (a , b), ( ) > f ( ), sempre que
 < (figura 2 abaixo).
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Dizemos que f é crescente em um ponto c se existe um intervalo (a 
, b) contendo c tal que f é crescente em (a , b). semelhantemente, 
dizemos que f é decrescente em um ponto c se existe um intervalo (a 
, b) contendo c tal que f é decrescente em (a , b).
Como a taxa de variação de uma função em um ponto x = c é dada pela 
derivada da função naquele ponto, a derivada presta-se naturalmente 
para ser uma ferramenta na determinação dos intervalos, onde uma 
função diferenciável é crescente ou decrescente. De fato, a derivada 
de uma função em um ponto mede não só a declividade da reta 
tangente ao gráfico da função naquele ponto, como também a taxa 
de variação da função no mesmo ponto. Na verdade, em um ponto 
onde a derivada é positiva, a declividade da reta tangente ao gráfico 
é positiva e a função é crescente. Em um ponto onde a derivada é 
negativa, a declividade da reta tangente ao gráfico é negativa e a 
função é decrescente (figura abaixo).
Essas observações conduzem-nos ao seguinte teorema importante:
a) Se f ‘(x) > 0 para cada valor de x em um intervalo (a , b), então f 
é crescente em (a , b).
b) Se f ‘(x) < 0 para cada valor de x em um intervalo (a , b), então f 
é decrescente em (a , b).
c) Se f ‘(x) = 0 para cada valor de x em um intervalo (a , b), então f 
é constante em (a , b).
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Exemplo 1:
Determine o intervalo onde a função f (x) = é crescente e o intervalo 
onde é decrescente.
Determinando os Intervalos onde uma Função é 
Crescente ou Decrescente
1) Determine todos os valores de x para os quais f ‘(x) = 0 ou f ‘ é 
descontínua e identifique os intervalos abertos determinados por 
estes pontos.
2) Escolha um ponto teste c em cada intervalo encontrado no passo 
1 e determine o sinal de f ‘(c) naquele intervalo.
a) Se f ‘(c) > 0, f é crescente naquele intervalo.
b) Se f ‘(c) < 0 f é decrescente naquele intervalo.
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Exemplo 2:
Determine os intervalos onde a função 
é crescente e onde é decrescente.
Solução:
1. A derivada de f é
e é contínua em todos os pontos. os zeros de f ‘(x) são x = -2 e x = 4, 
e estes pontos dividem a reta nos intervalos
2. Para determinar o sinal de f ‘(x) nos intervalos
, calcule f (x) em um ponto teste conveniente em cada intervalo. Os 
resultados estão mostrados na seguinte tabela:
Usando esses resultados, obtemos o diagrama de sinais mostrado na 
figura 1 abaixo. Concluímos que f é crescente nos intervalos 
e é decrescente no intervalo (-2 , 4). A figura 2 mostra o gráfico de f.
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Máximos e Mínimos
Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são 
os problemas de otimização, em que devemos encontrar a maneira 
ótima (melhor maneira) de fazer alguma coisa.
Veremos agora a definição de máximo e mínimo absoluto.
Definição 
Uma função f tem máximo absoluto em c se f (c) f (x) para todo x 
em D, onde D é o domínio de f. O número f (c) é chamado de valor 
máximo de f em D. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em c 
se f (c) f (x) para todo x em D, e o número f (c) é chamado de valor 
mínimo de f em D. Os valores máximo e mínimo de f são chamados 
de valores extremos de f.
Valor mínimo f (a)
Valor máximo f (d)
Na figura acima, se considerarmos somente os valores de x próximos 
de b [por exemplo, se restringirmos nossa atenção ao intervalo (a , 
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c)], então f (b) é o maior desses valores de f (x) e é chamado de valor 
máximo local de f. Da mesma forma, f (c) é chamado de valor mínimo 
local de f, pois f (c) que f (x) para x nas proximidades de c [no intervalo 
(b , d), por exemplo]. A função f tem também um mínimo local em e. 
Portanto, teremos a seguinte definição.
Definição 
Uma função f tem um máximo local em c se f (c) f (x) quando x 
estiver nas proximidades de c. Isso significa que f (c) f (x) para todo 
x em algum intervalo aberto contendo c. Analogamente, f tem um 
mínimo local em c se f (c) f (x) quando x estiver nas proximidades 
de c.
Exemplo 1:
 Se f (x) = x 2, então f (x) f (0), pois x 2 0 para todo x. Portanto, f (0) 
= 0 é o valor mínimo absoluto de f . Isso corresponde ao fato de que a 
origem é o ponto mais baixo sobre a parábola y= x 2 (veja a figura ao 
lado). Porém a, não há um ponto mais alto sobre a parábola e dessa 
forma a função não tem um valor máximo.
Exemplo 2:
O gráfico da função 
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está mostrado na figura ao lado. você pode ver que f (1) = 5 é um 
máximo local, enquanto o máximo absoluto é f (-1) = 37. Esse máximo 
absoluto não é um máximo local pois ocorre no extremo de intervalo. 
Também f (0) = 0 é um mínimo local, e f (3) = -27 é tanto um mínimo 
local como um mínimo absoluto. Note que em x = 4, f não tem um 
máximo local nem um máximo absoluto.
Vimos que algumas funções têm valores extremos, ao contrário de 
outras. O teorema a seguir dá condições para garantir que uma função 
tenha valores extremos.
Teorema do Valor Extremo
Se f for contínua em um intervalo fechado [a , b], então f assume 
um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em 
algum número c e d em [a , b].
O Teorema do Valor Extremo está ilustrado na figura abaixo. Note que 
um valor extremo pode ser assumido mais de uma vez.
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O Teorema do Valor Extremo afirma que uma função contínua em um 
intervalo fechado tem um valor máximo e um mínimo, mas não diz 
como encontrar estes valores extremos. Vamos começar por examinar 
valores extremos locais.
A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f com o máximo local 
em c e o mínimo local em d. Parece que nos pontos de máximo e 
de mínimo as retas tangentes são horizontais e portanto cada uma 
tem inclinação zero. Sabemos que a derivada é a inclinação da reta 
tangente; assim, parece que o f ‘(c) = 0 e f ‘(d) = 0. 
Ponto Crítico de f
Um ponto crítico de uma função f é qualquer ponto x no domínio 
de f tal que f ‘(x) = 0 ou f ‘(x) não exista.
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A figura abaixo apresenta o gráfico de uma função que possui pontos 
críticos em x = a, b, c, d e e. Observe que f ‘(x) = 0 em x = a, b e c. 
Depois, uma vez que existe um canto em x = d, f ‘(x) não existe neste 
ponto. Finalmente, f ‘ (x) não existe em x = e porque neste ponto a 
reta tangente é vertical. Além disso observe que os pontos críticos x 
= a, b e d dão origem a extremos relativos de f, enquanto os pontos 
críticos x = c e x = e não.
A figura abaixo mostra os pontos críticos e f.
Tendo definido o que é um ponto crítico, podemos agora apresentarum procedimento formal para encontrar os extremos relativos de 
uma função contínua diferenciável em todos os pontos exceto em 
alguns valores isolados de x. Incorporado a este procedimento está 
o chamado teste da primeira derivada, que nos ajuda a determinar se 
um ponto da origem a um máximo ou mínimo relativo da função f.
Procedimento para encontrar Extremos 
Relativos (O Teste da Primeira Derivada)
1º) Determine os pontos críticos de f.
2º) Determine o sinal de f ‘(x) à esquerda e à direita de cada 
ponto crítico. 
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a) Se f ‘(x) muda o sinal de positivo para negativo quando nos 
movemos através do ponto crítico x = c, então f ‘(c) é um máximo 
relativo.
b) Se f ‘(x) muda o sinal de negativo para positivo quando nos 
movemos através do ponto crítico x = c, então f ‘(c) é um mínimo 
relativo.
c) Se f ‘(x) não muda de sinal quando nos movemos através do ponto 
crítico x =c, então f ‘(c) não é um extremo relativo.
Exemplo 1:
Encontre os máximos e mínimos relativos da função 
Solução:
A derivada de é dada por f ‘(x) = 2x. Fazendo f ‘(x) = 0, temos 
x = 0 como o único ponto crítico de f. Uma vez que
Verificamos que f ‘(x) muda de sinal de negativo para positivo quando 
nos movemos através do ponto crítico x = 0. Logo, concluímos que f 
(0) = 0 é um mínimo relativo de f. 
Veja a figura abaixo.
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Exemplo 2:
Encontre os máximos e mínimos relativos da função 
Solução:
A derivada de f é
e é contínua em toda parte. Os zeros de f ‘(x), x = -2 e x = 4 são os únicos 
pontos críticos da função f. O diagrama de sinais de f ‘ é mostrada na 
figura abaixo. Examine os dois pontos críticos x = -2 e x = 4 para um 
extremo relativo usando o teste da primeira derivada e o diagrama de 
sinais para f ‘ :
Diagrama de sinais para f ‘
1º) O ponto crítico x = -2: Uma vez que a função f ‘(x) muda o sinal 
de positivo para negativo quando passamos por x = -2 da esquerda 
para direita, concluímos que um máximo relativo de f ocorre em x = 
-2. O valor de f (x) quando x = -2 é 
2º) O ponto crítico x = 4: f ‘(x) muda de sinal de negativo para 
positivo quando passamos por x = 4 da esquerda para direita; logo, f 
(4) = -48 é um mínimo relativo de f. 
O gráfico de f aparece na figura abaixo.
 
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f tem máximo relativo em x = -2 e um mínimo relativo em x = 4.
Aplicação
A função lucro da Companhia Acrosonic é dada por
dólares, onde x é o número de sistemas de som Acrosonic modelo 
F produzidos. Encontre onde a função P é crescente e onde é 
decrescente.
Solução:
 
A derivada P’ da função P é
P’(x) = -0,04x + 300 = -0,04.(x - 7500)
Logo, P’(x) = 0 quando x = 7500. Além disso, P’(x) > 0 para x no intervalo 
(0 , 7500), e P’(x) < 0 para x no intervalo (7500 , ). Isto significa que a 
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a função P é crescente em (0 , 7500) e decrescente em (7500 , �), como 
mostra a figura ao lado.
Concavidade de uma Função f
Seja uma função f diferenciável no intervalo (a , b). Então:
1) f é côncava para cima em (a , b) se f ‘ é crescente em (a , b).
2) f é côncava para baixo em (a , b) se f ‘ é decrescente em (a , b).
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Geometricamente, uma curva é côncava para cima se está acima 
de suas retas tangentes (figura 1 acima). De maneira similar, uma 
curva é côncava para baixo se está abaixo de suas retas tangentes 
(figura 2 acima).
Também dizemos que f côncava para cima em um ponto x = c se 
existe um intervalo (a , b) contendo c no qual f é côncava pra cima. 
De maneira semelhante dizemos que f côncava para baixo em um 
ponto x = c se existe um intervalo (a , b) contendo c no qual f é 
côncava para baixo.
Se uma função f tem segunda derivada f ‘’, podemos usar f ‘’ para 
determinar os intervalos de concavidade da função. Lembre-se de 
que f ‘’(x) mede a taxa de variação da inclinação f ‘(x) da reta tangente 
ao gráfico de f no ponto (x , f (x)). Logo, se f ‘’(x) > 0 em um intervalo 
(a , b), então as inclinações das retas tangentes ao gráfico de f são 
crescentes em (a , b), e então f é côncava para cima em (a , b). De 
modo semelhante, se f ‘’(x) < 0 em (a , b), então f é côncava para baixo 
em (a , b). Essas observações sugerem o seguinte teorema:
a) Se f ‘’(x) > 0 para cada valor de x em (a , b), então f é côncava para 
cima em (a , b).
b) Se f ‘’(x) < 0 para cada valor de x em (a , b), então f é côncava para 
baixo em (a , b).
Exemplo 1:
Determine onde a função é côncava para 
cima e onde é côncava para baixo.
Solução:
Neste caso,
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e f ‘’ é definida em toda parte. Fazendo f ‘’(x) = 0 temos x = 1. O 
diagrama de sinais de f ‘’ aparece na figura ao lado. Concluímos que 
f é côncava para baixo no intervalo (- , 1) e é côncava para cima no 
intervalo (1 , ). A figura abaixo mostra o gráfico de f .
Ponto de Inflexão
Um ponto no gráfico de uma função diferenciável f no qual a 
concavidade muda é chamado um ponto de inflexão. 
 
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O procedimento a seguir pode ser usado para encontrar pontos 
de inflexão.
1) Calcule f ‘’(x).
2) Determine os pontos no domínio de f para os quais f ‘’(x) = 0 ou 
f ‘’(x) não existe
3) Determine o sinal de f ‘’(x) à esquerda e à direita de cada ponto x 
= c encontrado no passo 2. Se houver uma mudança no sinal de f 
‘’(x) quando passamos pelo ponto x = c, então (c , f(c)) é um ponto 
de inflexão de f.
Exemplo 1:
Encontre os pontos de inflexão da função 
Solução:
 
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Observe que f ‘’ é contínua em toda a parte e é zero se x = 0. No 
diagrama de sinais de f ‘’ vemos que f ‘’(x) muda de sinal quando 
passamos por x = 0. Logo, (0 , 0) é um ponto de inflexão da função f 
como é mostrado no gráfico abaixo.
Aplicação
O total de vendas S (em milhares de dólares) da Artic Air Corporation, 
um fabricante de ar condicionado para automóveis, relaciona-se com 
a quantidade de dinheiro x (em milhares de dólares) que a companhia 
gasta anunciando seus produtos pela fórmula
Encontre o ponto de inflexão de S.
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Solução:
 
As duas primeiras derivadas de S são dadas por
As duas primeiras derivadas de S são dadas por
Fazendo S’’ = 0 temos x = 50 como único candidato para ponto de 
inflexão de S. Além disso, uma vez que
S’’ > 0 para x < 50
S’’ < 0 para x > 50
o ponto (50 , 2700) é um ponto de inflexão da função S. O gráfico de 
S aparece na figura abaixo.
O teste da segunda derivada
Agora, mostraremos como a Segunda derivada f” de uma função f 
pode ser usada para nos ajudar a determinar se o ponto crítico de f 
é um extremo de f. A figura (1) mostra o gráfico de uma função que 
tem o máximo relativo em x = c. Observe que f é côncava para baixo 
neste ponto. De maneira análoga, a figura (2) mostra que num mínimo 
relativo de f o gráfico é côncavo para cima. Mas da nossa análise 
anterior sabemos que f é côncava para baixo em x = c de f”< 0 e f é 
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côncava para cima em x = c se f” > 0. Essas observações sugerem o 
seguinte processo alternativo para determinar se um ponto crítico de 
f leva a um extremo relativo de f. Esse resultado é chamado de teste 
da Segunda derivada e é aplicável quando f”existe. Veja o resumo no 
quando abaixo.
O Teste da Segunda Derivada
1.Calcule f’(x)e f”(x);
2.Encontre todos os pontos críticos de f nos quais f’(x) = 0;
3.Calcule f”( c ) para cada um dos pontos críticos c:
a)se f”( c) < 0, então f tem um máximo relativo em c;
b)se f”( c ) > 0, então f tem um mínimo relativo em c;
c)se f”( c ) = 0, o teste falha; isto é, é inconclusivo.
Comparação dos Testes da Primeira e Segunda 
Derivada
Os testes da Primeira e Segunda derivada são usados para classificar 
os pontos críticos de f. O teste da Segunda derivada é aplicável 
somente quando f”existe, portanto menos versátil que o teste da 
primeira derivada. Além disso, o teste da Segunda é inconclusivo 
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quando f”é igual a zero em um ponto crítico de f, enquanto o teste 
da primeira derivada sempre leva a conclusões positivas. O teste da 
Segunda derivada é também de uso inconveniente quando f” é difícil 
de calcular .
O resumo abaixo representa os diferentes papéis desempenhadas 
pela primeira derivada f’ e Segunda derivada f” de uma função f na 
determinação das propriedades do gráfico de f.
Exemplo :
Determine os extremos relativos da função
f(x) = x³ - 3x² - 24x + 32
Usando o teste da Segunda derivada.
Solução:
f(x) = x³ - 3x² - 24x + 32
f’(x) = 3x² - 6x - 24
f”(x) = 6x – 6
fazendo f’(x) = 0.
3x² - 6x – 24 = 0 
( use a fórmula de Bhaskara para resolução desta equação)
resulta em x = -2 e x = 4, os pontos críticos de f. Determinaremos se 
existe ou não extremos relativos entre esses pontos encontrando o 
sinal da Segunda derivada neles:
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f”(x) = 6x – 6
f”(-2) = 6(-2) – 6 = -18, logo f tem um valor máximo relativo.
f”(4) = 6(4)– 6 = 18, logo f tem um valor mínimo relativo.
Aplicação de Extremos Absolutos para 
Resolução de Problemas de Otimização
Os extremos absolutos ( máximo absoluto ou mínimo absoluto) de 
uma função é aplicado para resolver problemas relacionados com 
maximização e minimização, vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1:
Um homem deseja ter um jardim de forma retangular no seu quintal. 
Ele tem 50 metros de material para cercar seu jardim. Encontre as 
dimensões do maior jardim que ele pode ter se usar todo o material.
Solução:
Sejam x e y as dimensões ( em metros ) dos lados do jardim, conforme 
a figura abaixo:
A área do jardim ( A ) dada por A = xy, que é a quantidade 
a ser maximizada.
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O perímetro (soma de todos os lados) do jardim de forma retangular 
é 2x + 2y, que deve ser igual a 50 m. DesSa forma, temos:
2x + 2y = 50 ( I )
resolvendo essa equação para y para Y em função de x temos
2y = 50 – 2x
y = 25 – x ( II )
substituindo ( II ) em ( I ), resulta:
A = xy
A = x(25 – x)
A = - x² +25x
Não esqueça que a função a ser otimizada dever envolver apenas 
uma variável.
Como os lados do retângulo devem ser não-negativo, devemos ter 
x e y = 25 – x 0; isto é, devemos ter 0 x 25. Logo, o problema 
é reduzido a encontrar o máximo absoluto de A = f(x) = - x² +25x no 
intervalo fechado [0, 25].
Observe que f é contínua em [0, 25] e portanto o valor máximo 
absoluto de f deve ocorrer nos extremos ou nos pontos críticos de f. A 
derivada da função f(x) é dada por
f(x) = - x² +25x
f’(x) = - 2x +25
fazendo f’(x) = 0, obtemos
-2x + 25 = 0
25 = 2x
x = 12,5 , como ponto crítico de A. Em seguida, calcularemos A = f(x) 
em x = 12,5 e nos extremos x = 0 e x = 25 do intervalo [0, 25], obtendo 
os seguintes valores:
f(x) = - x² +25x
f(0) = - (0)² +25(0) = 0
f(12,5) = - (12,5)² +25(12,5) = 156,25
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f(25) = - (25)² +25(25) = 0
vemos que o valor máximo absoluto da função f é 156,25.Da equação 
(II) vemos que quando x = 12,5 , o valor de y é dado por y = 12,5. Logo 
, o jardim teria área máxima (156, 25 m²) se tivesse a forma de um 
quadrado com lados de 12,5 m de comprimento.
Exemplo 2:
Cortando quadrados idênticos de cada canto de um pedaço retangular 
de papelão e dobrando as abas resultantes, o papelão pode ser 
transformado numa caixa aberta. Se o papelão tem 16 polegadas de 
comprimento e 10 polegadas de largura, encontre as dimensões da 
caixa com o máximo de volume.
Solução:
Seja x o comprimento (em polegadas) de um lado de cada um dos 
quadrados idênticos a serem cortados do papelão( conforme figura 
abaixo) e seja V o lume da caixa resultante.
As dimensões da caixa são ( 16 – 2x) polegadas de comprimentos, (10 
– 2x) polegadas de largura e x polegada de altura.. 
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Logo, seu volume (em polegadas cúbicas) é dado por:
V = (16 – 2x)(10 – 2x)x
V = 4(x³ - 13x² + 40x), que a quantidade a ser maximizada.
Uma vez que cada lado da caixa deve ser não-negativo, x deve 
satisfazer as desigualdades x 0, 16 – 2x 0 e 10 – 2x 0. Este 
conjunto de desigualdades é satisfeito se 0 x 5. Logo o problema 
é reduzido à encontrar o máximo absoluto de 
 V = f(x) = 4(x³ - 13x² + 40x)
No intervalo fechado [0, 5].
Observe que f é contínua em [0, 5] e, portanto, o valor máximo 
absoluto de f deve ocorrer nos extremos ou nos pontos críticos de f.
Calculando a derivada de f(x), obtemos:
 f(x) = 4(x³ - 13x² + 40x)
f’(x) = 4(3x² - 26x + 40)
f’(x) = 4(3x – 20)(x – 2)
fazendo f”(x) = 0 e resolvendo a equação resultante de x, obtemos x = 
20/3 ou x = 2, como 20/3 está fora do intervalo [0, 5] é desconsiderado, 
estamos apenas interessado no ponto crítico x = 2 de f. em seguida, 
calculando f(x) em x = 0, x = 5 ( os extremos do intervalo[0, 5] ), e x 
= 2, obtemos:
f(x) = 4(x³ - 13x² + 40x)
f(0) = 4[0³ - 13(0)² + 40(0)] = 0
f(5) = 4[5³ - 13(5)² + 40(5)] = 0
f(2) = 4[2³ - 13(2)² + 40(2)] = 144
Logo, o volume da caixa é maximizada tomando x = 2. As dimensões 
da caixa são 12x6x2 polegadas, e o volume é 144 pés cúbicos. 
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Exemplo 3:
A taxa de operação (expressa em porcentagem) de fábricas, minas e 
empresas de serviços em uma certa região do país no t-ésimo dia do 
ano de 2000 é dada pela função
Em que dia dos primeiros 250 dias de 2000 a taxa de operação da 
capacidade de produção foi máxima.
Solução:
O problema é resolvido encontrando o máximo absoluto da função f 
em [ 0 , 250]. Diferenciando f (x), obtemos
Fazendo f ‘(t) = 0 e resolvendo a equação resultante, obtemos t = -200 
ou 200. Uma vez que –200 está fora do intervalo [0 , 250], estamos 
apenas interessados no ponto crítico t = 200 de f. 
Calculando f (t) em t = 0, t = 200 e t = 250, encontramos: f(0) = 80, 
f(200) = 83, f(250) = 82,93
Concluímos que a taxa de operação da capacidade de produção era 
máxima no ducentésimo dia ( t = 200) de 200 – isto é , um pouco 
depois da metade de julho de 2000.
Exemplo 4:
A Companhia Dixie de Importação e Exportação é o único revendedor 
da motocicleta Excalibur 250 cc. A direção estima que a demanda 
dessas motocicletas é de 10.000 por ano e que elas serão vendidas a 
uma taxa uniforme ao longo do ano. O custo de encomenda de cada 
carregamento de motocicletas é de $ 10.000 e o custo anual de cada 
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motocicleta é de $ 200.
A direção da Dixie enfrenta o seguinte problema: Encomendar muitas 
motocicletas de uma só vez ocupa valioso espaço de armazenagem 
e aumenta o custo de estoque. Por outro lado, fazer encomendas 
com muita freqüência aumenta o custo de encomendas. Qual a 
quantidade que deve ser encomendada e com que com freqüência, 
para minimizar os custos de encomenda e estoque?
Solução:
Sejax o número de motocicletas em cada encomenda (tamanho do 
lote). Então, assumindo que cada carregamento chega quando o lote 
anterior foi totalmente vendido, o número médio de motocicletas 
estocadas é de x/2. Logo, o custo de armazenagem da Dixie por ano é 
dado por 200(x/2), ou 100x dólares.
Em seguida, uma vez que a companhia requer 10.000 motocicletas por 
ano e cada encomenda é de x motocicletas, o número de encomendas 
requerido é.
Isto resulta num custo de encomenda de 
dólares por ano. Logo, o custo total anual incorrido pela Dixie, que 
inclui o custo de encomenda e estoque atribuídos à venda dessas 
motocicletas, é dado por
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O problema reduz-se a encontrar o mínimo absoluto da função C no 
intervalo (0 , 10.000). Para isso, calculamos
Fazendo C’(x) = 0 e resolvendo a equação resultante, obtemos 
x = 1000. Como o número –1000 está fora do domínio da função C, 
ele é rejeitado, deixando x = 1000 como único ponto crítico de C. Em 
seguida, determinamos 
Uma vez que C’’(1000) > 0, o teste da segunda derivada indica que o 
ponto crítico x = 1000 é um mínimo relativo da função C. Além disso, 
C’’(x) > 0 para todo x em (0 , 10.000), a função é côncava para cima 
em toda a parte e, portanto, o ponto x = 1000 também é o mínimo 
absoluto de C. Assim, para minimizar os custos de encomenda e 
estoque, a Dixie deve fazer 10.000/1000, ou 10, encomendas por ano, 
cada uma de 1000 motocicletas.
Referências Bilbliográficas
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: 
Thomson, 2001.
LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São 
Paulo: Harbra, 1988.
STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson 
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