Derivada Parcial
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Derivada Parcial


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D E R IVA Ç ÃO PA RC I A L & D I F ER E N C I A B IL ID A D E
C A L C U L A N D O D E R IVA DA S
1. Em cada caso, calcule as derivadas zx; zy; zxx ; zyy ezy x :
(a) z= 3x2+y3(b) z= arctg (y =x)(c) z=xy exp x2+y2
(d) z= sen (xy ) + log x2y(e) z=px2+y2+ 1 (f ) z= arccos (xy )
2. Em cada caso, calcule a derivada indicada da função z=f(x; y).
(a) z=xarcsen (xy) ; fx(1;1=2) (b) z= exp (xy ) sec (x=y ) ; fy(0;1)
(c) z=px2+y2;fxy (1;0) efy x (1;0) (d) z=xy ln (x=y ) ; fy(1;1)
3. Considere a função ':R2!Rde…nida p or:
'(x; y) = 8
>
<
>
:
exp( 1
x2+y2);se (x; y)6= (0;0)
0;se (x; y) = (0;0) :
Calcule, caso existam, as derivadas parciais 'x(0;0) ; 'y(0;0) :
4. Se f(x; y) = x2+y3, as expressõe s @ f
@ x x2+y2; y e@
@ x fx2+y2; y são iguais ou não?
5. Mostre que a função z=xy 2
x2+y2satisfaz à equação diferencial xzx+y zy=z :
6. Veri…que que a função u(x; t) = 1
ptexp x2
4k t ,t > 0ekuma constante não nula, satisfaz a
equação de transmissão de calor utk uxx = 0:
7. No espaço R2, o operador de Laplace ;é de…nido p or:  = @xx +@y y . Veri…que que as funções
u(x; y) = arctan (y =x)eu(x; y ) = excos ysatisfazem a Equação de Laplace u= 0:
8. Sob que condições a função u(x; y ) = Ax2+B xy +C y 2+D x +E y +Fsatisfaz à equação de Laplace?
9. Se u(x; y)ev(x; y )são funções com derivadas parciais contínuas até a 2aordem e satisfazem às
equações ux=vyeuy=vx, mostre que uevatendem à equação de Laplace.
R E G R A DA C A D E IA
Admita que to das as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas no domínio da função.
1. Se f(x; y) = sen ( x=y ) + ln (y=x), mostre que xfx+y fy= 0:
2. Se f:R!Ré derivável, mostre que as funções '(x; y ) = f(xy)e (x; y) = f(xy )satisf azem às
relações: 'x+'y= 0 ex xy y= 0:
3. Calcule z0(t);nos seguintes casos:
(a) z=y ex+xey;x=tey= sen t(b) z= ln 1 + x2+y2;x= ln tey=et
(c) z=px2+y2;x=t3ey= cos t(d) z=u2v+v w 2+uv w 3;u=t2; v =tew=t3
4. Calcule @ w
@ x e@ w
@ y ;nos seguintes casos:
(a) w=u2+v3;u= 3xyev=x+ 2y(b) w= ln t2+s2;t=x3+y2es= 3xy
(c) w= 3u+ 7v;u=x2yev=pxy (d) w= cos (+) ; =x+ye=pxy
5. Considere a função f(x; y ) = Zy
x
exp t2dt. Calcule as derivadas parciais fs; frefrs , no caso em
que x=r s4ey=r4s:
6. Sejam ~r =x
~
i+y
~
jo vetor p osição do p onto P(x; y )er=k~r k:Dada uma função f:R!R;duas
vêzes derivável, represente p or ga função g(x; y ) = f(r)e mostre que
g=grr +1
rgr:
7. Se x=rcos ey=rsen eu(x; y)ev(x; y )têm derivadas parciais contínuas, mostre que:
@ u
@ r =1
r
@ v
@  e@ v
@ r =1
r
@ u
@  :
8. Se z=f(xy ; y x), use a Regra da Cadeia e mostre que zx+zy= 0:
9. Sup onha que '(t)seja derivável, com '0(1) = 4. Se g(x; y ) = '(x=y ), calcule gx(1;1) egy(1;1) :
F U N Ç Õ E S D I F E R E N C I ÁV E IS
1. Use o Lema Fundamental e mostre que a f unção z=f(x; y)é dife renciável no domínio indicado.
(a) z=x2y4;D=R2(b) z= ln x2+y2;D=R2n(0;0) :
2. Seja z=f(x; y)a f unção de…nida em R2p or:
f(x; y) = 8
>
<
>
:
3x2y
x2+y2, se (x; y)6= (0;0)
0, se (x; y) = (0;0)
:
Prove que:
2
(a) A função fé contínua na origem.
(b) As derivadas parciais fxefyexistem em to do R2, mas não são contínuas em (0;0) :
(c) A função fnão é diferenciável n a origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?
3. Estude a diferenciabilidade da função z=f(x; y );no p onto P0indicado:
(a) z=xexp (y) ; P0= (1;0) (b) z=
xy 2
;P0= (0;1)
(c) z=pjyjcos x;P0= (0;0) (d) z=pjxy j;P0= (0;0)
4. Calcule a diferencial das funções seguintes:
(a) f(x; y) = 5x3+ 4x2y2y3(b) f(x; y ; z ) = exy z (c) f(x; y) = arctan (y =x)
5. Certa função diferenciável z=f(x; y )satisfaz às condições: f(1;2) = 3; fx(1;2) = 5 efy(1;2) = 8.
Calcule os valores aproximados de f(1:1;1:8) ef(1:3;1:8) :
6. As dimensões de uma caixa retangular são 5m; 6me8m, com p ossível de 0:01mem cada dimensão.
Calcule o valor aproximado do volume da caixa e o possível erro.
7. Use a diferencial e calcule, com duas casas decimais, o valor de: sen [1:99 ln (1:03)] :
D E R IVA DA D I R E C IO N A L , G R A D IE N T E & P L A N O TAN G E N T E
1. Calcule a derivada direcional da função z=f(x; y);no p onto P0, na direção indicada.
(a) z=x3+ 5x2y ; P0(2;1) na direção da reta y=x:
(b) z=yexp (xy ); P0(0;0) na direção da reta ~v = 4
~
i+ 3
~
j :
(c) z=x2y2; P0(2;3) na direção tangente à curva 2x+ 5y2= 15, no p onto (0;p3):
2. Calcule a derivada direcional @ f
@ ~u nos seguintes casos:
(a) f(x; y; z ) = eysen x+1
3e3ysen 3x+z2;P0( =3;0;1) e~u =1
2
~
i+p2
2~
j+1
2~
k :
(b) f(x; y; z ) = x2y+ 3y z 2;P0(1;1;1) e~u =1
3
~
i2
3~
j+2
3~
k :
(c) f(x; y; z ) = ln x2+y2+z2;P0(1;1;1) e~u =2
3
~
i+1
3~
j+2
3~
k :
3. Calcule o valor máximo da derivada direcional da função w=f(x; y ; z )no p onto P0:
(a) w=x2+y2+z21;P0(1;2;3) (b) w=excos (y z ) ; P0(1;0; ):
3