GeometriaAnalitica_gabarito

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Computação bimestre: 3o bimestre ano: 2018 | 1sem P3 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear NOTA (0-10): 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Sejam a reta 𝑟𝑟 de equação 𝑋𝑋 = (0,0,1) + 𝛽𝛽(0,1,1) e o ponto 𝑃𝑃 = (2,1,1). 
a) (0,5 ponto) Calcule 𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑟𝑟). 
b) (1,3 pontos) Determine uma reta 𝑠𝑠, perpendicular com a reta 𝑟𝑟 e que contém o ponto 𝑃𝑃. 
c) (1,2 pontos) Determine uma equação geral do plano 𝜋𝜋 que contém as retas 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠. 
 
Questão 2 (3,0 pontos) 
Seja 𝑇𝑇:𝑅𝑅2 → 𝑅𝑅2 a transformação linear dada por 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦, 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦). 
 
a) (1 ponto) Determine [𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, a matriz de 𝑇𝑇 na base canônica de 𝑅𝑅2. 
b) (1 ponto) Encontre os autovalores e os autovetores de 𝑇𝑇. 
c) (1ponto) Encontre a única solução do sistema diferencial 𝑋𝑋´(𝑡𝑡) = [𝑇𝑇]𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶 .𝑋𝑋(𝑡𝑡), que verifica as 
condições iniciais 𝑋𝑋(0) = (2,1), onde 𝑋𝑋(𝑡𝑡) = (𝑥𝑥(𝑡𝑡),𝑦𝑦(𝑡𝑡)) e 𝑥𝑥,𝑦𝑦:𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 são funções de classe 𝐶𝐶1. 
 
Questão 3 (3 pontos) 
Para cada uma das afirmações abaixo, responda se ela é verdadeira (V) ou falsa (F). 
 
a) (0,6 ponto) Todo conjunto com 3 vetores em 𝑅𝑅3 é um gerador para 𝑅𝑅3. 
b) (0,6 ponto) Se 𝐴𝐴 = {𝑢𝑢1,𝑢𝑢2,𝑢𝑢3,𝑢𝑢4} é um conjunto L.D. de vetores de um espaço vetorial 𝑈𝑈, então 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑈𝑈 < 4. 
c) (0,6 ponto) Se 𝑇𝑇:𝑈𝑈 → 𝑉𝑉 é uma aplicação linear, então 𝑇𝑇(𝛽𝛽.𝑢𝑢) = 𝛽𝛽.𝑇𝑇(𝑢𝑢),∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 e ∀𝛽𝛽 ∈ 𝑅𝑅. 
d) (0,6 ponto) Se 𝐴𝐴 é uma matriz simétrica, então 𝐴𝐴 é diagonalizável. 
e) (0,6 ponto) Se 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 é um triângulo qualquer, então sua área pode ser dada por �𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ∧ 𝐴𝐴𝐶𝐶�����⃗ �. 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Sejam a reta 𝑟𝑟:𝑋𝑋 = (2,2,1) + 𝛽𝛽(3,0,1),𝛽𝛽𝛽𝛽𝑅𝑅 e o plano 𝜋𝜋: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3𝑧𝑧 = 2. 
 
a) (1,5 ponto) Mostre que a reta 𝑟𝑟 é paralela ao plano 𝜋𝜋. 
b) (1ponto) Calcule a distância da reta 𝑟𝑟 ao plano 𝜋𝜋. 
 
 
 
 
CÓDIGO DA PROVA 
GABARITO 
 
curso: Engenharia de Computação bimestre: 15o bimestre P3 
 
 
disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear NOTA (0-10): 
 
Pontuação e Critério de correção da Prova de GAAL 
 
Em função da não inclusão de fórmulas nas provas de GAAL, o critério de correção foi alterado a fim de não 
prejudicar os alunos que esperavam encontrar tais fórmulas impressas nas provas. 
 
Houve alteração apenas na pontuação das questões. 
 
A pontuação máxima da prova deve ser de 10 pontos, mesmo qua a soma das pontuações de cada uma 
das questões ultrapassem a esse valor. Dessa forma a prova pode somar até 11,5 pontos, mas sua 
pontuação máxima é de 10 pontos e assim nenhum aluno será prejudicado, pois quem não lembrava das 
fórmulas pode obter a pontuação máxima sem fazer os itens (1a e 4b) onde poderiam ser utilizadas estas 
fórmulas. 
 
 
Questão 1 
OBS: a pontuação máxima desta questão deve ser de 2,5 pontos, mesmo qua a soma das pontuações de 
cada um de seus itens ultrapassem a esse valor. 
 
a) Seja 𝐴𝐴 = (0,0,1) ∈ 𝑟𝑟, assim 𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ = (2,1,1) − (0,0,1) = (2,1,0). 
Denotando por 𝑟𝑟 = (0,1,1), que é um vetor com a direção da reta 𝑟𝑟, temos 
𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑟𝑟) = �𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ˄𝑟𝑟����⃗ �
‖𝑟𝑟‖
 
Vamos calcular 𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ˄𝑟𝑟 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �𝚤𝚤 𝚥𝚥 𝑘𝑘�⃗2 1 00 1 1� = (1,−2,2), assim �𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ˄𝑟𝑟� = √9 = 3 
 
Como 𝑟𝑟 = (0,1,1) temos que ‖𝑟𝑟‖ = √2, logo 𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑟𝑟) = 3
√2
= 3√2
2
. 
 
b) Como 𝑠𝑠 deve conter o ponto 𝑃𝑃, sua equação é da forma 𝑋𝑋 = 𝑃𝑃 + 𝛼𝛼𝑠𝑠, onde o vetor 𝑠𝑠 é de tal forma que as 
retas sejam perpendiculares. Para isso, vamos encontrar um ponto 𝑄𝑄 ∈ 𝑟𝑟 tal que 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ ⊥ 𝑟𝑟, basta escolher 
𝑠𝑠 como qualquer múltiplo, não nulo, de 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ . 
Se 𝑄𝑄 ∈ 𝑟𝑟, 𝑄𝑄 = (0,𝛽𝛽, 1 + 𝛽𝛽) para algum 𝛽𝛽 ∈ 𝑅𝑅, assim 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ = (0,𝛽𝛽, 1 + 𝛽𝛽) − (2,1,1) = (−2,𝛽𝛽 − 1,𝛽𝛽) 
𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ ⊥ 𝑟𝑟 ⟺ 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ . 𝑟𝑟 = 0 ⟺ (−2,𝛽𝛽 − 1,𝛽𝛽). (0,1,1) = 𝛽𝛽 − 1 + 𝛽𝛽 = 0 ⟺ 𝛽𝛽 = 1
2
, logo 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ = (−2,−1
2
, 1
2
) 
 Assim, uma possível equação para a reta 𝑠𝑠 é: 
𝑠𝑠:𝑋𝑋 = (2,1,1) + 𝛼𝛼(−4,−1,1),𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅 (escolhi 𝑠𝑠 = 2𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ ). 
 
c) 1º Modo: 
Um vetor 𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋, é dado por: 
 
𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟˄𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 � 𝚤𝚤 𝚥𝚥 𝑘𝑘�⃗0 1 1
−4 −1 1� = (2,−4,4) 
Assim, 𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma 2𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 + 𝑑𝑑 = 0 
Como 𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋 ⇒ 2.2 − 4.1 + 4.1 + 𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑 = −4 
Logo, uma equação geral do plano 𝜋𝜋 é: 
𝜋𝜋: 2𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 − 4 = 0 
(Ou qualquer outra equação obtida desta, quando multiplicamos todos os seus coeficientes por um 
mesmo número real não nulo) 
 
2º Modo: 
 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �
2 − 𝑥𝑥 1 − 𝑦𝑦 1 − 𝑧𝑧0 1 12 1 0 � = 0 ⟺−1(2 − 𝑥𝑥) + 2(1 − 𝑦𝑦) − 2(1 − 𝑧𝑧) = 0 ⟺ 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 − 2 = 0 
(Ou qualquer outra equação obtida desta, quando multiplicamos todos os seus coeficientes por um 
mesmo número real não nulo) 
 
Questão 2 
 
a) Vamos calcular 𝑇𝑇 nos vetores da base canônica de 𝑅𝑅2. 
𝑇𝑇(1,0) = (4,2) e 𝑇𝑇(0,1) = (−3,−1), logo [𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �4 −32 −1�. 
 
b) Vamos calcular os autovalores de 𝑇𝑇. 
 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �4 − 𝑡𝑡 −32 −1 − 𝑡𝑡� = (4 − 𝑡𝑡)(−1 − 𝑡𝑡) + 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡 + 2 = 0 ⇒ �𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡 = 2. 
 
Vamos agora calcular os autovetores de 𝑇𝑇. 
𝑉𝑉(1): 
�4 −32 −1� �𝑥𝑥𝑦𝑦� = 1. �𝑥𝑥𝑦𝑦� ⇒ �4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, logo 𝑉𝑉(1) = [(1,1)]. (Ou qualquer vetor não nulo múltiplo 
deste, ou seja, com as duas coordenadas iguais) 
𝑉𝑉(2): 
�4 −32 −1� �𝑥𝑥𝑦𝑦� = 2. �𝑥𝑥𝑦𝑦� ⇒ �4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦 = 23 𝑥𝑥, logo 𝑉𝑉(2) = [(3,2)]. (Ou qualquer vetor não nulo 
múltiplo deste, ou seja, em que a 2ª coordenada é 2
3
 vezes a 1ª coordenada) 
 
d) O sistema diferencial 𝑋𝑋´(𝑡𝑡) = [𝑇𝑇]𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶 .𝑋𝑋(𝑡𝑡) é então 𝑆𝑆: �𝑥𝑥´(𝑡𝑡)𝑦𝑦´(𝑡𝑡)� = �4 −32 −1� . �𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑦𝑦(𝑡𝑡)�, ou seja, 
𝑆𝑆: �𝑥𝑥´(𝑡𝑡) = 4𝑥𝑥(𝑡𝑡) − 3𝑦𝑦(𝑡𝑡)
𝑦𝑦´(𝑡𝑡) = 2𝑥𝑥(𝑡𝑡) − 𝑦𝑦(𝑡𝑡) com a condição inicial 𝑋𝑋(0) = (2,1). 
Por a) e b) temos a solução geral: 
𝑋𝑋(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡(1,1) + 𝑏𝑏𝑑𝑑2𝑡𝑡(3,2) ⇔ �𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡 + 3𝑏𝑏𝑑𝑑2𝑡𝑡
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡 + 2𝑏𝑏𝑑𝑑2𝑡𝑡, impondo as condições iniciais: 
 
�
𝑥𝑥(0) = 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 = 2
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = 1 ⇒ �𝑎𝑎 = −1𝑏𝑏 = 1 
Assim, a solução procurada é: 
�
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = −𝑑𝑑𝑡𝑡 + 3𝑑𝑑2𝑡𝑡
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −𝑑𝑑𝑡𝑡 + 2𝑑𝑑2𝑡𝑡 
OBS: No item c) não importa qual autovetor seja escolhido: a resposta é sempre a mesma. 
 
 
Questão 3 
 
a) F 
b) F 
c) V 
d) V 
e) F 
 
Questão 4 
 
a) Seja 𝑟𝑟 = (3,0,1) um vetor com a direção da reta 𝑟𝑟 e 𝑛𝑛�⃗ = (1,1,−3) um vetor normal ao plano 𝜋𝜋, 𝑟𝑟 ⫽ 𝜋𝜋 ⟺
𝑟𝑟 ⊥ 𝑛𝑛�⃗ ⟺ 𝑟𝑟.𝑛𝑛�⃗ = 0. Temos 𝑟𝑟.𝑛𝑛�⃗ = 3.1 + 0.1 + 1. (−3) = 0, logo 𝑟𝑟 ⫽ 𝜋𝜋. 
 
b) Como 𝑟𝑟 ⫽ 𝜋𝜋, 𝑑𝑑(𝑟𝑟,𝜋𝜋) = 𝑑𝑑(𝐴𝐴,𝜋𝜋), onde 𝐴𝐴 é um ponto qualquer da reta 𝑟𝑟. Seja 𝐴𝐴 = (2,2,1) ∈ 𝑟𝑟. Assim temos: 
𝑑𝑑(𝑟𝑟,𝜋𝜋) = 𝑑𝑑(𝐴𝐴,𝜋𝜋) = |1.2 + 1.2 + (−3).1 − 2|
�12 + 12 + (−3)2 = 1√11 = √1111