Conicas IME

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Cônicas – IME 
 
Elipse 
 
1. (IME 1988) Seja uma elipse cujo eixo maior AA’ = 2a e cuja excentricidade é 1/2. Seja F o foco da elipse, correspondente ao 
vértice A. Considere a parábola, cujo vértice é o ponto O, centro da elipse, e cujo foco coincide com o foco F da elipse. 
Determine o ângulo entre as duas curvas nos pontos de interseção. 
 
2. (IME 1988) Seja ABCD um trapézio cuja base maior AB = a é fixa e cuja base menor CD tem comprimento constante, 
igual a b. A soma dos lados não paralelos é constante e igual a l. Os prolongamentos dos lados não paralelos se cortam em I. 
a) demonstre que o l . g descrito pelo ponto I, quando a base CD se desloca, é uma cônica; 
b) determine eixos e distância focal. 
 
Hipérbole 
3. (IME 2009) Uma hipérbole de excentricidade 2 tem centro na origem e passa pelo ponto ( )5, 1 . A equação de uma reta 
tangente a esta hipérbole e paralela a y = 2x é: 
(A) 3 y = 2 3 x+6 
(B) y = -2x + 3 3 
(C) 3y = 6x + 2 3 
(D) 3 y= 2 3 x +4 
(E) y=2x + 3 
 
 
 4. (IME 1999) Calcule as coordenadas dos pontos de interseção da elipse com a hipérbole, representadas na figura, sabendo-se 
que: 
a) os pontos C e C’ são os focos da elipse e os pontos A e A’ são os focos da hipérbole; 
b) BB’ é o eixo conjugado da hipérbole; 
c) OB = OB’ = 3m e OC = OC’ = 4 m. 
 
 
 
 
 
5. (IME 1992) Determine a equação da reta que passa por um dos vértices da curva definida por: 4y2 + 8y – x2 
= 4, formando um ângulo de 45º com o eixo horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parábola 
 
6. (IME 2009) Se as curvas y = x2 + ax + b e x = y2 + cy + d se interceptam em quatro pontos distintos, a soma das 
ordenadas destes quatro pontos 
(A) depende apenas do valor de c. 
(B) depende apenas do valor de a. 
(C) depende apenas dos valores de a e c. 
(D) depende apenas dos valores de a e b. 
(E) depende dos valores de a,b,c e d. 
 
 
7. (IME 1998) Considere uma elipse e uma hipérbole centradas na origem O, de um sistema cartesiano, com eixo focal 
coincidente com o eixo OX. Os focos da elipse são vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são vértices da elipse. 
Dados os eixos da elipse como 10 cm e 
3
20 cm, determine as equações das parábolas, que passam pelas interseções da 
elipse e da hipérbole e são tangentes ao eixo OY na origem. 
 
 
8. (IME 2004) Considere a parábola P de equação y = ax2, com a > 0 e um poto A de coordenadas (x0, y0) 
satisfazendo a y0 < a x 20 . Seja S a área do triângulo ATT’, onde T e T’ são os pontos de contato das tangentes a P 
passando por A. 
a) Calcule o valor da área S em função de a, x0 e y0. 
b) Calcule a equação do lugar geométrico do ponto A, admitindo que a área S seja constante. 
c) Identifique a cônica representada pela equação obtida no item anterior. 
 
9. (IME 2002) Considere uma parábola de eixo focal OX que passe pelo ponto (0,0). Define-se a subnormal em um ponto 
P da parábola como o segmento de reta ortogonal à tangente da curva, limitado pelo ponto P e o eixo focal. Determine a 
equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios das subnormais dessa parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gabarito 
 
 Gabarito 
 
1. ( )arc tg 6± 
2. 
a) 
b) 
 ( ) ( )
22
aAA ' L
a b
aBB' 4L a b
2 a b
CC' a
= −
= − −−
=
 
 
3. A 
4. 
20 82 9 11 20 82 9 11 20 82 9 11 20 82 9 11, , , , , , ,
41 41 41 41 41 41 41 41
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
 
 
5. 
( )
( )
( )
( )
1
2
r :
y x 2 1 0
r :
y x 2 1 0
− − − =
− − − − =
 
 
6. A 
7. 
1
2
2
2
(P ) :
9 35x y
40
(P ) :
9 35x y
40
=
= −
 
8. 
a) 
( )32 20 02S ax ya= − 
b) 
1
2 3
2 0S ay ax
4
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
c) 
Parábola 
 
9. 
2 1x 4ay
4a
= +