Viscosidade e Lei de Stokes (Laboratório de Fluidos e Termodinâmica)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
DEPARTAMENTO DE FI´SICA TEO´RICA E EXPERIMENTAL
FIS0666 - LABORATO´RIO DE TERMODINAˆMICA
Discente: Felipe Menescal Pinto de Medeiros Turma: 6T12
Docente: Jose´ Humberto de Arau´jo
Data: 28/09/2018
Experimento N o 3 - Viscosidade e Lei de Stokes
Objetivo
Neste texto mostra-se que a aplicac¸a˜o da Lei de Stokes ao problema de uma esfera caindo
sob a ac¸a˜o da gravidade em um meio viscoso, pode ser usada como um me´todo para medic¸a˜o
do coeficiente de viscosidade de um l´ıquido.
Introduc¸a˜o teo´rica
A viscosidade e´ um paraˆmetro importante no desenho de processos industriais. E´ uma
caracter´ıstica de cada fluido e e´ quantificada pelo coeficiente de viscosidade. Devido a` resis-
teˆncia que as mole´culas oferecem ao movimento relativo de um fluidos durante o escoamento,
ocorre a ac¸a˜o de forc¸as dissipativas. A viscosidade e´ a propriedade do fluido que caracteriza
esse atrito interno. Entretanto, a viscosidade depende de outros fatores. Por exemplo, o
coeficiente de viscosidade aumenta ao diminuir a temperatura.
Devido a` ac¸a˜o da viscosidade, quando um corpo se move num fluido, uma pel´ıcula do
fluido adere a` sua superf´ıcie e as forc¸as viscosas entre as mole´culas dessa pel´ıcula e as mole´-
culas do fluido ao seu redor oferecem resisteˆncia ao movimento do corpo. Esta experieˆncia
possibilita a determinac¸a˜o do coeficiente de viscosidade de um l´ıquido.
Considere uma esfera de raio R caindo sob a ac¸a˜o da gravidade em um fluido viscoso.
A esfera esta´ sujeita a ac¸a˜o das seguintes forc¸as: o peso, o empuxo e uma forc¸a de atrito
proporcional a` velocidade.
O peso e´ o produto da massa m pela acelerac¸a˜o da gravidade g. A massa e´ o produto da
densidade absoluta do material ρe pelo volume da esfera de raio R.
P = mg = ρe
4
3
piR3g (1)
De acordo com o princ´ıpio de Arquimedes, o empuxo e´ igual ao produto entre a densidade
absoluta do flu´ıdo ρf , pelo volume do corpo submerso, que nesse caso e´ o pro´prio volume da
esfera, e pela acelerac¸a˜o da gravidade.
E = ρf
4
3
piR3g (2)
A forc¸a de arrasto e´ proporcional a velocidade, e sua expressa˜o e´ denominada lei de Stokes
1
Fr = 6piRηv (3)
Onde η e´ o coeficiente de viscosidade do flu´ıdo. A equac¸a˜o do movimento sera´, portanto,
ma = mg − E − Fr (4)
A equac¸a˜o de movimento pode ser reescrita na forma
m
dv
dt
= F − kv (5)
Na equac¸a˜o (5), F = mg − E e k = 6piηR. Assim,
dv =
(
F
m
− k
m
v
)
dt ∴ dv
F
m
− k
m
v
= dt (6)
Podemos enta˜o integrar ambos os lados da equac¸a˜o,∫ v
0
dv′
F
m
− k
m
v′
=
∫ t
0
dt′ (7)
O que resulta em
−m
k
[
ln
(
F
m
− k
m
v′
)]v
0
= [t]t0 ∴
[
ln
(
F
m
− k
m
v′
)]
− ln F
m
= − k
m
t (8)
Assim,
v(t) =
F
k
(1− e− km t) (9)
Onde F/k e´ a velocidade limite v`. Portanto,
v(t) = v`(1− e− km t) (10)
Note que a velocidade assumira´ valor igual a v` quando t =∞. Formalmente, temos
lim
t→∞
v(t) = v` (11)
Figura 1: gra´fico que representa o aumento da velocidade da esfera.
2
Figura 2: evideˆncia da velocidade limite v`.
A velocidade limite, e´ alcanc¸ada quando a acelerac¸a˜o decresce ate´ zero, logo, quando a
resultante das forc¸as que atuam sobre a esfera for zero.
mg − E = Fr ∴ 6piRηv` = ρe4
3
piR3g − ρf 4
3
piR3g (12)
Explicitamos a velocidade limite v`, e´ dada por
v` =
2g(ρe − ρf )R2
9η
(13)
Dado que a exponencial tende a zero rapidamente a medida que transcorre o tempo,
vemos que ao cabo de um certo tempo, o deslocamento x da esfera sera´ proporcional ao
tempo t.
Material utilizado
Para a realizar o experimento, foram usadas treˆs bolas, sendo uma de ac¸o com 2 cm de
diaˆmetro e duas de vidro, sendo uma com 2 cm e outra com 2,97 cm de diaˆmetro. Tambe´m
foram utilizadas uma proveta de 500 mL e uma re´gua. Utilizamos um paqu´ımetro para
determinar os diaˆmetros das esferas e foi feito o uso de uma caˆmera digital. Os dados visuais
obtidos pela filmagem da caˆmera digital foram processados e analisados por um software
chamado Tracker.
Procedimento experimental
A proveta foi preenchida com glicerina (de densidade 1000 kg/m3 ou 1 g/cm3). Os
diaˆmetros das esferas de vidro e de ac¸o foram medidos com o paqu´ımetro. Com a re´gua
posicionada ao longo da proveta, utilizamos as caˆmeras para recordar o momento em que as
esferas eram abandonadas e chegassem ao fundo da proveta.
3
Resultados e discussa˜o
Ao utilizar o Tracker, pudemos encontrar a func¸a˜o x(t) que fornece a posic¸a˜o da esfera
em func¸a˜o do tempo. Ao construir o gra´fico x× t e´ nota´vel a semelhanc¸a com a figura (1).
A velocidade limite encontrada foi de 8,07 cm/s. Utilizando a equac¸a˜o (13) e substituindo
os valores conhecidos podemos calcular o coeficiente de solubilidade.
Conclusa˜o
Tendo conhecimento de todos os valores necessa´rios para o ca´lculo do coeficiente de
viscosidade e utilizando a equac¸a˜o (13), temos que o coeficiente de viscosidade da glicerida
de 16,33 St.
Refereˆncias
[1] PROPRIEDADES DE FLUIDOS. UFRJ.
Dispon´ıvel em: www.if.ufrj.br.
Acesso em 27/09/2018.
[2] CALCULATE DENSITY AND VISCOSITY OF GLYCEROL. MET.
Dispon´ıvel em: www.met.reading.ac.uk.
Acesso em 27/09/2018.
4