Apostila_Planos

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3.6 Equac¸o˜es do Plano no Espac¸o (R3)
Equac¸a˜o Geral do Plano:
A equac¸a˜o do plano no espac¸o e´ determinada conhecendo-se um ponto sobre o
plano e sua ”inclinac¸a˜o”ou ”orientac¸a˜o”. Essa inclinac¸a˜o e´ definida especificando-se
um vetor que seja perpendicular ou ”normal”ao plano.
Portanto, o plano pode ser definido como o conjunto de todos os pontos P , onde o
vetor
−→
AP e´ e´ ortogonal ao vetor −→n .
Notac¸a˜o: π, α, β, usamos letras gregas para definir as equac¸o˜es dos planos.
Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano π e ~n = (a,b,c), ~n 6= 0, um
vetor normal (ortogonal) ao plano que determina sua inclinac¸a˜o ou orientac¸a˜o como
na figura abaixo:
Como ~n e´ ortogonal ao plano π, ~n e´ ortogonal a todo vetor representado em π.
Enta˜o, um ponto P (x,y,z) pertence a π se, e somente, se o vetor
−→
AP e´ ortogonal a
π, isto e´,
~n·
−→
AP= 0
~n(P − A) = 0
ou
(a,b,c).(x− x1,y − y1,z − z1) = 0
ou
100
ax+ by + cz − ax1 − by1 − cz1 = 0
Fazendo −ax1 − by1 − cz1 = d, obtemos
ax+ by + cz + d = 0 (3.10)
Esta e´ a equac¸a˜o geral ou cartesiana do plano.
Exemplo 65 2x − 5y + z − 3 = 0. Os coeficientes 2, − 5,1 da equac¸a˜o geral
representam as componentes do vetor normal ao plano, enta˜o, ~n = (2, − 5,1). Esse
mesmo vetor e´ ortogonal a qualquer plano paralelo a ele. Desta forma, todos os
infinitos planos paralelos a π teriam como equac¸a˜o geral 2x− 5y + z + d = 0.
Casos em que a equac¸a˜o do plano fica perfeitamente determinada:
A. Passa por um ponto A e e´ paralelo a dois vetores ~v1 e ~v2, na˜o colineares:
~n = ~v1 × ~v2.
101
Exemplo 66 Determine a equac¸a˜o do plano que passa por A(2,1,4) e e´ paralelo
aos vetores ~u = (2,1,− 1), ~v = (3,2,− 4).
Soluc¸a˜o: ~n = ~v1 × ~v2 = (2,1,− 1)× (3,2,− 4) = (−2,5,1)
π : −2x + 5y + 1z + d = 0, substituindo o ponto A, temos que d = −5 e
reescrevendo a equac¸a˜o: π : −2x+ 5y + z − 5 = 0 ou π : 2x− 5y − z + 5 = 0.
Observac¸a˜o: Qualquer mu´ltiplo de ~n, ou seja k~n, com k 6= 0 tambe´m e´ normal
ao plano π.
B. Passa por treˆs pontos A, B e C na˜o em linha reta, neste caso
~n =
−→
AB ×
−→
AC (3.11)
102
Exemplo 67 Determine a equac¸a˜o do plano que passa por A(2,1,-4), B(1,-2,-1),
C(3,0,1).
Soluc¸a˜o:
−→
AB= (−1, − 3,3) e
−→
AC= (1, − 1,5), fazendo ~n =
−→
AB ×
−→
AC=
(−1,− 3,3)× (1,− 1,5) = (−12,8,4) = (−3,2,1)
π : −3x + 2y + z + d = 0, substituindo o ponto C, por exemplo, temos que
d = 8 portanto:
π : −3x+ 2y + z + 8 = 0 ou π : 3x− 2y − z − 8 = 0
C. Conte´m duas retas concorrentes: ~n = ~v1 × ~v2.
Exemplo 68 Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelas retas: r :
{
y = −3x+ 7
z = −2x+ 7
e s :
{
x− 2
2
=
y − 2
−1 =
z − 3
2
Soluc¸a˜o: O vetor diretor de r e´ ~v1 = (1,− 3,− 2) e de s e´ ~v2 = (2,− 1,2). enta˜o
103
~n = ~v1 × ~v2 = (−8,− 6,5).
π : −8x − 6y + 5z + d = 0, substituindo um ponto da reta r, por exemplo
(0,7,7), temos que d = 7 e a equac¸a˜o:
π : −8x− 6y+ 5z + 7 = 0. Ou usando o ponto da reta s, (2,2,3), temos d = 13
e a equac¸a˜o: π : −8x− 6y + 5z + 13 = 0.
D. Conte´m duas retas r1, r2 paralelas, neste caso:
~n =
−→
AB ×~v1 ou
~n =
−→
AB ×~v2
Exemplo 69 Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelas retas r : x = y =
z + 3 e s :
{
x = y + 3
z = y − 2
Soluc¸a˜o: Um ponto da reta r e´ A(0,0,-3) e um ponto da reta s e´ B(3,0,-2),
enta˜o
−→
AB= (3,0,1) e usando o vetor diretor de r, (1,1,1), temos:
~n =
−→
AB ×~v1=(-1,-2,3)
π : −x − 2y + 3z + d = 0, substituindo um ponto da reta r, por exemplo
A(0,0,-3), temos que d = 9 e:
π : −x− 2y + 3z + 9 = 0
E. Conte´m uma reta r e um ponto B /∈ r:
~n = ~v×
−→
AB
~v vetor diretor de r e A ∈ r.
Exemplo 70 Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m a reta r :
{
x = −2y
z = 4y + 1
e um ponto P (3,0,-1).
104
Soluc¸a˜o: Sendo A(0,0,1) um ponto de r, o vetor
−→
AP=(3,0,-2). O vetor diretor
de r e´ ~v = (−2,1,4),
~n = ~v×
−→
AP=(-2,8,-3)
π : −2x + 8y − 3z + d = 0, substituindo o ponto P , temos que d = 3 desta
forma:
π : −2x+ 8y − 3z + 3 = 0
F. Passa por dois pontos A e B e e´ paralelo a um vetor na˜o colinear ao vetor
−→
AB:
~n = ~v×
−→
AB
Exemplo 71 Determine a equac¸a˜o do plano que passa por A(2,1,3) e B(4,5,0)
e e´ paralelo ao vetor ~u=(2,-1,2).
Soluc¸a˜o:
−→
AB= (4,5,0)− (2,1,3) = (2,4,− 3),
~n = ~u×
−→
AB
~n = (2,− 1,2)× (2,4,− 3) = (−5,10,10)
π : −5x + 10y + 10z + d = 0, substituindo o ponto B, temos que d = −30 e a
equac¸a˜o final:
π : −5x+ 10y + 10z − 30 = 0 ou simplificando: x− 2y − 2z + 15 = 0.
Observac¸a˜o: Nos casos acima fica claro que o vetor normal ~n e´ sempre dado pelo
produto vetorial de dois vetores representados no plano.
3.6.1 Agora tente resolver!
1. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelos pontosA(3,1,2), B(−1,2,−2), C(2,1,−
2).
2. Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P (5,2,3) e e´ perpendicular
a` reta r :


x = 5 + 2t
y = 1 + t
z = −2t
.
105
3. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto A(2,−2,3) e e´ perpendicular
ao vetor da origem ate´ A.
4. Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P (2,− 1,2) e e´ paralelo ao
plano π : 3x+ 2y + z = 7.
5. Dado o plano π : 2x− y+ 5z − 10 = 0 determinar um vetor normal ao plano e
um ponto do plano. E, verifique se M(1,-3,5) pertence ao plano π.
6. Determinar a equac¸a˜o do plano perpendicular ao segmento AB que passa no
ponto me´dio do mesmo, sendo A(5,3,− 1) e B(−1,− 1,− 3).
Existe uma outra forma de determinar a equac¸a˜o geral do plano:
Dados dois vetores base desse plano, por exemplo, ~v1 e ~v2 e um ponto P (x,y,z) ∈
π, se o plano passa pelo ponto A o produto misto entre os vetores deve ser nulo,
isto e´, (
−→
AP ,~v1, ~v2) = 0, pois sa˜o coplanares enta˜o seja: A(x1,y1,z1), ~v1 = (a1,b1,c1),
~v2 = (a2,b2,c2), e´ poss´ıvel obter a equac¸a˜o geral do plano desenvolvendo o seguinte
determinante:
(
−→
AP ,~v1, ~v2) =

x− x1 y − y1 z − z1a1 a2 a3
b1 b2 b3

 = 0
(x− x1)
[
b1 c1
b2 c2
]
− (y − y1)
[
a1 c1
a2 c2
]
+ (z − z1)
[
a1 b1
a2 b2
]
= 0
Exemplo 72 Sendo A(0,2,−4) e os vetores ~v = (2,4,−6), ~u = (−1,−1,5), determine
a equac¸a˜o do plano.
Soluc¸a˜o:
(
−→
AP ,~v, ~u) =

 x y − 2 z + 42 4 −6
−1 −1 5

 = 0
Desenvolvendo o determinante acima temos que a equac¸a˜o do plano e´: 14x − 4y +
2z + 16 = 0.
Planos Particulares Um plano cuja equac¸a˜o tenha a forma:
106
1. ax+ by + d = 0, e´ perpendicular ao plano xOy;
2. by + cz + d = 0, e´ perpendicular ao plano yOz;
3. ax+ cz + d = 0, e´ perpendicular ao plano xOz.
Isto e´, se uma das varia´veis na˜o figurar na equac¸a˜o, o plano sera´ perpendicular ao
plano coordenado correspondente a`s duas varia´veis presentes.
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados: Posic¸a˜o particular de um plano
em relac¸a˜o aos eixos coordenados:
Considere ~n = (a,b,c). No caso de uma componente da normal ser nula, o vetor
e´ ortogonal a um dos eixos coordenados.
A. Plano paralelo ao eixo Ox: a = 0, ~n = (0,b,c) ⊥ Ox e π ‖ Ox
Equac¸a˜o: by + cz + d = 0.
Equac¸a˜o do plano que conte´m o eixo Ox: by + cz = 0, onde d = 0, o plano
passa na origem O.
B. Plano paralelo ao eixo Oy: b = 0, ~n = (a,0,c) ⊥ Oy e π ‖ Oy
Equac¸a˜o: ax+ cz + d = 0.
Equac¸a˜o do plano que conte´m o eixo Oy: ax + cz = 0, onde d = 0, o plano
passa na origem O.
C. Plano paralelo ao eixo Oz: c = 0, ~n = (a,b,0) ⊥ Oz e π ‖ Oz
Equac¸a˜o: ax+ by + d = 0.
Equac¸a˜o do plano que conte´m o eixo Oz: ax + by = 0, onde d = 0, o plano
passa na origem O.
107
Posic¸a˜o de um plano em relac¸a˜o aos Planos coordenados: Duas componentes
do vetor normal sa˜o nulas, enta˜o o vetor e´ colinear a um dos vetores
−→
i ou
−→
j ou
−→
k .
A. Paralelo ao plano xOy: Se a = b = 0, ~n = (0,0,c) ∴ ~n = (0,0,1) = ~k ∴ π ‖ xOy.
Equac¸a˜o: cz + d = 0 ∴ z = −d
c
. Os planos cujas equac¸o˜es sa˜o da forma z = k
sa˜o paralelos ao plano xOy.
108
B. Paralelo ao plano xOz: Se a = c = 0, ~n = (0,b,0) ∴ ~n = (0,1,0) = ~j ∴ π ‖ xOz.
Equac¸a˜o: Os planos cujas equac¸o˜es sa˜o da forma y = k.
C. Paralelo ao plano yOz: (Seguindo racioc´ınio ana´logo) Equac¸a˜o: x = k.
109
Planos coordenados:
1103.7 Agora tente resolver!
1. Determine a posic¸a˜o relativa dos seguintes planos em relac¸a˜o aos eixos e ou
planos coordenados:
(a) z − 7 = 0;
(b) x− 3y = 0;
(c) 3y − 2 = 0;
(d) −3x+ z − 4 = 0;
(e) 4y − 8z + 5 = 0;
(f) x = −4
(g) y − 8 = 0
Equac¸a˜o Vetorial e Equac¸o˜es Parame´tricas do Plano: Seja A(x0,y0,z0) um ponto
pertencente a um plano π e ~u = (a1,b1,c1) e ~v = (a2,b2,c2) dois vetores paralelos a π,
pore´m, ~u e ~v na˜o paralelos.
Para todo ponto P do plano, os vetores
−→
AP , ~u e ~v sa˜o coplanares. Um ponto
P (x,y,z) pertence a π se, e somente se, existem nu´meros reais h e t tais que P −A =
h · ~u+ t · ~v ou, em coordenadas
(x,y,z) = (x0,y0,z0) + h(a1,b1,c1) + t(a2,b2,c2), h, t ∈ R.
Esta equac¸a˜o e´ denominada equac¸a˜o vetorial do plano π. Os vetores ~u e ~v sa˜o
vetores base de π.
Da equac¸a˜o acima,
(x,y,z) = (x0 + a1h+ a2t,y0 + b1h+ b2t,z0 + c1h+ c2t)
que, pela condic¸a˜o de igualdade entre vetores, temos


x = x0 + a1h+ a2t
y = y0 + b1h+ b2t Equac¸o˜es parame´tricas do plano
z = z0 + c1h+ c2t
(3.12)
Exemplo 73 Determinar as equac¸o˜es do plano, nas formas vetorial e parame´trica,
que passa por A(1,2,5) e B(3,3,5) e e´ paralelo a ~v = (1,1,2).
111
Soluc¸a˜o: (x,y,z) = (1,2,5) + h(1,1,2) + t(2,1,0) e


x = 1 + h+ 2t
y = 2 + h+ t
z = 5 + 2h
Aˆngulo entre dois planos: Sejam: π1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e π2 : a2x +
b2y + c2z + d2 = 0, e ~n1 = (a1,b1,c1) e ~n2 = (a2,b2,c2) sa˜o os vetores normais a π1 e
π2, denominamos aˆngulo de dois planos como sendo o menor aˆngulo que um vetor
normal de um plano forma com o outro, assim:
cos(θ) =
| ~n1 · ~n2|
| ~n1| · | ~n2| , com 0 ≤ θ ≤ 90
◦ (3.13)
x
y
z
3.7.1 Agora tente resolver!
1. Determinar o aˆngulo entre os planos:
(a) π1 : 2x− 3y + z − 5 = 0 e π2 : x+ 2y − 2z − 12 = 0
(b) π1 : 2x− 3y + 5z − 8 = 0 e π2 : 3x+ 2y + 5z − 4 = 0
(c) π1 : 3x+ 2y − 6 = 0 e π2 : plano xOz.
Condic¸a˜o de Paralelismo e Perpendicularismo: Sejam π1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0
e π2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0. Enta˜o,
~n1 = (a1,b1,c1) ⊥ π1 e ~n2 = (a2,b2,c2) ⊥ π2
112
as condic¸o˜es de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos sa˜o
i. Se π1 ‖ π2 ⇒ ~n1 ‖ ~n2 ∴ a1a2 = b1b2 = c1c2
Se ale´m disso, a1
a2
= b1
b2
= c1
c2
= d1
d2
os planos sa˜o coincidentes.
ii. Se π1 ⊥ π2 ⇒ ~n1 ⊥ ~n2 ∴ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
Exemplo 74 Planos paralelos:
Exemplo 75 Planos Perpendiculares
113
3.8 Agora tente resolver!
1. Determine se os seguintes planos sa˜o paralelos ou ortogonais:
(a) π1 : 4x+ 6y + 8z = 0 e π2 : 2x+ 3y + 4z − 3 = 0;
(b) π1 : 3x− 2y + z + 4 = 0 e π2 : 2y + 4z = 0;
(c) π1 : 4x− 6y + 2z − 4 = 0 e π2 : −6x+ 9y − 3z + 1 = 0;
(d) π1 : −2x+ 3y − 2z + 1 = 0 e π2 : −x+ 2y + 4z − 4 = 0;
Aˆngulo de uma reta com um plano: Dados uma reta e um plano π. E α sendo
o aˆngulo entre a reta e o plano. Como α e´ o complemento do aˆngulo θ que a reta
forma com uma reta normal ao plano (θ+α = 90◦ → α = 90◦− θ), da trigonometria
cos(θ) = sin(α), portanto,
sin(α) =
|~v · ~n|
|~v| · |~n| , com 0 ≤ θ ≤ 90
◦ (3.14)
Exemplo 76 Encontre o aˆngulo formado pela reta
{
y = −2x
y = 2x+ 1
e π : x−y+5 = 0
Soluc¸a˜o:
sin(α) =
|(1,− 2,2) · (1,− 1,0)|√
1 + 4 + 4
√
1 + 1
⇒ α = arcsen(
√
2
2
)
Condic¸o˜es de paralelismo e perpendicularismo entre reta e plano:
i. Se r ‖ π, ~v ⊥ ~n.
ii. Se r ⊥ π, ~v ‖ ~n.
Condic¸o˜es para que uma reta esteja contida num plano:
i. O vetor ~v de r e´ ortogonal ao vetor ~n.
ii. Um ponto A pertence a r pertence tambe´m ao plano.
114
3.8.1 Agora tente resolver!
1. Verifique se as retas sa˜o paralelas aos planos:
a) r :
{
x− 1
3
=
y + 1
−2 = z e π : x+ 2y + 3 = 0
b) s :
{
y = 2x
z = −3x+ 7 e π : 2x+ 5y + 4z − 12 = 0
2. Sendo r :
{
x− 1
a
=
y − 2
−1 = z + 3 e π : 2x+ 3y − z + d = 0, determinar a e d
tal que a reta r esteja contida no plano π.
Intersec¸a˜o entre Planos:
Considerando dois planos: π1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0 e π2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0,
sabemos que a intersec¸a˜o de dois planos na˜o paralelos e´ uma reta r cujas equac¸o˜es
se deseja determinar.
Portanto, π1 ∩ π2 = {r}.
115
Para determinar um ponto e um vetor diretor da reta t encontramos suas equac¸o˜es
reduzidas, isolando duas varia´veis em func¸a˜o da terceira.
Exemplo 77 Sejam π1 : x+ 3y − z + 4 = 0 e π2 : 3x− 2y + z − 7 = 0 , planos na˜o
paralelos.
Soluc¸a˜o:


x+ 3y − z + 4 = 0
3x− 2y + z − 7 = 0(+)
4x+ y − 3 = 0⇒ y = −4x+ 3
substituindo na 1➟ equac¸a˜o, temos:
x+ 3(−4x+ 3)− z + 4 = 0
−11x− z + 13 = 0
z = −11x+ 13
A intersec¸a˜o desses plano gera a seguinte reta:
{
y = −4x+ 3
z − 11x+ 13
Observac¸a˜o: Sendo ~vr ⊥ ~n1 e ~n2, o vetor da reta pode ser obtido por ~vr = ~n1× ~n2.
(Resolva o exemplo anterior usando o produto vetorial). Um ponto da reta r satisfaz
as equac¸o˜es dos planos, sendo uma soluc¸a˜o particular pelo sistema formado por elas.
Intersec¸a˜o de uma reta com o plano: Vamos resolver o seguinte exemplo:
Seja r :
{
x = −y + 2
z = −3y + 6 e π : 2x + y − 4z − 13 = 0. O ponto de intersec¸a˜o, se
houver, tera´ coordenadas que satisfac¸am simultaneamente as equac¸o˜es da reta e do
plano. Resolvendo o sistema:
r∩π = I ⇒


x = −y + 2
z = −3y + 6
2x+ y − 4z − 13 = 0
⇒ 2(−y+2)+ y− 4(−3y+6)− 13 = 0⇒
I(−1,3,− 3)
RESUMO:
Posic¸a˜o relativa entre reta e plano:
116
a) Se ~n e ~vr sa˜o ortogonais ⇒ ~n · ~vr = 0 (~n ⊥ ~vr).
Ou r ⊂ π ou r ‖ π ⇒ r ∩ π = {∅}.
b) Se ~n e ~vr na˜o sa˜o ortogonais ⇒ ~n · ~vr 6= 0, r ∩ π = I a reta fura o plano.
c) Se ~n e ~vr sa˜o ortogonais, para decidir se r ⊂ π ou r ‖ π , verificamos se um
ponto de r pertence ao plano. Caso afirmativo, r ⊂ π sena˜o r ‖ π.
Posic¸a˜o relativa entre planos:
a) Se o plano π1 coincide com π2 : ~n1 ‖ ~n2.
π1 ≡ π2 se e somente se, os coeficientes a1, b1, c1, d1 e a2, b2, c2, d2 sa˜o
proporcionais.
b) π1 ‖ π2, ~n1 ‖ ~n2 ∴ a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
, pore´m d1 e d2 na˜o tem a mesma proporc¸a˜o.
c) ~n1 e ~n2 na˜o paralelos, π1 ∩ π2 = r.
3.8.2 Agora tente resolver!
1. Determinar um ponto e um vetor da reta de intersec¸a˜o com os seguintes planos:
(a) π1 : x− 2y + z − 8 = 0 e π2 : 2x− y + z − 5 = 0
(b) π1 : 3x+ y + 2z + 1 = 0 e π2 : −x+ 3y − 2 = 0
2. Determinar a intersec¸a˜o, se houver, do planos e a reta:
(a) π : x− 3y − 3z − 5 = 0 e r : x+1
3
= y+3
4
= z+4
2
(b) π : x+ y − 2z + 4 = 0 e


x = 5 + 3t
y = 2− t
z = −4 + t
(c) π : xOy e
{
y = 2x
z = −3x+ 9
Intersec¸a˜o de um Plano com os Eixos e Planos coordenados:
Dado o seguinte plano: π : 3x+ 4y + z − 12 = 0.
Vamos encontrar a intersec¸a˜o de π com os eixos coordenados (pontos) e com os
planos coordenados (retas):
117
a) Com os eixos: Ox, Oy, Oz
Os eixos tem as seguintes equac¸o˜es:
Ox
{
y = 0
z = 0
, Oy
{
x = 0
z = 0
, Oz
{
x = 0
y = 0
Voltando ao exemplo, temos:
1. π ∩ 0x→


3x+ 4y − z − 12 = 0
y = 0
z = 0
→ Px(4,0,0)
2. π ∩ 0y → Py(0,3,0)
3. π ∩ 0z → Pz(0,0,12)
b) Com os planos: xOy, xOz, yOz
Os planos coordenados tem as seguintes equac¸o˜es:
xOy : {z = 0, xOz : {y = 0, yOz : {x = 0
1. π ∩ x0y = r →
{
3x+ 4y − z − 12 = 0
z = 0
→
{
y = −3
4
x+ 3
z = 0
118
2. π ∩ x0z = r →
{
3x+ 4y − z − 12 = 0
y = 0
→
{
z = −3x+ 12
y = 0
3. π ∩ y0z = r →
{
3x+ 4y − z − 12 = 0
x = 0
→
{
z = −4x+ 12
x = 0
Distaˆncia de um ponto a um plano: Dado um ponto A(x0,y0,z0) e um plano π :
ax+ by+ cz+ d = 0, queremos determinar a distaˆncia de A ao plano π. Se P (x,y,z)
e´ um ponto no plano e ~n a normal ao plano enta˜o a distaˆncia de qualquer ponto A,
d(A,π), e´ o mo´dulo da projec¸a˜o ortogonal
−→
PA na direc¸a˜o de ~n.
d(A,π) =
∣∣∣∣
−→
PA · ~n|~n|
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣(x0 − x,y0 − y,z0 − z)(a,b,c)√a2 + b2 + c2
∣∣∣∣ (3.15)
d(A,π) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
(3.16)
Distaˆncia entre dois planos: A distaˆncia entre dois planos so´ e´ definida se os
planos forem paralelos, portanto, a distaˆncia d entre eles e´ a distaˆncia de um ponto
qualquer de um dos planos ao outro: d(π1,π2) = d(A,π2) com A ∈ π1.
Distaˆncia de uma reta a um plano: So´ e´ definida quando a reta e´ paralela ao
plano, enta˜o a distaˆncia da reta ao plano d(r,π) = d(A,π) com A ∈ r.
3.8.3 Agoratente resolver!
1. Encontrar a distaˆncia da reta: r :
{
x = 3
y = 4
a) Ao plano x0z
b) Ao plano y0z
c) Ao plano π : x+ y − 12 = 0
3.9 Lista 2
1. Escrever a equac¸a˜o do plano que passa por A(3,2,3) e e´ perpendicular ao
segmento que liga este ponto ao ponto P (4,4,6).
119
2. Determinar a equac¸a˜o geral do plano perpendicular a` reta r :
{
y = 3x+ 2
z = 4x− 2
e que contenha o ponto A(3,1,2).
3. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto me´dio do segmento
de extremos A(4,3,6), B(2,1,0) e seja perpendicular a ele.
4. Sendo


x = 3 + 2h+ t
y = 4− h+ t
z = 6− h+ 2t
equac¸o˜es parame´tricas de um plano π, obter uma equac¸a˜o geral.
5. Escrever uma equac¸a˜o geral e um sistema de equac¸o˜es parame´tricas do plano
determinado pelos pontos: A(2,1,6), B(−1,4,8), C(1,− 1,− 1).
6. Encontrar uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m as retas:
r1
{
y = 2x+ 2
z = 3x− 1 r2
{
x− 1
2
=
y − 4
1
=
z − 2
2
7. Encontrar uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m as retas:
r1
{
x = 2y + 2
z = y − 3 r2
{
y = 2x+ 6
z = −3x− 2
8. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:
(a) A(3,4,6) e r


x = t
y = 3− t
z = 3 + 2t
(b) A(4,5,2) e o eixo z
9. Obter uma equac¸a˜o geral do plano paralelo ao eixo dos x e que contenha os
pontos A(−4,1,2), B(0,− 3,4).
10. Encontre a distaˆncia do ponto P ao plano π:
(a) P (2,3,6) e π : x+ y + z = 0
(b) P (2,− 1,2) e π : 2x− 2y − z + 3 = 0
(c) M(−3,1,2) e π : 2x− 3y + 6z − 42 = 0
120
11. Verifique se os planos sa˜o paralelos e calcule a distaˆncia entre os mesmos:
π1 : x+ y + z = 4 e π2 : 2x+ 2y + 2z = 5.
12. Achar a distaˆncia da reta r ao plano π: r :


x = 4 + 3t
y = −1 + t
z = t
π : x−y−2z+4 = 0
13. Determinar a posic¸a˜o relativa dos seguintes planos:
(a) 3x− 2y + 6 = 0
(b) x− 3z = 0
(c) 2y + z − 9 = 0
(d) z − 3 = 0
(e) y = 0
(f) y + 5 = 0
14. Determine as intersec¸o˜es dos planos com os eixos e desenhe o plano:
(a) 5x+ 2y − 10 = 0
(b) y + 2z − 4 = 0
(c) x− 5 = 0
(d) z = 3
(e) 3x+ 2y + 4z = 12
(f) 4x+ 2y + 6z = 12
(g) y + z = 5
(h) x+ y − z = 0
15. Achar a equac¸a˜o do plano que passa:
(a) Pelo ponto P (5,6,2) e e´ paralelo ao plano xOy.
(b) Pelo ponto P (2,3,3) e e´ paralelo ao plano xOz.
(c) Pelo ponto P (1,− 2,2) e e´ paralelo ao plano yOz.
16. Dados os seguintes planos: π : ax+ by− 4z+3 = 0 e α : 3x+2y− 2z+20 = 0,
calcule:
121
(a) a e b para que os planos sejam paralelos.
(b) a distaˆncia entre eles.
17. Determinar a equac¸a˜o do plano que passa pelo pontoA(−4,2,9) e e´ perpendicular
ao eixo Oz.
18. Determinar a equac¸a˜o do plano mediador do segmento retil´ıneo que tem por
extremidades os pontos A(4,3,− 4), B(2,3,− 4).
19. Encontre a equac¸a˜o do plano paralelo ao eixo Ox e que passa pelos pontos
A(6,1,2) e B(6,− 1,3).
20. Determinar a equac¸a˜o do plano que passa pelo pontoA(3,1,−1) e e´ perpendicular
ao plano 2x− 2y + z + 4 = 0, tendo sua intersec¸a˜o com o eixo Oz no ponto de
cota igual a −3.
21. Escreva a equac¸a˜o do plano que passa pela origem e e´ perpendicular aos planos
xOy e y − 2 = 0.
22. Encontre a equac¸a˜o do plano determinado pelas retas r : x
2
= y + 1 = z − 3 e
(x,y,z) = (−1,1,0) + t(4,2,2).
23. Determinar a intersec¸a˜o da reta r : (x,y,z) = (0,1,0)+t(1,−2,−1), como plano
π : 2x+ y − z − 4 = 0.
24. Escreva a equac¸a˜o do plano:
(a) paralelo ao plano xy, 10 unidades acima dele;
(b) perpendicular ao eixo dos z, no ponto (0,0,− 15);
(c) paralelo ao plano xz, 8 unidades atra´s dele.
25. Determinar a equac¸a˜o do plano π paralelo ao plano π1 : 6x− 6y + 7z − 44 = 0
e 2 unidades mais afastados que ele em relac¸a˜o a origem.
26. Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta r, intersec¸a˜o dos planos: π1 : 2x +
y − z = 0 e π1 : x− 2y + z − 1 = 0.
27. Encontrar a equac¸a˜o de um plano π, paralelo ao plano α : 2x+5y+ z− 4 = 0,
sabendo-se que passa pelo ponto de intersec¸a˜o da reta r : (x,y,z) = (1,0,3) +
t(2,− 1,3) com o plano π2 : x+ 3y − z − 2 = 0.
122
3.10 Gabarito - Lista 2 Planos
1. x+ 2y + 3z − 16 = 0
2. x+ 3y + 4z + 2 = 0
3. x+ y + 3z − 14 = 0
4. x+ 5y − 3z − 5 = 0
5. 17x+ 23y − 9z − 3 = 0
6. x+ 4y − 3z − 11 = 0
7. 5x− 7y − 3z − 19 = 0
8. 5x− 3y − 4z − 21 = 0; 5x− 4y = 0
9. 2y + 4z − 10 = 0
10.
11
√
3
3
u.c.;
7
3
u.c.;
39
7
u.c.
11.
√
3
2
u.c.
12.
3
√
6
2
u.c.
13. a. plano paralelo Oz; b.plano paralelo Oy; c. plano paralelo Ox; d. plano
paralelo ao plano xOy; e. plano paralelo ao plano xOz; f. plano paralelo ao
plano xOz.
14.
15. z − 2 = 0; y − 3 = 0; x− 2 = 0.
16. a = 6, b = 4
17. z − 9 = 0
18. x− 3 = 0
19. y + 2z − 5 = 0
123
20. 5x+ y − 8z − 24 = 0
21. x = 0
22. 5x− 5y − 5z + 10 = 0
23. P (3,− 5,− 3)
24. z = 10, z = −15, y = −8
25. 6x− 6y + 7z + 66 = 0, 6x− 6y + 7z − 66 = 0
26. x = t, y = −1 + 3t, z = −1 + 5t
27. 2x+ 5y + z − 3 = 0
124